(共91张PPT)
3.1 函数的概念与性质
3.1.2 函数的单调性
第1课时 单调性的定义与证明、函数的最值
探究点一 由函数图象判断函数的单调性
或单调区间
探究点二 函数单调性的判断及证明
探究点三 函数单调性的应用
◆
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
课堂评价
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.理解函数单调性的定义，会运用函数的图象理解和研究函数的
单调性；
2.会用函数单调性的定义判断（或证明）一些函数的单调性，会
求具体函数的单调区间；
3.理解函数的最大值和最小值的概念，能借助函数的图象和单调
性求简单函数的最值.
知识点一 增函数与减函数
1.定义
增函数 减函数
条 件
结 论
增函数 减函数
图 示 _________________________________________________ _________________________________________________
两种情况下，都称函数在区间上具有单调性（区间 称为函数的
__________，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间）.
单调区间
续表
2.特殊函数单调性的判断
（1）函数当时，函数在 上是增函数；当
时，函数在 上是________.
（2）函数当时，函数在区间, 上
单调______；当时，函数在区间, 上单调递增.
（3）函数当时， 在
上单调递减，在上单调递增；当时，
在上单调递增，在 上单调递减.
减函数
递减
【诊断分析】
（1）在增函数和减函数的定义中，能否把“，”改为“ ，
”？
解：不能.如函数，虽然，但在 上
不是单调函数.
（2）如果函数在其定义域内的两个子区间， 上都是增函数，
那么在 上也是增函数吗？
解：不一定．如函数在区间和 上都是增函数，
但在区间 上不是增函数.
（3）所有的函数在定义域上都具有单调性吗？
解：不是，如 在定义域上就没有单调性.
知识点二 函数的最大（小）值及几何意义
最大值 最小值
条件
结论
统称 最大值和最小值统称为______ 最大值点和最小值点统称为________
最值
最值点
【诊断分析】
（1）函数总成立，的最小值是 吗？
解：不是.总成立，但不存在使 ，所
以的最小值不是 .
（2）有位同学说：“因为，所以 的最大值是
.”这个说法对吗？
解：不对.因为对于任意， 并不总成立，所以
的最大值不是 .
知识点三 求函数最值的常用方法
（1）图象法：作出 的图象，观察最高点与最低点，最高
（低）点的纵坐标即为函数的最大（小）值.
（2）运用已学函数的值域.
（3）运用函数的单调性：
①若函数在区间上是增函数，则 的最大值为_____，
最小值为_____.
②若函数在区间上是减函数，则 的最大值为_____，
最小值为_____.
③若函数是定义在区间或 上的连续函数，则函数
的最大（小）值要根据具体函数而定.
（4）分段函数的最大（小）值是指各段上的最大（小）值中的最大
（小）的那个.
【诊断分析】
（1）二次函数 的最值是什么？常用哪些
方法求二次函数的最值.
解：当时，函数的最小值为，无最大值；当 时，
函数的最大值为 ，无最小值.
可利用函数的单调性求最值，也可以用公式法、配方法或图象法求
函数的最值.
（2）要确定在 上的最值，需要先确定什么？
解：需先确定该函数在 上的单调性或画出函数图象，从而确
定函数的最值.
（3）函数 在定义域内的一个区间上具有单调性，那么这个函数
在这个区间上一定有最大（或最小）值吗？
解：不一定，如在 上单调递减，但没有最值，又如
在 上单调递增，但没有最值.
探究点一 由函数图象判断函数的单调性或单调区间
例1（1）已知函数在区间上的图象如图所示，
则函数 的单调递减区间是____________，
单调递增区间是_____________.
,
,
[解析] 由题图可知,函数 的单
调递减区间是, ,单调递
增区间是, .
（2）作出函数 的图象，并根据图象写出函数
的单调区间.
解：
根据解析式可作出函数的图象如图所示，
由图可知，
函数 的单调递增区间为， ，
单调递减区间为， .
变式（1）用表示,的较小者，记为 ,
，若,，则 的单调递减区
间为_______.
[解析] 根据函数解析式可作出函数
， 的图象如图所示，
的图象为实线部分，由图知，
的单调递减区间为 .
（2）已知函数 的图象如图所示.
①根据函数图象，写出 的单调区间；
解：①由图象知，函数的单调递减区间
为，
单调递增区间为 ， .
解：②若在 上单调递增，
则或，解得 或，
故实数 的取值范围是 .
②若在上单调递增，求实数 的取值范围.
（2）已知函数 的图象如图所示.
［素养小结］
求函数的单调区间时，若所给函数是常见的一次函数、二次函数、
反比例函数等，可根据其单调性写出函数的单调区间，若函数不是
上述函数且函数图象容易作出，可作出其图象，根据图象写出其单
调区间.
探究点二 函数单调性的判断及证明
例2 讨论在 上的单调性.
解：任取,，且 ,则
.
，，，， ．
①若，则， ，
即，在 上单调递增．
②若，则当时， ，
，即，在 上单调递减；
当时，， ，即
，在 上单调递增．
综上可知，当时，在上单调递增；当
时，在上单调递减，在 上单调递增.
变式（1）求证：函数在区间 上单调递增.
证明：任取，，且 ，
则 ，
因为，且，，所以， ，
所以，即 ，
故函数在区间 上单调递增.
（2）讨论函数在 上的单调性．
解：当时，，则在 上不具有单调性.当
时，任取,，且 ，
则 ，
因为，，且，所以， ，
，所以.
当时， ，
即，所以在上单调递减；
当 时，，即 ，
所以在上单调递增．
综上，当时，在 上不具有单调性；
当时，在上单调递减；
当 时，在 上单调递增．
［素养小结］
证明函数
在区间
上的单调性应遵循以下步骤：
（1）任取：任取
，
，且
;
（2）作差：将函数值
，
作差;
（3）变形：将上述差式变形（因式分解、配方等）;
（4）判号：对上述变形结果的正负加以判定;
（5）定论：根据定义得出
的单调性.
