(共96张PPT)
3.2 函数与方程、不等式之间的关系
第2课时 二次函数的零点及其与对
应方程、不等式解集之间的关系
探究点一 解一元二次不等式
探究点二 三个“二次”的关系
探究点三 一元二次方程根的分布
探究点四 简单高次不等式的解法
◆
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
课堂评价
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.通过一元二次函数的零点问题解一元二次不等式;
2.了解高次不等式的解法.
知识点一 二次函数的图象与相应二次方程的根和二次不等式的
解集之间的关系
对于二次函数，当 时，得一元二次方
程，这时方程的根就是二次函数的图象与 轴交点
的________；当时，得不等式 或
，下表给出了当 时，二次函数的图象、二次
方程的根、二次不等式的解集的关系：
横坐标
_________________________________ _________________________________ ________________________________
__________
___
方程无解
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）函数的图象与 轴有交点.( )
×
[解析] 由，
知函数 的图象与 轴没有交点.
（2）方程 有两个不相等的实根.( )
√
[解析] 由，
知方程 有两个不相等的实根.
（3）方程 恒有两个不相等的实数根.( )
√
[解析] 由 ，
知方程 恒有两个不相等的实数根.
（4）若函数的图象与轴的一个交点坐标是 ，
则方程 的两个根是1和2.( )
×
[解析] 因为 有一个根是1,
所以,得,所以方程为 ，
即,由求根公式得另一个根为 .
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（5）函数的图象与轴的两个交点为 ，
，则不等式的解集为 .( )
√
[解析] 由函数的图象可知不等式
的解集为 .
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
知识点二 一元二次方程根的分布
二次方程 的实根分布及条件：
（1）方程的两根中一根比大，另一根比小 .
（2）二次方程的两根都大于
（3）二次方程在区间内有两根
（4）二次方程在区间内只有一根 或
（或）且另一根在区间 内.
（5）方程的两根中一根小于 ,另一根大于
探究点一 解一元二次不等式
例1 利用函数求下列一元二次不等式的解集：
（1） ；
解：由，得，即 .
因为函数的零点为，且其图象开口向上,
所以 的解集为 .
（2） ；
解：由，得 ，
，结合函数 的图象知
的解集为 ，即原不等式的解集为 .
例1 利用函数求下列一元二次不等式的解集：
（3） .
解：设，令，得 ，
即，从而或，
因此3和都是函数 的零点，
从而函数的图象与轴相交于点和 ．
又因为函数 的图象是开口向上的抛物线，
所以所求不等式的解集为 .
例1 利用函数求下列一元二次不等式的解集：
变式 利用函数求下列不等式的解集：
（1） ；
解：因为方程的判别式 ，
所以函数的图象开口向上，且与 轴无交点，
所以原不等式的解集为 .
变式 利用函数求下列不等式的解集：
（2） .
解：原不等式可化为 ，
设函数,因此的零点为,5，
又 的图象为开口向上的抛物线，
所以可得原不等式的解集为 .
［素养小结］
求解一元二次不等式的解集的一般步骤：
（1）求方程的解，即函数的零点；
（2）结合函数图象的开口方向及与
轴的交点情况确定不等式解的
情况；
（3）将解集写成区间的形式.
探究点二 三个“二次”的关系
例2（1）已知二次函数 的图象
如图所示，则不等式 的解集是
( )
A. B.
C. D.
[解析] 结合图象易知，不等式的解集是 ，
故选A.
√
（2）若关于的一元二次不等式 的解集为
，则关于的不等式 的解集是
_________________．
[解析] 由题意知所以
代入不等式中，得 ，
即，化简得，解得 ，
所以不等式的解集为 ．
（3）若不等式对任意 恒
成立，求实数 的取值范围.
解：方程的两根为 和3，
分类讨论如下:当时，原不等式变为,
显然对任意 ,不等式不恒成立，所以 不符合题意；
当时，原不等式变为,显然对任意 ，
不等式恒成立，所以符合题意；
当且 时，结合二次函数的图象知
解得
则 ，符合题意.综上，实数的取值范围是 .
变式 ［2025· 河北石家庄高一期中］ 已知关于 的方程
有三个不相等的实数根，则实数 的取值范围
为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 当时,则原方程为 ,等式不成立,故.
当时,关于的方程 ,
即为 ，
令
当 时，
，
此时 有一个零点，
要使方程 有三个不相等的实数根，
则在上有两个零点，
当 时，
，
所以即 可得.
同理，当 时，可得.
综上，实数的取值范围为 .故选B.
［素养小结］
（1）二次函数的图象与
轴交点的横坐标、二次不等式解集的端点
值、一元二次方程的解是同一个量的不同表现形式.
（2）二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结
合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图
象贯穿为一体.有关二次函数的问题，常数形结合求解，密切联系图
象是探求解题思路的有效方法.
探究点三 一元二次方程根的分布
例3（1）若方程的两实根均在区间 内，
则实数 的取值范围为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 根据题意可知，
解得，所以实数的取值范围是 .
（2）若关于的方程 的两根均为正实数，
则实数 的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
√
[解析] 方法一： 关于的方程 的两根均
为正实数，解得 ，
故实数的取值范围是 .故选D.
