(共63张PPT)
3.2 函数与方程、不等式之间的关系
第3课时 零点的存在性及其近似值
的求法
探究点一 零点存在定理的应用
探究点二 二分法的概念及应用
探究点三 求方程的近似解
◆
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
课堂评价
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.掌握函数零点存在定理，并会判断函数零点的个数；
2.了解二分法是求方程近似解的常用方法，掌握用二分法求函数
零点近似值的步骤；
3.理解函数与方程之间的联系，并能用函数与方程思想分析问题、
解决问题.
知识点一 函数零点存在定理
如果函数在区间 上的图象是__________的，并且
_____________（即在区间两个端点处的函数值异号），则函数
在区间 中至少有一个零点，即_____________________.
连续不断
,
【诊断分析】
若函数在内有零点，则 一定成立吗？
解：不一定.可能在或 处无定义，
即使有定义，也可能.
如函数在 内有零点，但 .
知识点二 二分法定义
对于在区间上图象连续不断且_____________的函数 ，
通过不断地把它的零点所在的区间__________，使所得区间的两个
端点______________，进而得到零点________的方法叫作二分法.
一分为二
逐步逼近零点
近似值
知识点三 用二分法求函数零点近似值的步骤
在函数零点存在定理的条件满足时，给定近似的精确度 ，用二分法
求零点的近似值，使得 的一般步骤如下：
第一步，检查 是否成立，如果成立，取_________，计
算结束；如果不成立，转到第二步.
第二步，计算区间的中点 对应的函数值，若___________，
取，计算结束；若 ，转到第三步.
第三步,若，将的值赋给（用 表示，下
同），回到第一步；否则必有，将的值赋给 ，回
到第一步.
【诊断分析】
用二分法求方程的近似解时，如何决定步骤的结束？
解：根据精确度决定，当零点所在的区间为，
且 时，取 ，步骤结束.
探究点一 零点存在定理的应用
例1（1）［2025·福建泉州高一期中］函数 的零点所在
的区间为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 显然函数,都是 上的增函数，
所以在上单调递增，且
在 上是连续函数，所以只有一个零点，
又 ，，
所以 ，根据零点存在定理，
得的零点所在的区间是 .故选C.
（2）已知函数满足，,则
在 上的零点( )
A.至多有一个 B.有一个或两个 C.有且仅有一个 D.一个也没有
[解析] 若，则是一次函数，因为 ,
,所以，可得在 上的零点只有一个.
若，则是二次函数，
假设在 上有两个零点，则必有，
与已知矛盾，故在 上有且只有一个零点.
综上所述，在 上的零点有且仅有一个.故选C.
√
变式 ［2025·辽宁朝阳高一期中］已知函数 ，在下列区
间中，一定包含 的零点的区间是( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意得 ,
， ,
，所以一定包含零点的区间是 .
故选A.
√
［素养小结］
若连续函数满足,则函数在内存在零点，若此时在上单调，则此零点
唯一.
探究点二 二分法的概念及应用
例2（1）下列图象所表示的函数中，能用二分法求零点的是( )
A. B. C. D.
[解析] 函数图象连续不断，函数零点附近的函数值异号，这样的函
数零点才能使用二分法求解，观察四个函数图象，只有B选项符合.
√
（2）已知函数， ，用二分法求方程
在区间内的实根，取区间中点为 ，那么
下一个有根的区间是_______.
[解析] 因为， ，
，所以 ，
所以方程在区间 内有实根.
［素养小结］
用二分法求函数零点时需要注意：
（1）函数图象在零点附近连续；
（2）该零点左右函数值异号.
探究点三 求方程的近似解
例3 用二分法求方程 的一个近似解.（精确度为0.05）
解：令，由于， ，
因此取区间 作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，
列表如下：
零点所在区间 区间中 点 中点对应的函 数近似值 取中点作为近似值时误
差小于的值
1.25 0.5
0.25
0.125
因为 ，
所以方程的一个近似解为 .
变式 求的近似值.（精确度为 ）
解：令，则.
