(共71张PPT)
3.3 函数的应用（一）
探究点一 一次函数、二次函数模型
探究点二 分段函数模型
探究点三 均值不等式的应用
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
课堂评价
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.了解函数模型（如一次函数、二次函数、分段函数等在社会生
活中普遍使用的函数模型）的广泛应用；
2.能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题.
知识点一 常见的几类函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 ,为常数，
二次函数模型 已知,,为常数， .
（1）一般式: ；
（2）顶点式: _ _________________；
（3）两根式: _________________
函数模型 函数解析式
分段函数模型
续表
知识点二 均值不等式的应用
1.重要不等式：若,，则（当且仅当 时取等
号）.
2.均值不等式：如果,都是正数，那么，当且仅当
时，等号成立.
3.最值：当两个正数的积为定值时，可以求它们的和的最小值；当两
个正数的和为定值时，可以求它们的积的最大值.正所谓“积定和最小，
和定积最大”.
探究点一 一次函数、二次函数模型
例1（1）某边远地区有一运输车队，开出后的车辆都必须返回．离
出发地处有一加油站．某汽车油箱中余油量 与它行驶时
间之间是一次函数关系．已知时，油箱中有油 ，汽车
行驶，油箱中的余油量为．如果汽车的行驶速度为 ，
则该汽车最多能行驶多远就必须返回？
解：由已知设.依题意得解得
所以油箱中余油量和行驶时间 之间的函数关系式为
．
当时，，所以在不加油的情况下，
汽车最多能行驶 ，最远距离 ．
如果汽车驶离出发地的途中加一次油，返回时再加一次油，
则相当于以加油站为出发地最远行驶了 ，
因此汽车实际最远可行驶 .
（2）直播购物逐渐走进了人们的生活.某电商对一款成本价为40元的
小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件.通过
市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件.
①若日利润保持不变，商家想尽快销售完该商品，则每件的售价应
定为多少元？
解： 设每件的售价应定为元，
由题可知 ，则每件的销售利润为元，
日销售量为 件.
依题意得 ，
整理得，
解得， （不合题意，舍去）.故每件的售价应定为50元.
（2）直播购物逐渐走进了人们的生活.某电商对一款成本价为40元的
小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件.通过
市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件.
②每件售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
解： 设每天的销售利润为元，每件的售价为元，则 .
依题意得，， ，
整理得 ，
故当 时，每天的销售利润最大，最大利润是450元.
变式 汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一
段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”.若汽车紧急刹车后
滑行的距离与刹车时的速度满足关系式 ，某种
型号的汽车以 的速度行驶时，紧急刹车后滑行的距离为
.若一辆该型号的汽车以 的速度行驶时，突然紧急刹车，
则汽车紧急刹车后的“刹车距离”为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为汽车紧急刹车后滑行的距离与刹车时的速度
满足关系式，且，
所以 ，解得，则.
当时， .故选C.
［素养小结］
（1）一次函数模型层次性不高，求解也较为容易，一般情况下可以
用“问什么，设什么，列什么”这一方法来处理.
（2）对于一次函数在实际问题中的应用的题目，要认真读题、审题，
弄清题意，明确题目中的数量关系，可充分借助图象、表格信息确
定解析式，同时要特别注意定义域.
（3）在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，因为根据实际
问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数
的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最大、最
小值等问题.
探究点二 分段函数模型
例2 某旅游开发公司计划2027年在某地质大峡谷开发新的旅游项目，
全年需投入固定成本200万元，若该项目在2027年有游客 万人，则
需 另 投入成本万元，且
该旅游项目的每张门票售价为100元．为吸引游客，该公司实行门票
五折优惠活动．当地政府为鼓励企业更好发展，每年给该旅游项目
财政补贴万元．记2027年该项目的利润为 万元
（利润 收入-成本）.
（1）写出 的解析式.
解：该旅游项目的门票收入为万元，
财政补贴收入为 万元，共 万元收入，
则利润
化简得
例2 某旅游开发公司计划2027年在某地质大峡谷开发新的旅游项目，
全年需投入固定成本200万元，若该项目在2027年有游客 万人，则
需 另 投入成本万元，且
该旅游项目的每张门票售价为100元．为吸引游客，该公司实行门票
五折优惠活动．当地政府为鼓励企业更好发展，每年给该旅游项目
财政补贴万元．记2027年该项目的利润为 万元
（利润 收入-成本）.
（2）当2025年的游客人数为多少时，该项目所获利润最大？最大利
润是多少？
解：当时，单调递增，
则在 上的最大值为；
当 时，因为二次函数
的图象开口向下，对称轴方程为，
所以在上的最大值为 ；
当时，，当且仅当，即 时等号成立，
则在上的最大值为 .
因为 ，所以游客人数为30万时，
该项目所获利润最大，最大利润为300万元．
变式 ［2025·北京西城区高一期末］ “空气质量指数 ”是定量描
述空气质量状况的无量纲指数.当 大于200时,表示空气重度污染,
不宜开展户外活动.某地某天时的空气质量指数随时间 变化
的趋势由函数 描述,则该天适宜开展户
外活动的时长（单位：小时）至多为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
√
[解析] 由题知,当 大于200时,表示空气重度污染,
不宜开展户外活动,即当小于或等于200时,适宜开展户外活动.
