(共83张PPT)
3.1 函数的概念与性质
3.1.1 函数及其表示方法
第1课时 函数的概念
探究点一 函数概念的理解
探究点二 函数的定义域
探究点三 抽象函数的定义域
探究点四 函数求值问题和简单函数的值域
探究点五 同一个函数的判断
◆
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
课堂评价
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言
和对应关系刻画函数,建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关
系在刻画函数概念中的作用；
2.了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域、值域.
知识点一 函数的有关概念
一般地，给定两个____________与，以及对应关系 ，如果对于
集合中的_____________，在集合中都有__________的实数与
对应，则称为定义在集合上的一个函数，记作, ,其
中称为自变量，称为因变量，自变量取值的范围（即数集 ）称
为这个函数的________.如果自变量取值，则由对应关系 确定的值
称为函数在处的函数值，记作或 ,所有函数值组成的
集合, 称为函数的______.
非空实数集
每一个实数
唯一确定
定义域
值域
【诊断分析】
（1）怎样理解函数概念中非空、任意性和唯一确定性？
解：①，必须为非空数集，②集合中元素具有任意性，③集合
中元素必须有唯一确定性．
（2）如果值域记作，上述定义中，集合， 有什么关系？
解： .
（3）已知函数，,,则与 有什么关系？
解：是值域中的一个值，即当 时的函数值.
知识点二 同一个函数的概念
如果两个函数表达式表示的函数____________，________________，
则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数.
定义域相同
对应关系也相同
【诊断分析】
定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗？
解：不一定．因为定义域和值域不能确定函数的对应关系．
如与两个函数的定义域和值域均为实数集 ，
但这两个函数不是同一个函数，原因是对应关系不同．
知识点三 常见函数的定义域、值域
（1），定义域为，值域为 ;
（2），定义域为 ,值域为
；
（3），定义域为，值域为 ；
（4）,定义域为，若 ，则值域为
，若,则值域为 ；
（5）对于函数，或,若 的定
义域为，的定义域为,的定义域为，则 .
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）函数的定义域为 ，值域为
.( )
√
（2）函数的定义域为，值域为 .( )
√
（3）函数,的值域为 .( )
√
（4）函数的定义域为 .( )
×
[解析] 函数的定义域为 .
（5）函数的定义域为 .( )
√
（6）函数的定义域是，值域是 .( )
√
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
探究点一 函数概念的理解
［探索］ 是关于的函数，那么反之是关于 的函数吗？
解：给定任意一个值都有唯一的值与之对应，反之给定任意一个
值可能存在两个值与之对应，故不是关于 的函数.
例1（1）下列图形中，可作为函数图象的有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
[解析] ②⑤中的图形存在一个值有两个 值与之对应，所以不是函
数图象，①③④中的图形满足函数定义，是函数图象．故选B.
√
（2）已知集合,0,1,, ，给出下列四个对应关
系，请由函数的定义判断，其中能构成从集合到集合 的函数的是
( )
A. B. C. D.
[解析] 对于A，当时， ，故A错误；
对于B，当时，，故B错误；
对于C，当时， ，当时，，
当时， ，故C正确；
对于D，当时， ,故D错误.故选C.
√
变式（1）［2025·山东聊城高一期末］已知集合, ，
则下列选项中是从集合到集合 的函数的为( )
A. B. C. D.
[解析] 对于A，定义域为 ，不满足函数的特性，故A错误；
对于B，值域为，当取集合中的元素0时，集合 中没有元
素与之对应，故B错误；
对于C，值域为，当取集合 中的元素为负值时，集合 中没有元素
与之对应，故C错误；
对于D，满足函数的定义，故D正确.故选D.
√
（2）［2025·陕西西安高一期末］下列图形中，可以表示函数的为
( )
A. B. C. D.
[解析] 选项A，C，D的图形中存在 对应多个不同的函数值，不可
以表示函数，故B正确.故选B.
√
［素养小结］
（1）根据图象判断对应关系是否为函数的方法：
①作一条垂直于轴的直线；
②在的取值范围内平移直线；
③若直线在平移的过程中与图象始终有且只有一个交点，则是函数，
若没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数.
（2）判断对应关系是否为函数的两个条件：
①，必须是非空实数集；
②中任意一个元素在中有且只有一个元素与之对应，对应关系是
“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系.
探究点二 函数的定义域
例2 求下列函数的定义域：
（1） ；
解：由解得 ，
所以函数的定义域为 .
（2） ；
解：由解得且 ，
所以函数的定义域为 .
例2 求下列函数的定义域：
（3） .
解：由解得且 ，
所以函数的定义域为 .
例2 求下列函数的定义域：
变式 求下列函数的定义域：
（1） ；
解：由题知，因为 ，
所以函数的定义域为 .
变式 求下列函数的定义域：
（2） ；
解：由解得且 ，所以函数
的定义域为 .
（3） .
解：由题知，即，所以 ，所以函数
的定义域为 .
变式 求下列函数的定义域：
［素养小结］
求函数定义域的常用依据：
（1）若是分式，则分母不为零；
（2）若是偶次根式，则被开方数大于或等于零；
（3）若是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都
有意义；
（4）若是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题
有意义；
（5）定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不
同区间应该用“ ”连接.