令，则 就是函数的零点．
因为， ，所以可取初始区间为 ，
用二分法逐次计算，列表如下：
零点所在区间 区间中点 中点对应的函 数近似值 取中点作为近
似值时误差小
于的值
0.5
0.25
0.125
因为，
所以 的近似值可取为 .
［素养小结］
利用二分法求方程零点的近似值时,首先构造一个函数，然后利用二
分法，求解函数值的近似值，不断把零点所在区间“二分”，直到
为止，是题目给定的精确度，然后取即可.
1.若函数在区间 上的图象是一条连续的曲线，则下列
说法正确的是( )
A.若，则不存在实数，使得
B.若，则存在且只存在一个实数 ，使得
C.若，则有可能存在实数，使得
D.若，则有可能不存在实数，使得
√
[解析] 根据函数零点存在定理进行判断，若 ，
则一定存在实数，使得，但 的个数不确定，
故B，D错误；
若，则有可能存在实数，
使得 ，如，，
但在区间 内有两个零点,故A错误,C正确.故选C.
2.已知函数在区间 上存在零点，则( )
A.或 B.
C.或 D.
[解析] 由在区间上存在零点，
得且
,解得或 .故选C.
√
3.用二分法求如图所示的图象所表示的
函数 的零点时，不可能求出的零点
是( )
A. B. C. D.
[解析] 观察图象可知，附近两边的函数值都为负数，
所以 不能用二分法求得.故选C.
√
4.用二分法求函数的一个正实数零点时,经计算,得 ,
, ,则函数的一个精确度为0.025的正实数零点
的近似值为( )
A.0.64 B.0.74 C.0.7 D.0.6
[解析] 因为,,所以零点在区间 内.
因为 ,
所以所求零点的近似值为 .
√
5.若函数 的一个零点（正数）附近的函数值
用二分法逐次计算，参考数据如下表（函数值为近似值）
1 1.5 1.25 1.375
0.625 0.162
则方程 的一个近似解为__________.（精确度为
）
[解析] 设方程的解为.
因为 ，所以；
因为，所以 ；
因为,所以；
因为 ，所以；
因为 ，，
所以 ，
此时 ，
所以 .
求函数零点的近似值
利用二分法求函数在区间 上零点的近似值，需根据图象估
计零点所在区间，然后根据零点存在定理，采用二分法的方式逐步
缩小区间“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求.
例 若函数在 内有一个零点，用二分法
计算方程的一个近似解（精确度为 ）为
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题知，，
故取区间 作为计算的初始区间，用二分法逐次计算如下：
零点所在区间 区间中点 中点对应的函数值
因为，
所以方程 的一个近似解为 .故选B.
练习册
1.［2025·山东德州高一期中］用二分法研究函数
的零点时，通过计算得， ，则下一步应计算
，则 ( )
A.0 B. C. D.
[解析] 因为，，
且函数 图象连续不断，
所以函数在区间 内有零点，
所以下一步应计算， .故选C.
√
2.已知函数 的图象如图所示，其中零点的个数及
可以用二分法求近似解的零点的个数分别为( )
A.4,4 B.3,4 C.5,4 D.4,3
[解析] 由图象知函数的图象与 轴有4个交点,因此零点的个数为4.
从左往右数第4个与 轴的交点两侧不满足函数值异号,因此不能用
二分法求零点近似解,而其余3个均可使用二分法求零点近似解.
√
3.［2025·宁夏银川高一期中］用二分法求函数在区间
上零点的近似值时，经验证有 ，取区间的中点
，计算得，则此时零点 满足( )
A. B. C. D.
[解析] 根据题意， ，根据零点存在定理，
得函数在上存在零点，取区间的中点 ，
且，即，所以 .故选C.
√
★4.若函数唯一的一个零点同时在区间，， ，
内，则下列说法中正确的是( )
A.函数在区间 内有零点
B.函数在区间 内无零点
C.函数在区间 内无零点
D.函数在区间或 内有零点
√
[解析] 由函数唯一的一个零点同时在区间，
， ，内,可确定零点在区间内，
故在区间 内无零点，故选项B正确；
当的零点在区间时，选项A，C错误；
的零点可能为1，故选项D错误.故选B.