当 时,由,可得；
当 时,由,可得 .
综上可得，适宜开展户外活动的时间段为 ,共7小时.故选C.
［素养小结］
解答分段函数问题必须遵循“对号入座”的解题原则，即根据题设条
件在各段函数解析式中解决问题；分段函数的最值求法注意取各段
的最大（最小）者的最大（最小）者为函数的最值.
探究点三 均值不等式的应用
例3 据调查，国内某公司生产的一款某运动会的吉祥物的供货价格
固定价格浮动价格，其中固定价格为60元，浮动价格为
（浮动价格单位：元，销售量单位：万件）.假设每件吉祥物的售价
为整数.当每件吉祥物售价不超过100元时，销售量为10万件；当每件
吉祥物售价超过100元时，售价每增加1元，销售量就减少0.2万件.总
利润（售价-供货价格） 销售量.
（1）当每件吉祥物的售价为85元时，获得的总利润是多少万元？
解：由题意知，当每件吉祥物的售价为85元时，销售量为10万件，
浮动价格为0.5元，则供货价格为 （元），
故总利润为 （万元）.
例3 据调查，国内某公司生产的一款某运动会的吉祥物的供货价格
固定价格浮动价格，其中固定价格为60元，浮动价格为
（浮动价格单位：元，销售量单位：万件）.假设每件吉祥物的售价
为整数.当每件吉祥物售价不超过100元时，销售量为10万件；当每件
吉祥物售价超过100元时，售价每增加1元，销售量就减少0.2万件.总
利润（售价-供货价格） 销售量.
（2）每件吉祥物的售价为多少元时，单件吉祥物的利润最大，最大
为多少元？
解：设每件吉祥物的售价为 元.
当 时,销售量为10万件,供货价为60.5元,
则,且 ,
所以当时,单件吉祥物的利润为 ,
即单件吉祥物的利润最大为39.5元；
当,时,销售量为 (万件),
令，可得，且 ，
此时单件吉祥物的利润为
，
当且仅当 ，即 时，取等号.
因为 ，所以当每件吉祥物的售价为145元时，
单件吉祥物的利润最大，最大为80元.
变式 某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不低于10万件又
不超过35万件，每万件电子芯片的计划售价为16万元.已知生产此类
电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本
为30万元/年，每生产万件电子芯片需要投入的流动成本为
（单位：万元）， .假设该公司每年生产的芯
片都能够被销售完.
（1）写出年利润（万元）与年产量 （万件）之间的关系式；
（注：年利润 年销售收入-固定成本-流动成本）
解：
， .
变式 某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不低于10万件又
不超过35万件，每万件电子芯片的计划售价为16万元.已知生产此类
电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本
为30万元/年，每生产万件电子芯片需要投入的流动成本为
（单位：万元）， .假设该公司每年生产的芯
片都能够被销售完.
（2）如果你是公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应
生产多少万件该芯片？
解：因为，所以 ，
当且仅当，即 时，等号成立，
所以 ，
故为使公司获得的年利润最大，每年应生产20万件该芯片.
［素养小结］
在日常生活中遇到的土地利用、机械制造、广告投资等问题可用均值
不等式来解决，具体问题中要能够准确建立函数模型，并注意取最值
的条件.
1.某公司市场营销人员的个人月收入与
其每月的销售量成一次函数关系，如图
所示，由图中给出的信息可知，营销人
员没有销售量时的收入是 ( )
A.3100元 B.3000元 C.3900元 D.2800元
√
[解析] 由题图可知，该一次函数的图象过点， ，
所以个人月收入关于其每月的销售量的函数解析式为
，当时， .故选B.
2.据调查，某存车处在某星期日的存车量为4000辆次，其中电动车存
车费是每辆一次0.3元，自行车存车费是每辆一次0.2元.若自行车存车
量为辆次，存车总收入为元，则关于 的函数关系式是( )
A.
B.
C.
D.
√
[解析] 由题意得，电动车的存车量为 辆次，则存车总收
入 ，
故选D.
3.某市中心城区居民生活用水阶梯设置为三档，采用边际年用水量确
定分档水量为:第一档水量为240立方米/户及以下部分;第二档水量为
240立方米/户以上至360立方米/户部分（含360立方米/户）;第三档水
量为360立方米/户以上部分.家庭常住人口在4人（不含4人）以上的
多人口户凭户口簿，其年用水量按每增加一人各档水量递增50立方
米来确定.第一档用水价格为2.1元/立方米，第二档用水价格为3.2元/
立方米，第三档用水价格为6.3元/立方米.小明家中共有6口人，去年
整年用水花费了1602元，则小明家去年整年的用水量为( )
A.474立方米 B.482立方米 C.520立方米 D.540立方米
√
[解析] 设小明家去年整年的用水量为立方米,水费为元.
当 时，则;
当 时,则;
当 时,则,令,解得 .
故选D.