方法二：设,则 解得
,故实数的取值范围是 .故选D.
变式 ［2025· 甘肃兰州高一期末］已知函数 的一
个零点在区间内，另一个零点在区间内，则 的值可能
是( )
A. B.1 C. D.
√
[解析] 令，
由题意，得 即解得，
故的取值范围是 .四个选项中在内的只有 .故选D.
［素养小结］
（1）关于正根、负根问题，一般有两种解题方法：一是根据根与系
数的关系进行判断；二是应用根的分布，从
的符号，对称轴与
直线
的位置关系、判别式与0的关系进行判断.
（2）一元二次方程根的分布问题主要是根据对应函数的图象，结合
开口方向、判别式、特值符号、对称轴位置四个方面进行条件限制.
具体问题中，如两个根都在直线
的两侧，此时结合图象可知只
需考虑
的符号即可，而不需要考虑判别式的限制条件，因此对
于根的分布限制条件的确定一定要结合图象和二次函数的性质进行
合理限定.
探究点四 简单高次不等式的解法
例4 求函数 的零点，并作出函数图象
的示意图，写出不等式和 的解集.
解：令，
得或 或，因此函数的零点为 ，1，3.
函数 的定义域被这三个点分成了四部分，
每一部分的函数值的符号如下表所示.
- -
由此画出函数 的图象的示意图，如图所示.
由图可知，不等式 的解集为，
的解集为 .
变式（1）不等式 的解集为____________
_______.
[解析] 不等式 ，
即,令 ，
得或或，因此的零点为， ，5，
作出 图象的示意图，如图所示，
由图可得，不等式的解集为
.
（2）不等式 的解集为_____________________.
[解析] 不等式 ，即 ，
方程的根有3，1，2， ，0，
如图，按照数轴标根法可得不等式的解集为 .
［素养小结］
解简单高次不等式的一般步骤：
（1）将不等式右边化为0，左边分解因式；
（2）计算对应方程的根，求出对应函数的零点；
（3）判断函数值在各个区间上的正负，作出函数图象的示意图；
（4）根据函数图象的示意图与
轴的相关位置写出不等式的解集.
1.不等式 的解集为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 令,得,解得 ,
结合函数 的图象可知，
所求不等式的解集为 .故选B.
2.如果关于的一元二次不等式的解集为
或,那么对于函数 应有( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由不等式的解集为或，
可得 , 且，4是方程 的两个实数根，
所以解得 即函数
,
则的图象开口向上，且关于直线对称，则 ,
所以 .故选D.
3.已知函数，且 恒成立，当
时，只有1个零点，则实数 的取值范围为( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为恒成立，所以，
则 ，所以，
又 ，所以的零点为，1.
若当时， 只有1个零点，则 .
√
4.已知集合 ，集合
，则 ( )
A. B.
C. D.
[解析] 由得 ，
由得 ，
则 .故选A.
√
5.［2025· 四川乐山高一期中］若函数 在
上有零点，则实数 的最大值是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意得函数 的图象开口向上，
对称轴方程为.
令，则方程 在区间内有实数根,
.
当时, ,此时没有零点,不符合题意.
当时,或 .
当时,,则 的零点为，
又,所以 不符合题意；
当时,,则的零点为 ，
又,所以符合题意.
当 时,或,方程有两个不相等的根, ，
由题意知方程至少有一个根在区间内.
①若 ,解得,此时，
则的零点为0或 ,符合题意；
②若 ,解得，
此时,则的零点为0或 ,符合题意；
③若,要使函数 在上有零点,
则又 ,所以.
综上可得，的取值范围为 ，
故实数的最大值为 .故选D.
一、一元二次方程根的基本分布——零分布
所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系.比
如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程的一个
根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧.
设一元二次方程的两个实根分别为， ，
且.设函数 ，则一元二次方程根的
零分布有以下常用结论：
［定理1］,（两个正根）
推论：,
或 由下列二次函数的图象易知该推论正确.
例1 若一元二次方程 有两个正根，
求实数 的取值范围.
解：依题意有
解得，故实数的取值范围是 .
［定理2］,
推论：,
或 由下列二次函数的图象易知该推论正确.
例2 若一元二次方程 的两根都是负数，求实
数 的取值范围.
解：依题意有 解得或 .
［定理3］ .
例3 若一元二次方程 有一个正根和一个负根，
求实数 的取值范围.
解：依题意有解得，故实数的取值范围是 .
［定理4］（1）如图①所示，，且 ；
（2）如图②所示，，且 .
例4 若一元二次方程 有一根为零，则另
一根是正根还是负根？
解：由已知得，，代入原方程得 ，
解得, ，故另一根为负根.
二、一元二次方程根的非零分布 分布
设一元二次方程的两实根分别为， ，且
，为常数，设函数 ,则一元二次
方程根的分布（即，相对于 的关系）有以下定理.
［定理1］
由下列二次函数的图象易知该定理正确.
［定理2］
［定理3］ .
由下列二次函数的图象易知该定理正确.
推论 .
推论 .
由下列二次函数的图象易知该定理正确.
［定理4］ 有且仅有 或
.