［易错点］ 在用零点存在定理判断函数零点时，要注意：
在函数的图象是连续不断的前提下，“”是“函数
在区间 内有零点”的充分不必要条件.
5.已知函数的图象在区间 上连续不断，则“
”是“在 上存在零点”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
[解析] 当在 上存在零点时，
不一定能得到，
例如，此时 的零点为2，
但 ，所以必要性不成立.
当时，若,, 三个值中存在0，
则在上存在零点，若,, 三个值均不为0，
不妨设，因为，
所以 ,,取等号时 不满足条件，
所以,，则 ，
根据函数零点存在定理可知在 上存在零点,所以充分性成立.
所以“”是“在 上存在零点”的
充分不必要条件，故选A.
6.若函数 的一个正数零点附近的函数值用二
分法逐次计算，参考数据如下表：
那么方程的一个近似解（精确度为 ）为
( )
A.1.25 B. C. D.
√
[解析] ，
，则零点在区间 内，
即该方程的根在区间 内，
又，
方程的近似解为 .故选D.
7.（多选题）用二分法求方程 的近似解时，第一次所取的区
间是 ，则第三次所取的区间可能是( )
A. B. C. D.
[解析] 第一次所取的区间是，
第二次所取的区间可能为,，
第三次所取的区间可能为, ,,.故选 .
√
√
8.用二分法研究函数 的零点时，第一次经过计算
得，，可得其中一个零点 ________，第二
次应计算________.
[解析] 由零点存在定理可知， ，
取该区间的中点，所以第二次应计算 .
9.已知函数有零点，但不能用二分法求出，则 ，
的关系是________．
[解析] 函数有零点，但不能用二分法求出，
函数的图象与轴相切，
， .
10.（13分）用二分法求方程的近似解.（精确度为 ）
解：令.因为 为偶函数,
所以只要求出一个正实数解即可.
因为,,所以方程在 内有解,
所以取区间 为初始区间,用二分法逐步计算,列表如下:
零点所在区间 区间中点 中点对应的 函数值 取中点作为近似值时误
差小于的值
2.5 0.5
2.75 0.25
2.875 0.125
由于 ,
所以可取 作为方程的一个近似解,
则方程的近似解是 .
11.函数, 有零点，用二分法求零点的
近似值（精确度小于 ）时，至少需要计算区间中点的次数为
( )
A.2 B.3 C.4 D.5
√
[解析] ,，
，取区间的中点 ，
因为，所以零点在区间 上
，取区间的中点 ，
因为，所以零点在区间 上
，取区间的中点 ，
因为,所以零点在区间 上.
因为，所以区间 的中点
，即为零点的近似值，即函数的零点 ,
所以至少需进行4次区间中点的计算.故选C.
12.（多选题）若函数的图象是连续的，且函数 的唯一异号
零点同在，，内，则与 符号不同的是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为函数的唯一异号零点同在，， 内，
所以函数的零点在内，所以 ，
，，，
所以与 符号不同的是，，.故选 .
√
√
√
13.若函数的图象是连续不断的，且 ,
,则下列说法中一定正确的是____.（填序号）
①函数在区间 内有零点；
②函数在区间 内有零点；
③函数在区间 内有零点；
④函数在区间 内有零点.
④
[解析] ,
,, 中有一个小于0，两个大于0或三个都小于0，
又, 函数在区间 内一定有零点.故填④.
14.（15分）已知函数 .
（1）证明:方程在区间 内有实数解；
证明：， ， ，
又函数 的图象是连续不断的，
由函数的零点存在定理可得方程在区间 内有实数解.
（2）请使用二分法，取区间的中点两次，指出方程 ，
的实数解 在哪个较小的区间内.
解：取，得 ，
由此可得 ，则下一个有解区间为 .
再取，得 ，
由，得下一个有解区间为 .
综上所述，所求的实数解在区间 内.
14.（15分）已知函数 .
15.若函数有三个零点,1, ，且
，则实数 的取值范围是______.
[解析] 因为,1是函数的零点，所以
所以所以.
令 ，即，即，
又因为是函数 的零点，所以，
因为，所以.因此，实数 的取值范围为 .
