(共82张PPT)
3.1 函数的概念与性质
3.1.2 函数的单调性
第2课时 函数的平均变化率
探究点一 直线的斜率公式及应用
探究点二 求函数的平均变化率
探究点三 函数平均变化率的应用
探究点四 判断（证明）函数的单调性
◆
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
课堂评价
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.了解直线的斜率及意义；
2.了解函数的平均变化率，理解函数单调性与平均变化率的关系；
3.会用函数单调性的充要条件证明简单函数的单调性.
知识点一 直线的斜率
1.定义：一般地，给定平面直角坐标系中的任意两点 ,
，当时，称______为直线的斜率；当 时，
称直线 的斜率________.
不存在
2.几何意义：直线 的斜率反映了直线相对于_____的倾斜程度.
3.表示方法：若记，相应的，则当
时，斜率可记为_ __.
4.证明点共线：若平面直角坐标系中的三个点共线，当且仅当其中任
意两点确定的直线的斜率都______或__________.
轴
相等
都不存在
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）任意的直线都有斜率.( )
×
[解析] 当直线与轴垂直时，，斜率 没有意义，所以此
项错误.
（2）“点,,共线”是“直线的斜率等于直线 的斜率”的必要不
充分条件.( )
√
[解析] 当直线的斜率等于直线 的斜率时，两条直线重合，即
三点共线；反之，当,,三点所在的直线与 轴垂直时，直线斜率
不存在，故此项正确.
（3）直线 的斜率为0.( )
[解析] 直线 上的任意两点的纵坐标相等，故由斜率公式可知斜
率为0.
（4）若两条直线的斜率相等，则这两条直线的倾斜程度相同.( )
[解析] 根据斜率的概念知说法正确.
√
√
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
知识点二 函数的平均变化率、函数递增递减的充要条件
1.平均变化率
一般地，当时，称为函数 在区间
时或时 上的平均变化率.
2.判断函数单调性
一般地，若区间是函数的定义域的子集，对任意,
且，记, ，
，则：
（1）在区间上是增函数的充要条件是在区间 上恒
成立；
（2）在区间上是减函数的充要条件是在区间 上恒
成立.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）函数在上是减函数，当 每增大1个单位
时，增大 个单位.( )
√
[解析] 由线性函数定义可知 ，所以函数为减
函数，且当每增大1个单位时，增大 个单位.
（2）函数 在定义域上的平均变化率都等于2.( )
√
[解析] 因为线性函数的平均变化率为 ，所以此项正确.
（3）函数在区间 上的平均变化率为2.( )
√
[解析] 因为 ，所以此项正确.
（4）当一个函数给定，定义域内的一个区间给定时，该函数在这个
区间上的平均变化率为常数.( )
√
[解析] 由平均变化率的定义可知此项正确.
（5）函数在和 上的平均变化率互为相反数.( )
√
[解析] 函数在上的平均变化率为 ，
在上的平均变化率为 ，故此项正确.
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
探究点一 直线的斜率公式及应用
［探索］ 能否说直线越陡峭，斜率越大？
解：不能.当斜率大于0时，直线越陡峭斜率越大；当斜率小于0时，
直线越陡峭斜率越小.
例1（1）［2024·北京昌平区高一期中］已知 和
在区间上的平均变化率分别为和 ，则( )
A.
B.
C.
D.和的大小随着， 的改变而改变
[解析] 依题意， ，
，所以 .故选B.
√
（2）已知经过，两点的直线的斜率大于1，则实数
的取值范围是_______.
[解析] 由题知,即,解得 ，所
以实数的取值范围是 .
变式（1）［2025·安徽亳州高一期末］已知二次函数
的最大值为 ，则( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为二次函数的最大值为 ，
所以的图象关于直线对称，
所以 ，且在上是减函数，
因为 ，所以 .故选A.
√
（2）已知三点，， 在同一条直线上，则实数
的值为_____.
2或
[解析] 因为，，三点在同一条直线上，且 ，
所以直线，的斜率都存在，且.
因为 ，，所以，
解得或.故实数 的值为2或 .
［素养小结］
利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项：
（1）运用公式的前提条件是“”，即直线不与轴垂直，因为
当直线与轴垂直时，斜率是不存在的；
（2）斜率公式与两点，的先后顺序无关，也就是说公式中的
与，与可以同时交换位置.
探究点二 求函数的平均变化率
［探索］ 函数的平均变化率 是否一定存在？若存在，对
于同一函数的平均变化率都相等吗？
解：不一定.因为，所以当 时，函数的平均变
化率不存在.若存在，同一函数在不同的区间内的平均变化率可以不同.
例2 已知函数 .
（1）求 从0.1到0.2的平均变化率；
解： ,
，所以 .
（2）求在区间 上的平均变化率.
解：函数在区间 上的平均变化率为
.
变式（1）若函数，，在 上的平均
变化率分别为,, ，则下面结论正确的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 函数在上的平均变化率 ，
函数在上的平均变化率，
函数 在上的平均变化率，
则 .故选A.
√
（2）已知函数，计算在和 上的平均变化
率,并判断在哪个区间上函数值变化较快.
解：， ,
，
,.,
在 上函数值变化较快．
［素养小结］
求函数的平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解题的关键是
弄清自变量的增量与函数值的增量.
求函数在区间上的平均变化率的主要步骤是：
（1）计算函数值的改变量;
（2）计算自变量的改变量;
（3）计算函数的平均变化率.
探究点三 函数平均变化率的应用
例3（1）已知某物体运动的速度与时间之间的关系是
，则该物体在时间间隔 内的平均加速度
是_______.