拓展 ［2025·陕西西安高一期中］ 已知函数对任意的, ，
都有，且当时， .判断
函数 的单调性并证明.
解：函数在
上单调递增，证明如下：
由，可得 ，
当时，, ，
令,，则有，所以 ，
所以函数在 上单调递增.
探究点三 函数单调性的应用
角度1 应用单调性比较大小
例3 已知函数在区间上是减函数，试比较
与 的大小.
解：，
与 都在区间上.
又在区间 上是减函数， .
变式（1）［2025·贵州贵阳高一期中］已知函数 满足对任意的
,， 恒成立，则( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为函数满足对任意的， ，
恒成立，所以函数是定义在 上
的增函数，所以 .故选A.
√
（2）定义在上的函数满足 ，且
，则使成立的 的取值范围是______．
[解析] 因为，且, ，
所以.
令， ，则原不等式为，
所以函数在上单调递减.由 ，得，
又，所以，可得 ，
所以使成立的的取值范围是 .
［素养小结］
利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在比较函数值的
大小时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上.
角度2 应用单调性求解不等式
例4 已知函数为定义在上的增函数，则满足
的实数 的取值范围为_______．
[解析] 由题知解得 .
变式 ［2025·湖南邵阳高一期中］ 已知函数对任意, ，
总有.若存在 使得不等式
成立，则实数 的取值范围是______________
_________.
[解析] 因为函数对任意, ，
总有，所以在 上单调递增.
若存在使得不等式成立，
则存在 使得成立，
即存在使得 ，则，
解得或，故实数 的取值范围是 .
［素养小结］
利用函数的单调性解不等式的方法：
若
在
上是增函数，且
,则
若
在
上是减函数，且
，则
注意：①不等式两边化为同名函数的不同函数值；②自变量必须化
到同一个单调区间上，若转化不了，就进行讨论.
角度3 应用单调性求解参数范围
例5（1）［2025·湖南株洲高一期中］若函数 在区间
上单调递减，则实数 的取值范围是__________.
[解析] 函数的单调递减区间为 ，
因为函数在区间上单调递减，
所以 ，所以，解得，
所以实数的取值范围是 .
（2）已知函数 且满足对任意的实数
都有，则实数 的取值范围是______.
[解析] 因为对任意的实数都有 ，
即，所以在 上单调递减，
所以解得，故实数的取值范围是 .
变式 已知函数
若对任意，，都有，则实数 的取值
范围为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为对任意,，都有 ，
所以是上的减函数，所以
解得 .故选D.
√
［素养小结］
（1）已知函数的单调性求参数的取值范围的方法：视参数为已知数，
依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单
调区间比较求参数.
（2）求分段函数单调性问题要保证两点：一是各段单调，二是“节
点”单调.
角度4 应用单调性求最值
例6 已知函数 .
（1）求证：在 上是增函数；
证明：任取 ，
则 ，
因为，所以， ，
所以，即 ，
所以在 上是增函数．
（2）求在 上的最大值及最小值．
解：由（1）可知在上是增函数，
所以当时， 取得最小值，最小值为，
当时， 取得最大值，最大值为.
所以在上的最大值是 ，最小值是2.
变式 若，则 的( )
A.最大值为6 B.最小值为 C.最大值为 D.最小值为2
[解析] 任取 ，则
，因为，所以 ，
，所以，所以 ，即
，所以在上单调递增；同理可证 在
上单调递减，所以的最大值为 .故选C.
√
［素养小结］
（1）利用单调性求最值的一般步骤：
①判断函数的单调性；②利用单调性写出最值.
（2）求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定
有最大（小）值.
1.［2025·陕西西安高一期中］函数在 上的最小值
为( )
A.2 B. C. D.3
[解析] 因为在上单调递减，
所以函数在 上的最小值为 .故选B.
√
2.若函数在上是增函数,则实数 的取值
范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为在 上是增函数，
所以解得 .故选D.
√
3.（多选题）下列函数中，在区间 上是增函数的是( )
A. B. C. D.
[解析] 借助函数图象可知，，， 在
上都是增函数，在上为减函数．故选 .
√
√
√
4.已知函数有最小值，则实数 的取值
范围是________.
[解析] 当时， ，则在 上的最
小值为.
当时，，当 时，，
此时在上有最小值;当时，要满足在
上有最小值，需 解得 .
综上，实数的取值范围是 .
5.［2025·重庆巴南区高一期中］已知函数
（1）画出函数 的图象；
解：函数 的图象如图所示.
（2）写出函数 的单调区间.
解：由图可知，的单调递减区间为和 ，
单调递增区间为和 .
1.利用图象判断函数的单调区间与最值
单调性反映在图象上，图象在区间 上的部分从左到右是上升
（下降）的，说明函数在区间 上单调递增（单调递减），若单调
增（或减）区间不唯一，则各个区间之间不能用“ ”.
函数最大值的几何意义是函数图象最高点的纵坐标，函数最小值的
几何意义是函数图象最低点的纵坐标．
例1 如图所示的是定义在区间
上的函数 的图象，该函数的
单调递增区间为_____________．
，
[解析] 函数在区间和
上的图象呈上升趋势，故函数在这两
个区间上单调递增，故函数的单调递增区间是， ．
2.利用函数单调性的定义求参数的取值范围
可利用函数单调性的定义，建立关于参数的不等式（组）或方程，
同时注意利用数形结合的思想，运用逆向思维思考问题．
解：设，则 .因为函数在 上是增函数，
所以 ，因为，所以，即 .
因为， ，所以，所以 .