由下列二次函数的图象易知该定理正确.
［定理5］
或
此定理可直接由定理4推出.
［定理6］ 或
由下列二次函数的图象易知该定理正确.
练习册
1.关于的一元二次不等式 的解集是全体实数的条
件是( )
A. B. C. D.
[解析] 由于不等式 的解集为全体实数，所以与之相
对应的二次函数的图象恒在轴下方，则有
√
2.若方程的两根满足一根大于2，一根小于1，则
的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 令，由题意可知
即所以即 .故选B.
√
3.若函数，当时， ，
则实数 的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 由题意知,方程的两个根分别为 ,，
所以，所以 .故选C.
√
4.［2024· 上海浦东新区高一期中］方程 在区间
和 上各有一个根的充要条件是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 令，
因为一元二次方程 在区间和上各有一个根，
所以 即解得，
则方程在区间 和上各有一个根的
充要条件是 .故选B.
5.当时,不等式恒成立,则实数 的取值范围
是( )
A. B. C. D.
[解析] 设,要使当 时,
不等式恒成立,只需即
解得，故实数的取值范围是 .
√
6.已知方程有两根,，其中 ，
，则实数 的取值范围为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 设，
则即 解得 .故选B.
★7.（多选题）已知函数，若 ，
则( )
A.当时，
B.当时，
C.当时，
D.与的大小关系与 有关
√
√
[解析] 由题知函数 的图象开口向上，
对称轴方程为.
当时，点, 关于直线对称，
则，故B正确；
当 时，，又，
所以点 到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
所以 ，故A正确，C错误；
显然与的大小关系与无关，故D错误.故选 .
［技巧点拨］ 此类综合性问题，需要结合二次函数的图象、判别式、
根与系数的关系等进行综合分析.
8.不等式 的解集为______________________.
或
[解析] 即，
则 或 即或，
所以原不等式的解集为 或 ．
9.已知，函数若函数的图象与
轴恰有2个交点，则 的取值范围是_______________.
[解析] 令,得,令,得或 .
因为函数的图象与轴恰有2个交点，
所以当两个交点为 ,时，1,2,,得;
当两个交点为, 时,，2,,得;
当两个交点为, 时,,1,,此时无解.
综上可得, 的取值范围是 .
10.（13分）若函数为上的奇函数，且当 时，
．
（1）求 的解析式.
解：因为函数为上的奇函数，所以 ；当时，
，则此时 .
综上所述，
（2）若，，试讨论取何值时， 的零点个
数最多？最少？
10.（13分）若函数为上的奇函数，且当 时，
．
解：令,得,作出函数 的图象
与直线 如图所示.
当时, 有5个零点；
当或时, 有4个零点；
当时， 有3个零点；
当或时， 有2个零点；
当或时， 有1个零点.
综上所述，当时，的零点个数最多；
当 或时， 的零点个数最少．
11.［2025·北京延庆区高一期中］已知函数 有两
个零点，在区间 上是单调的，且在该区间中有且只有一
个零点，则实数 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 函数在 上单调递减，
在上单调递增.
由在区间 上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点，
得且 或
且则或 解得或，
所以实数的取值范围是 .故选C.
12.（多选题）设函数有两个零点， ，
且 ，则下列说法中错误的有( )
A.， B.，
C.， D.，
√
√
√
[解析] 令 ，则，
所以函数 的零点就是函数
的图象与函数 的图象交点的横坐标.
在同一平面直角坐标系中作出函数
的图象与的图象，如图所示.
由图可知， .只有C中说法正确.故选 .
13.［2025· 辽宁大连高一期中］若方程 的
两根,满足，则实数 的取值范围是______
______________.
[解析] 当时，方程为 ，
此时方程只有一个根，不符合题意，故.
因为方程的两根, 满足
所以或 即或
解得或，故实数 的取值范围为 .
14.（15分）已知二次函数的最小值为1，且 ．
（1）求 的解析式；
解：根据题意，二次函数满足，
可得函数 的图象的对称轴方程为 .
因为函数 的最小值为1，所以不妨设 ，
又因为，所以，解得 ，
所以函数的解析式为 ，
即 .
（2）若在区间上不单调，求实数 的取值范围；
解：由已知得的图象的对称轴方程为 ，
因为函数在区间 上不单调，所以，
解得 ，故实数的取值范围为 .
14.（15分）已知二次函数的最小值为1，且 ．
（3）在区间上，的图象恒在 的图
象上方，试确定实数 的取值范围．
解：因为在区间上，的图象恒在
的图象上方，所以对 恒成立，
即对 恒成立.
设，则其图象的对称轴方程为，则 在
上单调递减，所以函数在上的最小值为
，则 ，所以实数的取值范围为 ．
14.（15分）已知二次函数的最小值为1，且 ．
15.（15分）［2025·甘肃金昌高一期中］ 若关于 的方程
有4个不等实根，求 的取
值范围.
解：令，则 ，原方程转化为 .
作出函数 的图象，如图所示.
由图可知，当或时，
方程 有2个不同的根，
当时，方程 有3个不同的根，
当时，方程 有4个不同的根.
设函数， .