[解析] 由平均变化率的定义可知，该物体在 内的平均加速
度为 .
（2）某人服药后，吸收药物的情况可以用血液中药物的质量浓度
单位：来表示，它是时间单位： 的函数，表示为
.下表给出了 的一些函数值：
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0.8 4 0.8 9 0.9 4 0.9 8 1.0 0 1.0 0 0.9 7 0.9 0 0.7 9 0.6 3 0.4
1
①求服药后内，到，到 这3段时间
内，血液中药物质量浓度的平均变化率；
解：服药后 内血液中药物质量浓度的平均变化率为
，
服药后到 内血液中药物质量浓度的平均变化率为
，
服药后到 内血液中药物质量浓度的平均变化率为
.
②讨论刻画血液中的药物质量浓度变化快慢的方法，并说明上述3段
时间中，药物质量浓度变化最快的时间段.
解：用平均变化率的绝对值 的大小刻画药物质量浓度变化的快
慢，当时，血液中的药物质量浓度增加，当 时，血液中
的药物质量浓度减小，因为 ，所以
到 这段时间内血液中的药物质量浓度变化最快.
变式（1）如图所示，半径为1的圆中弧的长为 ，
表示弧与弦 所围成的弓形面积的2倍，则函
数 的大致图象是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 不妨设固定，从 点出发绕圆周旋转一周，刚开始时很小，
即弧的长度很小，这时给 一个改变量，那么弧与弦 所围成
的弓形面积的改变量非常小，即弓形面积的变化较慢;
当弦 接近于圆的直径时，同样给一个改变量，
那么弧 与弦 所围成的弓形面积的改变量将较大，
即弓形面积的变化较快;从直径的位置开始，
随着 点的旋转，
弓形面积的变化又由变化较快变为越来越慢．
由上可知函数 的图象应该是首先比较平缓，
然后变得比较陡峭，最后又变得比较平缓，对比各选项知D正确.故选D.
（2）甲、乙两个学校开展节能活动，活动开始后
甲、乙学校的用电量，与时间 （天）
的关系如图所示，则下列说法正确的是( )
A.甲学校比乙学校节能效果好
B.甲学校的用电量在 上的平均变化率比乙学
校的用电量在 上的平均变化率大
C.两学校的节能效果一样好
D.甲学校与乙学校自节能以来用电量总是一样大
√
[解析] 由题图可知，在 上，
，所以甲学校
比乙学校节能效果好，故A正确，C错误；
由题图可知， ，
所以甲学校的用电量在上的平均变化率比乙学校的用电量在
上的平均变化率要小，故B错误；
的图象和 的图象不重合，故D错误.故选A.
［素养小结］
应用平均变化率判断函数图象问题，关键是满足“一定、一观察”，
即满足一定的条件下，观察图象的变化情况，从而得到平均变化
率的变化情况，如果较大，则对应的平均变化率较大，则对应的
两点确定的直线的斜率就大.
探究点四 判断（证明）函数的单调性
例4（1）已知函数的图象关于直线对称，对任意 ，
，且，满足， ，则不等式
的解集是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由对任意，，且，满足 ，
可得函数在上单调递减，
又函数 的图象关于直线对称，
所以在上单调递增.
因为 ，所以，
所以不等式的解集是 .故选B.
（2）已知函数是定义在 上的函数，用平均变化率
的方法证明：函数在 上是增函数.
证明：设,，且 ，
则，
因为, ，所以，,，
，此时 ，所以函数在 上是增函数.
变式 已知函数, ，用平均变化率的方法判断函数
的单调性.
解：设，，且 ，则
，
因为,，所以 ,，即，
所以函数在 上是增函数.
［素养小结］
应用平均变化率的方法判断函数的单调性，首先要在的条件
下得到，其次是根据所给的的取值范围确定与0的大小关系，
若，则对应的函数为增函数，反之为减函数.注意，
要保证分子、分母的下角标顺序一致.
拓展 已知函数 对任意两个不相等的实数
,，都有不等式成立，则实数 的取值
范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为对任意两个不相等的实数, ，都有不等式
成立，所以在 上为减函数.
令，则该函数在上为减函数且 在
上恒成立.
当时， ，不满足该函数在上为减函数，
不符合题意；
当 时，可得解得 .故选B.
1.函数在区间 上的平均变化率是( )
A.2 B. C. D.
[解析] ，
.故选C.
√
2.以固定的速度向如图所示的瓶子中注水，水深
是时间 的函数，则该函数的图象可能是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为图中瓶子下粗上细，所以以固定的速度向瓶子中注水时，
随着时间的增加，水深 增高得越来越快，易知B符合题意.
√
3.如图所示， 是边长为2的正三角形，记
位于直线 左侧的图形
（阴影部分）的面积为，则函数 的图象
可能为( )
A. B. C. D.
[解析] 由图可知，随着 的增加，阴影部分面积一直增大，排除C；
在 一定的条件下，平均变化率先增大后减小，只有A符合题意.
√
4.定义在上的函数满足，且 ，
则不等式 的解集为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为定义在上的函数满足 ，
所以在上单调递减.因为，所以 .
因为，所以，所以，所以 ，
即，所以 .故选B.
√
复合函数单调性的判断
1.复合函数的单调性
复合函数在区间上具有单调性的规律见下表：
以上规律还可总结为“同性为增，异性为减”.
2.常用结论
在函数， 的公共定义域内：
（1）增函数增函数 是增函数；
（2）减函数减函数 是减函数；
（3）增函数减函数 是增函数；
（4）减函数增函数 是减函数.
例1 判断下列函数的单调性.
（1） ；
解：函数的定义域为 .