故实数的取值范围是 ．
例2 已知函数在上是增函数，求实数 的取
值范围．
3.利用函数的单调性解不等式
利用函数单调性的定义解决某些不等式问题.
例3（1）［2025· 江苏镇江高一期末］已知函数
是增函数，则实数 的取值范围为
( )
A. B. C. D.
[解析] 因为函数 是增函数，所以
解得 .故选C.
√
（2）若函数在定义域 上单调递增，且
，则实数 的取值范围是________．
[解析] 函数在定义域 上单调递增，且
，解得.故实数
的取值范围是 .
4.利用单调性求函数最值
利用单调性求函数的最值的步骤为：
第一步，利用函数单调性的定义判断函数在所给定义域内的单调性．
第二步，根据单调性确定函数的最大值、最小值．
例4（1）设函数，若存在实数, ，使
在上的值域为，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 由得，由复合函数的单调性可知函数 为
减函数，故， .
由得 ，即
，则 .
由得 .
√
记，，则， ，
，则
，
又因为, ，且,均为非负数，所以，
故当时，取到最大值 ，但取不到最小值，
所以实数的取值范围是 .故选A.
（2）［2025·四川成都高一期末］函数 在
上既没有最大值也没有最小值，则实数 的取值范围是
( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 函数的图象的对称轴为直线 ，
由题得函数在区间上单调，则或 ，
解得或，又，即，所以 或
，所以实数的取值范围是 .故选C.
练习册
1.［2025·浙江绍兴高一期中］“函数在区间 上不是增函数”
的一个充要条件是( )
A.存在，，使得且
B.存在，，使得且
C.存在，使得
D.存在，使得
√
[解析] 若函数在区间上是增函数，则任意, ，
使得且，则若函数在区间 上不是增函数，
即存在,，使得且 .故选B.
2.已知四个函数的图象如图所示，其中在定义域内具有单调性的函数
是( )
A. B. C. D.
[解析] 由题图可知，选项B对应的函数是定义域上的增函数，选项A，
C，D对应的函数在定义域上不具有单调性．故选B.
√
3.函数在区间 上( )
A.单调递减 B.单调递增 C.先减后增 D.先增后减
[解析] 作出的图象，如图所示，易知函数 在
上单调递减，在 上单调递增．故选C.
√
4.［2025·江西九江高一期末］函数 的单调递减区
间为( )
A. B. C. D.
[解析] 令，解得，
故函数 的定义域为.
因为函数 的图象开口向下，对称轴方程为，
所以在内的单调递减区间为 ，
故函数的单调递减区间为 .故选B.
√
★5.已知函数是上的增函数，则实数
的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为函数是 上的增函数，所以
解得.故实数的取值范围是 ，故
选B.
［易错点］ 此类问题为分段函数单调性，易忽略两段接头函数值的
大小比较.
6.设函数,,，其中,,表示 ，
，中的最小者，则 的最大值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
[解析] 令即解得 ，
故当时，；令 即
解得或，故当 时，
；
√
令 即解得 ，故
当时， .
综上，
其大致图象如图所示，
由图知 的最大值为3.故选B.
7.［2025·江苏南通高一期中］设函数 在区间
上具有单调性，则 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
[解析] 函数 的图象的对称轴方程为
.
因为函数在区间上具有单调性，所以 不在区间内.
当，即时，函数在区间 上单调递增；
当，即时，函数在区间 上单调递减.
所以的取值范围是 .故选D.
√
8.（多选题）设，是区间 上的减函数，则下列结论中
正确的是( )
A.在上的最小值为
B.在上的最小值为
C.在上的最小值为
D.在上的最小值为
√
√
[解析] 对于A，因为是区间上的减函数，所以在
上的最小值为，故A错误；
对于B，函数在 上的单调性无法确定，其最小值也无法确定，
故B错误；
对于C，因为 是区间上的减函数，所以在 上也
是减函数，所以在上的最小值为 ，故C正确；
对于D，因为是区间上的减函数，且，所以在
上是增函数，所以在上的最小值为，故D正确.
故选 .
9.已知函数是定义在 上的减函数，且
，则 的取值范围为________．
[解析] 由题意可知解得，所以 的取值范围
为 .
10.（13分）给定函数，， .
，用表示， 中的较小者，记为
, .
（1）请分别用图象法及解析法表示函数 ；
解：令 ，
则，解得或 ，
令，则 ，
解得 ，
所以
其图象如图所示.
（2）根据图象判断函数 的单调性
（不证明），并求 成立
时实数 的取值范围.
解：根据（1）中的图象可得函数 在
上单调递减.
因为，所以 ，
解得 ，
所以实数的取值范围是 .
11.［2025·辽宁抚顺高一期中］已知函数在 上为增函数，则下
列结论正确的是( )
A.在上为增函数 B.在 上为减函数
C.在上为增函数 D.在 上为减函数
√
[解析] 对于A，当时，在 上不是单调函数，
故A错误；
对于B，当时， 为常数函数且定义域不是，
故B错误;
对于C，当时，在 上不是单调函数，且定义
域不为，故C错误;
若函数在 上为增函数，则在 上为减函数，故D正确.
故选D.
12.（多选题）已知函数 的最小值为
，则 的可能取值是( )
A.1 B.3 C.5 D.7
√
√
[解析] 函数在上单调递减，在 上单调递
增.当时，函数的最小值为 .
函数的图象的对称轴方程为 .
若，函数在 上单调递减，
，因为函数的最小值为，所以 ，
即，解得，所以;
若，当 时，函数的最小值为 ，不满足题意.
综上所述，选项A，B满足题意，C,D不满足题意.故选 .
13.用,表示,两个数中的较小者.设 ，
，则 的单调递增区间是______，最大值为___.
6
[解析] 在同一平面直角坐标系内画出函数
和 的图象，如图所示.