若原方程有四个不等实根，则有以下四种情况：
式有一个根为零，另一个根大于1，
若0为方程的根，则 ，
此时方程的另一个根为 ，不符合题意.
式有两个不相等的根且两个根均大于1，
则解得 .
式有一个根在之间,另一根小于零,则 解得 .
式有两个相等的根，且根在 上，则，
解得 ，当时，方程的
解为 ,而 ，不符合题意；
当时，方程的解为 ，
而 ，不符合题意.
综上所述，的取值范围为 .
16.（15分）已知函数 .
（1）是否存在实数,，使得不等式的解集是
若存在,求出实数, 的值;若不存在,请说明理由.
解：假设存在实数,使得不等式 的解集是
,则方程的两根是3和4,且 ,
解得与 矛盾,
故不存在实数,，使得不等式的解集是 .
（2）若为整数,,且函数在 上恰有一个零点,
求 的值.
16.（15分）已知函数 .
解：, .
,
函数 必有两个零点.
由函数在 上恰有一个零点,分三种情况讨论：
①当或时,由或
得 ，符合题意；
②当时，，由 ，
得或 ，不符合题意；
③当时，，由 ，
得或 ，不符合题意.
综上， .又为整数, .
快速核答案(导学案)
课前预习 知识点一 横坐标
方程无解
【诊断分析】（1）× （2）√ （3）√ （4）× （5）√
课中探究 探究点一 例1（1）
（2）
（3） >（2）
探究点二 例2 （1）A （2）
（3）> 变式 B
探究点三 例3 （1）B （2）D 变式 D
探究点四 例4
的零点为
，1，3；图略；不等式
的解集为
，
的解集为
. 变式 （1）
（2）
课堂评价 1.B 2.D 3.D 4.A 5.D
备用习题 例1
例2 或
例3 例4 另一根为负根 /
快速核答案(练习册)
基础巩固 1.D 2.B 3.C 4.B 5.D 6.B 7.AB
8.或 9.
10.（1）m>（2）当时，的零点
个数最多；当或时，的零点个数最少．
综合提升 11.C 12.ABD 13.
14.（1）（2） >思维探索 15.
16.（1）不存在（2）第2课时 二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系
【课前预习】
知识点一
横坐标 > = < 方程无解 x≠x1
诊断分析
(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)√ [解析] (1)由(-1)2-4×1×1=-3<0,知函数y=x2-x+1的图象与x轴没有交点.
(2)由(-5)2-4×1×6=1>0,知方程x2-5x+6=0有两个不相等的实根.
(3)由(-2a)2-4(a2-1)=4>0,知方程x2-2ax+(a2-1)=0恒有两个不相等的实数根.
(4)因为ax2+2x-4=0有一个根是1,所以a×12+2×1-4=0,得a=2,所以方程为2x2+2x-4=0,即x2+x-2=0,由求根公式得另一个根为-2.
(5)由函数f(x)=x2-bx+c的图象可知不等式x2-bx+c<0的解集为(-1,3).
【课中探究】
例1 解:(1)由4x2≤2x-,得4x2-2x+≤0,即≤0.因为函数y=的零点为,且其图象开口向上,所以4x2≤2x-的解集为.
(2)由1-x≤-2x2,得2x2-x+1≤0,Δ=(-1)2-4×2=-7<0,结合函数y=2x2-x+1的图象知2x2-x+1≤0的解集为 ,即原不等式的解集为 .
(3)设f(x)=x2-2x-3,令f(x)=0,得x2-2x-3=0,即(x-3)(x+1)=0,从而x=3或x=-1,因此3和-1都是函数f(x)的零点,从而函数f(x)的图象与x轴相交于点(3,0)和(-1,0).又因为函数f(x)的图象是开口向上的抛物线,所以所求不等式的解集为(-∞,-1)∪(3,+∞).
变式 解:(1)因为方程2x2-x+6=0的判别式Δ=(-1)2-4×2×6<0,所以函数y=2x2-x+6的图象开口向上,且与x轴无交点,所以原不等式的解集为R.
(2)原不等式可化为(x-5)(x+1)≤0,设函数f(x)=(x-5)(x+1),因此f(x)的零点为-1,5,又f(x)的图象为开口向上的抛物线,所以可得原不等式的解集为[-1,5].
例2 (1)A (2){x|-30的解集是(-2,1),故选A.
(2)由题意知所以代入不等式cx2-bx+a>0中,得ax2+ax+a>0(a<0),即x2+x+1<0,化简得x2+5x+6<0,解得-30的解集为{x|-3(3)解:方程m2-2m-3=0的两根为-1和3,分类讨论如下:当m=-1时,原不等式变为4x-1<0,显然对任意x∈R,不等式不恒成立,所以m=-1不符合题意;
当m=3时,原不等式变为-1<0,显然对任意x∈R,不等式恒成立,所以m=3符合题意;当m≠-1且m≠3时,结合二次函数的图象知解得则-综上,实数m的取值范围是.
