(共81张PPT)
3.1 函数的概念与性质
3.1.1 函数及其表示方法
第2课时 函数的表示方法
探究点一 函数的三种表示方法
探究点二 求函数的解析式
探究点三 函数图象的作法及应用
探究点四 函数图象的变换及应用
◆
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
课堂评价
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.在实际情境中，会根据不同需要选择恰当的方法（如图象法、
列表法、解析法）表示函数,理解函数图象的作用;
2.掌握求函数解析式的常用方法.
知识点 函数的表示方法
（1）解析法:用代数式（或解析式）来表示的，例如 ，
这种表示函数的方法称为解析法.
（2）列表法:用列表的形式给出了函数的对应关系，这种表示函数
的方法称为列表法.
（3）图象法:一般地，将函数,中的自变量 和对应的
函数值 ，分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标，则满足
条件的点组成的集合 称为函数的图象，即_________________
_________.
,
这就是说，如果是函数 的图象，则图象上______________
________都满足函数关系；反之，满足函数关系 的
点都在函数图象 上.用函数的图象表示函数的方法称为图象法.
任意一点的坐标
探究点一 函数的三种表示方法
例1 某商场新进了10台电视，每台售价3000元，试求售出台数 与收
款数 之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．
解：①列表法：
1 2 3 4 5
3000 6000 9000 12 000 15 000
6 7 8 9 10
18 000 21 000 24 000 27 000 30 000
②图象法：
③解析法：，,2,3， ， ．
变式 将一条长为 的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周
长围成正方形.试用列表法、图象法和解析法表示两个正方形的面积
之和（单位：）与其中一段铁丝长（单位：, ）的函
数关系.
解：这个函数的定义域为, .
①解析法:, ,
.
②列表法:
1 2 3 4 5 6 7 8 9
③图象法:
［素养小结］
应用函数三种表示方法应注意以下几点：
（1）解析法必须注明函数的定义域，解析法简明、全面地概括了变
量间的关系；
（2）列表法必须罗列出所有的自变量与函数值的对应关系，列表法
不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.
（3）图象法要注意所画图象是否连续，图象法能直观形象地表示出
因变量随自变量的变化情况.
探究点二 求函数的解析式
例2（1）已知，求 .
解：令，则 ，
所以，所以 .
（2）已知是一次函数，且满足 ，求
.
解：设，因为 ，所
以，即 ，
所以解得所以 .
（3）已知函数满足，求 .
解：,用替换，可得 ,联立①
②，可得 .
（4）已知,求 .
解：令,则,则 ,
所以 ,
所以 .
变式（1）已知是二次函数且 ，
，求 .
解：设，因为 ，
所以 ，
整理得，所以解得
所以 .
（2）已知,求 .
解：因为 ，
所以 .
（3）已知，求 .
解：设，则，，即 ，所以
，所以 .
（4）已知函数对于任意的都有 ，求
.
解：，用替换 ，可得
，联立①②可得 .
［素养小结］
求函数解析式的几种常用方法:
（1）待定系数法:当已知函数类型时,常用待定系数法.
（2）代入法:已知的解析式,求函数的解析式时,
可直接用替换中的.
（3）换元法:已知的解析式,求的解析式,可用换元
法,即令,反解出,然后代入中,求出,即得.
（4）构造方程组法:当同一个对应关系中的两个自变量之间有互为
相反数或者互为倒数关系时,通常构造方程组求解.
探究点三 函数图象的作法及应用
例3 作出下列函数的图象并求出其值域.
（1），,0,1， ;
解：列表:
0 1 3
2 0
①
函数的图象只是四个点，， ，
,如图①所示，其值域为，0，， .
（2）, ;
②
解：函数, 的图象是反比
例函数 的图象的一部分,如图②所示，
观察图象可知其值域为 .
例3 作出下列函数的图象并求出其值域.
（3） .
③
解：作出
的
图象，如图③所示，可得其值域为 .
例3 作出下列函数的图象并求出其值域.
变式 作出下列函数的图象，并根据图象求其值域.
（1）
2 4
1 2 3
解：该函数的图象如图①所示，由图可知其值域为,1,2, .
①
（2）， ；
②
解：作出函数，
的图象，如图②所示，由图象可知其值域
为 .
变式 作出下列函数的图象，并根据图象求其值域.