由题知，
所以函数 的图象为图中的实线部分.
由图知函数 的单调递增区间是 ，最大值为6.
14.（15分）已知函数, .
（1）解关于的不等式 ；
解：不等式，即 ，
当时，，解得 ；
当时， ，
若，则，解得或 ；
若，则，解得 ；
若，则，解得 ；
若，则，解得 .
综上，当时，不等式的解集为；当 时，
不等式的解集为 ；
当时，不等式的解集为 ；
当时，不等式的解集为 ；
当时，不等式的解集为 .
（2）若，当时，的最小值为1，求 的值.
解：的图象的对称轴方程为 ，且开口向上.
当，即时，在 上单调递增，
此时的最小值为，解得 ；
当，即时，在 上单调递减，在
上单调递增，
14.（15分）已知函数, .
此时的最小值为，
解得 （舍去）.
综上所述， .
15.［2025·贵州贵阳高一期中］已知函数 ,
.若,，使得 成立，则实
数 的取值范围为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] ,，使得成立，
在上的最大值小于等于在上的最大值.
在上单调递增，在上的最大值为 ,
对恒成立，对
恒成立，即对 恒成立.
在上单调递增，在
上单调递减， .故选B.
16.（15分）已知函数的定义域为，对任意， 都满足
，且.当时， ，且
.
（1）求， 的值；
解：由，得 ，
又当时，，所以 ，
所以 .
（2）用函数单调性的定义证明在 上单调递增.
证明：令，则，则 ，
当时，， ，
因为，所以 ，
所以在 上恒成立.
由，可知 ，
令，，且，即 ，
则 ，
所以，所以在 上单调递增.
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 1.单调区间 2.减函数 递减 【诊断分析】 （1）不能（2）不一定（3）不是
知识点二
最值 最值点 【诊断分析】 （1）不是（2）不对
知识点三
【诊断分析】 （1）略（2）略（3）不一定
课中探究 探究点一 例1 （1）
,
,
（2）略 . .
变式 （1）
（2）①函数的单调递减区间为
，单调递增区间为
， ②
探究点二 例2 当
时，
在
上单调递增；当
时，在
上单调递减，
在
上单调递增 变式（1）略 （2）当
时，
在
上不具有单调性；当
时，
在
上单
调递减；当
时，
在
上单调递增 拓展 函数
在
上单调递增
探究点三 例3 变式 （1）A （2）
例4
变式
例5 （1）
（2）
变式 D 例6 （1）略 （2）最大值是
，最小值是2 变式 C
课堂评价 1.B 2.D 3.ABD 4.
5.（1）略.
（2）单调递减区间为 和单调递增区间为和.
备用习题 例1 ， 例2 例3 （1）C （2） 例4 （1）A （2）C
快速核答案（练习册）
基础巩固
1.B 2.B 3.C 4.B 5.B 6.B 7.D 8.CD 9.
10.（1）图略（2）
综合提升
11.D 12.AB 13. 6
14.（1）当时，不等式的解集为；当时，不等式的
解集为；当时，不等式的解集为；当时，
不等式的解集为；当时，不等式的解集为 （2） （）.
思维探索
15.B 16.（1）（2）证明略3.1.2 函数的单调性
第1课时 单调性的定义与证明、函数的最值
【学习目标】
1.理解函数单调性的定义,会运用函数的图象理解和研究函数的单调性;
2.会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性,会求具体函数的单调区间;
3.理解函数的最大值和最小值的概念,能借助函数的图象和单调性求简单函数的最值.
◆ 知识点一 增函数与减函数
1.定义
增函数 减函数
条件 一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,且区间I D:如果对任意x1,x2∈I,当x1都有f(x1)f(x2)
结论 y=f(x)在区间I上是增函数(也称在区间I上单调递增) y=f(x)在区间I上是减函数(也称在区间I上单调递减)
图示
两种情况下,都称函数在区间I上具有单调性(区间I称为函数的 ,也可分别称为单调递增区间或单调递减区间).
2.特殊函数单调性的判断
(1)函数y=kx+b(k≠0):当k>0时,函数在R上是增函数;当k<0时,函数在R上是 .
(2)函数y=(k≠0):当k>0时,函数在区间(-∞,0),(0,+∞)上单调 ;当k<0时,函数在区间(-∞,0),(0,+∞)上单调递增.
(3)函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0):当a>0时,f(x)在上单调递减,在上单调递增;当a<0时,f(x)在上单调递增,在上单调递减.
【诊断分析】 (1)在增函数和减函数的定义中,能否把“ x1,x2∈I”改为“ x1,x2∈I”
(2)如果函数f(x)在其定义域内的两个子区间D1,D2上都是增函数,那么f(x)在D1∪D2上也是增函数吗
(3)所有的函数在定义域上都具有单调性吗
◆ 知识点二 函数的最大(小)值及几何意义
最大值 最小值
条件 一般地,设函数f(x)的定义域为D,且x0∈D:如果对任意x∈D
都有f(x) f(x0) 都有f(x) f(x0)
结论 f(x)的最大值为f(x0),而x0称为f(x)的最大值点 f(x)的最小值为f(x0),而x0称为f(x)的最小值点
统称 最大值和最小值统称为
最大值点和最小值点统称为
【诊断分析】 (1)函数f(x)=x2+1≥-1总成立,f(x)的最小值是-1吗
(2)有位同学说:“因为f(x)=-x2≤-1,所以f(x)的最大值是-1.”这个说法对吗
◆ 知识点三 求函数最值的常用方法
(1)图象法:作出y=f(x)的图象,观察最高点与最低点,最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值.
(2)运用已学函数的值域.
(3)运用函数的单调性:
①若函数y=f(x)在区间[a,b]上是增函数,则f(x)的最大值为 ,最小值为 .
