(共77张PPT)
3.1 函数的概念与性质
3.1.3 函数的奇偶性
第2课时 函数奇偶性的应用
探究点一 利用函数奇偶性求解析式
探究点二 奇偶性与单调性的简单应用
探究点三 函数图象的对称性的证明及应用
◆
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
课堂评价
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.掌握用奇偶性求解析式的方法;
2.理解奇偶性对单调性的影响并能用来比较大小、求最值、解不
等式.
知识点一 奇偶性与单调性的综合应用
1.对称区间内的单调性.
奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性______，偶函数在关
于原点对称的两个区间上的单调性______.
相同
相反
2.比较大小.
两个因变量比较大小：对于偶函数，如果两个自变量在关于原点对
称的两个不同的单调区间上，即自变量的正负不统一，那么①应利
用图象的对称性将自变量化归到同一个单调区间，然后根据单调性
判断；②根据在两个对称区间内的单调性情况，比较两个自变量的
绝对值大小，即到 轴的距离大小，进而比较两个因变量的大小.
知识点二 证明函数图象的对称性
若函数满足，则函数 的图象关于直线
对称，且函数 为偶函数；
若函数满足，则函数 的图象关于点
对称，且函数 为奇函数.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若函数为奇函数，则 .( )
√
[解析] 若为奇函数，则，即 .
（2）若函数 为奇函数，则满足
.( )
[解析] 由奇函数的定义知，若 为奇函数，则应当满足
，即 .
×
（3）若函数 为偶函数，则满足
.( )
√
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
探究点一 利用函数奇偶性求解析式
例1（1）已知函数是定义在上的偶函数,当 时,
,则函数在 上的解析式是( )
A. B.
C. D.
[解析] 是定义在上的偶函数,当时, ,
,
所以当 时，，
又当 时,,所以
√
（2）函数可表示为一个奇函数
与一个偶函数的和，则 _________.
[解析] 因为，所以 ，即
，则 .
变式 已知是偶函数,是奇函数,且 ,
求, 的解析式.
解：因为是偶函数,是奇函数,所以 ,
.由 ,
得 ,
即 .
由①②得, .
［素养小结］
利用奇偶性求函数解析式的注意事项:
（1）求哪个区间的解析式就设在哪个区间内;
（2）将问题转化代入已知区间的解析式;
（3）利用函数的奇偶性写出或,从而求出.
探究点二 奇偶性与单调性的简单应用
角度1 比较大小
例2 设偶函数的定义域为，当时， 是增函数，
则，， 的大小关系是( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为函数为上的偶函数，所以 ，
．又当时，是增函数，且 ，
所以，即 ．故选A.
√
变式 已知定义在上的奇函数满足对任意的 ，
，都有，则，，
从小到大依次是________________.
,,
[解析] 因为对任意的， ，
都有,所以函数在上单调递减，
因为函数 是奇函数，所以函数在上单调递减，
又 ，所以 .
［素养小结］
利用函数的奇偶性与单调性比较大小，需要注意看自变量是否在同
一单调区间上.
（1）在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；
（2）不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同
一单调区间上，然后利用单调性比较大小.
角度2 解不等式
例3（1）若定义域为的奇函数在区间 上单调递增，则
不等式 的解集为( )
A. B. C. D.
[解析] 为上的奇函数，，又在区间 上
单调递增，在上单调递增， 由不等式
得， ，解得
， 不等式的解集为 .故选A.
√
（2）已知定义在上的函数在 上单调递增，若函数
为偶函数，且，则不等式 的解集为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由函数为偶函数，可知函数 的
图象关于直线对称，又函数在
上单调递增，所以函数在 上单
调递减，由，知，作出函数
的大致图象，如图所示.
由图可知，当 时，，则；
当时，，则 ；
当时，，则；
当时， ，则.所以不等式的解集为
.故选B.
变式（1）已知是定义在上的偶函数，且在 上是增函数，
若，则使的 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为是定义在上的偶函数，且在 上是增函数，
所以在上是减函数，因为，所以 ，
所以，即或,解得或 .
故选A.
√
（2）［2025·广东佛山高一期中］已知函数是定义在 上的奇函
数，且当时，.当时，函数 的解析式为
________________，不等式 的解集为________
______.
[解析] 由为奇函数，得 ，
当时， ，故
，
故当时， .
由，得 ，故求 的解集，
即求的解集，则或
画出函数 的图象，如图所示，由图易得
的解集为, 的解集为
，故不等式 的解
集为 .
［素养小结］
利用函数奇偶性与单调性解不等式需注意：
（1）利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为
或的形式；
（2）根据奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同，偶函
数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反，“脱掉”不等式中的“
”转化为简单不等式求解.
探究点三 函数图象的对称性的证明及应用
［探索］ 点关于直线对称的点如何描述？点 关于
点对称的点如何描述？点关于点 对称的点如何描述？
解：点关于直线对称的点为，点 关
于点对称的点为,点关于点 对称的点
为 .