变式 B [解析] 当m=0时,则原方程为x2=x2+4,等式不成立,故m≠0.当m>0时,关于x的方程|x2-2mx|=x2+4,即为|x2-2mx|-x2-4=0,令F(x)=|x2-2mx|-x2-4=当x∈(-∞,0]∪[2m,+∞)时,F(x)=-2mx-4∈(-∞,-4m2-4]∪[-4,+∞),此时F(x)有一个零点,要使方程|x2-2mx|=x2+4有三个不相等的实数根,则F(x)在(0,2m)上有两个零点,当x∈(0,2m)时,F(x)=2mx-2x2-4=-2+-4,所以即可得m>2.同理,当m<0时,可得m<-2.综上,实数m的取值范围为(-∞,-2)∪(2,+∞).故选B.
例3 (1)B (2)D [解析] (1)根据题意可知,解得-4+2≤k<-,所以实数k的取值范围是.
(2)方法一:∵关于x的方程x2-(m-1)x+2-m=0的两根均为正实数,∴解得-1+2≤m<2,故实数m的取值范围是[-1+2,2).故选D.
方法二:设f(x)=x2-(m-1)x+2-m,则解得-1+2≤m<2,故实数m的取值范围是[-1+2,2).故选D.
变式 D [解析] 令f(x)=5x2-7x-m,由题意,得即解得6例4 解:令f(x)=(2x+1)(x-1)(x-3)=0,得x=-或x=1或x=3,因此函数f(x)的零点为-,1,3.
函数f(x)的定义域被这三个点分成了四部分,每一部分的函数值的符号如下表所示.
x (1,3) (3,+∞)
f(x) - + - +
由此画出函数f(x)的图象的示意图,如图所示.
由图可知,不等式f(x)>0的解集为∪(3,+∞),f(x)≤0的解集为∪[1,3].
变式 (1)(-∞,-3)∪ (2)(-∞,-1]∪(1,2)∪{0} [解析] (1)不等式(2x+1)(x+3)(5-x)>0,即(2x+1)(x+3)(x-5)<0,令f(x)=(2x+1)(x+3)(x-5)=0,得x=-或x=-3或x=5,因此f(x)的零点为-3,-,5,作出f(x)图象的示意图,如图所示,由图可得,不等式的解集为(-∞,-3)∪.
(2)不等式≥0,即≤0,方程x2(x+1)(x-2)(x-1)(x-3)2=0的根有3,1,2,-1,0,如图,按照数轴标根法可得不等式的解集为(-∞,-1]∪(1,2)∪{0}.
【课堂评价】
1.B [解析] 令x2-2x+1=0,得(x-1)2=0,解得x=1,结合函数y=x2-2x+1的图象可知,所求不等式的解集为(-∞,1)∪(1,+∞).故选B.
2.D [解析] 由不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|x<-2或x>4},可得a>0,且-2,4是方程ax2+bx+c=0的两个实数根,所以解得即函数f(x)=ax2+bx+c=ax2-2ax-8a=a(x-1)2-9a(a>0),则f(x)的图象开口向上,且关于直线x=1对称,则f(-1)=f(3),所以f(2)3.D [解析] 因为f(x)+f(-x)=4恒成立,所以2f(0)=4,则b=2,所以f(x)=x3-3x+2,又f(x)=x3-3x+2=(x+2)(x-1)2,所以f(x)的零点为-2,1.若当x≤a时,f(x)只有1个零点,则-2≤a<1.
4.A [解析] 由A={x|(x-2)2(x+2)>0}得A=(-2,2)∪(2,+∞),由B={x|(x-2)3(x+2)≤0}得B={x|-2≤x≤2},则A∩B=(-2,2).故选A.
5.D [解析] 由题意得函数g(x)=x2-2ax+4a+4的图象开口向上,对称轴方程为x=a.令g(x)=0,则方程x2-2ax+4a+4=0在区间[-2,0]内有实数根,Δ=4a2-4(4a+4)=4(a2-4a-4)=4(a-2-2)(a-2+2).当Δ<0时,2-20时,a>2+2或a<2-2,方程有两个不相等的根x1,x2,由题意知方程至少有一个根在区间[-2,0]内.①若g(0)=4a+4=0,解得a=-1,此时g(x)=x2+2x=x(x+2),则g(x)的零点为0或-2,符合题意;②若g(-2)=4+4a+4a+4=8a+8=0,解得a=-1,此时g(x)=x2+2x=x(x+2),则g(x)的零点为0或-2,符合题意;③若g(0)·g(-2)=32(a+1)2>0,要使函数g(x)在[-2,0]上有零点,则又Δ>0,所以-1【学习目标】
1.通过一元二次函数的零点问题解一元二次不等式;
2.了解高次不等式的解法.