（3）或 ．
③
解： 或
的图象是函数 的图象的一
部分，如图③所示，由图象可知其值域为
.
变式 作出下列函数的图象，并根据图象求其值域.
［素养小结］
作函数图象的三个步骤:
（1）列表:取有代表性的的值,分别求出对应的的值,列成表格.
（2）描点:把表格中的一系列点在坐标平面上描出来.
（3）连线:若函数是连续的，则用平滑的曲线将这些点自左至右
连起来,即可得到函数的图象.
拓展 图中的图象所表示的函数的解析式为
( )
A.
B.
C.
D.
√
[解析] 当时，设 ，由图象过
点，得，所以 ；
当时，设 ，由图象过点
，，得
解得 所以 .
故图中图象所表示的函数的解析式为 .
故选B.
探究点四 函数图象的变换及应用
例4（1）已知函数 的图象如图所示，则
的大致图象为( )
A. B. C. D.
[解析] 将函数的图象先作关于 轴的对称变换得到函数
的图象，再将函数 的图象向右平移1个单位得到
的图象．故选A.
√
（2）函数 的图象的对称中心为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，所以将 的图象向上平移1个单
位得到的图象，又的图象关于点 对称，所以
的图象关于点 对称.故选B.
√
变式（1）函数 的大致图象是( )
A. B. C. D.
[解析] 方法一：的定义域为 ，排除C，D；当
时， ，排除B.故选A.
方法二: ，由函数图象的平移可知A正确.
√
（2）作出函数在区间 上的图象.
解：先作出二次函数的图象，
再把图象在 轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，
保留 轴上及其上方的图象，
并截取在区间 的部分，
即得函数在区间 上的
图象，如图中实线部分所示.
［素养小结］
图象变换应当注意：
（1）图象左右移动加减的是自变量，且不带系数与符号，图象上下
移动加减的是函数值；
（2）自变量的绝对值变换是左右翻折，函数值的绝对值变换是上下
翻折；
（3）若，则函数的图象关于直线对称.
函数图象的平移变换：
（1）左加右减：函数的图象沿轴向左 或向右
平移个单位得到函数 的图象.
（2）上加下减：函数的图象沿轴向上 或向下
平移个单位得到函数 的图象.
1.［2025·福建泉州高一期中］已知某等腰三角形的周长是4，底边长
是，腰长是，则关于 的函数可表示为( )
A. B.
C. D.
[解析] 由题得，则，由，可得 ，
，又， .故选B.
√
2.已知函数 的对应关系如下表所示，函数
的图象是如图所示的曲线，其中 ，
，，则 ( )
1 2 3
2 3 0
A.3 B.2 C.1 D.0
[解析] ， .故选B.
√
3.已知，则 ____________.
[解析] 令，则 ，
所以 ，
所以 .
4.已知函数 的图象如图所示，则
函数 的定义域是_____________，
值域是_______．
[解析] 由题图可知，函数 的定
义域是，值域是 .
5.已知函数，，则 ________
__.
[解析] 的定义域为
的定义域为，
所以的定义域为 ，
则 .
1.待定系数法
已知函数解析式的类型求其解析式时，通常利用待定系数法求解．
例1 已知二次函数的图象关于直线对称，且方程 的
两个实根的平方和为10，的图象过点，求 的解析式．
解：设，
函数 的图象关于直线对称，，即 .
的图象过点， .
由方程 的两个实根的平方和为10，
得，即 ，
由①②③可得，， ，
.
2.函数与方程法
在已知函数符号下含有可以对称代换的式子时，常用解方程（组）
法求其解析式．
例2 若，求 ．
解：由 ，
得 ，
联立①②消去得， .
3.函数图象的对称变换
（1） _______；
（2） _______；
（3） ________.
4.函数图象的翻折变换
（1） _______；
（2） _______.
例3 作出下列函数的大致图象：
（1） ；
解：，其图象可由函数
的图象先向右平移2个单位，再向上平移1个单
位得到，其图象如图所示.
（2） ；
解： ，先将函
数 的图象向左平移2个单位，再向上平移1个
单位得到的图象，然后保留 轴上
方的图象，把轴下方的图象翻折到 轴上方，
即得 的图象，图象如图中实线部分所示.
例3 作出下列函数的大致图象：
（3） ；
解： ，作出函数
的图象，保留 轴上方的图象，
把轴下方的图象翻折到 轴上方即可得到函
数 的图象，图象如图所示.