②若函数y=f(x)在区间[a,b]上是减函数,则f(x)的最大值为 ,最小值为 .
③若函数y=f(x)是定义在区间(a,b)或R上的连续函数,则函数y=f(x)的最大(小)值要根据具体函数而定.
(4)分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中的最大(小)的那个.
【诊断分析】 (1)二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的最值是什么 常用哪些方法求二次函数的最值.
(2)要确定f(x)=ax+2(a≠0)在[-1,3]上的最值,需要先确定什么
(3)函数f(x)在定义域内的一个区间上具有单调性,那么这个函数在这个区间上一定有最大(或最小)值吗
◆ 探究点一 由函数图象判断函数的单调性或单调区间
例1 (1)已知函数f(x)在区间[-5,5]上的图象如图所示,则函数f(x)的单调递减区间是 ,单调递增区间是 .
(2)作出函数f(x)=-x2+2|x|+3的图象,并根据图象写出函数f(x)的单调区间.
变式 (1)用M(x)表示f(x),g(x)的较小者,记为M(x)=min{f(x),g(x)},若f(x)=x+1,g(x)=x2-2x-3,则M(x)的单调递减区间为 .
(2)已知函数y=f(x)的图象如图所示.
①根据函数图象,写出f(x)的单调区间;
②若f(x)在[a-1,a+1]上单调递增,求实数a的取值范围.
[素养小结]
求函数的单调区间时,若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等,可根据其单调性写出函数的单调区间,若函数不是上述函数且函数图象容易作出,可作出其图象,根据图象写出其单调区间.
◆ 探究点二 函数单调性的判断及证明
例2 讨论f(x)=x+(a≠0)在(0,+∞)上的单调性.
变式 (1)求证:函数f(x)=--1在区间(-∞,0)上单调递增.
(2)讨论函数f(x)=在(-1,1)上的单调性.
[素养小结]
证明函数f(x)在区间D上的单调性应遵循以下步骤:
(1)任取:任取x1,x2∈D,且x1(2)作差:将函数值f(x1),f(x2)作差;
(3)变形:将上述差式变形(因式分解、配方等);
(4)判号:对上述变形结果的正负加以判定;
(5)定论:根据定义得出f(x)的单调性.
拓展 [2025·陕西西安高一期中] 已知函数f(x)对任意的x,y∈R,都有f(x+y)-1=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)+1>0.判断函数f(x)的单调性并证明.
◆ 探究点三 函数单调性的应用
角度1 应用单调性比较大小
例3 已知函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数,试比较f(a2-a+1)与f的大小.
变式 (1)[2025·贵州贵阳高一期中] 已知函数f(x)满足对任意的x1,x2∈R,(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]>0恒成立,则 ( )
A.f(-2)B.f(1)C.f(3)D.f(3)(2)定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足<0,且f(3)=9,则使f(x)>3x成立的x的取值范围是 .
[素养小结]
利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在比较函数值的大小时,要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上.
角度2 应用单调性求解不等式
例4 已知函数f(x)为定义在[-1,1]上的增函数,则满足f(x)变式 [2025·湖南邵阳高一期中] 已知函数f(x)对任意x1,x2∈R,总有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0.若存在x∈(0,1)使得不等式f(3a-x)≤f(x+a2)成立,则实数a的取值范围是 .
[素养小结]
利用函数的单调性解不等式的方法:
若f(x)在(a,b)上是增函数,且f(x1)注意:①不等式两边化为同名函数的不同函数值;②自变量必须化到同一个单调区间上,若转化不了,就进行讨论.
角度3 应用单调性求解参数范围
例5 (1)[2025·湖南株洲高一期中] 若函数y=x2+2mx在区间(-∞,3]上单调递减,则实数m的取值范围是 .
(2)已知函数f(x)=且满足对任意的实数x1≠x2都有>0,则实数a的取值范围是 .
变式 已知函数f(x)=
若对任意x1,x2∈R(x1≠x2),都有<0,则实数a的取值范围为 ( )
A.(-∞,1] B.(1,5)
C.[1,5) D.[1,4]
[素养小结]
(1)已知函数的单调性求参数的取值范围的方法:视参数为已知数,依据函数的图象或单调性的定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数.
(2)求分段函数单调性问题要保证两点:一是各段单调,二是“节点”单调.
角度4 应用单调性求最值
例6 已知函数f(x)=x+.
(1)求证:f(x)在[1,+∞)上是增函数;
(2)求f(x)在[1,4]上的最大值及最小值.
变式 若x>0,则f(x)=2-x-的 ( )
A.最大值为6 B.最小值为-6
C.最大值为-2 D.最小值为2
[素养小结]
(1)利用单调性求最值的一般步骤:
①判断函数的单调性;②利用单调性写出最值.
(2)求最值时一定要注意所给区间的开闭,若是开区间,则不一定有最大(小)值.
1.[2025·陕西西安高一期中] 函数f(x)=+2在[0,1]上的最小值为 ( )
A.2 B. C.2 D.3
2.若函数f(x)=在R上是增函数,则实数a的取值范围是 ( )
A.(1,2] B. C. D.
3.(多选题)下列函数中,在区间(0,+∞)上是增函数的是 ( )
A.y=2x+1 B.y=3x2+1
C.y= D.y=|x|
4.已知函数f(x)=有最小值,则实数a的取值范围是 .