◆ 知识点一 二次函数的图象与相应二次方程的根和二次不等式的解集之间的关系
对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),当y=0时,得一元二次方程ax2+bx+c=0,这时方程的根就是二次函数的图象与x轴交点的 ;当y≠0时,得不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0,下表给出了当a>0时,二次函数的图象、二次方程的根、二次不等式的解集的关系:
b2-4ac 0 b2-4ac 0 b2-4ac 0
y=ax2+ bx+c
ax2+bx+ c=0 x=x1或 x=x2 x=x1=x2
(续表)
ax2+bx+ c>0 {x|xx2} {x| } R
ax2+bx+ c<0 {x|x1【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y=x2-x+1的图象与x轴有交点.( )
(2)方程x2-5x+6=0有两个不相等的实根. ( )
(3)方程x2-2ax+(a2-1)=0恒有两个不相等的实数根. ( )
(4)若函数y=ax2+2x-4的图象与x轴的一个交点坐标是(1,0),则方程ax2+2x-4=0的两个根是1和2. ( )
(5)函数f(x)=x2-bx+c的图象与x轴的两个交点为(-1,0),(3,0),则不等式x2-bx+c<0的解集为(-1,3). ( )
◆ 知识点二 一元二次方程根的分布
二次方程f(x)=ax2+bx+c=0(a>0)的实根分布及条件:
(1)方程f(x)=0的两根中一根比r大,另一根比r小 f(r)<0.
(2)二次方程f(x)=0的两根都大于r
(3)二次方程f(x)=0在区间(p,q)内有两根
(4)二次方程f(x)=0在区间(p,q)内只有一根 f(p)·f(q)<0或f(p)=0(或f(q)=0)且另一根在区间(p,q)内.
(5)方程f(x)=0的两根中一根小于p,另一根大于q(p◆ 探究点一 解一元二次不等式
例1 利用函数求下列一元二次不等式的解集:
(1)4x2≤2x-;
(2)1-x≤-2x2;
(3)x2-2x-3>0.
变式 利用函数求下列不等式的解集:
(1)2x2-x+6>0;
(2)(5-x)(x+1)≥0.
[素养小结]
求解一元二次不等式的解集的一般步骤:
(1)求方程的解,即函数的零点;
(2)结合函数图象的开口方向及与x轴的交点情况确定不等式解的情况;
(3)将解集写成区间的形式.
◆ 探究点二 三个“二次”的关系
例2 (1)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则不等式ax2+bx+c>0的解集是( )
A.(-2,1)
B.(-∞,-2)∪(1,+∞)
C.[-2,1]
D.(-∞,-2]∪[1,+∞)
(2)若关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为,则关于x的不等式cx2-bx+a>0的解集是 .
(3)若不等式(m2-2m-3)x2-(m-3)x-1<0对任意x∈R恒成立,求实数m的取值范围.
变式 [2025·河北石家庄高一期中] 已知关于x的方程|x2-2mx|=x2+4有三个不相等的实数根,则实数m的取值范围为 ( )
A.(-2,2)
B.(-∞,-2)∪(2,+∞)
C.(-2,2)
D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
[素养小结]
(1)二次函数的图象与x轴交点的横坐标、二次不等式解集的端点值、一元二次方程的解是同一个量的不同表现形式.
(2)二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”,它们常结合在一起,而二次函数又是“三个二次”的核心,通过二次函数的图象贯穿为一体.有关二次函数的问题,常数形结合求解,密切联系图象是探求解题思路的有效方法.
◆ 探究点三 一元二次方程根的分布
例3 (1)若方程x2+(k+2)x-k=0的两实根均在区间(-1,1)内,则实数k的取值范围为 ( )
A.
B.
C.
D.
(2)若关于x的方程x2-(m-1)x+2-m=0的两根均为正实数,则实数m的取值范围是( )
A.(-∞,-1-2]∪[-1+2,+∞)
B.(1,2)
C.[2-1,+∞)
D.[-1+2,2)
变式 [2025·甘肃兰州高一期末] 已知函数y=5x2-7x-m的一个零点在区间(-1,0)内,另一个零点在区间(2,3)内,则m的值可能是 ( )
A.- B.1
C. D.
[素养小结]
(1)关于正根、负根问题,一般有两种解题方法:一是根据根与系数的关系进行判断;二是应用根的分布,从f(0)的符号,对称轴与直线x=0的位置关系、判别式与0的关系进行判断.
(2)一元二次方程根的分布问题主要是根据对应函数的图象,结合开口方向、判别式、特值符号、对称轴位置四个方面进行条件限制.具体问题中,如两个根都在直线x=r的两侧,此时结合图象可知只需考虑f(r)的符号即可,而不需要考虑判别式的限制条件,因此对于根的分布限制条件的确定一定要结合图象和二次函数的性质进行合理限定.
◆ 探究点四 简单高次不等式的解法
例4 求函数f(x)=(2x+1)(x-1)(x-3)的零点,并作出函数图象的示意图,写出不等式f(x)>0和f(x)≤0的解集.
变式 (1)不等式(2x+1)(x+3)(5-x)>0的解集为 .
(2)不等式≥0的解集为 .
[素养小结]
解简单高次不等式的一般步骤:
(1)将不等式右边化为0,左边分解因式;
(2)计算对应方程的根,求出对应函数的零点;
(3)判断函数值在各个区间上的正负,作出函数图象的示意图;
(4)根据函数图象的示意图与x轴的相关位置写出不等式的解集.
1.不等式x2-2x+1>0的解集为 ( )
A.R B.(-∞,1)∪(1,+∞)
C.(1,+∞) D.(-∞,1)
2.如果关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|x<-2或x>4},那么对于函数f(x)=ax2+bx+c应有 ( )
A.f(5)B.f(2)C.f(-1)D.f(2)3.已知函数f(x)=x3-3x+b,且f(x)+f(-x)=4恒成立,当x≤a时,f(x)只有1个零点,则实数a的取值范围为 ( )
A.(-∞,-2)
B.