例3 作出下列函数的大致图象：
（4） .
解：先将函数 的图象向右平移2个单位
得到的图象，保留 轴右边的图象，
把轴右边的图象翻折到 轴左边，即可得到
函数 的图象，如图所示.
例3 作出下列函数的大致图象：
练习册
1.［2024·重庆九龙坡区高一期中］德国数学家狄利克雷在1837年时
提出：“如果对于的每一个值， 总有一个完全确定的值与之对应，
则是 的函数”，这个定义较清楚地说明了函数的内涵.只要有一个
法则，使得取值范围中的每一个值，有一个确定的 和它对应就行了，
不管这个对应的法则是公式、图象、表格或是其他形式.已知函数
由下表给出，则 的值为( )
1 2 3
A.0 B.1 C.2 D.3
[解析] 因为，所以，所以 .故选D.
√
2.已知定义在上的函数的值域为，则函数 的值
域为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为的定义域为，所以的定义域也为 ，
因为函数的图象是由函数 的图象向右平移得到的，
所以函数的值域与函数的值域相同，即为 .故选D.
√
3.已知函数，若，则
( )
A.1 B. C. D.0或1
[解析] 令，则 ，
所以，
由，得，
由 ，得，且，可得 .故选A.
√
4.下列函数中，对于定义域内的任意， 恒成立
的为( )
A. B. C. D.
[解析] 对于A，若 ，则 ，
故A正确．
对于B，若，则 ，
故B错误．
对于C，若，则 ，故C错误．
对于D，若，则 ，故D错误．
故选A.
√
★5.［2024·江苏扬州高一期中］函数 的大致图象是
( )
A. B. C. D.
[解析] 将 的图象向右平移1个单位，再向上平移一个单位，
即可得到函数 的图象.故选B.
√
［易错点］ 通过平移变换作函数图象时,要注意平移的方向与符号的
关系.
6.已知，为常数，若 ，
，则 ( )
A. B.2 C. D.
[解析] ，
，解得 或
故 .故选B.
√
7.（多选题）［2024·陕西宝鸡高一期末］ 下列结论中正确的是
( )
A.任意一个函数都可以用解析式表示
B.函数， 的图象是直线上一些孤立的点
C.下表可以表示是 的函数
D.如图可以表示函数 的图象
√
√
[解析] 对于A，并非所有函数都有解析式，故A错误；
对于B，函数，的图象是直线上的五个点
, ,,,，故B正确；
对于C，对于任意自变量 ，都有唯一的函数值与之对应，故C正确；
对于D，题图中对于任意自变量 ，并非都有唯一的函数值与之对应，
故D错误.故选 .
8.若函数的图象关于直线对称，则 ____.
[解析] 将的图象向右平移2个单位得到函数 的图象，
且该图象关于直线对称，所以 .
9.已知，，则
_ ___________.
[解析] ．
10.（13分）先画出下列函数的图象，再求出每个函数的值域.
（1），,0,1, ；
解：列表如下：
0 1 2
4 1 0 1
函数,,0,1, 的图象如图①所示.
①
该函数的值域为 .
（2）， ；
解：函数,的图象如图②所示.该函数的值域为 .
②
10.（13分）先画出下列函数的图象，再求出每个函数的值域.
（3）， ；
解：函数,的图象如图③所示.该函数的值域为 .
③
10.（13分）先画出下列函数的图象，再求出每个函数的值域.
（4）， .
解：函数,的图象如图④所示.该函数的值域为 .
④
10.（13分）先画出下列函数的图象，再求出每个函数的值域.
11.已知，则函数 的解析式为( )
A. B.
C. D.
[解析] 设，则 ，
则 ，
所以 .故选C.
√
12.（多选题）已知函数 ，则下列说法正确的是( )
A.函数的定义域为
B.函数在区间上的取值范围为
C.函数的图象关于点 对称
D.把 的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位，可以得到
函数 的图象
√
√
√
[解析] 因为，所以，解得 ，
所以函数的定义域为，故A正确；
将 的图象向左平移1个单位得到的图象，再将 的图
象向上平移2个单位得到的图象，故D错误；
因为 的图象关于点对称，所以的图象关于点 对称，
故C正确；
函数在区间上的取值范围为，故B正确.故选 .