5.[2025·重庆巴南区高一期中] 已知函数f(x)=
(1)画出函数f(x)的图象;
(2)写出函数f(x)的单调区间.3.1.2 函数的单调性
第1课时 单调性的定义与证明、函数的最值
1.[2025·浙江绍兴高一期中] “函数f(x)在区间[1,2]上不是增函数”的一个充要条件是 ( )
A.存在a,b∈[1,2],使得aB.存在a,b∈[1,2],使得aC.存在a∈(1,2],使得f(a)≤f(1)
D.存在a∈[1,2),使得f(a)≥f(2)
2.已知四个函数的图象如图所示,其中在定义域内具有单调性的函数是 ( )
A B C D
3.函数y=|x+2|在区间[-3,0]上 ( )
A.单调递减 B.单调递增
C.先减后增 D.先增后减
4.[2025·江西九江高一期末] 函数f(x)=的单调递减区间为 ( )
A. B.
C. D.
★5.已知函数f(x)=是R上的增函数,则实数a的取值范围是 ( )
A.[-3,0) B.[-3,-2]
C.(-∞,-2] D.(-∞,0)
6.设函数f(x)=min{x2-1,x+1,-x+5},其中min{x,y,z}表示x,y,z中的最小者,则y=f(x)的最大值为 ( )
A.2 B.3
C.4 D.5
7.[2025·江苏南通高一期中] 设函数f(x)=x2-4kx-8在区间[2,4]上具有单调性,则k的取值范围是 ( )
A.[1,2]
B.(-∞,1]
C.[2,+∞)
D.(-∞,1]∪[2,+∞)
8.(多选题)设c<0,f(x)是区间[a,b]上的减函数,则下列结论中正确的是 ( )
A.f(x)在[a,b]上的最小值为f(a)
B.在[a,b]上的最小值为f(a)
C.f(x)-c在[a,b]上的最小值为f(b)-c
D.cf(x)在[a,b]上的最小值为cf(a)
9.已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,且f(2x-3)>f(5x-6),则x的取值范围为 .
10.(13分)给定函数f(x)=-x+1,g(x)=(x-1)2,x∈R. x∈R,用m(x)表示f(x),g(x)中的较小者,记为m(x)=min{f(x),g(x)}.
(1)请分别用图象法及解析法表示函数m(x);
(2)根据图象判断函数m(x)的单调性(不证明),并求m(t)11.[2025·辽宁抚顺高一期中] 已知函数f(x)在R上为增函数,则下列结论正确的是 ( )
A.y=xf(x)在R上为增函数
B.y=在R上为减函数
C.y=-在R上为增函数
D.y=-f(x)在R上为减函数
12.(多选题)已知函数f(x)=的最小值为f(1),则a的可能取值是 ( )
A.1 B.3
C.5 D.7
13.用min{a,b}表示a,b两个数中的较小者.设f(x)=min{x+2,10-x}(x≥0),则f(x)的单调递增区间是 ,最大值为 .
14.(15分)已知函数f(x)=mx2-(2m+1)x+3,m∈R.
(1)解关于x的不等式f(x)≤mx;
(2)若m>0,当x∈[3,+∞)时,f(x)的最小值为1,求m的值.
15.[2025·贵州贵阳高一期中] 已知函数f(x)=ax2+2ax-1,g(x)=x.若 x1∈[1,2], x2∈[2,4],使得f(x1)≤g(x2)成立,则实数a的取值范围为 ( )
A.
B.
C.(-∞,1]
D.∪[1,+∞)
16.(15分)已知函数f(x)的定义域为R,对任意x,y都满足f(x+y)=f(x)f(y),且f(x)≠0.当x>0时,f(x)>1,且f(2)=9.
(1)求f(1),f(3)的值;
(2)用函数单调性的定义证明f(x)在R上单调递增.3.1.2 函数的单调性
第1课时 单调性的定义与证明、函数的最值
【课前预习】
知识点一
1.单调区间 2.(1)减函数 (2)递减
诊断分析
解:(1)不能.如函数f(x)=x2,虽然f(-1)(2)不一定.如函数y=-在区间(-∞,0)和(0,+∞)上都是增函数,但在区间(-∞,0)∪(0,+∞)上不是增函数.
(3)不是,如f(x)=x2-1在定义域上就没有单调性.
知识点二
≤ ≥ 最值 最值点
诊断分析
解:(1)不是.f(x)=x2+1≥-1总成立,但不存在x使f(x)=-1,所以f(x)的最小值不是-1.
(2)不对.因为对于任意x∈R,f(x)=-x2≤-1并不总成立,所以f(x)的最大值不是-1.
知识点三
(3)①f(b) f(a) ②f(a) f(b)
诊断分析
解:(1)当a>0时,函数f(x)的最小值为,无最大值;当a<0时,函数f(x)的最大值为,无最小值.
可利用函数的单调性求最值,也可以用公式法、配方法或图象法求函数的最值.
(2)需先确定该函数在[-1,3]上的单调性或画出函数图象,从而确定函数的最值.
(3)不一定,如y=在(0,+∞)上单调递减,但没有最值,又如y=x2+1在(2,6)上单调递增,但没有最值.
【课中探究】
例1 (1)[-2,1],[3,5] [-5,-2],[1,3] [解析] 由题图可知,函数f(x)的单调递减区间是[-2,1],[3,5],单调递增区间是[-5,-2],[1,3].
(2)解:f(x)=-x2+2|x|+3=根据解析式可作出函数f(x)的图象如图所示,由图可知,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1],[0,1),单调递减区间为(-1,0),[1,+∞).
变式 (1)[-1,1] [解析] 根据函数解析式可作出函数f(x),g(x)的图象如图所示,M(x)的图象为实线部分,由图知,M(x)的单调递减区间为[-1,1].
(2)解:①由图象知,函数的单调递减区间为[-1,2],单调递增区间为(-∞,-1],[2,+∞).
②若f(x)在[a-1,a+1]上单调递增,则a+1≤-1或a-1≥2,解得a≤-2或a≥3,故实数a的取值范围是(-∞,-2]∪[3,+∞).
例2 解:任取x1,x2∈(0,+∞),且x1∵x1,x2∈(0,+∞),∴x1x2>0,∵x10.