例4（1）已知函数 ，则( )
A.函数的图象关于直线 对称
B.函数的图象关于直线 对称
C.函数的图象关于点 对称
D.函数的图象关于点 对称
√
[解析] ， ，显然
，不是偶函数，
的图象不关于直线对称，的图象不关于直线 对称，
故A错误；
同理，由不是偶函数，得 的图象不关于直线
对称，故B错误；
，，
是奇函数，该函数的图象关于点对称，
的图象关于点 对称，故C正确；
，
， 不是奇函数，的图象不关于点 对称，
故D错误.故选C.
（2）证明：函数的图象关于直线 对称.
证明：任取 ，则
，
，
因为，
所以函数的图象关于直线 对称.
变式 ［2025·湖北武汉高一期中］ 设函数 是奇函数，
函数的图象与 的图象有2024个交点，则这些交点的
横坐标与纵坐标之和等于( )
A. B. C.10 120 D.5060
√
[解析] 因为函数 是奇函数，所以
，所以 ，
所以的图象关于点 对称.
因为，所以 ，
因为为奇函数，所以的图象关于点 对称.
又因为函数的图象与 的图象有2024个交点，
所以这些交点两两关于点对称，所以这2024个交点的纵坐标
之和为 ，横坐标之和为，
故这些交点的横、纵坐标之和为 .故选A.
［素养小结］
若函数的图象关于点中心对称，则函数满足
，证明函数图象的对称性问题都可以通
过奇函数、偶函数的图象的对称性进行证明.
1.设函数且为偶函数，则 等于
( )
A.6 B. C.2 D.
[解析] .故选A.
√
2.已知函数是偶函数，其图象与 轴有4个交点，则方程
的所有实根之和是( )
A.4 B.2 C.1 D.0
[解析] 因为是偶函数，所以的图象关于 轴对称，
所以 的所有实根之和为0.故选D.
√
3.（多选题）［2025·湖南怀化高一期中］ 下列函数中，既是奇函数
又在定义域上是减函数的是( )
A. B. C. D.
√
√
[解析] 对于A，函数 的图象不过原点，
不关于原点对称，所以 不是奇函数，故A
错误；
对于B，设 ，显然其定义域为，
又因为 ，
所以是奇函数，因为 是增函数，
所以是减函数，故B正确;
对于C，函数 是奇函数，但在和
上是减函数，在定义域上不具有单调性，故C错误；
对于D，函数可化为 其图象如图所示，
故 既是奇函数又在定义域上是减函数，故D正确.故选 .
4.设定义在上的奇函数在区间 上单调递减，若
,则实数 的取值范围为________.
[解析] 因为定义在上的奇函数在 上单调递减，
所以函数在上单调递减.由 ,
得,则
解得 ,即实数的取值范围为 .
5.设是定义在上的奇函数，且当时， ．若当
时，不等式恒成立，则实数 的取值
范围是_________.
[解析] 由已知得当时， ，所以
易知在上单调递增，则 ，
即，所以，所以 在
上恒成立，所以解得 .
函数奇偶性与单调性的综合应用
（1）若奇函数在上是增函数，且有最大值，则在
上是增函数，且有最小值.
（2）若偶函数在上是减函数，则在上是增函数.
例1（1）若定义域为的奇函数在区间 上单调递增，则
不等式 的解集为( )
A. B. C. D.
[解析] 为上的奇函数，.又在区间 上
单调递增，在上单调递增.
由不等式 ，得,，
解得 ,故不等式的解集为 .故选A.
√
（2）若定义在上的奇函数在 上单调递减，且
，则 的解集是( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为定义在上的奇函数在 上单调递减，
所以在上单调递减，且，.
当 时，可化为，即 ，
则，解得；
√
当时， ，
则可化为，
即 ，则，不满足；
当时， ，满足题意；
当时，，满足题意；
当 时，可化为，即 ，
则，解得.
综上， 的解集是 .故选B.
（3）（多选题）已知函数的定义域为，且 为奇函
数， 为偶函数，则( )
A. B.
C.为偶函数 D. 为奇函数
√
√
√
[解析] 因为为奇函数，所以的图象关于 对称，所
以，故A错误;
因为 为偶函数，所以的图象关于直线对称，
所以 ,所以，故B正确;
,
,即,故函数 为偶函数,故C正确;
，
则函数为奇函数，故D正确.故选 .
例2（1）定义在上的偶函数满足对任意的 ,
，恒有 ,则( )
A. B.
C. D.
[解析] 由题可知函数在上是减函数.因为 为偶函数，
所以，又，所以 ，即
.故选A.
√
（2）定义在上的偶函数满足对任意的 ，，
恒有 ，则当 时，有( )
A. B.
C. D.
[解析] 由，
得在 上为增函数，
又为偶函数，所以在 上为减函数，
，且 ，
所以，
即 .故选C.
√
（3）定义在上的奇函数为增函数，偶函数 的图
象与的图象在上重合，设 ，给出下列不等式：
① ；
② ；
③ ；
④ .