探究点三 抽象函数的定义域
［探索］ 函数的定义域是指“”和“ ”谁的取值范围？
解：定义域都是指表达式中“”的取值范围，所以函数 的定
义域是指“ ”的取值范围.
例3（1）已知函数的定义域为，则函数 的定义
域为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为函数的定义域为，令，
则 的定义域为，即，解得 ，
所以函数的定义域为 .故选A.
√
（2）已知的定义域为，则 的定义域
为( )
A. B. C. D.
[解析] 由的定义域为，得 ，
所以，所以，即的定义域为 .
令，得，所以的定义域为 .
故选B.
√
变式（1）已知函数的定义域为，则 的定义域
为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为函数的定义域为，
所以 解得 .故选B.
√
（2）［2025· 陕西咸阳高一期中］已知函数 的定义域
为，则函数 的定义域为( )
A. B. C. D.
[解析] 由函数的定义域为，得 ，
所以，所以的定义域为，
又 ，所以，
所以函数的定义域为 .故选A.
√
［素养小结］
求抽象函数定义域的方法：
（1）当对应关系所施加的对象与解析式中表述的对象不一致时，
应将左、右两端统一，也可以用“换元法”，将较难配凑的式子化简.
（2）若已知函数的定义域为，则函数的定义域由
不等式解出即得.若已知函数的定义域为，
则函数在时的取值范围即为所求函数的定义域.
探究点四 函数求值问题和简单函数的值域
例4（1）已知且， ，
.
①求，, 的值；
解：， .
， .
令，则 .
②求 的值.
解：， .
（2）求下列函数的值域：
① ;
解： ，
所以函数的值域为 .
（2）求下列函数的值域：
② ;
解： 令，则 ，
则,
因为 ，所以由二次函数的性质可得函数的值域为 .
③, .
解： ，
由 ，结合函数的图象，可得函数的值域为 .
（2）求下列函数的值域：
变式（1）若，则 ( )
A.1 B. C. D.
[解析] 令，解得 ，
则 .故选C.
√
（2）已知 ，则
__.
[解析] 因为，所以当 时，
，又 ，
所以 .
［素养小结］
（1）求函数值域的原则：
①先确定相应的定义域；
②再根据函数的具体形式通过运算确定其值域.
（2）求函数值域的常用方法：
①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到；
②配方法：求“二次函数”类值域的基本方法；
③换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从
而求得原函数的值域，对于（其中， ，
，为常数，且 ）型的函数常用换元法；
④分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为
“反比例函数”类的形式，便于求值域.
探究点五 同一个函数的判断
例5 ［2025·天津南开区高一期末］下列函数中与 是同一个
函数的为( )
A.， B.，
C.， D.，
√
[解析] 对于A，的定义域是， 的定义域是
，两个函数的定义域不相同，不是同一个函数，故A错误；
对于B，与的定义域都是 ，且对应关系
相同，是同一个函数，故B正确；
对于C，与 的对应关
系不同，不是同一个函数，故C错误；
对于D，的定义域是 ，的定义域是
，两个函数的定义域不相同，不是同一个函数，故D错误.
故选B.
变式 下列各组函数是否表示同一个函数？为什么？
（1）， ；
解：与的定义域相同，，
与 的对应关系也相同，与 是同一个函数．
变式 下列各组函数是否表示同一个函数？为什么？
（2）， ；
解：的定义域为，
的定义域为 ，即两函数的定义域相同，
， 两函数的对应关系也相同，
与 是同一个函数．
（3）， .
解：与 的定义域相同，
但对应关系不同，与 不是同一个函数.
变式 下列各组函数是否表示同一个函数？为什么？
［素养小结］
判断两个函数为同一个函数的条件：
（1）判断两个函数是同一个函数的准则是两个函数的定义域和对应
关系分别相同,定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同
一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数；
（2）函数是两个非空实数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自
变量、因变量是没有限制的,另外，在化简解析式时，必须是等价变形.
1.若集合， ，则下列图形给出的
对应中能构成从到 的函数的是( )
A. B. C. D.
[解析] 结合选项可知D正确．
√
2.下列函数中，值域为 的是( )
A. B. C. D.
[解析] 的值域为，的值域为,
的值域为，的值域为 .
故选B.
√
3.已知，则 的值是( )
A.0 B. C. D.4
[解析] 令，解得 ，
所以 .故选B.
√
4.下列选项中的两个函数表示同一个函数的是( )
A.与
B.与
C.与
D.与
√
[解析] 对于A，的定义域为， 的定义域为
， 两个函数不表示同一个函数，故A错误；
对于B，的定义域为，的定义域为 ，
两个函数不表示同一个函数，故B错误；
对于C，两函数的定义域都为 ，又 ，
所以两个函数表示同一个函数，故C正确；
对于D，当时，无意义，而 ,故D错误.故选C.
5.［2025·江苏苏州高一期中］函数 的定
义域为____________.
[解析] 由解得且 ，
所以函数的定义域是 .