①若a<0,则x1x2-a>0,∴f(x2)-f(x1)>0,
即f(x1)②若a>0,则当0f(x2),∴f(x)在(0,]上单调递减;当x2>x1≥时,x1x2-a>0,∴f(x2)-f(x1)>0,即f(x1)综上可知,当a<0时,f(x)=x+在(0,+∞)上单调递增;当a>0时,f(x)=x+在(0,]上单调递减,在[,+∞)上单调递增.
变式 解:(1)证明:任取x1,x2∈(-∞,0),且x10,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)故函数f(x)=--1在区间(-∞,0)上单调递增.
(2)当a=0时,f(x)=0,则f(x)在(-1,1)上不具有单调性.当a≠0时,任取x1,x2∈(-1,1),且x1则f(x1)-f(x2)=-==,
因为x1,x2∈(-1,1),且x10,x1-1<0,x2-1<0,所以>0.当a>0时,f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以f(x)在(-1,1)上单调递减;当a<0时,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)所以f(x)在(-1,1)上单调递增.综上,当a=0时,f(x)在(-1,1)上不具有单调性;当a>0时,f(x)在(-1,1)上单调递减;当a<0时,f(x)在(-1,1)上单调递增.
拓展 解:函数f(x)在R上单调递增,证明如下:
由f(x+y)-1=f(x)+f(y),可得f(x+y)-f(x)=f(y)+1,当y>0时,x+y>x,f(y)+1>0,
令x+y=x1,x=x2,则有f(x1)-f(x2)>0,所以f(x1)>f(x2),所以函数f(x)在R上单调递增.
例3 解:∵a2-a+1=+≥,∴与a2-a+1都在区间(0,+∞)上.又f(x)在区间(0,+∞)上是减函数,∴f≥f(a2-a+1).
变式 (1)A (2)(0,3) [解析] (1)因为函数f(x)满足对任意的x1,x2∈R,(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]>0恒成立,所以函数f(x)是定义在R上的增函数,所以f(-2)(2)因为<0,且x1,x2∈(0,+∞),所以<0.令g(x)=,x∈(0,+∞),则原不等式为<0,所以函数g(x)在(0,+∞)上单调递减.由f(x)>3x,得>3,又g(3)==3,所以g(x)>g(3),可得03x成立的x的取值范围是(0,3).
例4 [解析] 由题知解得-1≤x<.
变式 (-∞,1]∪[2,+∞) [解析] 因为函数f(x)对任意x1,x2∈R,总有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,所以f(x)在R上单调递增.若存在x∈(0,1)使得不等式f(3a-x)≤f(x+a2)成立,则存在x∈(0,1)使得3a-x≤x+a2成立,即存在x∈(0,1)使得2x≥-a2+3a,则2≥-a2+3a,解得a≥2或a≤1,故实数a的取值范围是(-∞,1]∪[2,+∞).
例5 (1)(-∞,-3] (2) [解析] (1)函数y=x2+2mx的单调递减区间为(-∞,-m],因为函数y=x2+2mx在区间(-∞,3]上单调递减,所以(-∞,3] (-∞,-m],所以-m≥3,解得m≤-3,所以实数m的取值范围是(-∞,-3].
(2)因为对任意的实数x1≠x2都有>0,即<0,所以f(x)在R上单调递减,所以解得变式 D [解析] 因为对任意x1,x2∈R(x1≠x2),都有<0,所以f(x)是R上的减函数,所以解得1≤a≤4.故选D.
例6 解:(1)证明:任取1≤x1因为1≤x10,所以<0,即f(x1)所以f(x)在[1,+∞)上是增函数.
(2)由(1)可知f(x)在[1,4]上是增函数,所以当x=1时,f(x)取得最小值,最小值为f(1)=2,当x=4时,f(x)取得最大值,最大值为f(4)=.所以f(x)在[1,4]上的最大值是,最小值是2.
变式 C [解析] 任取00,0【课堂评价】
1.B [解析] 因为f(x)=+2在[0,1]上单调递减,所以函数f(x)在[0,1]上的最小值为f(1)=+2=.故选B.
2.D [解析] 因为f(x)=在R上是增函数,所以解得13.ABD [解析] 借助函数图象可知,y=2x+1,y=3x2+1,y=|x|在(0,+∞)上都是增函数,y=在(0,+∞)上为减函数.故选ABD.
4. [解析] 当x≥0时,f(x)=(x-1)2-1 ,则f(x)在[0,+∞)上的最小值为f(1)=-1.当x<0时,f(x)=(a-1)x+2a,当a=1时,f(x)=2,此时f(x)在R上有最小值-1;当a≠1时,要满足f(x)在R上有最小值,需 解得-≤a<1.综上,实数a的取值范围是.
5.解:(1)函数f(x)的图象如图所示.
(2)由图可知,f(x)的单调递减区间为(-∞,-1]和[0,1),
单调递增区间为(-1,0)和[1,+∞).3.1.2 函数的单调性
第1课时 单调性的定义与证明、函数的最值
1.B [解析] 若函数f(x)在区间[1,2]上是增函数,则任意a,b∈[1,2],使得a2.B [解析] 由题图可知,选项B对应的函数是定义域上的增函数,选项A,C,D对应的函数在定义域上不具有单调性.故选B.
3.C [解析] 作出y=|x+2|的图象,如图所示,易知函数y=|x+2|在[-3,-2]上单调递减,在[-2,0]上单调递增.故选C.
4.B [解析] 令t=2-x-x2≥0,解得-2≤x≤1,故函数f(x)的定义域为[-2,1].因为函数t=2-x-x2的图象开口向下,对称轴方程为x=-,所以t=2-x-x2在[-2,1]内的单调递减区间为,故函数f(x)=的单调递减区间为.故选B.