4.李华经营了两家电动自行车销售连锁店，其月利润（单位：元）分
别为，（其中 为销售
辆数），若某月两连锁店共销售了110辆，则能获得的最大月利润为
( )
A.11 000元 B.22 000元 C.33 000元 D.40 000元
[解析] 设月利润为的连锁店销售辆，
则月利润为 的连锁店销售辆，
故总的月利润 ，
当时， ，故能获得的最大月利润为33 000元，故选C．
√
5.如图，在一直角墙角内的点 处有一棵树，它
与两墙的距离分别是和.现欲用 长的
篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃 ，要
求这棵树被围在花圃内或边界上.设 ，
则矩形花圃的面积（单位： ）为( )
A.
B.
C.
D.
√
[解析] 因为，篱笆总长为 ，
所以 ，
因为这棵树被围在花圃内或边界上，
所以解得 ,
所以 .故选D.
练习册
1.一定范围内，某种产品的购买量（单位：吨）与单价
（单位：元）之间满足一次函数关系．若购买1000吨，则每吨800元，
若购买2000吨，则每吨700元.若一客户购买400吨，则其价格为每吨
( )
A.820元 B.840元 C.860元 D.880元
[解析] 设，则，且 ，
解得，，则 .
令，解得 .故选C.
√
2.某市为鼓励居民节约用水，规定：每户居民每月用水量不超过
的，按元/收费；用水量超过 的，超过部分按
元/收费.某户居民某月缴水费 元，则该户居民这个月的实际
用水量为( )
A. B. C. D.
[解析] 设居民每月应缴水费为元，实际用水量为 ，
则
由，可知，令 ，解得 .故选A.
√
3.某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天
能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价
销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收
入，则这批台灯的销售单价 （单位：元）的取值范围是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由题意得， ，
即，解得，
又因为 ，所以，
故这批台灯的销售单价 的取值范围是 .故选C.
4.已知超市内某商品的日销量（单位：件）与当日销售单价
（单位：元）满足关系式，其中,
为常数.当该商品的销售单价为15元时，日销量为110件.若该商品的
进价为每件10元，则超市售卖该商品的日利润最大为( )
A.1500元 B.1200元 C.1000元 D.800元
√
[解析] 将,，代入，得 ，
所以超市售卖该商品的日利润为
， 其中，
所以当 时，超市售卖该商品的日利润取得最大值，
且最大值为1000元.故选C.
5.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买 吨，运费为6万元/次，
一年的总存储费用为 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和
最小，则 的值是( )
A.30 B.60 C.120 D.240
[解析] 由题意可得，一年的总运费与总存储费用之和为
,当且仅当 时等号成立，
所以要使一年的总运费与总存储费用之和最小， 的值为30．
√
6.某医院在设备更新后的第 天，对某项疾病指标检测，每个检测对
象检测过程（从接受检测到检测报告生成）的平均耗时为
（单位：小时），与 近似满足的关系为
，为常数 .已知第16天每个检测对象检测
过程的平均耗时为16小时，第64天和第67天每个检测对象检测过程
的平均耗时均为8小时，那么第49天每个检测对象检测过程的平均耗
时大致为( )
A.16小时 B.11小时 C.9小时 D.8小时
√
[解析] 由第64天和第67天每个检测对象检测过程的平均耗时均
为8小时知，，所以，解得.由 ，
解得，所以 .故选C．
7.（多选题）假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选
择，这三种方案每天的回报如图所示.横轴为投资时间，纵轴为每天
的回报，根据以上信息，若使回报最多，则下列说法正确的是
( )
A.投资3天以内（含3天），采用方案一
B.投资4天，不采用方案三
C.投资6天，采用方案一
D.投资12天，采用方案二
√
√
√
[解析] 由题图可知，投资3天以内（含3天）,
采用方案一的回报最多,所以A正确；
若投资4天,则方案一的回报约为 (元),
方案二的回报约为 (元),
结合题图可知方案一、方案二都比方案三的回报多,所以B正确；
若投资6天，则方案一的回报约为 （元），
方案二的回报约为 （元），
结合题图可知方案一比方案三的回报多，所以C正确；
若投资12天，根据题图中图象的变化可知，方案三的回报比方案一、
方案二高很多，所以采用方案三，所以D错误.故选 .
★8.［2025·山东临沂高一期末］某游乐场每天的盈利额 （单位:元）
与售出的门票数 （单位:张）之间的函数关系如图所示.要使该游乐
场每天的盈利额超过1000元，那么每天至少应售出_____张门票.
234
[解析] 由题图知，若盈利额每天要超过1000元，则.
设 ，， ，
则解得
即，，，
由 ，得，
又，所以 ，故每天至少要售出234张门票，
才能使游乐场每天的盈利额超过1000元.
［易错点］ 实际问题的函数解析式，要注意自变量的实际意义.
9.某企业开发一种产品，生产这种产品的年固定成本为3600万元，每
年平均生产千件，需投入成本 万元，
．若该产品每千件定价 万元，为保证生产该产品不
亏损，则 的最小值为_____.
130
[解析] 设生产该产品的年利润为 万元，
则 ，
整理得 ，
为保证生产该产品不亏损，
则 ，
即，当且仅当 ，
即时取等号， 取得最小值130，此时产品不亏损.