设函数，可知函数在, 上是减
函数，在，上是增函数，
又因为函数在， 上是减函数，
所以函数在, 上是增函数，在， 上是
减函数.
（2） ；
解：因为函数在上是增函数，
函数 在，上是减函数，
所以函数在 ， 上是增函数.
例1 判断下列函数的单调性.
（3） ；
解：函数的定义域为.设函数 ，
可知函数在上是增函数，在 上是减函数，
又函数在上是增函数，
所以函数在 上是减函数，在 上是增函数.
例1 判断下列函数的单调性.
（4） .
解：函数的定义域为.
设函数 ，可知函数在上是减函数，
又函数在 上是增函数，
所以函数在 上是减函数.
例1 判断下列函数的单调性.
例2 阅读材料：
差分和差商
古希腊的著名哲学家芝诺，曾经提出“飞矢不动”的怪论.他说箭在每
一个时刻都有一个确定的位置，因而在每一时刻都没有动.既然每个
时刻都没有动，他怎么能够动呢？为了驳倒这个怪论，就要抓住概
念，寻根究底.讨论有没有动的问题，就要说清楚什么叫动，什么叫
没有动.如果一个物体的位置在时刻和后来的一个时刻 不同，我们
就说他在时刻和之间动了，反过来，如果他在任意时刻
有相同的位置，就说它在到 这段时间没有动.这样，芝诺怪论的漏
洞就暴露出来了.原来，动或不动都是涉及两个时刻的概念.芝诺所说
“在每一个时刻都没有动”的论断是没有意义的!函数可以用来描述物
体的运动或变化.研究函数，就是研究函数值随自变量变化而变化的
规律.变化的情形至少要看两个自变量处的值，只看一点是看不出变
化的.设函数在实数集上有定义.为了研究 的变化规律，
需要考虑它在 中两点处的函数值的差.定义（差分和差商）称
为函数从到 的差分，这里若无特别说明，均假定
.通常记, 叫做差分的步长，可正可负.差分和它的步
长的比值叫做在和的差商.显然，当和 位置交换时，
差分变号，差商不变.随着 所描述的对象不同，差商可以是平均
速度，可以是割线的斜率，也可以是曲边梯形的平均高度.一般而言，
当时，它是在区间 上的平均变化率.显然，函数和它
的差商有下列关系：某区间 上，单调递增函数的差商处处为正，反
之亦然；某区间 上，单调递减函数的差商处处为负，反之亦然.可
见，差商是研究函数性质的一个有用的工具.回答问题：
（1）计算一次函数 的差商；
解：一次函数的定义域内任取,，且 ，
，
差商为 ，
一次函数的差商处处为 .
（2）请通过计算差商研究函数 的增减性.
解：由题得函数的定义域为 ，设
，
则在 上的差商为
，
当时， ，
则，故函数在 单调递减；
当， ，
则，故函数在 单调递减；
当时， ，
则，故函数在 单调递增.
综上所述，函数在和 上单调递减，在
上单调递增.
练习册
1.定义在上的函数对任意两个不相等的实数， ，总有
成立，则( )
A.在 上是增函数
B.在 上是减函数
C.在 上先单调递增后单调递减
D.在 上先单调递减后单调递增
[解析] 由题得对任意，，且，有 ，
所以在 上是增函数.故选A.
√
2.在函数的图象上取一点及附近一点 ，
则 等于( )
A. B. C. D.
[解析] 由已知得 ．故选C.
√
3.某物体沿水平方向运动，其前进距离（米）与时间 （秒）的
关系为 ，则该物体在前2秒运动的平均速度为( )
A.18米/秒 B.13米/秒 C.9米/秒 D. 米/秒
[解析] 根据题意，物体前进距离与时间 的关系为
，则， ，
则该物体在前2秒运动的平均速度为 （米/秒）.
故选C.
√
4.若一射线从处开始，绕 点匀速逆时针旋
转（到处为止），所扫过的图形内部的面积
是时间的函数， 的图象如图所示，则下列图
形中，符合要求的是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 选项A中， 扫过的圆内面积在开始时段
增加缓慢，中间增速最快，后面时段增速越来越
慢，不符合题意；
选项B中，扫过的 圆内面积是匀速变化的，
不符合题意；
选项C中， 扫过的正方形内面积在开始时段增加缓慢，中间增
速最快，后面时段增速越来越慢，不符合题意；
选项D中， 扫过的三角形内面积在开始时段的增速和最后时段的
增速比中间时段的增速快，选项D符合题意.故选D.
5.大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖，可以调节小环境的气温，好
的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）.
甲、乙两地某一天的气温曲线图如图所示.假设除绿化外，其他可能
影响甲、乙两地温度的因素均一致，则下列结论中错误的是( )
A.由图推测，甲地的绿化比乙地好
B.当日6时到12时，甲地气温的平均变化率小于
乙地气温的平均变化率
C.当日12时到18时，甲地气温的平均变化率小
于乙地气温的平均变化率
D.当日乙地的平均气温比甲地的平均气温高
√
[解析] 对于A，由图可知，甲地的气温日较差明
显小于乙地气温日较差，所以甲地的绿化比乙地
好，故A中结论正确；
对于B，由图可知，当日6时到12时甲、乙两地的平均变化率为正数，
且乙地的变化趋势更大，所以甲地气温的平均变化率小于乙地气温的
平均变化率，故B中结论正确；
对于C，由图可知，当日12时到18时甲、乙两地的平均变化率为负数，
且乙地的变化趋势更大，所以甲地气温的平均变化率大于乙地气温的
平均变化率，故C中结论错误；
对于D，由图可知，D中结论正确.故选C.