其中成立的是( )
A.①④ B.②③ C.①③ D.②④
√
[解析] 根据函数， 的奇偶性将四个不等式化简，得
； ；
； .
由题意得 ，
显然①③正确.故选C.
练习册
1.如果奇函数在上是减函数且最小值是4，那么 在
上是( )
A.减函数且最小值是 B.减函数且最大值是
C.增函数且最小值是 D.增函数且最大值是
[解析] 根据奇函数的对称性可得，函数在区间 上也是
减函数，又奇函数在区间上的最小值是4，所以 ，
所以，所以函数在区间 上的最大
值为 .故选B.
√
★2.已知偶函数在区间 上单调递增，则满足
的 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为偶函数在区间上单调递增，所以 在区间
上单调递减，又，所以 或
，解得 .
［点睛］ 解与函数奇偶性有关的不等式问题，要把自变量转化到同
一个单调区间内.
√
3.已知函数的图象关于原点对称，函数在区间
上为增函数，最小值为5，那么函数在区间 上
( )
A.为增函数，且最小值为 B.为增函数，且最大值为
C.为减函数，且最小值为 D.为减函数，且最大值为
[解析] 由题知，函数为奇函数，所以在 上的单调性与
在上的单调性相同，因为在区间 上为增函数且最小
值为5，所以在区间上是增函数且最大值为 .故选B.
√
4.与函数 的图象关于原点对称的图象对应的函数解析式为
( )
A. B. C. D.
[解析] 在与函数 的图象关于原点对称的图象上任取一点
，则点关于原点对称的点在函数 的
图象上，所以，化简得，因此与函数 的图
象关于原点对称的图象对应的函数解析式为 .故选A.
√
5.已知是奇函数，且在定义域 上单调递减，若
，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由，得 ,
是奇函数,, 在
上单调递减，解得 即
,故实数的取值范围是 .
6.设是定义在上的奇函数，对任意的 ，
且，满足且 ，则不等
式 的解集为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 设，由于是定义在 上的奇
函数，所以，所以 是定义在
上的偶函数.
又 ，所以 ，
即，所以在上单调递增，则在
上单调递减.
因为，所以 .对于不等式，
当时，有，即，所以 ；
当时，有，即，所以 .
综上所述，不等式的解集为 .故选B.
7.（多选题）已知函数 为奇函数，则下列说法正确的为
( )
A.的图象关于点 对称
B. 恒成立
C. 恒成立
D. 的图象关于原点对称
√
√
√
[解析] 因为为奇函数，所以 的图象关于原
点对称，故D正确；
因为 的图象关于原点对称，所以 ，
故B正确，C错误；
由可知函数的图象关于点 对
称，故A正确.故选 .
8.［2025·陕西榆林高一期中］已知 为奇函数，
则 ___.
1
[解析] 为奇函数，
即
解得经检验,符合题意， .
9.已知偶函数和奇函数的定义域都是，且在
上的图象如图所示，则关于的不等式 的解集
是__________________.
[解析] 设 ，则
，所以 是奇函数.
由题图可知当时，，，所以 ，
当时，，，所以 ，所以当
时，，当时，，所以
的解集为 .
10.（13分）［2025·河南南阳高一月考］ 已知函数为 上
的奇函数，当时，，且 .
（1）求函数 的解析式；
解：因为函数为 上的奇函数，
且当时，，所以 ，
又，所以 ，
所以当时， .
设，则 ，所以 ，
则，所以
（2）若函数满足不等式，求实数 的取值范围.
解：由（1）知
则在 上单调递减，
又，所以解得，所以
的取值范围是 .
11.若偶函数在上单调递减，且 ，则不等式
的解集为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 为偶函数，， ，
在上单调递减，在 上单调递增，
，即或解得 或
， 不等式的解集为 .故选B.
12.（多选题）［2025·云南昆明高一期中］ 函数
，则下列函数的图象中关于 轴对
称的有( )
A. B. C. D.
[解析] 对于A，由，令 ，
则，得 ，化简得
，即 ，则
，故的图象关于 轴对称；
√
√
对于B，将的图象向右平移一个单位得到函数 的图象，
故的图象关于直线对称，不关于 轴对称；
对于C，因为 ，
，
不恒成立，所以函数 的图象不关
于轴对称；
对于D，由A选项可知， ，则
，易知的图象关于轴对称.故选 .
13.［2025·贵州毕节高一期中］已知是定义在 上的奇函数，设
函数的最大值为，最小值为，则 ___.
4
[解析] 由是定义在上的奇函数，得 ，
则 .
设，则函数的定义域为 ，
，
所以 为奇函数，则，即 ，
所以 .
14.（15分）已知函数满足 ，
且 ．
（1）求，并判断函数 的奇偶性；
解：由, ，
令，得，所以 .
函数的定义域为 ，
因为 ，
所以函数 是奇函数.
（2）若对任意，都有 恒成立，且当
时，不等式恒成立，求实数 的取值
范围．
解：因为对任意，都有 恒成立，
所以函数在 上单调递增.