从北斗七星形状的变化到德国气象学家魏格纳 提
出的“大陆漂移说”，类似这种变化的故事很多，这个世界的一切的
量，都随着时间的变化而变化.时间是最原始的自行变化的量，其他
量则是因变量.“函数”一词是德国数学家莱布尼茨创造的.记号 则
是由瑞士数学家欧拉于公元1734年引入的.德国数学家黎曼
给出的函数的定义是：假定 是一个变量，它可以逐
次取所有可能的实数值，如果对它的每一个值，都有唯一的一个
与之对应，则称为 的函数.
1.求抽象函数的定义域
例1（1）若函数的定义域为，求函数 的定义域；
解：的定义域为 ，
使有意义的条件是 ，
解得 ，
的定义域为 ．
（2）若函数的定义域为，求 的定义域．
解：的定义域为， ，
，的定义域为 ．
2.实际问题求函数的自变量的取值范围.
例2 ［2024·四川成都高一期中］一枚炮弹发射后，经过 落到地
面击中目标，炮弹的射高为，且炮弹距地面的高度
（单位：）与时间（单位：）的关系为 ，该函数
的定义域为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意可知，炮弹发射后共飞行了，所以 ，
即函数的定义域为 .故选C.
√
练习册
1.若函数的定义域为，则函数 的定义域为
( )
A. B.
C. D.
[解析] 由题得解得或 ，
故函数的定义域为 .故选D.
√
2.［2025·湖北武汉高一期末］已知集合 ,
，下列对应关系中不能作为从到 的函数的是
( )
A.为“乘二分之一” B. 为“乘三分之一”
C.为“乘三分之二” D. 为“求平方根”
√
[解析] 对于A，，当时，，且对每一个 ，
有唯一确定的与其对应，故A能作为从到 的函数；
对于B，，当时，，且对每一个 ，
有唯一确定的与其对应，故B能作为从到的函数；
对于C， ，当时，，故C不能作为
从到 的函数；
对于D，，当时，，且对每一个 ，有唯一
确定的与其对应，故D能作为从到 的函数.故选C.
3.［2025·山西太原高一期中］已知，则
( )
A. B. C.1 D.7
[解析] 由题意，得，则 ，
所以 .故选B.
√
4.中文“函数”一词，最早是由清代数学家李善兰翻译而得，之所以这
么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函
数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是
同一个函数的是( )
A.， B.，
C.， D.，
√
[解析] 对于A，和的定义域均为， ，
，对应关系不同，所以和 不是同一个函数，故A错
误；
对于B，和的定义域均为， ，，
故和 的定义域相同，对应关系也相同，所以和是同
一个函数，故B正确；
对于C， 的定义域为，的定义域为，故和
的定义域不相同，所以和不是同一个函数，故C错误；
对于D， 的定义域为，的定义域为，故和
的定义域不相同，所以和 不是同一个函数，故D错误.故选B.
5.［2025·四川遂宁高一期末］已知 ,
，给出下列四个图形，其中能表示从集合 到集合
的函数关系的是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 对于A，当时，在 中无元素与之对应，不满足函数
定义，故A错误；
对于B，集合中的每个值，在集合 中均有唯一值与之对应，满足函
数的定义，故B正确；
A. B.
对于C，当 时，对应元素，不满足函数的定义，故C错
误；
对于D，当 时，在 中有两个元素与之对应，不满足函数的定义，
故D错误.故选B.
C. D.
6.［2025·四川成都高一期中］定义在区间
上的函数 的图象如图所示.
若只有唯一的与对应，则 的取值范围为
( )
A. B.
C. D.
[解析] 由图象可知，若满足唯一的与对应，
则 的取值范围为 .故选A.
√
7.（多选题）下列对应关系是集合，2，到集合 ，2，
4， 的函数的是( )
A. B. C. D.
[解析] 对于A，当时， ，不符合函数的定义，故
A错误；
对于B，当时，，当时，，当 时，
，不符合函数的定义，故B错误；
对于C，当 时，，当时，，当时， ，
符合函数的定义，故C正确；
√
√
对于D，当时，，当时， ，
当时，，符合函数的定义，故D正确.故选 .
8.已知函数的定义域为 ，则函数
的定义域为_______.
[解析] 由题意得解得 ，
所以的定义域为 .
9.［2025·安徽滁州高一期中］设，函数表示不超过 的
最大整数，例如， .若函数
，则函数 的值域是__________.
,0,1,
[解析] 因为，所以，所以 .
当时，；
当 时，；
当时， ；
当时，.
综上，函数 的值域是,0,1, .
10.（13分）已知 .
（1）求，， 的值；
解：由已知可得， ，
.
（2）求函数 的值域；
解： ，
所以函数的值域为 .
（3）若，求 的值.
解：因为，所以 .
11.［2024·福建福州高一期中］已知函数 的定义域为
，值域为，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 函数 的图
象的对称轴方程为 ，且开口向上，如图.
， ，由图可知,要
使函数的定义域为 ，值
域为，则的取值范围是 .故选B.
12.已知函数满足 ,
,则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 令,,则,得 .
令,,则,得.
令, , 则,得.
令, ,则,得.
令, ,则,得 .故选B.
13.已知函数的定义域为,值域为 ,且对
任意的,恒有 ,则满足条件的不同函数共有____个.
10
[解析] 如图,可知满足条件的不同函数共有10个.