13.如图所示，函数 的图象是折线段
，其中，，的坐标分别为 ，
，，则 ___，不等式
的解集为______.
[解析] 由题图知，则.
在区间 上，函数的图象在直线的下方，
即 ，故不等式的解集为 .
14.（15分）已知函数 .
（1）当时，求 的值域；
解：当时， ，所以
的值域为 .
（2）若的定义域为，求实数 的值；
解：因为的定义域为，所以和1是关于 的方程
的两个根，
故,，可得 ，经检验符合题意，故
.
14.（15分）已知函数 .
（3）若的定义域为，求实数 的取值范围.
解：当时，，定义域为 ，符合题意；
当时，，定义域不为 ，不符合题意；
当时，由题意，在 上恒
成立，则解得 .
综上所述，实数的取值范围为 .
14.（15分）已知函数 .
15.已知，表示，中较小的值，若， ，
则 的值域是( )
A. B. C. D.
[解析] 作出函数 的图象如图中实线部分所示，
由，解得，因为 ，所以
，即函数的值域是 .故选B.
√
16.（15分）已知二次函数满足 ，且
．
（1）求函数在区间 上的取值范围；
解：设 ,则
，
所以解得
因为,所以，所以 .
根据二次函数的性质可知，在区间上的取值范围为 .
（2）当时，直线与函数 的图象没有交点，
求实数 的取值范围．
解：由（1）得,，因为直线 与函
数的图象没有交点，所以 恒成立.因
为，所以,解得 ，故
实数的取值范围为 .
16.（15分）已知二次函数满足 ，且
．
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点 , 任意一点的坐标
课中探究 探究点一 例1 略 变式 略
探究点二 例2 （1） （2）
（3） （4）
变式 （1）（2）（3）
探究点三 例3 略 变式 略 拓展 B
探究点四 （1）A （2）B 变式 （1）A （2）略
课堂评价 1.B 2.B 3. 4. 5.
备用习题 例1 例2
3.（1） （2） （3）
4.（1） （2） 例3 略
快速核答案（练习册）
基础巩固
1.D 2.D 3.A 4.A 5.B 6.B 7.BC 8. 9. 10.略
综合提升
11.C 12.ABC 13. 14.（1） （2） （3） >
思维探索
15.B （2）
第2课时 函数的表示方法
1.D [解析] 因为≤1,所以f=1,所以f=f(10)=3.故选D.
2.D [解析] 因为f(x)的定义域为R,所以f(x-2)的定义域也为R,因为函数y=f(x-2)的图象是由函数y=f(x)的图象向右平移得到的,所以函数f(x)的值域与函数f(x-2)的值域相同,即为[-2,3].故选D.
3.A [解析] 令2x-1=t,则x=,所以f(t)=-+1=t2+,由x>0,得t>-1,由f(a)=1,得a>-1,且a2+=1,可得a=1.故选A.
4.A [解析] 对于A,若f(x)=x+1,则f(x+1)=(x+1)+1=f(x)+1,故A正确.对于B,若f(x)=-x2,则f(x+1)=-(x+1)2≠f(x)+1,故B错误.对于C,若f(x)=,则f(x+1)=≠f(x)+1,故C错误.对于D,若f(x)=|x|,则f(x+1)=|x+1|≠f(x)+1,故D错误.故选A.
5.B [解析] 将y=-的图象向右平移1个单位,再向上平移一个单位,即可得到函数y=1-的图象.故选B.
[易错点] 通过平移变换作函数图象时,要注意平移的方向与符号的关系.
6.B [解析] ∵f(x)=x2+4x+3,∴f(ax+b)=(ax+b)2+4(ax+b)+3=a2x2+(2ab+4a)x+b2+4b+3=x2+10x+24,∴解得或故5a-b=2.故选B.
7.BC [解析] 对于A,并非所有函数都有解析式,故A错误;对于B,函数y=x,x∈{1,2,3,4,5}的图象是直线y=x上的五个点(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),故B正确;对于C,对于任意自变量x,都有唯一的函数值y与之对应,故C正确;对于D,题图中对于任意自变量x,并非都有唯一的函数值y与之对应,故D错误.故选BC.
8.-2 [解析] 将y=|x|的图象向右平移2个单位得到函数y=|x-2|的图象,且该图象关于直线x=2对称,所以a=-2.