6.（多选题）［2025·陕西西安高一期中］ 如图是物体甲、乙在时间
0到 范围内位移的变化情况，下列说法正确的是( )
A.在0到 范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
B.在0到 范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度
C.在到 范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
D.在到 范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度
√
√
[解析] 在0到范围内，甲、乙的平均速度都
为 ，故A错误,B正确；
在到 范围内，甲的平均速度为，乙的平均速
度为 ，因为，，
所以 ，故C正确，D错误.故选 .
7.（多选题）为满足人们对美好生活的向往，环保部门要求相关企业
加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放
量与时间的关系为，用的大小评价在 这
段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业
的污水排放量与时间的关系如图所示，则下列结论中正确的有
( )
A.在 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强
B.在 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强
C.在 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标
D.甲企业在，，这三段时间中，在 的污水治
理能力最强
√
√
√
[解析] 由题图可知甲企业的污水排放
量在时刻高于乙企业，而在 时刻
甲、乙两企业的污水排放量相同，故
在 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故A正确；
由题图知在 时刻，甲企业在该点的切线斜率的绝对值大于乙企业
的，故B正确；
在 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都低于污水达标排放量，故都
已达标，故C正确；
由题意可知，甲企业在 ，，这三段时间中，在
时的污水治理能力明显低于时的，故D错误.故选 .
8.已知曲线上两点，，当
时，直线的斜率是___；当时，直线 的斜率是____．
5
4.1
[解析] 当时，直线 的斜率
.
当时，直线 的斜率 .
9.定义在上的函数对任意两个不等实数， ，总有
成立，且，，则在 上
的最大值是___.
4
[解析] 由题意可知函数在上为增函数，则在 上的
最大值是 .
10.（13分）已知某病人服用某种药物后血药浓度 的一些对
应数据如下表所示.
0 0.5 1 1.5 2 3 5 8
0 6.6 28.6 39.1 31 22.7 8.8 8.3
（1）当和时， 都是增加的，哪个时间段的
增加得更快？
解：当时， 的平均变换率为，
当 时， 的平均变换率为 ，
因为，所以当时， 增加得更快.
（2）当时，平均每小时 的变化量为多少？这里的平均每
小时的变化量有什么实际意义？
解：当时，平均每小时 的变化量为 ，
实际意义为每小时血药浓度平均减少 .
11.若函数由至 的平均变化率的取值范围是
，则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题得
，
函数由至的平均变化率 ，
， .故选C.
√
12.（多选题）下列函数中满足“对任意, ，都有
”的是( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 因为对任意,，都有，所以
在上单调递增.
对于A，易知在 上单调递增，故A正确；
对于B，在 上单调递增，故B正确；
对于C，的图象开口向上，对称轴方程为 ，
所以在上单调递减，在 上单调递增，故C错误；
对于D，因为在上单调递增，在 上单调
递增，所以在上单调递增，故D正确.故选 .
13.已知函数在区间上的平均变化率是2，则 ___.
5
[解析] 因为函数在区间 上的平均变化率是2，所
以，即,解得
或 （舍去）.
14.（13分）已知函数， .
（1）判断函数 的单调性，并利用平均变化率的方法证明；
解： 为增函数.
证明如下：任取，,且 ，
则 ，
,,， ，
， 函数 为增函数.
（2）求函数 的最大值和最小值.
解：由（1）知函数 为增函数，
， .
14.（13分）已知函数， .
15.（15分）在一次跳水运动中，运动员相对于水面的高度
（单位：）与起跳后的时间（单位： ）存在函数关系
，根据上述探究，你能求该运动员在
，， 内的平均速度吗？有什么发现？
解：当时， ；
当时， ；
当时， .
虽然运动员在这段时间里的平均速度是 ，但实际情
况是该运动员仍在运动.
由此可以说明平均速度不能准确描述运动员的运动状态.
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 1. 不存在 2.轴 3. 4.相等 都不存在
【诊断分析】 （1）× （2）√ （3）√ （4）√
知识点二 【诊断分析】 （1）√ （2）√ （3）√ （4）√ （5）√
课中探究 探究点一［探索］不能 例1 （1）B （2） 变式 （1）A （2）2或
探究点二 ［探索］不一定 例2 （1） （2） 变式 （1）A
（2）在上函数值变化较快
探究点三 例3 （1）（2）①略 ②到这段时间内血液中的药物质量浓度变
化最快 变式 （1）D （2）A
探究点四 例4 （1）B （2）证明略 变式 函数在 上是增函数 拓展 B
课堂评价 1.C 2.B 3.A 4.B
备用习题 例1 略 例2 （1）
（2）函数在和上单调递减，在上单调递增
快速核答案（练习册）
基础巩固
1.A 2.C 3.C 4.D 5.C 6.BC 7.ABC 8.5 4.1 9.4
10.（1）当时， 增加得更快（2）实际意义为每小时血药浓度平均减
少
综合提升
11.C 12.ABD 13.5 14.（1）为增函数
证明略（2），
思维探索
15.略第2课时 函数的平均变化率
【课前预习】
知识点一
1. 不存在 2.x轴 3. 4.相等 都不存在
诊断分析
(1)× (2)√ (3)√ (4)√ [解析] (1)当直线与x轴垂直时,x1=x2,斜率没有意义,所以此项错误.
(2)当直线AB的斜率等于直线AC的斜率时,两条直线重合,即三点共线;反之,当A,B,C三点所在的直线与x轴垂直时,直线斜率不存在,故此项正确.
(3)直线y=3上的任意两点的纵坐标相等,故由斜率公式可知斜率为0.
(4)根据斜率的概念知说法正确.