C.(-∞,-2)∪
D.[-2,1)
4.已知集合A={x|(x-2)2(x+2)>0},集合B={x|(x-2)3(x+2)≤0},则A∩B= ( )
A.(-2,2) B.(-∞,-2)∪(2,+∞)
C.(-2,2] D.[-2,2)
5.[2025·四川乐山高一期中] 若函数g(x)=x2-2ax+4a+4在[-2,0]上有零点,则实数a的最大值是 ( )
A.-1 B.-2
C.1- D.2-2第2课时 二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系
1.D [解析] 由于不等式ax2+bx+c<0的解集为全体实数,所以与之相对应的二次函数y=ax2+bx+c的图象恒在x轴下方,则有
2.B [解析] 令f(x)=x2-2mx+4,由题意可知
即所以即m>.故选B.
3.C [解析] 由题意知,方程mx2+8mx+21=0的两个根分别为-7,-1,所以=(-7)×(-1)=7,所以m=3.故选C.
4.B [解析] 令f(x)=x2+2ax-a,因为一元二次方程x2+2ax-a=0在区间(0,1)和(1,2)上各有一个根,所以即解得-5.D [解析] 设f(x)=x2+mx+4,要使当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立,只需即
解得m≤-5,故实数m的取值范围是(-∞,-5].
6.B [解析] 设f(x)=x2+ax+2,则即解得-7.AB [解析] 由题知函数f(x)=ax2-2ax+4(a>0)的图象开口向上,对称轴方程为x=1.当x1+x2=2时,点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))关于直线x=1对称,则f(x1)=f(x2),故B正确;当x1+x2>2时,>1,又x1[技巧点拨] 此类综合性问题,需要结合二次函数的图象、判别式、根与系数的关系等进行综合分析.
8.{x|x<-1或0即x<-1或09.(1,2]∪(3,+∞) [解析] 令x-3=0,得x=3,令x2-3x+2=0,得x=1或x=2.因为函数f(x)的图象与x轴恰有2个交点,所以当两个交点为(1,0),(2,0)时,1,2,3∈(-∞,μ),得μ>3;当两个交点为(1,0),(3,0)时,1∈(-∞,μ),2,3∈[μ,+∞),得1<μ≤2;当两个交点为(2,0),(3,0)时,2∈(-∞,μ),1,3∈[μ,+∞),此时μ无解.综上可得,μ的取值范围是(1,2]∪(3,+∞).
10.解:(1)因为函数y=f(x)为R上的奇函数,所以f(0)=0;
当x<0时,-x>0,
则此时f(x)=-f(-x)=-(x2+4x+3)=-x2-4x-3.
综上所述,f(x)=
(2)令g(x)=0,得a=f(x),作出函数y=f(x)的图象与直线y=a如图所示.
当a=0时,g(x)=f(x)-a有5个零点;
当0当a=±1时,g(x)=f(x)-a有3个零点;
当1当a≤-3或a≥3时,g(x)=f(x)-a有1个零点.
综上所述,当a=0时,g(x)=f(x)-a的零点个数最多;当a≤-3或a≥3时,g(x)=f(x)-a的零点个数最少.
11.C [解析] 函数f(x)=x2+ax+2在上单调递减,在上单调递增.由f(x)在区间(-1,2)上是单调的,且在该区间中有且只有一个零点,得(-1,2) 且或(-1,2) 且则或解得a≤-4或a>3,所以实数a的取值范围是(-∞,-4]∪(3,+∞).故选C.
12.ABD [解析] 令g(x)=(x-2)(x-5),则f(x)=g(x)-1,所以函数y=f(x)的零点就是函数g(x)=(x-2)(x-5)的图象与函数y=1的图象交点的横坐标.在同一平面直角坐标系中作出函数g(x)=(x-2)(x-5)的图象与y=1的图象,如图所示.由图可知x1<2,x2>5.只有C中说法正确.故选ABD.
13.(-∞,-4)∪(2,+∞) [解析] 当k=0时,方程为-x-3=0,此时方程只有一个根,不符合题意,故k≠0.因为方程kx2-(2k+1)x-3=0的两根x1,x2满足-12或k<-4,故实数k的取值范围为(-∞,-4)∪(2,+∞).
14.解:(1)根据题意,二次函数f(x)满足f(0)=f(2)=3,可得函数f(x)的图象的对称轴方程为x=1.
因为函数f(x)的最小值为1,
所以不妨设f(x)=k(x-1)2+1,
又因为f(0)=3,所以f(0)=k+1=3,解得k=2,
所以函数f(x)的解析式为f(x)=2(x-1)2+1,即f(x)=2x2-4x+3.
(2)由已知得f(x)的图象的对称轴方程为x=1,
因为函数f(x)在区间[3a,a+1]上不单调,
所以3a<1故实数a的取值范围为.