14.（15分）［2024·江苏盐城高一期中］ 为了增
强生物实验课的趣味性，丰富生物实验教学内容，
某校计划沿着围墙（足够长）划出一块面积为
100平方米的矩形区域 修建一个羊驼养殖场，
规定的每条边长均不超过20米.如图所示，矩形 为羊驼养殖
区，且点，，， 四点共线，阴影部分为1米宽的鹅卵石小径.设
（单位：米），养殖区域的面积为 （单位：平方米）.
（1）将表示为的函数，并写出 的取值范围.
解：因为，所以，， ，
所以 ，
因为，，所以 .
（2）当为多长时， 取得最大值？并求出最
大值.
解： ，
当且仅当，即时，等号成立，所以当为 米
时，取得最大值，最大值为 平方米.
15.规定符号*表示一种运算，且（， 为正实
数），，则正整数的值为___，函数 的值域为
_________．
1
[解析] 由已知得， ，可得
，令 ，
则，所以 ，所以函数
的值域为 .
16.（15分）函数为数学家高斯创造的取整函数， 表示不超
过的最大整数，如， .已知函数
，求函数 的值域.
解：因为，所以 .
若，则 .
当时，，当且仅当 时等号成立，
所以，所以，
此时函数 的取值范围为， ；
当时， ，
当且仅当时等号成立，所以，
所以 ，此时函数的取值范围为, .
综上所述，函数的值域是,0, .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 非空实数集 每一个实数 唯一确定 定义域 值域 【诊断分析】
（1）略（2） （3）略 知识点二 定义域相同 对应关系也相同 【诊断分析】
不一定 知识点三 【诊断分析】 （1）√ （2）√ （3）√ （4）× （5）√ （6）√
课中探究 探究点一 ［探索］不是关于的函数 例1（1）B（2）C 变式（1）D （2）B
探究点二 例2 （1）（2）（3） 变式 （1）
（2） （3） 探究点三［探索］ “” 例3 （1）A （2）B 变式
（1）B （2）A 探究点四 例4（1）①，， ②<
（2）① ② ③ 变式 （1）C （2）
探究点五 例5 B 变式 （1）是 （2）是 （3）不
课堂评价 1.D 2.B 3.B 4.C 5.
备用习题 例1 （1）（2） 例2 C
快速核答案（练习册）
基础巩固
1.D 2.C 3.B 4.B 5.B 6.A 7.CD 8. 9.,0,1,
10.（1），，<
（2）（3）2
综合提升
11.B 12.B 13.10 14.（1），.
（2）当为米时，取得最大值，最大值为平方米.
思维探索
15.1 16.,0,.第三章 函数
3.1 函数的概念与性质
3.1.1 函数及其表示方法
第1课时 函数的概念
【课前预习】
知识点一
非空实数集 每一个实数x 唯一确定 定义域 值域
诊断分析
解:(1)①A,B必须为非空数集,②集合A中元素具有任意性,③集合B中元素必须有唯一确定性.
(2)C B.
(3)f(a)是f(x)值域中的一个值,即当x=a时的函数值.
知识点二
定义域相同 对应关系也相同
诊断分析
解:不一定.因为定义域和值域不能确定函数的对应关系.如y=x+1与y=x-1两个函数的定义域和值域均为实数集R,但这两个函数不是同一个函数,原因是对应关系不同.
知识点三
诊断分析
(1)√ (2)√ (3)√ (4)× (5)√ (6)√
[解析] (4)函数y=的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞).
【课中探究】
探索 解:给定任意一个x值都有唯一的y值与之对应,反之给定任意一个y值可能存在两个x值与之对应,故x不是关于y的函数.
例1 (1)B (2)C [解析] (1)②⑤中的图形存在一个x值有两个y值与之对应,所以不是函数图象,①③④中的图形满足函数定义,是函数图象.故选B.
(2)对于A,当x=-1时,y=-1 N,故A错误;对于B,当x=0时,y=0 N,故B错误;对于C,当x=±1时,y=2∈N,当x=0时,y=1∈N,当x=2时,y=4∈N,故C正确;对于D,当x=-1时,y=0 N,故D错误.故选C.
变式 (1)D (2)B [解析] (1)对于A,定义域为[0,+∞),不满足函数的特性,故A错误;对于B,值域为[0,+∞),当取集合A中的元素0时,集合B中没有元素与之对应,故B错误;对于C,值域为R,当取集合A中的元素为负值时,集合B中没有元素与之对应,故C错误;对于D,满足函数的定义,故D正确.故选D.
(2)选项A,C,D的图形中存在x对应多个不同的函数值,不可以表示函数,故B正确.故选B.
例2 解:(1)由解得0≤x≤,
所以函数y=2-的定义域为.
(2)由解得x>-2且x≠-1,
所以函数y=的定义域为(-2,-1)∪(-1,+∞).
(3)由解得-2≤x≤2且x≠0,
所以函数y=+的定义域为[-2,0)∪(0,2].
变式 解:(1)由题知x2-2x+2≠0,因为x2-2x+2=(x-1)2+1≥1,所以函数f(x)=的定义域为R.
(2)由解得x>2且x≠3,所以函数f(x)=+(x-3)0的定义域为(2,3)∪(3,+∞).