知识点二
诊断分析
(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)√ [解析] (1)由线性函数定义y=kx+y0可知k=-3<0,所以函数为减函数,且当x每增大1个单位时,y增大-3个单位.
(2)因为线性函数y=kx+y0的平均变化率为k,所以此项正确.
(3)因为==2,所以此项正确.
(4)由平均变化率的定义可知此项正确.
(5)函数y=x2在[-2,-1]上的平均变化率为=-3,在[1,2]上的平均变化率为=3,故此项正确.
【课中探究】
探索 解:不能.当斜率大于0时,直线越陡峭斜率越大;当斜率小于0时,直线越陡峭斜率越小.
例1 (1)B (2) [解析] (1)依题意,a===2,b===3,所以a(2)由题知>1,即(m-5)<0,解得5变式 (1)A (2)2或 [解析] (1)因为二次函数f(x)=ax2+bx+c的最大值为f(4),所以f(x)=ax2+bx+c的图象关于直线x=4对称,所以f(2)=f(6),且f(x)在[4,+∞)上是减函数,因为5<6<8,所以f(5)>f(6)=f(2)>f(8).故选A.
(2)因为A,B,C三点在同一条直线上,且5≠-4,所以直线AB,BC的斜率都存在,且kAB=kBC.因为kAB==,kBC==,所以=,解得a=2或a=.故实数a的值为2或.
探索 解:不一定.因为=,所以当x1=x2时,函数的平均变化率不存在.若存在,同一函数在不同的区间内的平均变化率可以不同.
例2 解:(1)Δy=f(0.2)-f(0.1)=3×0.04+5-3×0.01-5=0.09,Δx=0.2-0.1=0.1,所以==0.9.
(2)函数f(x)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为===6x0+3Δx.
变式 (1)A [解析] 函数f(x)=x在[0,1]上的平均变化率m1==1,函数g(x)=x2在[0,1]上的平均变化率m2==1,函数h(x)=x3在[0,1]上的平均变化率m3==1,则m1=m2=m3.故选A.
(2)解:Δx1=2-1=1,Δy1=f(2)-f(1)=2+-(1+1)=,∴=.Δx2=5-3=2,Δy2=f(5)-f(3)=5+-=,∴=.∵>,∴f(x)在[3,5]上函数值变化较快.
例3 (1)Δt+4 [解析] 由平均变化率的定义可知,该物体在[1,1+Δt]内的平均加速度为==Δt+4.
(2)解:①服药后30 min内血液中药物质量浓度的平均变化率为≈0.004 67(μg/mL·min),
服药后30 min到40 min内血液中药物质量浓度的平均变化率为=0.002(μg/mL·min),
服药后80 min到90 min内血液中药物质量浓度的平均变化率为=-0.016(μg/mL·min).
②用平均变化率的绝对值的大小刻画药物质量浓度变化的快慢,当>0时,血液中的药物质量浓度增加,当<0时,血液中的药物质量浓度减小,因为|-0.016|>0.004 67>0.002,所以80 min到90 min这段时间内血液中的药物质量浓度变化最快.
变式 (1)D (2)A [解析] (1)不妨设A固定,B从A点出发绕圆周旋转一周,刚开始时x很小,即弧AB的长度很小,这时给x一个改变量Δx,那么弧AB与弦AB所围成的弓形面积的改变量非常小,即弓形面积的变化较慢;当弦AB接近于圆的直径时,同样给x一个改变量Δx,那么弧AB与弦AB所围成的弓形面积的改变量将较大,即弓形面积的变化较快;从直径的位置开始,随着B点的旋转,弓形面积的变化又由变化较快变为越来越慢.由上可知函数y=f(x)的图象应该是首先比较平缓,然后变得比较陡峭,最后又变得比较平缓,对比各选项知D正确.故选D.
(2)由题图可知,在[0,t0]上,W1(0)-W1(t0)>W2(0)-W2(t0),所以甲学校比乙学校节能效果好,故A正确,C错误;由题图可知,<,所以甲学校的用电量在[0,t0]上的平均变化率比乙学校的用电量在[0,t0]上的平均变化率要小,故B错误;W1(t)的图象和W2(t)的图象不重合,故D错误.故选A.
例4 (1)B [解析] 由对任意x1,x2∈(-∞,2],且x1≠x2,满足<0,可得函数f(x)在(-∞,2]上单调递减,又函数f(x)的图象关于直线x=2对称,所以f(x)在[2,+∞)上单调递增.因为f(1)=0,所以f(3)=0,所以不等式f(x)<0的解集是(1,3).故选B.
(2)证明:设x1,x2∈(-1,1),且x1≠x2,则==,因为x1,x2∈(-1,1),所以-10,1+>0,1-x1x2>0,此时>0,所以函数f(x)在(-1,1)上是增函数.
变式 解:设x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,则==,因为x1,x2>0,所以x1+1>0,x2+1>0,即>0,所以函数f(x)在(0,+∞)上是增函数.
拓展 B [解析] 因为对任意两个不相等的实数x1,x2∈(-∞,-2],都有不等式<0成立,所以f(x)在(-∞,-2]上为减函数.令t=ax2+2x-5a+5,则该函数在(-∞,-2]上为减函数且t≥0在(-∞,-2]上恒成立.当a=0时,t=2x+5,不满足该函数在(-∞,-2]上为减函数,不符合题意;当a≠0时,可得解得≤a≤1.故选B.
【课堂评价】
1.C [解析] ∵(1+Δx)2+1-(12+1)=2Δx+(Δx)2,∴=2+Δx.故选C.
2.B [解析] 因为图中瓶子下粗上细,所以以固定的速度向瓶子中注水时,随着时间t的增加,水深h增高得越来越快,易知B符合题意.