16.（15分）已知函数， ，
，，证明，并利用二分法证明方程
在区间 内有两个实根．
证明：， ，
即 .
，， ，
，即 .
，， .
取区间的中点，则 .
， ， 函数在区间和 上有零点．
又为二次函数，最多有两个零点,在 内有两个实根．
快速核答案(导学案)
课前预习 知识点一 连续不断 ,
【诊断分析】不一定
知识点二 一分为二 逐步逼近零点 近似值
知识点三 【诊断分析】 略
课中探究 探究点一 例1 （1）C （2）C 变式 A
探究点二 例2 （1）B （2）
探究点三 例3 变式
课堂评价 1.C 2.C 3.C 4.C 5.
备用习题 例 B
快速核答案(练习册)
基础巩固
1.C 2.D 3.C 4.B 5.A 6.D 7.BD
8. 9. 10. >
综合提升
11.C 12.ABD 13.④ 14.（1）略 > （2）思维探索
15. 16.略第3课时 零点的存在性及其近似值的求法
1.C [解析] 因为f(-1)>0,f(-2)<0,且函数f(x)=x3-2x+2图象连续不断,所以函数f(x)=x3-2x+2在区间(-2,-1)内有零点,所以下一步应计算f(x1),x1==-.故选C.
2.D [解析] 由图象知函数f(x)的图象与x轴有4个交点,因此零点的个数为4.从左往右数第4个与x轴的交点两侧不满足函数值异号,因此不能用二分法求零点近似解,而其余3个均可使用二分法求零点近似解.
3.C [解析] 根据题意,f(2)·f(4)<0,根据零点存在定理,得函数y=f(x)在(2,4)上存在零点,取区间的中点x1==3,且f(2)·f(x1)<0,即f(2)·f(3)<0,所以x0∈(2,3).故选C.
4.B [解析] 由函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,2),(0,4),(0,8),(0,16)内,可确定零点在区间(0,2)内,故f(x)在区间[2,16)内无零点,故选项B正确;当f(x)的零点在区间(1,2)时,选项A,C错误;f(x)的零点可能为1,故选项D错误.故选B.
[易错点] 在用零点存在定理判断函数零点时,要注意:在函数的图象是连续不断的前提下, “f(a)f(b)<0”是“函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点”的充分不必要条件.
5.A [解析] 当f(x)在[1,3]上存在零点时,不一定能得到f(1)+f(2)+f(3)=0,例如f(x)=(x-2)2,此时f(x)的零点为2,但f(1)+f(2)+f(3)=2≠0,所以必要性不成立.当f(1)+f(2)+f(3)=0时,若f(1),f(2),f(3)三个值中存在0,则f(x)在[1,3]上存在零点,若f(1),f(2),f(3)三个值均不为0,不妨设f(1)≥f(2)≥f(3),因为f(1)+f(2)+f(3)=0,所以f(1)>0,f(3)<0,取等号时f(1)=f(2)=f(3)=0不满足条件,所以f(1)>0,f(3)<0,则f(1)f(3)<0,根据函数零点存在定理可知f(x)在[1,3]上存在零点,所以充分性成立.所以“f(1)+f(2)+f(3)=0”是“f(x)在[1,3]上存在零点”的充分不必要条件,故选A.
6.D [解析] ∵f(1.406 25)=-0.054<07.BD [解析] ∵第一次所取的区间是(-2,4),∴第二次所取的区间可能为(-2,1),(1,4),∴第三次所取的区间可能为,,,.故选BD.
8.(0,0.5) f(0.25) [解析] 由零点存在定理可知,x0∈(0,0.5),取该区间的中点=0.25,所以第二次应计算f(0.25).
9.a2=4b [解析] ∵函数f(x)=x2+ax+b有零点,但不能用二分法求出,∴函数f(x)=x2+ax+b的图象与x轴相切,∴Δ=a2-4b=0,∴a2=4b.
10.解:令f(x)=x2-8.因为f(x)为偶函数,所以只要求出一个正实数解即可.