10.（13分）［2025·安徽芜湖高一期中］ 某医院为改善医疗技术，
2024年初以72万元的价格购进一套医疗设备.已知该套医疗设备每年
获得的总收入为40万元，使用 年后所需要的各种维护费用
总计为 万元，2024年为第一年.
（1）写出该套医疗设备的利润函数的表达式，并求 的最大值；
解：
, ，所以当时， 取得最大值56.
（2）第几年，该套医疗设备的年平均利润最大？
解：年平均利润为
，
当且仅当 ，即 时取等号，故第6年的年平均利润最大.
10.（13分）［2025·安徽芜湖高一期中］ 某医院为改善医疗技术，
2024年初以72万元的价格购进一套医疗设备.已知该套医疗设备每年
获得的总收入为40万元，使用 年后所需要的各种维护费用
总计为 万元，2024年为第一年.
11.某数学建模小队现有这样一个问题：提高过江大桥的车辆通行能力
可改善整个城市的交通状况，那么，怎样才可以提高呢？我们理想化
地建立这样一个关系，在一般情况下，大桥上的车流速度
（单位：千米/时）是关于车流密度 （单位：辆/千米）的函数，当桥
上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车
流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时.研究表明，当
时，车流速度是关于车流密度 的一次函数.当车流量
（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）最大时，
车流密度为( )
A.60 B.100 C.200 D.600
√
[解析] 当时，设，
则 解得于是
设车流量为 ，则
当时, ,此时函数在区间上单调递增,则；
当 时,,此时函数在区间 上单调递增，
在区间上单调递减,且,当且仅当 时等号成立.
综上所述，当 时，车流量最大.故选B.
12.（多选题）某商家为了提高一等品的销售额，对一等品 进行
分类销售．据统计，该商家有200件一等品 ，产品单价为
元．现计划将这200件一等品分为两类：精品和优品．其
中优品件 ，分类后精品的单价在原来的基
础上增加，优品的单价调整为元 ，因市场需
求旺盛，假设分类后精品与优品可以全部售完．若优品的单价不低
于分类前一等品 的单价，且精品的总销售额不低于优品的总销售
额，则 的值可能为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
√
√
[解析] 依题意得
即由知 ，
由知对
恒成立，因为函数在 上单调递增，
所以在上的最小值为 ，
即.综上，，又，所以或.故选 .
13.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初
上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，如图
的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来
累积利润（单位：万元）与销售时间
（单位：月）之间的关系（即前 个月的利润总和
10
与 之间的关系）.根据图象提供的信息，截止到第____月月末公司
累积利润可达到30万元.
[解析] 由二次函数图象可设与 的函数关系式
为.
取点 ，，，
得 解得
所以所求函数关系式为.
把代入,得 ,解得, （舍去）,
所以截止到第10月月末公司累积利润可达到30万元.
14.（15分）经过长期观测发现，某最高时速不超过100千米/时的公
路段的车流量（辆/时）与车辆的平均速度 （千米/时）之间的关系
为
（1）当车辆的平均速度为多少时，公路段的车流量最大？最大车流
量为多少？
解：当时，函数在 上单调递增，
当时， 取得最大值9000；
当 时，
，当且仅当，即 时取等号.
因为 ，所以车辆的平均速度为35千米/时时，
公路段的车流量最大，最大车流量为12 000辆/时.
14.（15分）经过长期观测发现，某最高时速不超过100千米/时的公
路段的车流量（辆/时）与车辆的平均速度 （千米/时）之间的关系
为
（2）若某一期间对该公路段车辆实行限流管控，车流量不超过4125
辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？
解：当时，由 ，
整理得，
解得 ，则 ；
当时， ，
则不等式可化为 ，
整理得,解得或,则 .
所以汽车的平均速度应在 内.
快速核答案(导学案)
课前预习 知识点一
课中探究 探究点一 例1（1） （2）① 50元 ②时，每天的销售利润最大，
最大利润是450元. 变式 C
探究点二 例2 （1）
（2）游客人数为30万时，该项目所获利润最大，最大利润为300万元. 变式 C
探究点三 例3（1）(万元)（2）当每件吉祥物的售价为145元时,单件吉祥物的利润最大,
最大为80元. 变式（1）,.（2）每年应生产20万件该芯片
课堂评价 1.B 2.D 3.D 4.C 5.D
快速核答案(练习册)
基础巩固
1.C 2.A 3.C 4.C 5.A 6.C 7.ABC 8.234 9.130
10.（1）,，当时，取得最大值56.
（2）第6年的年平均利润最大.
综合提升
11.B 12.BC 13.10
14.（1）车辆的平均速度为35千米/时时，公路段的车流量最大，
最大车流量为12 000辆/时. （2）汽车的平均速度应在内.3.3函数的应用(一)
【课前预习】
知识点一
a+ a(x-x1)(x-x2)
【课中探究】
例1 解:(1)由已知设Q=kt+b.依题意得解得所以油箱中余油量Q和行驶时间t之间的函数关系式为Q=-5t+60(0≤t≤12).
当Q=0时,t=12,所以在不加油的情况下,汽车最多能行驶12 h,最远距离s=40×=240(km).