9.(x≠0) [解析] f[g(x)]==(x≠0).
10.解:(1)列表如下:
x -1 0 1 2
y 4 1 0 1
函数y=(x-1)2,x∈{-1,0,1,2}的图象如图①所示.
该函数的值域为{0,1,4}.
①
(2)函数y=x2,x∈[1,2)的图象如图②所示.该函数的值域为[1,4).
②
(3)函数y=,x∈[1,3)的图象如图③所示.该函数的值域为.
③
(4)函数y=,x≥0的图象如图④所示.该函数的值域为[0,+∞).
④
11.C [解析] 设+1=t(t≥1),则x=(t-1)2(t≥1),则f(t)=(t-1)2+2=t2-2t+3(t≥1),所以f(x)=x2-2x+3(x≥1).故选C.
12.ABC [解析] 因为f(x)==2+,所以x+1≠0,解得x≠-1,所以函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞),故A正确;将y=的图象向左平移1个单位得到y=的图象,再将y=的图象向上平移2个单位得到f(x)=2+的图象,故D错误;因为y=的图象关于点(0,0)对称,所以f(x)的图象关于点(-1,2)对称,故C正确;函数f(x)在区间[1,2]上的取值范围为,故B正确.故选ABC.
13.0 (1,4) [解析] 由题图知f(4)=2,则f[f(4)]=f(2)=0.在区间(1,4)上,函数y=f(x)的图象在直线y=2的下方,即f(x)<2,故不等式f(x)<2的解集为(1,4).
14.解:(1)当a=0时,f(x)==≥,所以f(x)的值域为.
(2)因为f(x)的定义域为[-2,1],所以-2和1是关于x的方程(1-a2)x2+3(1-a)x+6=0的两个根,
故-2+1=,-2×1=,可得a=2,经检验符合题意,故a=2.
(3)当a=1时,f(x)=,定义域为R,符合题意;
当a=-1时,f(x)=,定义域不为R,不符合题意;
当1-a2≠0时,由题意,(1-a2)x2+3(1-a)x+6≥0在R上恒成立,
则解得-≤a<1.
综上所述,实数a的取值范围为.
15.B [解析] 作出函数f(x)的图象如图中实线部分所示,由6-x=x,解得x=3,因为f(3)=3,所以f(x)≤3,即函数f(x)的值域是(-∞,3].故选B.
16.解:(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f(x+1)-f(x)=2ax+a+b=2x,
所以解得
因为f(0)=1,所以c=1,所以f(x)=x2-x+1.
根据二次函数的性质可知,f(x)在区间[-1,1]上的取值范围为.
(2)由(1)得,y=f(x)-3x=x2-4x+1,因为直线y=-d与函数y=f(x)-3x的图象没有交点,所以x2-4x+1>-d恒成立.因为x2-4x+1=(x-2)2-3≥-3,所以-d<-3,解得d>3,故实数d的取值范围为(3,+∞).第2课时 函数的表示方法
【学习目标】
1.在实际情境中,会根据不同需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数,理解函数图象的作用;
2.掌握求函数解析式的常用方法.
◆ 知识点 函数的表示方法
(1)解析法:用代数式(或解析式)来表示的,例如f(x)=2x+1,这种表示函数的方法称为解析法.
(2)列表法:用列表的形式给出了函数的对应关系,这种表示函数的方法称为列表法.
(3)图象法:一般地,将函数y=f(x),x∈A中的自变量x和对应的函数值y,分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标,则满足条件的点(x,y)组成的集合F称为函数的图象,即 .
这就是说,如果F是函数y=f(x)的图象,则图象上 都满足函数关系y=f(x);反之,满足函数关系y=f(x)的点(x,y)都在函数图象F上.用函数的图象表示函数的方法称为图象法.
◆ 探究点一 函数的三种表示方法
例1 某商场新进了10台电视,每台售价3000元,试求售出台数x与收款数y之间的函数关系,分别用列表法、图象法、解析法表示出来.
变式 将一条长为10 cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长围成正方形.试用列表法、图象法和解析法表示两个正方形的面积之和S(单位:cm2)与其中一段铁丝长x(单位:cm,x∈N*)的函数关系.
[素养小结]
应用函数三种表示方法应注意以下几点:
(1)解析法必须注明函数的定义域,解析法简明、全面地概括了变量间的关系;
(2)列表法必须罗列出所有的自变量与函数值的对应关系,列表法不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.