(3)由题知x+|x|≠0,即|x|≠-x,所以x>0,所以函数f(x)=的定义域为(0,+∞).
探索 解:定义域都是指表达式中“x”的取值范围,所以函数f(3x+1)的定义域是指“x”的取值范围.
例3 (1)A (2)B [解析] (1)因为函数f(x)的定义域为(-2,1),令t=2x-1,则f(t)的定义域为(-2,1),即-2<2x-1<1,解得-(2)由y=f(x2-1)的定义域为[1,3],得x∈[1,3],所以x2∈[1,9],所以x2-1∈[0,8],即f(x)的定义域为[0,8].令2x-1∈[0,8],得x∈,所以y=f(2x-1)的定义域为.故选B.
变式 (1)B (2)A [解析] (1)因为函数f(x)的定义域为[1,+∞),所以解得2≤x≤4.故选B.
(2)由函数y=f(3x+2)的定义域为,得-≤x≤1,所以-3≤3x+2≤5,所以y=f(x)的定义域为[-3,5],又x-1>0,所以x>1,所以函数y=的定义域为(1,5].故选A.
例4 解:(1)①∵f(x)=,∴f(2)==.
∵g(x)=x2+2,∴g(2)=22+2=6.
令x=1,则h(2)=2×12-2×1=0.
②∵g(3)=32+2=11,∴f[g(3)]=f(11)==.
(2)①y===1-≠1,所以函数的值域为(-∞,1)∪(1,+∞).
②令=t(t≥0),则x=t2+1,则y=t2+t+1=+,因为t≥0,所以由二次函数的性质可得函数的值域为[1,+∞).
③y=x2-2x+3=(x-1)2+2,由x∈[0,3),结合函数的图象,可得函数的值域为[2,6).
变式 (1)C (2) [解析] (1)令=,解得x=-2,则f=f=+=-=.故选C.
(2)因为f(x)=,所以当x≠0时,f(x)+f=+=+=1,又f(1)==,所以f(1)+f(2)+f+f(3)+f+f(4)+f=f(1)+++=+1+1+1=.
例5 B [解析] 对于A,f(x)=x2的定义域是R,g(x)=()4的定义域是{x|x≥0},两个函数的定义域不相同,不是同一个函数,故A错误;对于B,f(x)=x2与g(x)==x2的定义域都是R,且对应关系相同,是同一个函数,故B正确;对于C,f(x)==|x|=-x与g(x)=x的对应关系不同,不是同一个函数,故C错误;对于D,f(x)=x-1的定义域是R,g(x)=-1的定义域是{x|x≠0},两个函数的定义域不相同,不是同一个函数,故D错误.故选B.
变式 解:(1)f(x)与φ(t)的定义域相同,∵φ(t)==|t|,∴f(x)与φ(t)的对应关系也相同,∴f(x)与φ(t)是同一个函数.
(2)y=·的定义域为{x|-1≤x≤1},y=的定义域为{x|-1≤x≤1},即两函数的定义域相同,∵y=·=,∴两函数的对应关系也相同,∴y=·与y=是同一个函数.
(3)∵y==|x-3|与y=x-3的定义域相同,但对应关系不同,∴y=与y=x-3不是同一个函数.
【课堂评价】
1.D [解析] 结合选项可知D正确.
2.B [解析] y=的值域为[0,+∞),y=的值域为(0,+∞),y=的值域为(-∞,0)∪(0,+∞),y=x2+1的值域为[1,+∞).故选B.
3.B [解析] 令2x+1=2,解得x=,所以f(2)=f=4×+4×-5=-2.故选B.
4.C [解析] 对于A,f(x)的定义域为R,g(x)=()2的定义域为[0,+∞),两个函数不表示同一个函数,故A错误;对于B,f(x)=2|x|的定义域为R,g(x)=的定义域为{x|x≠0},两个函数不表示同一个函数,故B错误;对于C,两函数的定义域都为R,又f(x)==|x-1|,所以两个函数表示同一个函数,故C正确;对于D,当x=0时,f(x)无意义,而g(0)=1,故D错误.故选C.
5.[1,3)∪(3,5] [解析] 由解得1≤x≤5且x≠3,所以函数y=+-的定义域是[1,3)∪(3,5].第三章 函数
3.1 函数的概念与性质
3.1.1 函数及其表示方法
第1课时 函数的概念
1.D [解析] 由题得解得12.C [解析] 对于A,y=x,当0≤x≤4时,0≤y≤2,且对每一个x,有唯一确定的y与其对应,故A能作为从A到B的函数;对于B,y=x,当0≤x≤4时,y∈ [0,2],且对每一个x,有唯一确定的y与其对应,故B能作为从A到B的函数;对于C,y=x,当0≤x≤4时,y∈ [0,2],故C不能作为从A到B的函数;对于D,y=,当0≤x≤4时,y∈[0,2],且对每一个x,有唯一确定的y与其对应,故D能作为从A到B的函数.故选C.
3.B [解析] 由题意,得f(3x+1)=(3x+1)+,则f(t)=t+,所以f(-2)=×(-2)+=-1.故选B.