如果汽车驶离出发地的途中加一次油,返回时再加一次油,
则相当于以加油站为出发地最远行驶了240 km,因此汽车实际最远可行驶320 km.
(2)①设每件的售价应定为x元,由题可知40依题意得(x-40)(140-2x)=(60-40)×20,整理得x2-110x+3000=0,解得x1=50,x2=60(不合题意,舍去).
故每件的售价应定为50元.
②设每天的销售利润为w元,每件的售价为t元,则t>40.依题意得,w=(t-40)(140-2t),40整理得w=-2t2+220t-5600=-2(t-55)2+450,
故当t=55时,每天的销售利润最大,最大利润是450元.
变式 C [解析] 因为汽车紧急刹车后滑行的距离x(m)与刹车时的速度v(m/s)满足关系式x=kv2,且72 km/h=20 m/s,所以20=k·202,解得k=,则x=.当v=108 km/h=30 m/s时,x==45(m).故选C.
例2 解:(1)该旅游项目的门票收入为50x万元,财政补贴收入为10x万元,共60x万元收入,
则利润W(x)=
化简得W(x)=
(2)当020时,x+≥60,当且仅当x=,即x=30时等号成立,则W(x)在(20,+∞)上的最大值为W(30)=-60+360=300.因为300>125>70,所以游客人数为30万时,该项目所获利润最大,最大利润为300万元.
变式 C [解析] 由题知,当AQI大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动,即当AQI小于或等于200时,适宜开展户外活动.当0≤t≤12时,由-10t+290≤200,可得9≤t≤12;当12例3 解:(1)由题意知,当每件吉祥物的售价为85元时,销售量为10万件,浮动价格为0.5元,则供货价格为60+0.5=60.5(元),故总利润为10×(85-60.5)=245(万元).
(2)设每件吉祥物的售价为x(x∈N)元.
当x≤100时,销售量为10万件,供货价为60.5元,
则60.5所以当x≤100时,单件吉祥物的利润为x-60.5≤39.5,
即单件吉祥物的利润最大为39.5元;
当x>100,x∈N时,销售量为10-0.2(x-100)=30-0.2x(万件),令30-0.2x>0,可得100因为80>39.5,所以当每件吉祥物的售价为145元时,单件吉祥物的利润最大,最大为80元.
变式 解:(1)g(x)=16x-30-f(x)=16x-30-17x-+120=-x-+90,10≤x≤35.
(2)因为10≤x≤35,所以x+≥2=40,当且仅当x=,即x=20时,等号成立,所以-x-+90≤90-40=50,故为使公司获得的年利润最大,每年应生产20万件该芯片.
【课堂评价】
1.B [解析] 由题图可知,该一次函数的图象过点(10,8000),(20,13 000),所以个人月收入关于其每月的销售量的函数解析式为y=500x+3000(x≥0),当x=0时,y=3000.故选B.
2.D [解析] 由题意得,电动车的存车量为(4000-x)辆次,则存车总收入y=0.2x+0.3(4000-x)=-0.1x+1200(0≤x≤4000,x∈N),故选D.
3.D [解析] 设小明家去年整年的用水量为x立方米,水费为y元.当x≤340时,则y=2.1x≤714;当340460时,则y=1098+6.3(x-460),令y=1602,解得x=540.故选D.
4.C [解析] 设月利润为L1的连锁店销售x辆,则月利润为L2的连锁店销售(110-x)辆,故总的月利润L=-5x2+900x-16 000+300(110-x)-2000=-5x2+600x+15 000=-5(x-60)2+33 000,当x=60时,Lmax=33 000,故能获得的最大月利润为33 000元,故选C.
5.D [解析] 因为BC=x m,篱笆总长为10 m,所以CD=(10-x) m,因为这棵树被围在花圃内或边界上,所以解得3≤x≤8,所以f(x)=x(10-x)=-x2+10x(3≤x≤8).故选D.3.3函数的应用(一)
1.C [解析] 设y=kx+b,则1000=800k+b,且2000=700k+b,解得k=-10,b=9000,则y=-10x+9000.令400=-10x+9000,解得x=860.故选C.
2.A [解析] 设居民每月应缴水费为y元,实际用水量为x m3,则y=由y=16t,可知x>10,令2tx-10t=16t,解得x=13.故选A.
3.C [解析] 由题意得,[30-2(x-15)]·x>400,即x2-30x+200<0,解得104.C [解析] 将x=15,y=110,代入y=-2x+100,得a=200,所以超市售卖该商品的日利润为g(x)=(x-10)=-2x2+120x-800=-2(x-30)2+1000,其中105.A [解析] 由题意可得,一年的总运费与总存储费用之和为×6+4x≥4×2×=240,当且仅当x=30时等号成立,所以要使一年的总运费与总存储费用之和最小,x的值为30.