(3)图象法要注意所画图象是否连续,图象法能直观形象地表示出因变量随自变量的变化情况.
◆ 探究点二 求函数的解析式
例2 (1)已知f(x+1)=2x2-x+3,求f(x).
(2)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-f(x)=2x+9,求f(x).
(3)已知函数f(x)满足2f(x)+f=x,求f(x).
(4)已知f(-1)=x+2,求f(x).
变式 (1)已知f(x)是二次函数且f(0)=2,f(x+1)-f(x)=x-1,求f(x).
(2)已知f=x2++1,求f(x).
(3)已知f(+2)=x+4,求f(x).
(4)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)-2f(-x)=1+2x,求f(x).
[素养小结]
求函数解析式的几种常用方法:
(1)待定系数法:当已知函数类型时,常用待定系数法.
(2)代入法:已知y=f(x)的解析式,求函数y=f[g(x)]的解析式时,可直接用g(x)替换y=f(x)中的x.
(3)换元法:已知y=f[g(x)]的解析式,求y=f(x)的解析式,可用换元法,即令g(x)=t,反解出x,然后代入y=f[g(x)]中,求出f(t),即得f(x).
(4)构造方程组法:当同一个对应关系中的两个自变量之间有互为相反数或者互为倒数关系时,通常构造方程组求解.
◆ 探究点三 函数图象的作法及应用
例3 作出下列函数的图象并求出其值域.
(1)y=-x,x∈{-2,0,1,3};
(2)y=,x∈[2,+∞);
(3)y=2x2-4x-3(0≤x<3).
变式 作出下列函数的图象,并根据图象求其值域.
(1)
x -4 -2 2 4
y 1 -3 2 3
(2)y=-,x∈(-3,0)∪(0,1];
(3)y=x2-2x(x>1或x<-1).
[素养小结]
作函数图象的三个步骤:
(1)列表:取有代表性的x的值,分别求出对应的f(x)的值,列成表格.
(2)描点:把表格中的一系列点(x,f(x))在坐标平面上描出来.
(3)连线:若函数f(x)是连续的,则用平滑的曲线将这些点自左至右连起来,即可得到函数的图象.
拓展 图中的图象所表示的函数的解析式为 ( )
A.y=|x-1|(0≤x≤2)
B.y=-|x-1|(0≤x≤2)
C.y=-|x-1|(0≤x≤2)
D.y=1-|x-1|(0≤x≤2)
◆ 探究点四 函数图象的变换及应用
例4 (1)已知函数y=f(x)的图象如图所示,则y=f(1-x)的大致图象为 ( )
A B C D
(2)函数f(x)=的图象的对称中心为( )
A.(0,0) B.(0,1)
C.(1,0) D.(1,1)
变式 (1)函数y=的大致图象是 ( )
A B
C D
(2)作出函数f(x)=|x2-4x-5|在区间[-2,6]上的图象.
[素养小结]
图象变换应当注意:
(1)图象左右移动加减的是自变量,且不带系数与符号,图象上下移动加减的是函数值;
(2)自变量的绝对值变换是左右翻折,函数值的绝对值变换是上下翻折;
(3)若f(a-x)=f(a+x),则函数f(x)的图象关于直线x=a对称.
函数图象的平移变换:
(1)左加右减:函数y=f(x)的图象沿x轴向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位得到函数y=f(x+a)的图象.
(2)上加下减:函数y=f(x)的图象沿y轴向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位得到函数y=f(x)+b的图象.
1.[2025·福建泉州高一期中] 已知某等腰三角形的周长是4,底边长是x,腰长是y,则y关于x的函数可表示为 ( )
A.y=4-2x(0B.y=(0C.y=4-2x(1D.y=(02.已知函数y=f(x)的对应关系如下表所示,函数y=g(x)的图象是如图所示的曲线ABC,其中A(1,3),B(2,1),C(3,2),则f[g(2)]= ( )
x 1 2 3
f(x) 2 3 0
A.3 B.2 C.1 D.0
3.已知f(x+1)=x2-3x+2,则f(x)= .
4.已知函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的定义域是 ,值域是 .