4.B [解析] 对于A,f(x)和g(x)的定义域均为R, f(x)==|x|,g(x)=x,对应关系不同,所以f(x)和g(x)不是同一个函数,故A错误;对于B,f(x)和g(x)的定义域均为R,f(x)=x,g(x)==x,故f(x)和g(x)的定义域相同,对应关系也相同,所以f(x)和g(x)是同一个函数,故B正确;对于C,f(x)的定义域为{x|x≠-2},g(x)的定义域为R,故f(x)和g(x)的定义域不相同,所以 f(x)和g(x)不是同一个函数,故C错误;对于D,f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为{x|x≠0},故f(x)和g(x)的定义域不相同, 所以f(x)和g(x)不是同一个函数,故D错误.故选B.
5.B [解析] 对于A,当16.A [解析] 由图象可知,若满足唯一的p与r对应,则r的取值范围为[0,2)∪(5,+∞).故选A.
7.CD [解析] 对于A,当x=-2时,y=-4 N,不符合函数的定义,故A错误;对于B,当x=-2时,y=0,当x=2时,y=4,当x=4时,y=6 N,不符合函数的定义,故B错误;对于C,当x=-2时,y=4,当x=2时,y=4,当x=4时,y=16,符合函数的定义,故C正确;对于D,当x=-2时,y=2,当x=2时,y=2,当x=4时,y=4,符合函数的定义,故D正确.故选CD.
8.(-2,3] [解析] 由题意得解得-29.{-1,0,1,2} [解析] 因为x2+1≥1,所以0<≤3,所以-110.解:(1)由已知可得f(2)=22-4×2+2=-2,f(a)=a2-4a+2,f(a+1)=(a+1)2-4(a+1)+2=a2-2a-1.
(2)f(x)=x2-4x+2=(x-2)2-2≥-2,
所以函数f(x)的值域为[-2,+∞).
(3)因为g(3)=3+1=4,所以f[g(3)]=f(4)=42-4×4+2=2.
11.B [解析] 函数y=x2-3x-4=-的图象的对称轴方程为x=,且开口向上,如图.f=-,f(-1)=f(4)=0,由图可知,要使函数y=x2-3x-4的定义域为[-1,m],值域为,则m的取值范围是.故选B.
12.B [解析] 令x=1,y=0,则4f(1)f(0)=f(1)+f(1),得f(0)=.令x=1,y=1,则4f(1)f(1)=f(2)+f(0),得f(2)=-.令x=2,y=1,则4f(2)f(1)=f(3)+f(1),得f(3)=-.令x=2,y=2,则4f(2)f(2)=f(4)+f(0),得f(4)=-.令x=4,y=3,则4f(4)f(3)=f(7)+f(1),得f(7)=.故选B.
13.10 [解析] 如图,可知满足条件的不同函数共有10个.
14.解:(1)因为AB=x,所以AD=,FG=-1,EF=x-2,所以S=(x-2)=102-x-,
因为0(2)S=(x-2)=102-x-≤102-2=102-20,当且仅当x=,即x=10时,等号成立,所以当AB为10米时,S取得最大值,最大值为(102-20)平方米.
15.1 (1,+∞) [解析] 由已知得,1*k=+1+k=3,可得k=1.y=k*x=+1+x=+(x>0),令t=,则y=+(t>0),所以y>+=1,所以函数y=k*x的值域为(1,+∞).
16.解:因为f(0)=,所以[f(0)]=0.
若x≠0,则f(x)=+=+.
当x>0时,x++3≥2+3=7,当且仅当x=2时等号成立,所以0<≤,所以当x<0时,-+3≤-2+3=-1,当且仅当x=-2时等号成立,所以-1≤<0,所以-≤f(x)<,此时函数y=[f(x)]的取值范围为{-1,0}.
综上所述,函数y=[f(x)]的值域是{-1,0,1}.第三章 函数
3.1 函数的概念与性质
3.1.1 函数及其表示方法
第1课时 函数的概念
【学习目标】
1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上,用集合语言和对应关系刻画函数,建立完整的函数概念,体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用;
2.了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域、值域.
◆ 知识点一 函数的有关概念
一般地,给定两个 A与B,以及对应关系f,如果对于集合A中的 ,在集合B中都有 的实数y与x对应,则称f为定义在集合A上的一个函数,记作y=f(x),x∈A,其中x称为自变量,y称为因变量,自变量取值的范围(即数集A)称为这个函数的 .如果自变量取值a,则由对应关系f确定的值y称为函数在a处的函数值,记作y=f(a)或y|x=a,所有函数值组成的集合{y|y=f(x),x∈A}称为函数的 .
【诊断分析】 (1)怎样理解函数概念中非空、任意性和唯一确定性
(2)如果值域记作C,上述定义中,集合B,C有什么关系
(3)已知函数y=f(x),x∈A,a∈A,则f(x)与f(a)有什么关系
◆ 知识点二 同一个函数的概念
如果两个函数表达式表示的函数 , ,则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数.