6.C [解析] 由第64天和第67天每个检测对象检测过程的平均耗时均为8小时知,167.ABC [解析] 由题图可知,投资3天以内(含3天),采用方案一的回报最多,所以A正确;若投资4天,则方案一的回报约为40×4=160(元),方案二的回报约为10+20+30+40=100(元),结合题图可知方案一、方案二都比方案三的回报多,所以B正确;若投资6天,则方案一的回报约为40×6=240(元),方案二的回报约为10+20+30+40+50+60=210(元),结合题图可知方案一比方案三的回报多,所以C正确;若投资12天,根据题图中图象的变化可知,方案三的回报比方案一、方案二高很多,所以采用方案三,所以D错误.故选ABC.
8.234 [解析] 由题图知,若盈利额每天要超过1000元,则x∈(200,300].设y=kx+b(k≠0),2001000,得x>,又x∈N,所以x≥234,故每天至少要售出234张门票,才能使游乐场每天的盈利额超过1000元.
[易错点] 实际问题的函数解析式,要注意自变量的实际意义.
9.130 [解析] 设生产该产品的年利润为f(x)万元,则f(x)=ax-(x2+10x+3600)(x>0),整理得f(x)=-x2+(a-10)x-3600,为保证生产该产品不亏损,则f(x)=-x2+(a-10)x-3600≥0(x>0),即a≥x++10≥2+10=130,当且仅当x=,即x=60时取等号,a取得最小值130,此时产品不亏损.
10.解:(1)f(x)=40x-(2x2+8x+72)=-2x2+32x-72=-2(x-8)2+56,x∈N*,
所以当x=8时,f(x)取得最大值56.
(2)年平均利润为y==-2x+32-=-2+32≤-2×2+32=8,当且仅当x=,
即x=6时取等号,故第6年的年平均利润最大.
11.B [解析] 当20≤x≤200时,设v=kx+b,则解得于是v=设车流量为q,则q=v·x=当0≤x<20时,q=60x,此时函数在区间[0,20)上单调递增,则q<1200;当20≤x≤200时,q=-x2+x,此时函数在区间[20,100]上单调递增,在区间[100,200]上单调递减,且q≤,当且仅当x=100时等号成立.综上所述,当x=100时,车流量最大.故选B.
12.BC [解析] 依题意得
即由125≤x≤25(n-1)知n≥6,由x2+50(3-n)x+10 000≥0知n≤++3对x∈[125,200)恒成立,因为函数f(x)=++3在[125,200)上单调递增,所以f(x)在[125,200)上的最小值为f(125)=++3=7.1,即n≤7.综上,6≤n≤7,又n∈N*,所以n=6或n=7.故选 BC.
13.10 [解析] 由二次函数图象可设S与t的函数关系式为S=at2+bt+c(a≠0,t≥0).取点B(4,0),D(1,-1.5),O(0,0),得解得所以所求函数关系式为S=0.5t2-2t(t≥0).把S=30代入,得30=0.5t2-2t,解得t1=10,t2=-6(舍去),所以截止到第10月月末公司累积利润可达到30万元.
14.解:(1)当0当v=25时,y取得最大值9000;
当25当且仅当v=,即v=35时取等号.
因为9000<12 000,
所以车辆的平均速度为35千米/时时,公路段的车流量最大,最大车流量为12 000辆/时.
(2)当0整理得(17v+550)(v-15)≤0,解得-≤v≤15,则0当250,则不等式≤4125可化为11v2-1022v+13 475≥0,整理得(11v-175)(v-77)≥0,解得v≤或v≥77,则77≤v≤100.
所以汽车的平均速度应在(0,15]∪[77,100]内.3.3函数的应用(一)
【学习目标】
1.了解函数模型(如一次函数、二次函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用;
2.能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题.
◆ 知识点一 常见的几类函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)
二次函数模型 已知a,b,c为常数,a≠0. (1)一般式:y=ax2+bx+c; (2)顶点式:y= ; (3)两根式:y=
分段函数模型 f(x)=
◆ 知识点二 均值不等式的应用
1.重要不等式:若a,b∈R,则a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取等号).
2.均值不等式:如果a,b都是正数,那么≥,当且仅当a=b时,等号成立.
3.最值:当两个正数的积为定值时,可以求它们的和的最小值;当两个正数的和为定值时,可以求它们的积的最大值.正所谓“积定和最小,和定积最大”.
◆ 探究点一 一次函数、二次函数模型
例1 (1)某边远地区有一运输车队,开出后的车辆都必须返回.离出发地80 km处有一加油站.某汽车油箱中余油量Q(kg)与它行驶时间t(h)之间是一次函数关系.已知t=0时,油箱中有油60 kg,汽车行驶8 h,油箱中的余油量为20 kg.如果汽车的行驶速度为40 km/h,则该汽车最多能行驶多远就必须返回
(2)直播购物逐渐走进了人们的生活.某电商对一款成本价为40元的小商品进行直播销售,如果按每件60元销售,每天可卖出20件.通过市场调查发现,每件小商品售价每降低5元,日销售量增加10件.