因为f(2)=-4<0,f(3)=1>0,所以方程x2-8=0在(2,3)内有解,所以取区间(2,3)为初始区间,用二分法逐步计算,列表如下:
零点所 在区间 区间中点 中点对应的 函数值 取中点作为近似值 时误差小于的值
(2,3) 2.5 -1.75 0.5
(2.5,3) 2.75 -0.437 5 0.25
(2.75,3) 2.875 0.265 625 0.125
(2.75, 2.875) 2.812 5 -0.089 844 0.062 5
(2.812 5, 2.875) 2.843 75 0.086 914 0.031 25
(2.812 5, 2.843 75) 2.828 125 -0.001 709 0.015 625
由于|2.828 125-2.843 75|<0.02,所以可取=2.835 937 5作为方程的一个近似解,则方程的近似解是±2.835 937 5.
11.C [解析] f(-2)=-8-4+5=-7<0,f(-1)=-1-1+5=3>0,|-2-(-1)|=1>0.2,取区间(-2,-1)的中点x1==-, 因为f=--+5=-<0,所以零点在区间上.=>0.2,取区间的中点x2==-,因为f=-+5>0,所以零点在区间上.=>0.2,取区间的中点x3==-,因为f=-+5>0,所以零点在区间上.因为=<0.2,所以区间的中点x4==-,即为零点的近似值,即函数f(x)的零点x0≈-,所以至少需进行4次区间中点的计算.故选C.
12.ABD [解析] 因为函数f(x)的唯一异号零点同在(0,4),(0,2),内,所以函数f(x)的零点在(1,2)内,所以f(0)·f(4)<0,f(0)·f(2)<0,f(1)·f(2)<0,f(1)·f<0,所以与f(0)符号不同的是f(4),f(2),f.故选ABD.
13.④ [解析] ∵f(1)f(2)f(4)<0,∴f(1),f(2),f(4)中有一个小于0,两个大于0或三个都小于0,又f(0)>0,∴函数f(x)在区间(0,4)内一定有零点.故填④.
14.解:(1)证明:∵f(0)=1>0,f(2)=-<0,
∴f(0)·f(2)=-<0,
又函数f(x)=x3-x2+1的图象是连续不断的,
∴由函数的零点存在定理可得方程f(x)=0在区间(0,2)内有实数解.
(2)取x1=×(0+2)=1,得f(1)=>0,
由此可得f(1)·f(2)=-<0,
则下一个有解区间为(1,2).
再取x2=×(1+2)=,得f=-<0,由f(1)·f=-<0,得下一个有解区间为.
综上所述,所求的实数解x0在区间内.
15.(2,3) [解析] 因为-1,1是函数的零点,所以所以所以f(x)=x3-cx2-x+c.令f(x)=0,即x3-cx2-x+c=0,即(x-c)(x2-1)=0,又因为x0是函数f(x)的零点,所以x0=c,因为x0∈(2,3),所以216.证明:∵f(1)>0,∴f(1)=3a+2b+c>0,
即3(a+b+c)-b-2c>0.
∵a+b+c=0,∴a=-b-c,-b-2c>0,
∴-b-c>c,即a>c.
∵f(0)>0,∴f(0)=c>0,∴a>0.
取区间[0,1]的中点,则f=a+b+c=a+(-a)=-a<0.
∵f(0)>0,f(1)>0,
∴函数f(x)在区间和上有零点.
又f(x)为二次函数,最多有两个零点,∴f(x)=0在[0,1]内有两个实根.第3课时 零点的存在性及其近似值的求法
【课前预习】
知识点一
连续不断 f(a)f(b)<0 x0∈(a,b),f(x0)=0
诊断分析
解:不一定.可能y=f(x)在x=a或x=b处无定义,即使有定义,也可能f(a)·f(b)>0.如函数f(x)=(x-1)2在(0,2)内有零点,但f(0)·f(2)>0.
知识点二
f(a)f(b)<0 一分为二 逐步逼近零点 近似值
知识点三
x1= f=0
诊断分析
解:根据精确度决定,当零点所在的区间为[a,b],且|b-a|≤2ε时,取x1=,步骤结束.