14.（15分）已知函数满足 ，
且 ．
不等式，即 ，
即，即 ，
所以，所以对 恒成立.
因为，当且仅当，即 时等号成立，
所以，
故实数的取值范围为 .
15.已知函数，若存在正实数 ，使得
函数在区间上有最大值及最小值，则 ____.
15
[解析] .
令 ，其定义域为，则，
即 为奇函数，设函数在区间上的最大值、最小值分
别为 ，，则，
所以 , ，
所以 .
16.（15分）我们知道，“函数 的图象关于原点对称”的充要
条件是“函数 为奇函数”，有同学发现可以将其推广为：“函
数的图象关于点 对称”的充要条件是“函数
为奇函数”.
（1）求证：点是函数 的图象的对称中心；
解：证明：令 ，
则,即 ，
,所以 是奇函数.
由题意，点是函数 的图象的对称中心.
（2）已知函数 ，求
的值.
解：由（1）知，函数的图象的对称中心为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 1.相同 相反 知识点二【诊断分析】（1）√（2）×（3）√
课中探究 探究点一 例1 （1）D （2） 变式 , 探究点二 例2 A 变式 ,,
例3 （1）A （2）B 变式 （1）A （2）
探究点三［探索］点关于直线对称的点为，点关于点对称的点为,点关于点对称的点为 例4 （1）C （2）证明略 变式 A
课堂评价 1.A 2.D 3.BD 4. 5.
备用习题 例1 （1）A （2）B （3）BCD 例2 （1）A （2）C （3）C
快速核答案（练习册）
基础巩固
1.B 2.A 3.B 4.A 5.C 6.B 7.ABD 8.1 9.
10.（1）（2）
综合提升
11.B 12.AD 13.4 14.（1）奇函数（2）
思维探索
15.15 16.（1）证明略（2）8第2课时 函数奇偶性的应用
【学习目标】
1.掌握用奇偶性求解析式的方法;
2.理解奇偶性对单调性的影响并能用来比较大小、求最值、解不等式.
◆ 知识点一 奇偶性与单调性的综合应用
1.对称区间内的单调性.
奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性 ,偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性 .
2.比较大小.
两个因变量比较大小:对于偶函数,如果两个自变量在关于原点对称的两个不同的单调区间上,即自变量的正负不统一,那么①应利用图象的对称性将自变量化归到同一个单调区间,然后根据单调性判断;②根据在两个对称区间内的单调性情况,比较两个自变量的绝对值大小,即到y轴的距离大小,进而比较两个因变量的大小.
◆ 知识点二 证明函数图象的对称性
若函数f(x)满足f(x+a)=f(a-x),则函数f(x)的图象关于直线x=a对称,且函数f(x+a)为偶函数;
若函数f(x)满足-f(x+a)=f(a-x),则函数f(x)的图象关于点(a,0)对称,且函数f(x+a)为奇函数.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若函数f(x)为奇函数,则f(-x)+f(x)=0.( )
(2)若函数y=f(x+1)为奇函数,则满足f(-x-1)+f(x+1)=0. ( )
(3)若函数y=f(x+1)为偶函数,则满足f(x+1)-f(-x+1)=0. ( )
◆ 探究点一 利用函数奇偶性求解析式
例1 (1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-2x,则函数f(x)在R上的解析式是 ( )
A.f(x)=-x(x-2)
B.f(x)=x(|x|-2)
C.f(x)=|x|(x-2)
D.f(x)=|x|(|x|-2)
(2)函数f(x)=3x4-x3+-x-2可表示为一个奇函数h(x)与一个偶函数g(x)的和,则h(x)= .
变式 已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=x2+x-2,求f(x),g(x)的解析式.
[素养小结]
利用奇偶性求函数解析式的注意事项:
(1)求哪个区间的解析式就设x在哪个区间内;
(2)将问题转化代入已知区间的解析式;
(3)利用函数f(x)的奇偶性写出-f(-x)或f(-x),从而求出f(x).
◆ 探究点二 奇偶性与单调性的简单应用
角度1 比较大小
例2 设偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是 ( )
A.f(π)>f(-3)>f(-2)
B.f(π)>f(-2)>f(-3)
C.f(π)D.f(π)变式 已知定义在R上的奇函数f(x)满足对任意的x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),都有<0,则f(3),f(-2),f(1)从小到大依次是 .
[素养小结]
利用函数的奇偶性与单调性比较大小,需要注意看自变量是否在同一单调区间上.
(1)在同一单调区间上,直接利用函数的单调性比较大小;
(2)不在同一单调区间上,需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上,然后利用单调性比较大小.