【诊断分析】 定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗
◆ 知识点三 常见函数的定义域、值域
(1)y=kx+b(k≠0),定义域为R,值域为R;
(2)y=+m(k≠0),定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),值域为(-∞,m)∪(m,+∞);
(3)y=,定义域为[0,+∞),值域为[0,+∞);
(4)y=ax2+bx+c(a≠0),定义域为R,若a>0,则值域为,若a<0,则值域为;
(5)对于函数F(x)=f(x)g(x),或F(x)=f(x)±g(x),若F(x)的定义域为D,f(x)的定义域为D1,g(x)的定义域为D2,则D=D1∩D2.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y=的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),值域为(-∞,0)∪(0,+∞). ( )
(2)函数y=的定义域为(0,+∞),值域为(0,+∞). ( )
(3)函数y=-x+1,x∈[-1,2]的值域为[-1,2].( )
(4)函数y=的定义域为(-∞,+∞).( )
(5)函数f(x)=+的定义域为(-∞,5)∪(5,10]. ( )
(6)函数f(x)=的定义域是R,值域是[,+∞). ( )
◆ 探究点一 函数概念的理解
[探索] y=x2是关于x的函数,那么反之x是关于y的函数吗
例1 (1)下列图形中,可作为函数图象的有 ( )
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
(2)已知集合M={-1,0,1,2},N={1,2,3,4},给出下列四个对应关系,请由函数的定义判断,其中能构成从集合M到集合N的函数的是 ( )
A.y=x B.y=x2
C.y=2|x| D.y=x3+1
变式 (1)[2025·山东聊城高一期末] 已知集合A=R,B=(0,+∞),则下列选项中是从集合A到集合B的函数的为 ( )
A.f(x)= B.f(x)=
C.f(x)=x3 D.f(x)=1
(2)[2025·陕西西安高一期末] 下列图形中,可以表示函数的为 ( )
A B C D
[素养小结]
(1)根据图象判断对应关系是否为函数的方法:
①作一条垂直于x轴的直线l;
②在x的取值范围内平移直线l;
③若直线l在平移的过程中与图象始终有且只有一个交点,则是函数,若没有交点或有两个或两个以上的交点,则不是函数.
(2)判断对应关系是否为函数的两个条件:
①A,B必须是非空实数集;
②A中任意一个元素在B中有且只有一个元素与之对应,对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系,“一对多”的不是函数关系.
◆ 探究点二 函数的定义域
例2 求下列函数的定义域:
(1)y=2-;
(2)y=;
(3)y=+.
变式 求下列函数的定义域:
(1)f(x)=;
(2)f(x)=+(x-3)0;
(3)f(x)=.
[素养小结]
求函数定义域的常用依据:
(1)若f(x)是分式,则分母不为零;
(2)若f(x)是偶次根式,则被开方数大于或等于零;
(3)若f(x)是由几个式子构成的,则函数的定义域要使各个式子都有意义;
(4)若f(x)是实际问题的解析式,则应符合实际问题,使实际问题有意义;
(5)定义域是一个集合,要用集合或区间表示,若用区间表示,不同区间应该用“∪”连接.
◆ 探究点三 抽象函数的定义域
[探索] 函数f(3x+1)的定义域是指“x”和“3x+1”谁的取值范围
例3 (1)已知函数f(x)的定义域为(-2,1),则函数f(2x-1)的定义域为 ( )
A. B.(-5,1)
C. D.(-2,1)
(2)已知y=f(x2-1)的定义域为[1,3],则y=f(2x-1)的定义域为 ( )
A. B.
C. D.
变式 (1)已知函数f(x)的定义域为[1,+∞),则f+f的定义域为 ( )
A. B.[2,4]
C.[1,+∞) D.
(2)[2025·陕西咸阳高一期中] 已知函数y=f(3x+2)的定义域为,则函数y=的定义域为 ( )
A.(1,5] B.[1,5]
C. D.(2,5]
[素养小结]
求抽象函数定义域的方法:
(1)当对应关系f所施加的对象与解析式中表述的对象不一致时,应将左、右两端统一,也可以用“换元法”,将较难配凑的式子化简.
(2)若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即得.若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b],则函数g(x)在x∈[a,b]时的取值范围即为所求函数f(x)的定义域.
◆ 探究点四 函数求值问题和简单函数的值域
例4 (1)已知f(x)=(x∈R且x≠-1),g(x)=x2+2(x∈R),h(x+1)=2x2-2x(x∈R).
①求f(2),g(2),h(2)的值;
②求f[g(3)]的值.
(2)求下列函数的值域:
①y=;②y=x+;
③y=x2-2x+3,x∈[0,3).
变式 (1)若f=+(x≠0),则f= ( )
A.1 B. C. D.
(2)已知f(x)=,则f(1)+f(2)+f+f(3)+f+f(4)+f= .
[素养小结]
(1)求函数值域的原则:
①先确定相应的定义域;
②再根据函数的具体形式通过运算确定其值域.
(2)求函数值域的常用方法:
①观察法:对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察法得到;
②配方法:求“二次函数”类值域的基本方法;
③换元法:运用新元代换,将所给函数化成值域易确定的函数,从而求得原函数的值域,对于f(x)=ax+b+(其中a,b,c,d为常数,且ac≠0)型的函数常用换元法;
④分离常数法:此方法主要是针对有理分式,即将有理分式转化为“反比例函数”类的形式,便于求值域.