5.已知函数f(x)=x,g(x)=,则f(x)·g(x)= . 第2课时 函数的表示方法
1.[2024·重庆九龙坡区高一期中] 德国数学家狄利克雷在1837年时提出:“如果对于x的每一个值,y总有一个完全确定的值与之对应,则y是x的函数”,这个定义较清楚地说明了函数的内涵.只要有一个法则,使得取值范围中的每一个值,有一个确定的y和它对应就行了,不管这个对应的法则是公式、图象、表格或是其他形式.已知函数f(x)由下表给出,则f的值为 ( )
x x≤1 1y 1 2 3
A.0 B.1 C.2 D.3
2.已知定义在R上的函数f(x)的值域为[-2,3],则函数f(x-2)的值域为 ( )
A.[-4,1] B.[0,5]
C.[-4,0]∪[1,5] D.[-2,3]
3.已知函数f(2x-1)=x2-x+1(x>0),若f(a)=1,则a= ( )
A.1 B.-1
C.±1 D.0或1
4.下列函数中,对于定义域内的任意x,f(x+1)=f(x)+1恒成立的为 ( )
A.f(x)=x+1 B.f(x)=-x2
C.f(x)= D.f(x)=|x|
★5.[2024·江苏扬州高一期中] 函数y=1-的大致图象是 ( )
A B C D
6.已知a,b为常数,若f(x)=x2+4x+3,f(ax+b)=x2+10x+24,则5a-b= ( )
A.-3 B.2 C.-8 D.-2
7.(多选题)[2024·陕西宝鸡高一期末] 下列结论中正确的是 ( )
A.任意一个函数都可以用解析式表示
B.函数y=x,x∈{1,2,3,4,5}的图象是直线上一些孤立的点
C.下表可以表示y是x的函数
x 有理数 无理数
y 1 -1
D.如图可以表示函数y=f(x)的图象
8.若函数y=|x+a|的图象关于直线x=2对称,则a= .
9.已知f(x)=(x≠-1),g(x)=x2-1(x∈R),则f[g(x)]= .
10.(13分)先画出下列函数的图象,再求出每个函数的值域.
(1)y=(x-1)2,x∈{-1,0,1,2};
(2)y=x2,x∈[1,2);
(3)y=,x∈[1,3);
(4)y=,x≥0.
11.已知f(+1)=x+2,则函数f(x)的解析式为 ( )
A.f(x)=x2
B.f(x)=x2+1(x≥1)
C.f(x)=x2-2x+3(x≥1)
D.f(x)=x2-2x+2(x≥1)
12.(多选题)已知函数f(x)=,则下列说法正确的是 ( )
A.函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞)
B.函数f(x)在区间[1,2]上的取值范围为
C.函数f(x)的图象关于点(-1,2)对称
D.把y=的图象向右平移1个单位,再向上平移2个单位,可以得到函数f(x)的图象
13.如图所示,函数y=f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则f[f(4)]= ,不等式f(x)<2的解集为 .
14.(15分)已知函数f(x)=.
(1)当a=0时,求f(x)的值域;
(2)若f(x)的定义域为[-2,1],求实数a的值;
(3)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围.
15.已知min{a,b}表示a,b中较小的值,若f(x)=min{6-x,x},则f(x)的值域是 ( )
A.(-∞,2] B.(-∞,3]
C.[0,2] D.[2,+∞)
16.(15分)已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.
(1)求函数f(x)在区间[-1,1]上的取值范围;
(2)当x∈R时,直线y=-d与函数y=f(x)-3x的图象没有交点,求实数d的取值范围.第2课时 函数的表示方法
【课前预习】
知识点
(3)F={(x,y)|y=f(x),x∈A} 任意一点的坐标(x,y)
【课中探究】
例1 解:①列表法:
x 1 2 3 4 5
y 3000 6000 9000 12 000 15 000
x 6 7 8 9 10
y 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000
②图象法:
③解析法:y=3000x,x∈{1,2,3,…,10}.
变式 解:这个函数的定义域为{x|1≤x<10,x∈N*}.
①解析法:S=+=x2-x+,x∈{x|1≤x<10,x∈N*}.
②列表法:
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
S
③图象法:
例2 解:(1)令t=x+1,则x=t-1,
所以f(t)=2(t-1)2-(t-1)+3=2t2-4t+2-t+1+3=2t2-5t+6,所以f(x)=2x2-5x+6.