角度2 解不等式
例3 (1)若定义域为R的奇函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则不等式f(2x-1)-f(x)<0的解集为 ( )
A.(-∞,1) B.[0,1)
C. D.(1,+∞)
(2)已知定义在R上的函数f(x)在(-∞,2]上单调递增,若函数f(x+2)为偶函数,且f(3)=0,则不等式xf(x)>0的解集为 ( )
A.(0,3)
B.(-∞,0)∪(1,3)
C.(-∞,0)∪(3,+∞)
D.(0,1)∪(3,+∞)
变式 (1)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0)上是增函数,若f(2)=0,则使f(x)<0的x的取值范围是 ( )
A.(-∞,-2)∪(2,+∞)
B.(-2,2)
C.(2,+∞)
D.(-∞,-2)
(2)[2025·广东佛山高一期中] 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.当x>0时,函数f(x)的解析式为 ,不等式x3[f(x)-f(-x)]>0的解集为 .
[素养小结]
利用函数奇偶性与单调性解不等式需注意:
(1)利用已知条件,结合函数的奇偶性,把已知不等式转化为f(x1)f(x2)的形式;
(2)根据奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反,“脱掉”不等式中的“f”转化为简单不等式求解.
◆ 探究点三 函数图象的对称性的证明及应用
[探索] 点(x1,y1)关于直线x=a对称的点如何描述 点(x1,y1)关于点(a,0)对称的点如何描述 点(x1,y1)关于点(a,b)对称的点如何描述
例4 (1)已知函数f(x)=,则 ( )
A.函数f(x)的图象关于直线x=2对称
B.函数f(x)的图象关于直线x=4对称
C.函数f(x)的图象关于点(2,2)对称
D.函数f(x)的图象关于点(4,4)对称
(2)证明:函数f(x)=x2+4x-5的图象关于直线x=-2对称.
变式 [2025·湖北武汉高一期中] 设函数y=g(x-2)+3是奇函数,函数f(x)=的图象与g(x)的图象有2024个交点,则这些交点的横坐标与纵坐标之和等于 ( )
A.-10 120 B.-5060
C.10 120 D.5060
[素养小结]
若函数f(x)的图象关于点(a,b)中心对称,则函数f(x)满足f(x+a)-b=b-f(a-x),证明函数图象的对称性问题都可以通过奇函数、偶函数的图象的对称性进行证明.
1.设函数f(x)=且f(x)为偶函数,则g(-2)等于 ( )
A.6 B.-6
C.2 D.-2
2.已知函数y=f(x)是偶函数,其图象与x轴有4个交点,则方程f(x)=0的所有实根之和是 ( )
A.4 B.2
C.1 D.0
3.(多选题)[2025·湖南怀化高一期中] 下列函数中,既是奇函数又在定义域上是减函数的是 ( )
A.y=-x+1 B.y=-x3
C.y= D.y=-x|x|
4.设定义在[-2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(1+m)+f(m)<0,则实数m的取值范围为 .
5.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2.若当x∈[-1,a+2]时,不等式f(x+a)≥2f(x)恒成立,则实数a的取值范围是 . 第2课时 函数奇偶性的应用
1.如果奇函数f(x)在[2,5]上是减函数且最小值是4,那么f(x)在[-5,-2]上是 ( )
A.减函数且最小值是-4
B.减函数且最大值是-4
C.增函数且最小值是-4
D.增函数且最大值是-4
★2.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f(2x-1)A. B.
C. D.
3.已知函数y=f(x)的图象关于原点对称,函数y=f(x)在区间[3,7]上为增函数,最小值为5,那么函数y=f(x)在区间[-7,-3]上 ( )
A.为增函数,且最小值为-5
B.为增函数,且最大值为-5
C.为减函数,且最小值为-5
D.为减函数,且最大值为-5
4.与函数y=的图象关于原点对称的图象对应的函数解析式为 ( )
A.y= B.y=-
C.y= D.y=-
5.已知f(x)是奇函数,且在定义域[-2,2]上单调递减,若f(2a+1)+f(4a-3)>0,则实数a的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
6.设f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,对任意的x1,x2∈(0,+∞)且x10且f(1)=2,则不等式f(x)>2x的解集为 ( )
A.(-1,0)∪(0,1)
B.(-1,0)∪(1,+∞)
C.(-∞,-1)∪(1,+∞)
D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
7.(多选题)已知函数y=f(x-1)为奇函数,则下列说法正确的为 ( )
A.y=f(x)的图象关于点(-1,0)对称
B.f(-x-1)+f(x-1)=0恒成立
C.f(-x+1)=-f(x-1)恒成立
D.y=f(x-1)的图象关于原点对称
8.[2025·陕西榆林高一期中] 已知f(x)=为奇函数,则m+n= .
9.已知偶函数f(x)和奇函数g(x)的定义域都是(-4,4),且在(-4,0]上的图象如图所示,则关于x的不等式f(x)·g(x)<0的解集是 .
10.(13分)[2025·河南南阳高一月考] 已知函数f(x)为[-1,1]上的奇函数,当x∈[-1,0]时,f(x)=x2-ax+b,且f(-1)=2.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若函数f(x)满足不等式f(t-1)>f(-2t),求实数t的取值范围.