【课中探究】
例1 (1)C (2)C [解析] (1)显然函数y=,y=-都是(0,+∞)上的增函数,所以f(x)=-在(0,+∞)上单调递增,且f(x)在(0,+∞)上是连续函数,所以f(x)只有一个零点,又f(2)=-=-<0,f(3)=-1>0,所以f(2)·f(3)<0,根据零点存在定理,得f(x)的零点所在的区间是(2,3).故选C.
(2)若a=0,则f(x)=bx+c是一次函数,因为f(1)>0,f(2)<0,所以f(1)·f(2)<0,可得f(x)在(1,2)上的零点只有一个.若a≠0,则f(x)=ax2+bx+c是二次函数,假设f(x)在(1,2)上有两个零点,则必有f(1)·f(2)>0,与已知矛盾,故f(x)在(1,2)上有且只有一个零点.综上所述,f(x)在(1,2)上的零点有且仅有一个.故选C.
变式 A [解析] 由题意得f(1)f(2)=5×<0,f(2)f(3)=×>0,f(-2)f(-1)=×7>0,f(-3)f(-2)=×>0,所以一定包含f(x)零点的区间是(1,2).故选A.
例2 (1)B (2)(2,2.5) [解析] (1)函数图象连续不断,函数零点附近的函数值异号,这样的函数零点才能使用二分法求解,观察四个函数图象,只有B选项符合.
(2)因为f(2)=23-2×2-5=-1<0,f(2.5)>0,f(3)=33-2×3-5=16>0,所以f(2)·f(2.5)<0,所以方程x3-2x-5=0在区间(2,2.5)内有实根.
例3 解:令f(x)=x2-5,由于f(-2)=-1<0,f(-3)=4>0,因此取区间(-3,-2)作为计算的初始区间,用二分法逐次计算,列表如下:
零点所在区间 区间中点 中点对应的函数近似值 取中点作为近似值时误差小于的值
(-3,-2) -2.5 1.25 0.5
(-2.5,-2) -2.25 0.062 5 0.25
(-2.25,-2) -2.125 -0.484 4 0.125
(-2.25,-2.125) -2.187 5 -0.214 8 0.062 5
因为|-2.25-(-2.187 5)|=0.062 5<0.1,所以方程的一个近似解为=-2.218 75.
变式 解:令=x,则x3=3.令f(x)=x3-3,则就是函数f(x)=x3-3的零点.因为f(1)=-2<0,f(2)=5>0,所以可取初始区间为(1,2),用二分法逐次计算,列表如下:
零点所在区间 区间中点 中点对应的函数近似值 取中点作为近似值时误差小于的值
(1,2) =1.5 0.375 0.5
(1,1.5) =1.25 -1.047 0.25
(1.25,1.5) =1.375 -0.4 0.125
(1.375,1.5) =1.437 5 -0.03 0.062 5
因为|1.5-1.437 5|=0.062 5<0.1,所以的近似值可取为=1.468 75.
【课堂评价】
1.C [解析] 根据函数零点存在定理进行判断,若f(a)·f(b)<0,则一定存在实数c∈(a,b),使得f(c)=0,但c的个数不确定,故B,D错误;若f(a)·f(b)>0,则有可能存在实数c∈(a,b),使得f(c)=0,如f(x)=x2-1,f(-2)f(2)>0,但f(x)=x2-1在区间(-2,2)内有两个零点,故A错误,C正确.故选C.
2.C [解析] 由f(x)=3ax-1-2a在区间(-1,1)上存在零点,得a≠0且f(-1)·f(1)=(-3a-1-2a)(3a-1-2a)=(-5a-1)·(a-1)<0,解得a>1或a<-.故选C.
3.C [解析] 观察图象可知,x3附近两边的函数值都为负数,所以x3不能用二分法求得.故选C.
4.C [解析] 因为f(0.72)>0,f(0.68)<0,所以零点在区间(0.68,0.72)内.因为0.72-0.68=0.04<0.05,所以所求零点的近似值为=0.7.