◆ 探究点五 同一个函数的判断
例5 [2025·天津南开区高一期末] 下列函数中f(x)与g(x)是同一个函数的为 ( )
A.f(x)=x2,g(x)=()4
B.f(x)=x2,g(x)=
C.f(x)=,g(x)=x
D.f(x)=x-1,g(x)=-1
变式 下列各组函数是否表示同一个函数 为什么
(1)f(x)=|x|,φ(t)=;
(2)y=·,y=;
(3)y=,y=x-3.
[素养小结]
判断两个函数为同一个函数的条件:
(1)判断两个函数是同一个函数的准则是两个函数的定义域和对应关系分别相同,定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数,即使定义域与值域都相同,也不一定是同一个函数;
(2)函数是两个非空实数集之间的对应关系,所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的,另外,在化简解析式时,必须是等价变形.
1.若集合A={x|0≤x≤2},B={y|0≤y≤3},则下列图形给出的对应中能构成从A到B的函数的是 ( )
A B C D
2.下列函数中,值域为(0,+∞)的是 ( )
A.y= B.y=
C.y= D.y=x2+1
3.已知f(2x+1)=4x2+4x-5,则f(2)的值是 ( )
A.0 B.-2
C. D.4
4.下列选项中的两个函数表示同一个函数的是 ( )
A.f(x)=x与g(x)=()2
B.f(x)=2|x|与g(x)=
C.f(x)=与g(x)=|x-1|
D.f(x)=x0与g(x)=1
5.[2025·江苏苏州高一期中] 函数y=+-的定义域为 . 第三章 函数
3.1 函数的概念与性质
3.1.1 函数及其表示方法
第1课时 函数的概念
1.若函数f(x)的定义域为[0,3],则函数g(x)=的定义域为 ( )
A.(-1,1)∪(1,8]
B.[-1,1)∪(1,8]
C.[-2,-1)∪(-1,1)∪(1,2]
D.[-2,-1)∪(1,2]
2.[2025·湖北武汉高一期末] 已知集合A={x|0≤x≤4},B={y|0≤y≤2},下列对应关系中不能作为从A到B的函数的是 ( )
A.f为“乘二分之一”
B.f为“乘三分之一”
C.f为“乘三分之二”
D.f为“求平方根”
3.[2025·山西太原高一期中] 已知f(3x+1)=4x+3,则f(-2)= ( )
A.-5 B.-1 C.1 D.7
4.中文“函数”一词,最早是由清代数学家李善兰翻译而得,之所以这么翻译,他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者,则此为彼之函数”,也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化,下列选项中是同一个函数的是 ( )
A.f(x)=,g(x)=x
B.f(x)=x,g(x)=
C.f(x)=,g(x)=x-2
D.f(x)=x,g(x)=
5.[2025·四川遂宁高一期末] 已知M={x|0≤x≤2},N={0≤y≤2},给出下列四个图形,其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是( )
A B C D
6.[2025·四川成都高一期中] 定义在区间[-5,0]∪[2,6)上的函数r=f(p)的图象如图所示.若只有唯一的p与r对应,则r的取值范围为 ( )
A.[0,2)∪(5,+∞)
B.[-5,0]∪[2,6)
C.[2,5]
D.(2,5)
7.(多选题)下列对应关系是集合M={-2,2,4}到集合N={0,2,4,16}的函数的是 ( )
A.y=2x B.y=x+2
C.y=x2 D.y=|x|
8.已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),则函数F(x)=f(x+2)+的定义域为 .
9.[2025·安徽滁州高一期中] 设x∈R,函数INT(x)表示不超过x的最大整数,例如INT(-0.1)=-1,INT(2.8)=2.若函数f(x)=-1,则函数y=INT[f(x)]的值域是 .
10.(13分)已知f(x)=x2-4x+2.
(1)求f(2),f(a),f(a+1)的值;
(2)求函数f(x)的值域;
(3)若g(x)=x+1,求f[g(3)]的值.
11.[2024·福建福州高一期中] 已知函数y=x2-3x-4的定义域为[-1,m],值域为,则m的取值范围是 ( )
A.(0,4] B.
C. D.
12.已知函数f(x)满足f(1)=,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈R),则f(7)= ( )
A.- B.
C.- D.
13.已知函数f(x)的定义域为A={1,2,3,4,5,6},值域为B={7,8,9},且对任意的x14.(15分)[2024·江苏盐城高一期中] 为了增强生物实验课的趣味性,丰富生物实验教学内容,某校计划沿着围墙(足够长)划出一块面积为100平方米的矩形区域ABCD修建一个羊驼养殖场,规定ABCD的每条边长均不超过20米.如图所示,矩形EFGH为羊驼养殖区,且点A,B,E,F四点共线,阴影部分为1米宽的鹅卵石小径.设AB=x(单位:米),养殖区域EFGH的面积为S(单位:平方米).
(1)将S表示为x的函数,并写出x的取值范围.
(2)当AB为多长时,S取得最大值 并求出最大值.
15.规定符号*表示一种运算,且a*b=+a+b(a,b为正实数),1*k=3,则正整数k的值为 ,函数y=k*x的值域为 .
16.(15分)函数y=[x]为数学家高斯创造的取整函数,[x]表示不超过x的最大整数,如[-3.1]=-4,[2.1]=2.已知函数f(x)=+,求函数y=[f(x)]的值域.