11.若偶函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,且f(2)=0,则不等式<0的解集为 ( )
A.(-2,2)
B.(-2,0)∪(2,+∞)
C.(-∞,-2)∪(2,+∞)
D.(-∞,-2)∪(0,2)
12.(多选题)[2025·云南昆明高一期中] 函数f(x+1)=x2+2x-3|x+1|+3,则下列函数的图象中关于y轴对称的有 ( )
A.f(x) B.f(x-1)
C.f(|x+1|) D.f(|x|)
13.[2025·贵州毕节高一期中] 已知f(x)是定义在R上的奇函数,设函数g(x)=的最大值为M,最小值为m,则M+m= .
14.(15分)已知函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)-2(x,y∈R),且f(2)=6.
(1)求f(0),并判断函数g(x)=f(x)-2的奇偶性;
(2)若对任意x≠y,都有[f(x)-f(y)](x-y)>0恒成立,且当x∈(0,4]时,不等式f(x)+f≥8恒成立,求实数m的取值范围.
15.已知函数f(x)=(pq≠0),若存在正实数a,使得函数f(x)在区间[-a,a]上有最大值M及最小值m,则M+m= .
16.(15分)我们知道,“函数y=f(x)的图象关于原点对称”的充要条件是“函数y=f(x)为奇函数”,有同学发现可以将其推广为:“函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)对称”的充要条件是“函数y=f(x+a)-b为奇函数”.
(1)求证:点(-1,2)是函数f(x)=x3+3x2的图象的对称中心;
(2)已知函数f(x)=x3+3x2,求f(2022)+f(2023)+f(-2024)+f(-2025)的值.第2课时 函数奇偶性的应用
【课前预习】
知识点一
1.相同 相反
知识点二
诊断分析
(1)√ (2)× (3)√ [解析] (1)若f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x),即f(-x)+f(x)=0.
(2)由奇函数的定义知,若y=f(x+1)为奇函数,则应当满足f(-x+1)=-f(x+1),即f(-x+1)+f(x+1)=0.
【课中探究】
例1 (1)D (2)-x3-x [解析] (1)f(x)是定义在R上的偶函数,当x<0时,-x>0,f(-x)=x2+2x=-x(-x-2),所以当x<0时,f(x)=f(-x)=-x(-x-2),又当x≥0时,f(x)=x2-2x=x(x-2),所以f(x)=|x|(|x|-2).
(2)因为h(x)+g(x)=f(x),所以h(-x)+g(-x)=f(-x),即-h(x)+g(x)=f(-x),则h(x)==-x3-x.
变式 解:因为f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,所以f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x).由f(x)+g(x)=x2+x-2①,
得f(-x)+g(-x)=(-x)2-x-2,即f(x)-g(x)=x2-x-2②.
由①②得f(x)=x2-2,g(x)=x.
例2 A [解析] 因为函数f(x)为R上的偶函数,所以f(-3)=f(3),f(-2)=f(2).又当x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,且π>3>2,所以f(π)>f(3)>f(2),即f(π)>f(-3)>f(-2).故选A.
变式 f(3),f(1), f(-2) [解析] 因为对任意的x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),都有<0,所以函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,因为函数f(x)是奇函数,所以函数在R上单调递减,又3>1>-2,所以f(3)例3 (1)A (2)B [解析] (1)∵f(x)为R上的奇函数,∴f(0)=0,又f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,∴f(x)在R上单调递增,∴由不等式f(2x-1)-f(x)<0得f(2x-1)(2)由函数f(x+2)为偶函数,可知函数f(x)的图象关于直线x=2对称,又函数f(x)在(-∞,2]上单调递增,所以函数f(x)在(2,+∞)上单调递减,由f(3)=0,知f(1)=0,作出函数f(x)的大致图象,如图所示.由图可知,当x<0时,f(x)<0,则xf(x)>0;当00,则xf(x)>0;当x>3时,f(x)<0,则xf(x)<0.所以不等式xf(x)>0的解集为(-∞,0)∪(1,3).故选B.
变式 (1)A (2)f(x)=-x2+2x (-2,0)∪(0,2)
[解析] (1)因为f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0)上是增函数,所以f(x)在(0,+∞)上是减函数,因为f(2)=0,所以f(-2)=0,所以f(x)<0,即f(x)2或x<-2.故选A.
(2)由f(x)为奇函数,得f(-x)=-f(x),当x>0时,-x<0,故f(-x)=-f(x)=(-x)2+2(-x)=x2-2x,故当x>0时,f(x)=-x2+2x.由f(-x)=-f(x),得x3[f(x)-f(-x)]=x3[f(x)+f(x)]=2x3f(x),故求x3[f(x)-f(-x)]>0的解集,即求2x3f(x)>0的解集,则或画出函数f(x)的图象,如图所示,由图易得的解集为(0,2),的解集为(-2,0),故不等式x3[f(x)-f(-x)]>0的解集为(-2,0)∪(0,2).
探索 解:点(x1,y1)关于直线x=a对称的点为(2a-x1,y1),点(x1,y1)关于点(a,0)对称的点为(2a-x1,-y1),点(x1,y1)关于点(a,b)对称的点为(2a-x1,2b-y1).