①若日利润保持不变,商家想尽快销售完该商品,则每件的售价应定为多少元
②每件售价定为多少元时,每天的销售利润最大 最大利润是多少
变式 汽车在行驶中,由于惯性的作用,刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住,我们称这段距离为“刹车距离”.若汽车紧急刹车后滑行的距离x(m)与刹车时的速度v(m/s)满足关系式x=kv2,某种型号的汽车以72 km/h的速度行驶时,紧急刹车后滑行的距离为20 m.若一辆该型号的汽车以108 km/h的速度行驶时,突然紧急刹车,则汽车紧急刹车后的“刹车距离”为 ( )
A.20 m B.40 m
C.45 m D.60 m
[素养小结]
(1)一次函数模型层次性不高,求解也较为容易,一般情况下可以用“问什么,设什么,列什么”这一方法来处理.
(2)对于一次函数在实际问题中的应用的题目,要认真读题、审题,弄清题意,明确题目中的数量关系,可充分借助图象、表格信息确定解析式,同时要特别注意定义域.
(3)在函数模型中,二次函数模型占有重要的地位,因为根据实际问题建立函数解析式后,可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值,从而解决实际问题中的最大、最小值等问题.
◆ 探究点二 分段函数模型
例2 某旅游开发公司计划2027年在某地质大峡谷开发新的旅游项目,全年需投入固定成本200万元,若该项目在2027年有游客x万人,则 需 另 投入成本R(x)万元,且R(x)=该旅游项目的每张门票售价为100元.为吸引游客,该公司实行门票五折优惠活动.当地政府为鼓励企业更好发展,每年给该旅游项目财政补贴10x万元.记2027年该项目的利润为W(x)万元(利润=收入-成本).
(1)写出W(x)的解析式.
(2)当2025年的游客人数为多少时,该项目所获利润最大 最大利润是多少
变式 [2025·北京西城区高一期末] “空气质量指数(AQI)”是定量描述空气质量状况的无量纲指数.当AQI大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动.某地某天0~24时的空气质量指数y随时间t变化的趋势由函数y=描述,则该天适宜开展户外活动的时长(单位:小时)至多为 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
[素养小结]
解答分段函数问题必须遵循“对号入座”的解题原则,即根据题设条件在各段函数解析式中解决问题;分段函数的最值求法注意取各段的最大(最小)者的最大(最小)者为函数的最值.
◆ 探究点三 均值不等式的应用
例3 据调查,国内某公司生产的一款某运动会的吉祥物的供货价格=固定价格+浮动价格,其中固定价格为60元,浮动价格为(浮动价格单位:元,销售量单位:万件).假设每件吉祥物的售价为整数.当每件吉祥物售价不超过100元时,销售量为10万件;当每件吉祥物售价超过100元时,售价每增加1元,销售量就减少0.2万件.总利润=(售价-供货价格)×销售量.
(1)当每件吉祥物的售价为85元时,获得的总利润是多少万元
(2)每件吉祥物的售价为多少元时,单件吉祥物的利润最大,最大为多少元
变式 某公司生产一类电子芯片,且该芯片的年产量不低于10万件又不超过35万件,每万件电子芯片的计划售价为16万元.已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分,其中固定成本为30万元/年,每生产x万件电子芯片需要投入的流动成本为f(x)(单位:万元),f(x)=17x+-120.假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完.
(1)写出年利润g(x)(万元)与年产量x(万件)之间的关系式;(注:年利润=年销售收入-固定成本-流动成本)
(2)如果你是公司的决策人,为使公司获得的年利润最大,每年应生产多少万件该芯片
[素养小结]
在日常生活中遇到的土地利用、机械制造、广告投资等问题可用均值不等式来解决,具体问题中要能够准确建立函数模型,并注意取最值的条件.
1.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系,如图所示,由图中给出的信息可知,营销人员没有销售量时的收入是 ( )
A.3100元 B.3000元
C.3900元 D.2800元
2.据调查,某存车处在某星期日的存车量为4000辆次,其中电动车存车费是每辆一次0.3元,自行车存车费是每辆一次0.2元.若自行车存车量为x辆次,存车总收入为y元,则y关于x的函数关系式是 ( )
A.y=0.1x+800(0≤x≤4000,x∈N)
B.y=0.1x+1200(0≤x≤4000,x∈N)
C.y=-0.1x+800(0≤x≤4000,x∈N)
D.y=-0.1x+1200(0≤x≤4000,x∈N)
3.某市中心城区居民生活用水阶梯设置为三档,采用边际年用水量确定分档水量为:第一档水量为240立方米/户及以下部分;第二档水量为240立方米/户以上至360立方米/户部分(含360立方米/户);第三档水量为360立方米/户以上部分.家庭常住人口在4人(不含4人)以上的多人口户凭户口簿,其年用水量按每增加一人各档水量递增50立方米来确定.第一档用水价格为2.1元/立方米,第二档用水价格为3.2元/立方米,第三档用水价格为6.3元/立方米.小明家中共有6口人,去年整年用水花费了1602元,则小明家去年整年的用水量为( )
A.474立方米 B.482立方米
C.520立方米 D.540立方米
4.李华经营了两家电动自行车销售连锁店,其月利润(单位:元)分别为L1=-5x2+900x-16 000,L2=300x-2000(其中x为销售辆数),若某月两连锁店共销售了110辆,则能获得的最大月利润为 ( )
A.11 000元 B.22 000元
C.33 000元 D.40 000元