3.A [解析] 由图可知,随着t的增加,阴影部分面积一直增大,排除C;在Δt一定的条件下,平均变化率先增大后减小,只有A符合题意.
4.B [解析] 因为定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足<0,所以g(x)=xf(x)在(0,+∞)上单调递减.因为f(2)=4,所以g(2)=8.因为f(x)->0,所以>0,所以xf(x)-8>0,所以xf(x)>8,即g(x)>g(2),所以01.A [解析] 由题得对任意a,b∈R,且a≠b,有=>0,所以f(x)在R上是增函数.故选A.
2.C [解析] 由已知得==2+Δx.故选C.
3.C [解析] 根据题意,物体前进距离s(t)与时间t的关系为s(t)=5t+2t2,则s(0)=0,s(2)=10+8=18,则该物体在前2秒运动的平均速度为===9(米/秒).故选C.
4.D [解析] 选项A中,OP扫过的圆内面积在开始时段增加缓慢,中间增速最快,后面时段增速越来越慢,不符合题意;选项B中,OP扫过的圆内面积是匀速变化的,不符合题意;选项C中,OP扫过的正方形内面积在开始时段增加缓慢,中间增速最快,后面时段增速越来越慢,不符合题意;选项D中, OP扫过的三角形内面积在开始时段的增速和最后时段的增速比中间时段的增速快,选项D符合题意.故选D.
5.C [解析] 对于A,由图可知,甲地的气温日较差明显小于乙地气温日较差,所以甲地的绿化比乙地好,故A中结论正确;对于B,由图可知,当日6时到12时甲、乙两地的平均变化率为正数,且乙地的变化趋势更大,所以甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率,故B中结论正确;对于C,由图可知,当日12时到18时甲、乙两地的平均变化率为负数,且乙地的变化趋势更大,所以甲地气温的平均变化率大于乙地气温的平均变化率,故C中结论错误;对于D,由图可知,D中结论正确.故选C.
6.BC [解析] 在0到t0范围内,甲、乙的平均速度都为=,故A错误,B正确;在t0到t1范围内,甲的平均速度为,乙的平均速度为,因为s2-s0>s1-s0>0,t1-t0>0,所以>,故C正确,D错误.故选BC.
7.ABC [解析] 由题图可知甲企业的污水排放量在t1时刻高于乙企业,而在t2时刻甲、乙两企业的污水排放量相同,故在[t1,t2]这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强,故A正确;由题图知在t2时刻,甲企业在该点的切线斜率的绝对值大于乙企业的,故B正确;在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放量都低于污水达标排放量,故都已达标,故C正确;由题意可知,甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[0,t1]时的污水治理能力明显低于[t1,t2]时的,故D错误.故选ABC.
8.5 4.1 [解析] 当Δx=1时,直线AB的斜率k1====5.当Δx=0.1时,直线AB的斜率k2===4.1.
9.4 [解析] 由题意可知函数f(x)在R上为增函数,则f(x)在[-3,-1]上的最大值是f(-1)=4.
10.解:(1)当t∈[0.5,1]时,ω的平均变换率为=44,当t∈[1,1.5]时,ω的平均变换率为=21,
因为44>21,所以当t∈[0.5,1]时,ω增加得更快.
(2)当t∈[3,5]时,平均每小时ω的变化量为=-6.95,
实际意义为每小时血药浓度平均减少6.95 μg/L.
11.C [解析] 由题得Δy=f(1+Δx)-f(1)=(Δx+1)2-12=(Δx)2+2Δx,∴函数f(x)=x2由x=1至x=1+Δx的平均变化率=Δx+2,∵=Δx+2∈(2,2.025),∴Δx∈(0,0.025).故选C.
12.ABD [解析] 因为对任意x1,x2∈(0,+∞),都有>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.对于A,易知f(x)=-在(0,+∞)上单调递增,故A正确;对于B,f(x)=3x-1在R上单调递增,故B正确;对于C,f(x)=x2-4x-3的图象开口向上,对称轴方程为x=2,所以f(x)在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,故C错误;对于D,因为y=x在(0,+∞)上单调递增,y=-在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)=x-在(0,+∞)上单调递增,故D正确.故选ABD.
13.5 [解析] 因为函数f(x)=x2-x在区间[-2,t]上的平均变化率是2,所以==2,即t2-3t-10=0,解得t=5或t=-2(舍去).
14.解:(1)f(x)为增函数.
证明如下:任取x1,x2∈[3,5],且x1≠x2,
则==,
∵x1,x2∈[3,5],∴x1x2>0,x1x2-1>0,
∴>0,∴函数f(x)为增函数.
(2)由(1)知函数f(x)为增函数,
∴f(x)max=f(5)=,f(x)min=f(3)=.
15.解:当0≤t≤0.5时,==4.05(m/s);
当1≤t≤2时,==-8.2(m/s);
当0≤t≤时,==0(m/s).
虽然运动员在0≤t≤这段时间里的平均速度是0 m/s,但实际情况是该运动员仍在运动.
由此可以说明平均速度不能准确描述运动员的运动状态.第2课时 函数的平均变化率
【学习目标】
1.了解直线的斜率及意义;
2.了解函数的平均变化率,理解函数单调性与平均变化率的关系;
3.会用函数单调性的充要条件证明简单函数的单调性.
◆ 知识点一 直线的斜率
1.定义:一般地,给定平面直角坐标系中的任意两点A(x1,y1),B(x2,y2),当x1≠x2时,称 为直线AB的斜率;当x1=x2时,称直线AB的斜率 .
2.几何意义:直线AB的斜率反映了直线相对于 的倾斜程度.