例4 (1)C [解析] ∵f(x+2)=,f(-x+2)=,显然f(x+2)≠f(-x+2),∴y=f(x+2)不是偶函数,∴y=f(x+2)的图象不关于直线x=0对称,∴f(x)的图象不关于直线x=2对称,故A错误;同理,由f(x+4)=不是偶函数,得f(x)的图象不关于直线x=4对称,故B错误;∵f(x+2)-2=-2=,-f(x+2)+2=f(-x+2)-2,∴y=f(x+2)-2是奇函数,该函数的图象关于点(0,0)对称,∴f(x)的图象关于点(2,2)对称,故C正确;∵f(x+4)-4=-4=-,-f(x+4)+4≠f(-x+4)-4,∴y=f(x+4)-4不是奇函数,∴f(x)的图象不关于点(4,4)对称,故D错误.故选C.
(2)证明:任取h∈R,则f(-2+h)=(-2+h)2+4(-2+h)-5=h2-9,f(-2-h)=(-2-h)2+4(-2-h)-5=h2-9,因为f(-2+h)=f(-2-h),所以函数f(x)的图象关于直线x=-2对称.
变式 A [解析] 因为函数y=g(x-2)+3是奇函数,所以g(-x-2)+3=-g(x-2)-3,所以g(-x-2)+g(x-2)=-6,所以g(x)的图象关于点(-2,-3)对称.因为f(x)===-3+,所以f(x-2)+3=,因为y=为奇函数,所以f(x)的图象关于点(-2,-3)对称.又因为函数f(x)=的图象与g(x)的图象有2024个交点,所以这些交点两两关于点(-2,-3)对称,所以这2024个交点的纵坐标之和为-6072,横坐标之和为-4048,故这些交点的横、纵坐标之和为-10 120.故选A.
【课堂评价】
1.A [解析] g(-2)=f(-2)=f(2)=22+2=6.故选A.
2.D [解析] 因为y=f(x)是偶函数,所以y=f(x)的图象关于y轴对称,所以f(x)=0的所有实根之和为0.故选D.
3.BD [解析] 对于A,函数y=-x+1的图象不过原点,不关于原点对称,所以y=-x+1不是奇函数,故A错误;对于B,设y=f(x)=-x3,显然其定义域为R,又因为f(-x)=-(-x)3=x3=-f(x),所以y=-x3是奇函数,因为y=x3是增函数,所以y=-x3是减函数,故B正确;对于C,函数y=是奇函数,但y=在(-∞,0)和(0,+∞)上是减函数,在定义域上不具有单调性,故C错误;对于D,函数y=-x|x|可化为y=其图象如图所示,故y=-x|x|既是奇函数又在定义域上是减函数,故D正确.故选BD.
4. [解析] 因为定义在[-2,2]上的奇函数f(x)在[0,2]上单调递减,所以函数f(x)在[-2,2]上单调递减.由f(1+m)+f(m)<0,得f(1+m)<-f(m)=f(-m),则解得-5.[,+∞) [解析] 由已知得当x<0时,f(x)=-f(-x)=-x2,所以f(x)=易知f(x)在R上单调递增,则f(x+a)≥2f(x),即f(x+a)≥f(x),所以x+a≥x,所以a≥(-1)x在[-1,a+2]上恒成立,所以解得a≥.第2课时 函数奇偶性的应用
1.B [解析] 根据奇函数的对称性可得,函数f(x)在区间[-5,-2]上也是减函数,又奇函数f(x)在区间[2,5]上的最小值是4,所以f(5)=4,所以f(-5)=-f(5)=-4,所以函数f(x)在区间[-5,-2]上的最大值为f(-5)=-4.故选B.
2.A [解析] 因为偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,所以f(x)在区间(-∞,0)上单调递减,又f(2x-1)[点睛] 解与函数奇偶性有关的不等式问题,要把自变量转化到同一个单调区间内.
3.B [解析] 由题知,函数f(x)为奇函数,所以f(x)在[3,7]上的单调性与在[-7,-3]上的单调性相同,因为f(x)在区间[3,7]上为增函数且最小值为5,所以f(x)在区间[-7,-3]上是增函数且最大值为-5.故选B.
4.A [解析] 在与函数y=的图象关于原点对称的图象上任取一点P1(x,y),则点P1(x,y)关于原点对称的点P2(-x,-y)在函数y=的图象上,所以-y=,化简得y=,因此与函数y=的图象关于原点对称的图象对应的函数解析式为y=.故选A.
5.C [解析] 由f(2a+1)+f(4a-3)>0,得f(4a-3)>-f(2a+1),∵f(x)是奇函数,∴f(4a-3)>-f(2a+1)=f(-2a-1),∵f(x)在[-2,2]上单调递减,∴解得即≤a<,故实数a的取值范围是.
6.B [解析] 设F(x)=,由于f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,所以F(-x)===F(x),所以F(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数.又02x,当x>0时,有>2,即F(x)>F(1),所以x>1;当x<0时,有<2,即F(x)2x的解集为(-1,0)∪(1,+∞).故选B.