5.1.421 875 [解析] 设方程x3+x2-2x-2=0的解为x0.因为f(1)f(1.5)<0,所以x0∈(1,1.5);因为f(1.25)≈-0.984,所以x0∈(1.25,1.5);因为f(1.375)≈-0.26,所以x0∈(1.375,1.5);因为f(1.437 5)≈0.162,所以x0∈(1.375,1.437 5);因为f(1.406 25)≈-0.054<0,f(1.437 5)≈0.162>0,所以x0∈(1.406 25,1.437 5),此时|1.406 25-1.437 5|=0.031 25<0.04,所以x0==1.421 875.第3课时 零点的存在性及其近似值的求法
【学习目标】
1.掌握函数零点存在定理,并会判断函数零点的个数;
2.了解二分法是求方程近似解的常用方法,掌握用二分法求函数零点近似值的步骤;
3.理解函数与方程之间的联系,并能用函数与方程思想分析问题、解决问题.
◆ 知识点一 函数零点存在定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是 的,并且 (即在区间两个端点处的函数值异号),则函数y=f(x)在区间(a,b)中至少有一个零点,即 .
【诊断分析】 若函数y=f(x)在(a,b)内有零点,则f(a)·f(b)<0一定成立吗
◆ 知识点二 二分法定义
对于在区间[a,b]上图象连续不断且 的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在的区间 ,使所得区间的两个端点 ,进而得到零点 的方法叫作二分法.
◆ 知识点三 用二分法求函数零点近似值的步骤
在函数零点存在定理的条件满足时,给定近似的精确度ε,用二分法求零点x0的近似值x1,使得|x1-x0|<ε的一般步骤如下:
第一步,检查|b-a|≤2ε是否成立,如果成立,取 ,计算结束;如果不成立,转到第二步.
第二步,计算区间(a,b)的中点对应的函数值,若 ,取x1=,计算结束;若f≠0,转到第三步.
第三步,若f(a)f<0,将的值赋给b,回到第一步;否则必有ff(b)<0,将的值赋给a,回到第一步.
【诊断分析】 用二分法求方程的近似解时,如何决定步骤的结束
◆ 探究点一 零点存在定理的应用
例1 (1)[2025·福建泉州高一期中] 函数f(x)=-的零点所在的区间为 ( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
(2)已知函数f(x)=ax2+bx+c满足f(1)>0,f(2)<0,则f(x)在(1,2)上的零点 ( )
A.至多有一个
B.有一个或两个
C.有且仅有一个
D.一个也没有
变式 [2025·辽宁朝阳高一期中] 已知函数f(x)=-x,在下列区间中,一定包含f(x)的零点的区间是 ( )
A.(1,2) B.(2,3)
C.(-2,-1) D.(-3,-2)
[素养小结]
若连续函数f(x)满足f(a)f(b)<0,则函数f(x)在(a,b)内存在零点,若此时f(x)在(a,b)上单调,则此零点唯一.
◆ 探究点二 二分法的概念及应用
例2 (1)下列图象所表示的函数中,能用二分法求零点的是 ( )
A B C D
(2)已知函数f(x)=x3-2x-5,f(2.5)>0,用二分法求方程x3-2x-5=0在区间(2,3)内的实根,取区间中点为x0=2.5,那么下一个有根的区间是 .
[素养小结]
用二分法求函数零点时需要注意:
(1)函数图象在零点附近连续;
(2)该零点左右函数值异号.
◆ 探究点三 求方程的近似解
例3 用二分法求方程x2-5=0的一个近似解.(精确度为0.05)
变式 求的近似值.(精确度为0.05)
[素养小结]
利用二分法求方程零点的近似值时,首先构造一个函数,然后利用二分法,求解函数值的近似值,不断把零点所在区间“二分”,直到|a-b|<2ε为止,ε是题目给定的精确度,然后取x1=即可.