(2)设f(x)=ax+b(a≠0),因为3f(x+1)-f(x)=2x+9,所以3a(x+1)+3b-ax-b=2x+9,即2ax+3a+2b=2x+9,所以解得所以f(x)=x+3.
(3)2f(x)+f=x①,用替换x,可得 2f+f(x)=②,联立①②,可得f(x)=x-(x≠0).
(4)令t=-1,则t≥-1,则=t+1,
所以f(t)=(t+1)2+2(t+1)=t2+4t+3(t≥-1),
所以f(x)=x2+4x+3(x≥-1).
变式 解:(1)设f(x)=ax2+bx+2(a≠0),因为f(x+1)-f(x)=x-1,所以a(x+1)2+b(x+1)+2-(ax2+bx+2)=x-1,整理得2ax+a+b=x-1,所以解得所以f(x)=x2-x+2.
(2)因为f=x2++1=+3,所以f(x)=x2+3(x≠0).
(3)设t=+2,则t≥2,=t-2,即x=(t-2)2,所以f(t)=(t-2)2+4(t-2)=t2-4,所以f(x)=x2-4(x≥2).
(4)f(x)-2f(-x)=1+2x①,用-x替换x,可得f(-x)-2f(x)=1-2x②,联立①②可得f(x)=x-1.
例3 解:(1)列表:
x -2 0 1 3
y 2 0 -1 -3
函数的图象只是四个点(-2,2),(0,0),(1,-1),(3,-3),如图①所示,其值域为{2,0,-1,-3}.
(2)函数y=,x∈[2,+∞)的图象是反比例函数y=的图象的一部分,如图②所示,观察图象可知其值域为(0,1].
(3)作出y=2x2-4x-3=2(x-1)2-5(0≤x<3)的图象,如图③所示,可得其值域为[-5,3).
① ② ③
变式 解:(1)该函数的图象如图①所示,由图可知其值域为{-3,1,2,3}.
(2)作出函数y=-,x∈(-3,0)∪(0,1]的图象,如图②所示,由图象可知其值域为(-∞,-4]∪.
(3)y=x2-2x=(x-1)2-1(x>1或x<-1)的图象是函数y=x2-2x的图象的一部分,如图③所示,由图象可知其值域为(-1,+∞).
② ③
拓展 B [解析] 当0≤x≤1时,设f(x)=kx,由图象过点,得k=,所以f(x)=x;当1≤x≤2时,设f(x)=mx+n,由图象过点,(2,0),得
解得 所以f(x)=-x+3.故图中图象所表示的函数的解析式为y= -|x-1|(0≤x≤2).故选B.
例4 (1)A (2)B [解析] (1)将函数y=f(x)的图象先作关于y轴的对称变换得到函数y=f(-x)的图象,再将函数y=f(-x)的图象向右平移1个单位得到y=f(1-x)的图象.故选A.
(2)因为f(x)==1+,所以将y=的图象向上平移1个单位得到y=1+的图象,又y=的图象关于点(0,0)对称,所以f(x)=1+的图象关于点(0,1)对称.故选B.
变式 (1)A [解析] 方法一:y=的定义域为{x|x≠-1},排除C,D;当x=0时,y=0,排除B.故选A.
方法二:y==1-,由函数图象的平移可知A正确.
(2)解:先作出二次函数y=x2-4x-5的图象,再把图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方,保留x轴上及其上方的图象,并截取在区间[-2,6]的部分,
即得函数f(x)=|x2-4x-5|在区间[-2,6]上的图象,如图中实线部分所示.
【课堂评价】
1.B [解析] 由题得2y+x=4,则y=,由2y>x,可得4-x>x,∴x<2,又x>0,∴y=(02.B [解析] ∵g(2)=1,∴f[g(2)]=f(1)=2.故选B.
3.x2-5x+6 [解析] 令t=x+1,则x=t-1,所以f(t)=(t-1)2-3(t-1)+2=t2-5t+6,所以f(x)=x2-5x+6.
4.[-3,0]∪[1,4] [-2,2] [解析] 由题图可知,函数y=f(x)的定义域是[-3,0]∪[1,4],值域是[-2,2].
5.x(x>1) [解析] f(x)=x的定义域为[1,+∞),g(x)=的定义域为(1,+∞),所以f(x)·g(x)的定义域为(1,+∞),则f(x)·g(x)=x·=x(x>1).