7.ABD [解析] 因为y=f(x-1)为奇函数,所以y=f(x-1)的图象关于原点对称,故D正确;因为f(x-1)的图象关于原点对称,所以f(x-1)+f(-x-1)=0,故B正确,C错误;由f(x-1)+f(-x-1)=0可知函数y=f(x)的图象关于点(-1,0)对称,故A正确.故选ABD.
8.1 [解析] ∵f(x)=为奇函数,∴∴即
解得经检验n=2,m=-1符合题意,∴m+n=1.
9.(-4,-2)∪(0,2) [解析] 设h(x)=f(x)g(x),则h(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-h(x),所以h(x)是奇函数.由题图可知当-40,g(x)<0,所以h(x)<0,当-20,所以当00,所以h(x)<0的解集为(-4,-2)∪(0,2).
10.解:(1)因为函数f(x)为[-1,1]上的奇函数,
且当x∈[-1,0]时,f(x)=x2-ax+b,所以f(0)=b=0,
又f(-1)=1+a=2,所以a=1,
所以当x∈[-1,0]时,f(x)=x2-x.
设0所以f(-x)=x2+x=-f(x),
则f(x)=-x2-x,所以f(x)=
(2)由(1)知f(x)=
则f(x)在[-1,1]上单调递减,
又f(t-1)>f(-2t),所以解得0≤t<,所以t的取值范围是.
11.B [解析] ∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),∴f(-2)=f(2)=0,∵f(x)在(0,+∞)上单调递减,∴f(x)在(-∞,0)上单调递增,∴=<0,即或解得x>2或-212.AD [解析] 对于A,由f(x+1)=x2+2x-3|x+1|+3,令t=x+1,则x=t-1,得f(t)=(t-1)2+2(t-1)-3|t|+3,化简得f(t)=t2-3|t|+2,即f(x)=x2-3|x|+2,则f(-x)=x2-3|x|+2=f(x),故f(x)的图象关于y轴对称;对于B,将f(x)的图象向右平移一个单位得到函数f(x-1)的图象,故f(x-1)的图象关于直线x=1对称,不关于y轴对称;对于C,因为f(|x+1|)=|x|2+2|x|-3|x+1|+3,f(|-x+1|)=|x|2-2|x|-3|x-1|+3,f(|x+1|)=f(|-x+1|)不恒成立,所以函数f(|x+1|)的图象不关于y轴对称;对于D,由A选项可知,f(x)=x2-3|x|+2,则f(|x|)=|x|2-3|x|+2,易知f(|x|)的图象关于y轴对称.故选AD.
13.4 [解析] 由f(x)是定义在R上的奇函数,得f(-x)=-f(x),则g(x)===2+.设h(x)=g(x)-2=,则函数h(x)的定义域为R,h(-x)===-=-h(x),所以h(x)为奇函数,则h(x)max+h(x)min=0,即M-2+m-2=0,所以M+m=4.
14.解:(1)由f(x+y)=f(x)+f(y)-2(x,y∈R),
令y=0,得f(x)=f(x)+f(0)-2,所以f(0)=2.
函数g(x)=f(x)-2的定义域为(-∞,+∞),
因为g(x)+g(-x)=f(x)+f(-x)-4=[f(x)+f(-x)-2]-2=f(0)-2=0,
所以函数g(x)=f(x)-2是奇函数.
(2)因为对任意x≠y,都有[f(x)-f(y)](x-y)>0恒成立,所以函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.
不等式f(x)+f≥8,即f(x)+f-2≥6,即f(x)+f-2≥f(2),即f≥f(2),所以x+-m≥2,所以m≤x+-2对x∈(0,4]恒成立.
因为x+≥2=2,当且仅当x=,即x=1时等号成立,所以m≤=2-2=0,故实数m的取值范围为(-∞,0].
15.15 [解析] f(x)==+.令g(x)=,其定义域为R,则g(-x)==-g(x),即g(x)为奇函数,设函数g(x)在区间[-a,a]上的最大值、最小值分别为g(x)max,g(x)min,则g(x)max+g(x)min=0,所以M=g(x)max+,m=g(x)min+,所以M+m=+=15.
16.解:(1)证明:令g(x)=f(x-1)-2,则g(x)=(x-1)3+3(x-1)2-2=(x3-3x2+3x-1)+3(x2-2x+1)-2=x3-3x,即g(x)=x3-3x,g(-x)=(-x)3-3(-x)=-x3+3x=-g(x),所以g(x)是奇函数.由题意,点(-1,2)是函数f(x)=x3+3x2的图象的对称中心.
(2)由(1)知,函数f(x)=x3+3x2的图象的对称中心为(-1,2),所以g(x)+g(-x)=f(x-1)-2+f(-x-1)-2=0,所以f(x-1)+f(-x-1)=4,所以f(2023)+f(-2025)=f(2022)+f(-2024)=4,所以f(2022)+f(2023)+f(-2024)+f(-2025)=8.