5.如图,在一直角墙角内的点P处有一棵树,它与两墙的距离分别是3 m和2 m.现欲用10 m长的篱笆,借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD,要
求这棵树被围在花圃内或边界上.设BC=x m,则矩形花圃的面积f(x)(单位:m2)为 ( )
A.f(x)=-x2+5x(0≤x≤10)
B.f(x)=-x2+10x(0≤x≤10)
C.f(x)=-x2+5x(3≤x≤8)
D.f(x)=-x2+10x(3≤x≤8)3.3函数的应用(一)
1.一定范围内,某种产品的购买量y(单位:吨)与单价x(单位:元)之间满足一次函数关系.若购买1000吨,则每吨800元,若购买2000吨,则每吨700元.若一客户购买400吨,则其价格为每吨 ( )
A.820元 B.840元
C.860元 D.880元
2.某市为鼓励居民节约用水,规定:每户居民每月用水量不超过10 m3的,按t(t>0)元/m3收费;用水量超过10 m3的,超过部分按2t元/m3收费.某户居民某月缴水费16t元,则该户居民这个月的实际用水量为 ( )
A.13 m3 B.14 m3 C.18 m3 D.26 m3
3.某文具店购进一批新型台灯,若按每盏台灯15元的价格销售,每天能卖出30盏;若售价每提高1元,日销售量将减少2盏,现决定提价销售,为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入,则这批台灯的销售单价x(单位:元)的取值范围是 ( )
A.{x|10≤x<18} B.{x|15≤x<18}
C.{x|15≤x<20} D.{x|10≤x<20}
4.已知超市内某商品的日销量y(单位:件)与当日销售单价x(单位:元)满足关系式y=-2x+100,其中10A.1500元 B.1200元
C.1000元 D.800元
5.某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是 ( )
A.30 B.60 C.120 D.240
6.某医院在设备更新后的第n天,对某项疾病指标检测,每个检测对象检测过程(从接受检测到检测报告生成)的平均耗时为t(n)(单位:小时),t(n)与n近似满足的关系为t(n)=(t0,N0为常数).已知第16天每个检测对象检测过程的平均耗时为16小时,第64天和第67天每个检测对象检测过程的平均耗时均为8小时,那么第49天每个检测对象检测过程的平均耗时大致为 ( )
A.16小时 B.11小时
C.9小时 D.8小时
7.(多选题)假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案每天的回报如图所示.横轴为投资时间,纵轴为每天的回报,根据以上信息,若使回报最多,则下列说法正确的是( )
A.投资3天以内(含3天),采用方案一
B.投资4天,不采用方案三
C.投资6天,采用方案一
D.投资12天,采用方案二
★8.[2025·山东临沂高一期末] 某游乐场每天的盈利额y(单位:元)与售出的门票数x(单位:张)之间的函数关系如图所示.要使该游乐场每天的盈利额超过1000元,那么每天至少应售出 张门票.
9.某企业开发一种产品,生产这种产品的年固定成本为3600万元,每年平均生产x(x>0)千件,需投入成本c(x)万元,c(x)=x2+10x.若该产品每千件定价a万元,为保证生产该产品不亏损,则a的最小值为 .
10.(13分)[2025·安徽芜湖高一期中] 某医院为改善医疗技术,2024年初以72万元的价格购进一套医疗设备.已知该套医疗设备每年获得的总收入为40万元,使用x(x∈N*)年后所需要的各种维护费用总计为(2x2+8x)万元,2024年为第一年.
(1)写出该套医疗设备的利润函数f(x)的表达式,并求f(x)的最大值;
(2)第几年,该套医疗设备的年平均利润最大
11.某数学建模小队现有这样一个问题:提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况,那么,怎样才可以提高呢 我们理想化地建立这样一个关系,在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/时)是关于车流密度x(单位:辆/千米)的函数,当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/时.研究表明,当x∈[20,200]时,车流速度v是关于车流密度x的一次函数.当车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小时)最大时,车流密度为 ( )
A.60 B.100 C.200 D.600
12.(多选题)某商家为了提高一等品M的销售额,对一等品M进行分类销售.据统计,该商家有200件一等品M,产品单价为m(m>0)元.现计划将这200件一等品分为两类:精品和优品.其中优品x件(x∈N*,200>x≥125),分类后精品的单价在原来的基础上增加2x%,优品的单价调整为m元(n∈N*),因市场需求旺盛,假设分类后精品与优品可以全部售完.若优品的单价不低于分类前一等品M的单价,且精品的总销售额不低于优品的总销售额,则n的值可能为 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
13.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到盈利的过程,如图的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润S(单位:万元)与销售时间t(单位:月)之间的关系(即前t个月的利润总和S与t之间的关系).根据图象提供的信息,截止到第 月月末公司累积利润可达到30万元.
14.(15分)经过长期观测发现,某最高时速不超过100千米/时的公路段的车流量y(辆/时)与车辆的平均速度v(千米/时)之间的关系为y=
(1)当车辆的平均速度为多少时,公路段的车流量最大 最大车流量为多少
(2)若某一期间对该公路段车辆实行限流管控,车流量不超过4125辆/时,则汽车的平均速度应在什么范围内