3.表示方法:若记Δx=x2-x1,相应的Δy=y2-y1,则当Δx≠0时,斜率可记为 .
4.证明点共线:若平面直角坐标系中的三个点共线,当且仅当其中任意两点确定的直线的斜率都 或 .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)任意的直线都有斜率. ( )
(2)“点A,B,C共线”是“直线AB的斜率等于直线AC的斜率”的必要不充分条件. ( )
(3)直线y=3的斜率为0. ( )
(4)若两条直线的斜率相等,则这两条直线的倾斜程度相同. ( )
◆ 知识点二 函数的平均变化率、函数递增递减的充要条件
1.平均变化率
一般地,当x1≠x2时,称=为函数y=f(x)在区间[x1,x2](x1x2时)上的平均变化率.
2.判断函数单调性
一般地,若区间I是函数y=f(x)的定义域的子集,对任意x1,x2∈I且x1≠x2,记y1=f(x1),y2=f(x2),=,则:
(1)y=f(x)在区间I上是增函数的充要条件是>0在区间I上恒成立;
(2)y=f(x)在区间I上是减函数的充要条件是<0在区间I上恒成立.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y=-3x+2在(-∞,+∞)上是减函数,当x每增大1个单位时,y增大-3个单位.( )
(2)函数y=2x+3在定义域上的平均变化率都等于2. ( )
(3)函数y=x2-4x-5在区间[2,4]上的平均变化率为2. ( )
(4)当一个函数给定,定义域内的一个区间给定时,该函数在这个区间上的平均变化率为常数. ( )
(5)函数y=x2在[-2,-1]和[1,2]上的平均变化率互为相反数. ( )
◆ 探究点一 直线的斜率公式及应用
[探索] 能否说直线越陡峭,斜率越大
例1 (1)[2024·北京昌平区高一期中] 已知f(x)=2x+1和g(x)=3x+2在区间[m,n]上的平均变化率分别为a和b,则 ( )
A.a>b
B.aC.a=b
D.a和b的大小随着m,n的改变而改变
(2)已知经过A(5,m),B(m,8)两点的直线的斜率大于1,则实数m的取值范围是 .
变式 (1)[2025·安徽亳州高一期末] 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的最大值为f(4),则( )
A.f(5)>f(2)>f(8)
B.f(8)>f(5)>f(2)
C.f(8)>f(2)>f(5)
D.f(2)>f(8)>f(5)
(2)已知三点A(a,2),B(5,1),C(-4,2a)在同一条直线上,则实数a的值为 .
[素养小结]
利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项:
(1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”,即直线不与x轴垂直,因为当直线与x轴垂直时,斜率是不存在的;
(2)斜率公式与两点P1,P2的先后顺序无关,也就是说公式中的x1与x2,y1与y2可以同时交换位置.
◆ 探究点二 求函数的平均变化率
[探索] 函数y=f(x)的平均变化率是否一定存在 若存在,对于同一函数的平均变化率都相等吗
例2 已知函数f(x)=3x2+5.
(1)求f(x)从0.1到0.2的平均变化率;
(2)求f(x)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率.
变式 (1)若函数f(x)=x,g(x)=x2,h(x)=x3在[0,1]上的平均变化率分别为m1,m2,m3,则下面结论正确的是 ( )
A.m1=m2=m3 B.m1>m2>m3
C.m2>m1>m3 D.m1(2)已知函数f(x)=x+,计算f(x)在[1,2]和[3,5]上的平均变化率,并判断在哪个区间上函数值变化较快.
[素养小结]
求函数的平均变化率可根据定义代入公式直接求解,解题的关键是弄清自变量的增量Δx与函数值的增量Δy.
求函数y=f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率的主要步骤是:
(1)计算函数值的改变量Δy=f(x2)-f(x1);
(2)计算自变量的改变量Δx=x2-x1;
(3)计算函数的平均变化率=.
◆ 探究点三 函数平均变化率的应用
例3 (1)已知某物体运动的速度与时间之间的关系是v(t)=t2+2t+2,则该物体在时间间隔[1,1+Δt]内的平均加速度是 .
(2)某人服药后,吸收药物的情况可以用血液中药物的质量浓度c(单位:μg/mL)来表示,它是时间t(单位:min)的函数,表示为c=c(t).下表给出了c(t)的一些函数值:
t/min 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
c(t)/ (μg/mL) 0.84 0.89 0.94 0.98 1.00 1.00 0.97 0.90 0.79 0.63 0.41
①求服药后30 min内,30 min到40 min,80 min到90 min这3段时间内,血液中药物质量浓度的平均变化率;
②讨论刻画血液中的药物质量浓度变化快慢的方法,并说明上述3段时间中,药物质量浓度变化最快的时间段.
变式 (1)如图所示,半径为1的圆中弧AB的长为x,f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍,则函数y=f(x)的大致图象是( )
A B C D
(2)甲、乙两个学校开展节能活动,活动开始后甲、乙学校的用电量W1(t),W2(t)与时间t(天)的关系如图所示,则下列说法正确的是 ( )
A.甲学校比乙学校节能效果好
B.甲学校的用电量在[0,t0]上的平均变化率比乙学校的用电量在[0,t0]上的平均变化率大
C.两学校的节能效果一样好
D.甲学校与乙学校自节能以来用电量总是一样大
[素养小结]
应用平均变化率判断函数图象问题,关键是满足“一定、一观察”,即满足Δx一定的条件下,观察图象的变化情况,从而得到平均变化率的变化情况,如果Δy较大,则对应的平均变化率较大,则对应的两点确定的直线的斜率就大.