(3)因为在区间[-3,-1]上,y=f(x)的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方,
所以2x2-4x+3>2x+2m+1对x∈[-3,-1]恒成立,
即m设g(x)=x2-3x+1,则其图象的对称轴方程为x=,则g(x)在[-3,-1]上单调递减,
所以函数g(x)在[-3,-1]上的最小值为g(-1)=5,则m<5,所以实数m的取值范围为(-∞,5).
15.解:令t=|x2-1|,则t≥0,
原方程转化为t2-2kt+k+1=0(*).
作出函数y=|x2-1|的图象,如图所示.
由图可知,当t=0或t>1时,方程t=|x2-1|有2个不同的根,
当t=1时,方程t=|x2-1|有3个不同的根,
当0设函数f(t)=t2-2kt+k+1,t≥0.
若原方程有四个不等实根,则有以下四种情况:
①(*)式有一个根为零,另一个根大于1,
若0为方程t2-2kt+k+1=0的根,则k=-1,此时方程的另一个根为-2,不符合题意.
②(*)式有两个不相等的根且两个根均大于1,则解得③(*)式有一个根在(0,1)之间,另一根小于零,则解得k<-1.
④(*)式有两个相等的根,且根在(0,1)上,
则Δ=4k2-4(k+1)=0,解得k=,
当k=时,方程t2-(+1)t++1=0的解为x=,而>1,不符合题意;
当k=时,方程t2-(1-)t++1=0的解为x=,而<0,不符合题意.
综上所述,k的取值范围为(-∞,-1)∪.
16.解:(1)假设存在实数a,b使得不等式ax2-bx+1>0的解集是{x|3∴解得与a<0矛盾,
故不存在实数a,b,使得不等式f(x)>0的解集是{x|3(2)∵b=a+2,∴f(x)=ax2-(a+2)x+1.
∵Δ=(a+2)2-4a=a2+4>0,
∴函数f(x)=ax2-bx+1必有两个零点.
由函数f(x)在(-2,-1)上恰有一个零点,分三种情况讨论:
①当或时,由或得-②当f(-2)=0时,a=-,由f(x)=-x2-x+1=0,得x=-2或x=,不符合题意;
③当f(-1)=0时,a=-,由f(x)=-x2-x+1=0,得x=-1或x=,不符合题意.
综上,-1.关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集是全体实数的条件是 ( )
A. B.
C. D.
2.若方程x2-2mx+4=0的两根满足一根大于2,一根小于1,则m的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
3.若函数f(x)=mx2+8mx+21,当f(x)<0时,-7A.1 B.2
C.3 D.4
4.[2024·上海浦东新区高一期中] 方程x2+2ax-a=0在区间(0,1)和(1,2)上各有一个根的充要条件是 ( )
A.a∈(-∞,-1) B.a∈
C.a∈ D.a∈(-2,-1)
5.当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立,则实数m的取值范围是 ( )
A.(-∞,5] B.[-5,+∞)
C.[-5,5] D.(-∞,-5]
6.已知方程x2+ax+2=0有两根x1,x2,其中x1∈,x2∈(2,3),则实数a的取值范围为 ( )
A.
B.
C.
D.∪(1,+∞)
★7.(多选题)已知函数f(x)=ax2-2ax+4(a>0),若x1A.当x1+x2>2时,f(x1)B.当x1+x2=2时,f(x1)=f(x2)
C.当x1+x2>2时,f(x1)>f(x2)
D.f(x1)与f(x2)的大小关系与a有关
8.不等式<0的解集为 .
9.已知μ∈R,函数f(x)=若函数f(x)的图象与x轴恰有2个交点,则μ的取值范围是 .
10.(13分)若函数f(x)为R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x2-4x+3.
(1)求f(x)的解析式.
(2)若a∈R,g(x)=f(x)-a,试讨论a取何值时,g(x)的零点个数最多 最少
11.[2025·北京延庆区高一期中] 已知函数f(x)=x2+ax+2有两个零点,f(x)在区间(-1,2)上是单调的,且在该区间中有且只有一个零点,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,-2)∪(2,+∞)
B.(-∞,-3)∪(3,+∞)
C.(-∞,-4]∪(3,+∞)
D.(-∞,-4]∪[2,+∞)
12.(多选题)设函数f(x)=(x-2)(x-5)-1有两个零点x1,x2,且x1A.x1<2,2B.x1>2,x2>5
C.x1<2,x2>5
D.25
13.[2025·辽宁大连高一期中] 若方程kx2-(2k+1)x-3=0的两根x1,x2满足-114.(15分)已知二次函数f(x)的最小值为1,且f(0)=f(2)=3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若f(x)在区间[3a,a+1]上不单调,求实数a的取值范围;
(3)在区间[-3,-1]上,y=f(x)的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方,试确定实数m的取值范围.
15.(15分)[2025·甘肃金昌高一期中] 若关于x的方程(x2-1)2-2k|x2-1|+k+1=0(k∈R)有4个不等实根,求k的取值范围.
16.(15分)已知函数f(x)=ax2-bx+1.
(1)是否存在实数a,b,使得不等式f(x)>0的解集是{x|3(2)若a为整数,b=a+2,且函数f(x)在(-2,-1)上恰有一个零点,求a的值.