5.B [解析] 因为函数f(x)=是R上的增函数,所以解得-3≤a≤-2.故实数a的取值范围是[-3,-2],故选B.
[易错点] 此类问题为分段函数单调性,易忽略两段接头函数值的大小比较.
6.B [解析] 令即解得x≥2,故当x≥2时,f(x)=-x+5;令即
解得x≤-1或x=2,故当x≤-1时,f(x)=x+1;令即解得-1≤x≤2,故当-1≤x≤2时,f(x)=x2-1.综上,f(x)=其大致图象如图所示,由图知y=f(x)的最大值为3.故选B.
7.D [解析] 函数f(x)=x2-4kx-8的图象的对称轴方程为x=-=2k.因为函数f(x)在区间[2,4]上具有单调性,所以2k不在区间(2,4)内.当2k≤2,即k≤1时,函数f(x)在区间[2,4]上单调递增;当2k≥4,即k≥2时,函数f(x)在区间[2,4]上单调递减.所以k的取值范围是(-∞,1]∪[2,+∞).故选D.
8.CD [解析] 对于A,因为f(x)是区间[a,b]上的减函数,所以f(x)在[a,b]上的最小值为f(b),故A错误;对于B,函数在[a,b]上的单调性无法确定,其最小值也无法确定,故B错误;对于C,因为f(x)是区间[a,b]上的减函数,所以f(x)-c在[a,b]上也是减函数,所以f(x)-c在[a,b]上的最小值为f(b)-c,故C正确;对于D,因为f(x)是区间[a,b]上的减函数,且c<0,所以cf(x)在[a,b]上是增函数,所以cf(x)在[a,b]上的最小值为cf(a),故D正确.故选CD.
9. [解析] 由题意可知解得x>,所以x的取值范围为.
10.解:(1)令f(x)1,令g(x)≤f(x),则(x-1)2≤-x+1,解得0≤x≤1,所以m(x)=其图象如图所示.
(2)根据(1)中的图象可得函数m(x)在R上单调递减.
因为m(t)3t-4,解得t<2,
所以实数t的取值范围是(-∞,2).
11.D [解析] 对于A,当f(x)=x时,y=xf(x)=x2在R上不是单调函数,故A错误;对于B,当f(x)=x时,y==1为常数函数且定义域不是R,故B错误;对于C,当f(x)=x时,y=-=-在R上不是单调函数,且定义域不为R,故C错误;若函数f(x)在R上为增函数,则y=-f(x)在R上为减函数,故D正确.故选D.
12.AB [解析] 函数y=x+-3a在(1,3)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增.当x>1时,函数f(x)的最小值为f(3)=6-3a.函数y=x2-2ax+2=(x-a)2+2-a2的图象的对称轴方程为x=a.若a≥1,函数y=x2-2ax+2在(-∞,1]上单调递减,f(1)=3-2a,因为函数f(x)的最小值为f(1),所以f(3)≥f(1),即6-3a≥3-2a,解得a≤3,所以1≤a≤3;若a<1,当x≤1时,函数f(x)的最小值为f(a)=2-a2,不满足题意.综上所述,选项A,B满足题意,C,D不满足题意.故选AB.
13.[0,4] 6 [解析] 在同一平面直角坐标系内画出函数y=x+2和y=10-x的图象,如图所示.由题知,f(x)=所以函数f(x)的图象为图中的实线部分.由图知函数f(x)的单调递增区间是[0,4],最大值为6.
14.解:(1)不等式f(x)≤mx,即mx2-(3m+1)x+3≤0,
当m=0时,-x+3≤0,解得x≥3;
当m≠0时,(mx-1)(x-3)≤0,
若m<0,则<3,解得x≥3或x≤;
若03,解得3≤x≤;
若m=,则=3,解得x=3;
若m>,则<3,解得≤x≤3.
综上,当m<0时,不等式的解集为;当m=0时,不等式的解集为{x|x≥3};
当0当m=时,不等式的解集为{x|x=3};
当m>时,不等式的解集为.
(2)f(x)的图象的对称轴方程为x=,且开口向上.
当≤3,即m≥时,f(x)在[3,+∞)上单调递增,
此时f(x)的最小值为f(3)=3m=1,解得m=;
当>3,即0此时f(x)的最小值为f=-+3=1,解得m=(舍去).
综上所述,m=.
15.B [解析] ∵ x1∈[1,2], x2∈[2,4],使得f(x1)≤g(x2)成立,∴f(x)在[1,2]上的最大值小于等于g(x)在[2,4]上的最大值.∵g(x)=x在[2,4]上单调递增,∴g(x)在[2,4]上的最大值为g(4)=2,∴ax2+2ax-1≤2对x∈[1,2]恒成立,∴ax2+2ax≤3对x∈[1,2]恒成立,即a≤对x∈[1,2]恒成立.∵y=x2+2x=(x+1)2-1在[1,2]上单调递增,∴y=在[1,2]上单调递减,∴a≤=.故选B.
16.解:(1)由f(x+y)=f(x)f(y),得f(2)=f(1+1)=[f(1)]2=9,
又当x>0时,f(x)>1,所以f(1)=3,
所以f(3)=f(1+2)=f(1)f(2)=3×9=27.
(2)证明:令y=0,则f(x+0)=f(x)f(0),则f(0)=1,
当x<0时,-x>0,f(-x)>1,
因为f(0)=f[x+(-x)]=f(x)f(-x)=1,所以f(x)=>0,
所以f(x)>0在R上恒成立.
由f(x+y)=f(x)f(y),可知=f(y),
令x1=x+y,x2=x,且x1>x2,即x1-x2>0,
则=f(x1-x2)>1,
所以f(x1)>f(x2),所以f(x)在R上单调递增.