◆ 探究点四 判断(证明)函数的单调性
例4 (1)已知函数f(x)的图象关于直线x=2对称,对任意x1,x2∈(-∞,2],且x1≠x2,满足<0,f(1)=0,则不等式f(x)<0的解集是 ( )
A.(-∞,1)∪(3,+∞)
B.(1,3)
C.(-∞,1)
D.(3,+∞)
(2)已知函数f(x)=是定义在(-1,1)上的函数,用平均变化率的方法证明:函数f(x)在(-1,1)上是增函数.
变式 已知函数f(x)=2-,x>0,用平均变化率的方法判断函数f(x)的单调性.
[素养小结]
应用平均变化率的方法判断函数的单调性,首先要在x1≠x2的条件下得到,其次是根据所给的x的取值范围确定与0的大小关系,若>0,则对应的函数为增函数,反之为减函数.注意=,要保证分子、分母的下角标顺序一致.
拓展 已知函数f(x)=对任意两个不相等的实数x1,x2∈(-∞,-2],都有不等式<0成立,则实数a的取值范围是 ( )
A.[0,1] B.
C. D.
1.函数y=x2+1在区间[1,1+Δx]上的平均变化率是 ( )
A.2 B.2x
C.2+Δx D.2+(Δx)2
2.以固定的速度向如图所示的瓶子中注水,水深h是时间t的函数,则该函数的图象可能是 ( )
A B C D
3.如图所示,△OAB是边长为2的正三角形,记△OAB位于直线x=t(0≤t≤2)左侧的图形(阴影部分)的面积为f(t),则函数y=f(t)的图象可能为( )
A B C D
4.定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足<0,且f(2)=4,则不等式f(x)->0的解集为 ( )
A.(2,+∞) B.(0,2)
C.(0,4) D.(4,+∞)第2课时 函数的平均变化率
1.定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a,b,总有>0成立,则 ( )
A.f(x)在R上是增函数
B.f(x)在R上是减函数
C.f(x)在R上先单调递增后单调递减
D.f(x)在R上先单调递减后单调递增
2.在函数y=x2+2的图象上取一点(1,3)及附近一点(1+Δx,3+Δy),则等于 ( )
A.Δx++2 B.Δx--2
C.Δx+2 D.2+Δx-
3.某物体沿水平方向运动,其前进距离s(t)(米)与时间t(秒)的关系为s(t)=5t+2t2,则该物体在前2秒运动的平均速度为 ( )
A.18米/秒 B.13米/秒
C.9米/秒 D. 米/秒
4.若一射线OP从OA处开始,绕O点匀速逆时针旋转(到OB处为止),所扫过的图形内部的面积S是时间t的函数,S(t)的图象如图所示,则下列图形中,符合要求的是 ( )
A B C D
5.大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖,可以调节小环境的气温,好的绿化有助于降低气温日较差(一天气温的最高值与最低值之差).甲、乙两地某一天的气温曲线图如图所示.假设除绿化外,其他可能影响甲、乙两地温度的因素均一致,则下列结论中错误的是 ( )
A.由图推测,甲地的绿化比乙地好
B.当日6时到12时,甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率
C.当日12时到18时,甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率
D.当日乙地的平均气温比甲地的平均气温高
6.(多选题)[2025·陕西西安高一期中] 如图是物体甲、乙在时间0到t1范围内位移的变化情况,下列说法正确的是 ( )
A.在0到t0范围内,甲的平均速度大于乙的平均速度
B.在0到t0范围内,甲的平均速度等于乙的平均速度
C.在t0到t1范围内,甲的平均速度大于乙的平均速度
D.在t0到t1范围内,甲的平均速度小于乙的平均速度
7.(多选题)为满足人们对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t),用-的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示,则下列结论中正确的有( )
A.在[t1,t2]这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强
B.在t2时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强
C.在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标
D.甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[0,t1]的污水治理能力最强
8.已知曲线y=x2-1上两点A(2,3),B(2+Δx,3+Δy),当Δx=1时,直线AB的斜率是 ;当Δx=0.1时,直线AB的斜率是 .
9.定义在R上的函数f(x)对任意两个不等实数a,b,总有>0成立,且f(-3)=2,f(-1)=4,则f(x)在[-3,-1]上的最大值是 .
10.(13分)已知某病人服用某种药物t h后血药浓度ω μg/L的一些对应数据如下表所示.
t 0 0.5 1 1.5 2 3 5 8
ω 0 6.6 28.6 39.1 31 22.7 8.8 8.3
(1)当t∈[0.5,1]和t∈[1,1.5]时,ω都是增加的,哪个时间段的ω增加得更快
(2)当t∈[3,5]时,平均每小时ω的变化量为多少 这里的平均每小时的变化量有什么实际意义
11.若函数f(x)=x2由x=1至x=1+Δx的平均变化率的取值范围是(2,2.025),则Δx的取值范围为 ( )
A.(2,2.025) B.(0,2.025)
C.(0,0.025) D.(0.025,2)
12.(多选题)下列函数中满足“对任意x1,x2∈(0,+∞),都有>0”的是 ( )
A.f(x)=- B.f(x)=3x-1
C.f(x)=x2-4x-3 D.f(x)=x-
13.已知函数f(x)=x2-x在区间[-2,t]上的平均变化率是2,则t= .
14.(13分)已知函数f(x)=+x,x∈[3,5].
(1)判断函数f(x)的单调性,并利用平均变化率的方法证明;
(2)求函数f(x)的最大值和最小值.
15.(15分)在一次跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10,根据上述探究,你能求该运动员在0≤t≤0.5,1≤t≤2,0≤t≤内的平均速度吗 有什么发现