1.若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,则下列说法正确的是 ( )
A.若f(a)·f(b)>0,则不存在实数c∈(a,b),使得f(c)=0
B.若f(a)·f(b)<0,则存在且只存在一个实数c∈(a,b),使得f(c)=0
C.若f(a)·f(b)>0,则有可能存在实数c∈(a,b),使得f(c)=0
D.若f(a)·f(b)<0,则有可能不存在实数c∈(a,b),使得f(c)=0
2.已知函数f(x)=3ax-1-2a在区间(-1,1)上存在零点,则 ( )
A.a<-1或a> B.a>
C.a<-或a>1 D.a<-
3.用二分法求如图所示的图象所表示的函数f(x)的零点时,不可能求出的零点是( )
A.x1 B.x2
C.x3 D.x4
4.用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时,经计算,得f(0.72)>0,f(0.68)<0,f(0.76)>0,则函数的一个精确度为0.025的正实数零点的近似值为 ( )
A.0.64 B.0.74
C.0.7 D.0.6
5.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下表(函数值为近似值):
x 1 1.5 1.25 1.375 1.437 5 1.406 25
f(x) -2 0.625 -0.984 -0.26 0.162 -0.054
则方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解为 .(精确度为0.02) 第3课时 零点的存在性及其近似值的求法
1.[2025·山东德州高一期中] 用二分法研究函数f(x)=x3-2x+2的零点时,通过计算得f(-1)>0,f(-2)<0,则下一步应计算f(x1),则x1= ( )
A.0 B.- C.- D.-
2.已知函数f(x)的图象如图所示,其中零点的个数及可以用二分法求近似解的零点的个数分别为 ( )
A.4,4 B.3,4
C.5,4 D.4,3
3.[2025·宁夏银川高一期中] 用二分法求函数y=f(x)在区间[2,4]上零点的近似值时,经验证有f(2)·f(4)<0,取区间的中点x1==3,计算得f(2)·f(x1)<0,则此时零点x0满足 ( )
A.x0=x1 B.x0>x1
C.2★4.若函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,2),(0,4),(0,8),(0,16)内,则下列说法中正确的是 ( )
A.函数f(x)在区间(0,1)内有零点
B.函数f(x)在区间[2,16)内无零点
C.函数f(x)在区间(1,16)内无零点
D.函数f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点
5.已知函数f(x)的图象在区间[1,3]上连续不断,则“f(1)+f(2)+f(3)=0”是“f(x)在[1,3]上存在零点”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下表:
f(1)=-2 f(1.5)=0.625
f(1.25)=-0.984 f(1.375)=-0.260
f(1.437 5)=0.162 f(1.406 25)=-0.054
那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解(精确度为0.025)为 ( )
A.1.25 B.1.40 625
C.1.437 5 D.1.421 875
7.(多选题)用二分法求方程f(x)=0的近似解时,第一次所取的区间是(-2,4),则第三次所取的区间可能是 ( )
A.(1,4) B.
C. D.
8.用二分法研究函数f(x)=x2+3x-1的零点时,第一次经过计算得f(0)<0,f(0.5)>0,可得其中一个零点x0∈ ,第二次应计算 .
9.已知函数f(x)=x2+ax+b有零点,但不能用二分法求出,则a,b的关系是 .
10.(13分)用二分法求方程x2-8=0的近似解.(精确度为0.01)
11.函数f(x)=x3-x2+5,x∈[-2,-1]有零点,用二分法求零点的近似值(精确度小于0.1)时,至少需要计算区间中点的次数为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
12.(多选题)若函数f(x)的图象是连续的,且函数f(x)的唯一异号零点同在(0,4),(0,2),内,则与f(0)符号不同的是 ( )
A.f(4) B.f(2)
C.f(1) D.f
13.若函数f(x)的图象是连续不断的,且f(0)>0,f(1)·f(2)·f(4)<0,则下列说法中一定正确的是 .(填序号)
①函数f(x)在区间(0,1)内有零点;
②函数f(x)在区间(1,2)内有零点;
③函数f(x)在区间(0,2)内有零点;
④函数f(x)在区间(0,4)内有零点.
14.(15分)已知函数f(x)=x3-x2+1.
(1)证明:方程f(x)=0在区间(0,2)内有实数解;
(2)请使用二分法,取区间[0,2]的中点两次,指出方程f(x)=0,x∈[0,2]的实数解x0在哪个较小的区间内.
15.若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有三个零点-1,1,x0,且x0∈(2,3),则实数c的取值范围是 .
16.(15分)已知函数f(x)=3ax2+2bx+c,a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,证明a>0,并利用二分法证明方程f(x)=0在区间[0,1]内有两个实根.
