(共27张PPT)
3.4 数学建模活动：决定苹果的最佳
出售时间点
探究点 最值函数模型
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
课堂评价
答案核查
【学习目标】
收集一些现实生活、生产实际或者经济领域中的函数模型,体会人
们是如何借助函数刻画实际问题的,感悟数学模型中参数的现实意义.
知识点 数学建模基本概念
1.数学建模定义：对现实问题进行__________，用数学语言________
__，用数学方法__________解决问题就是数学建模.
数学抽象
表达问题
构建模型
2.数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角__________、
__________,__________、__________,确定参数、__________,验证结
果、改进模型，最终解决实际问题.
发现问题
提出问题
分析问题
建立模型
计算求解
【诊断分析】
（1）一次函数和二次函数在实际问题中能够解决哪些问题？
解：一次函数、二次函数主要解决最优解的问题，一次函数具有严格
单调递增、严格单调递减的性质，二次函数具有最值性，因此具体问
题中可以根据实际条件，合理构造、利用两个函数模型进行求解.
（2）关于“量”的函数模型有哪些？
解：“量”的关系有相等、不等、大、小、多、少等，因此与“量”有
关的函数模型是函数、方程、不等式等.
探究点 最值函数模型
例 某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套.经过一段时间的经
营发现：当每套设备的月租金为270元时，恰好全部租出.在此基础上，
当每套设备的月租金每提高10元时，这种设备就少租出一套，且未
租出的一套设备每月需支出费用（维护费、管理费等）20元.设每套
设备的月租金为 元，租赁公司出租该型号设备的月收益
（收益租金收入-支出费用）为 元.
（1）用含 的代数式表示未租出的设备数以及所有未租出设备的支
出费用.
［问题分析］ 本题首先要用含 的代数式表示（1）中的两个问题，
再把与 这两个量用函数关系表达出来（即建立函数模型），然后
把自变量和 分别代入二次函数关系式，计算出出租
设备的数量，从市场占有率和设备的磨损方面考虑出租的套数，最
后利用二次函数探求最值，确定最佳方案.
［模型求解］未租出的设备为 套，
所有未租出设备的支出费用为 元.
例 某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套.经过一段时间的经
营发现：当每套设备的月租金为270元时，恰好全部租出.在此基础上，
当每套设备的月租金每提高10元时，这种设备就少租出一套，且未
租出的一套设备每月需支出费用（维护费、管理费等）20元.设每套
设备的月租金为 元，租赁公司出租该型号设备的月收益
（收益租金收入-支出费用）为 元.
（2）求与 之间的二次函数关系式.
［模型求解］ .
例 某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套.经过一段时间的经
营发现：当每套设备的月租金为270元时，恰好全部租出.在此基础上，
当每套设备的月租金每提高10元时，这种设备就少租出一套，且未
租出的一套设备每月需支出费用（维护费、管理费等）20元.设每套
设备的月租金为 元，租赁公司出租该型号设备的月收益
（收益租金收入-支出费用）为 元.
（3）当每套设备的月租金分别为300元和350元时，租赁公司的月收
益分别是多少元？这两种出租方式哪一种更合适？请你简要说明理由.
［模型求解］ 当月租金为300元时，
租赁公司的月收益为11 040元，此时租出设备37套；
当月租金为350元时，
租赁公司的月收益为11 040元，此时租出设备32套.
故出租37套和32套设备获得同样的收益，如果考虑减少设备的磨损，
应该选择出租32套；如果考虑市场占有率，应该选择出租37套.
例 某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套.经过一段时间的经
营发现：当每套设备的月租金为270元时，恰好全部租出.在此基础上，
当每套设备的月租金每提高10元时，这种设备就少租出一套，且未
租出的一套设备每月需支出费用（维护费、管理费等）20元.设每套
设备的月租金为 元，租赁公司出租该型号设备的月收益
（收益租金收入-支出费用）为 元.
（4）请把（2）中所求出的二次函数配方成
的形式，并据此说明：当 为何值时，租赁公司出租该型号设备的月
收益最大？最大月收益是多少？
［模型求解］ ,
所以当时，有最大值 .
但是当月租金为325元时，租出设备的套数为34.5套，
而34.5不是整数，故应租出设备34套或35套，
即当月租金为330元（租出34套）或月租金为320元（租出35套）时，
租赁公司的月收益最大，最大月收益为11 100元.
变式 某商贸公司售卖某种水果，经过市场调研可知：未来20天内，
这种水果每箱的销售利润（单位：元）与时间, ，
单位：天之间的关系式为，且日销售量 （单位：箱）
与时间之间的关系式为 .在未来这20天中，公司决定每
销售1箱该水果就捐赠 元给某希望小学.为保证销售积极性，
要求捐赠之后每天都能盈利，且获得的利润随时间 的增大而增大，
则 的取值范围是_____________.
[解析] 设捐赠后每天的利润为 .
由题意得 ，
化简得，, .
记，
则 的图象开口向下，且对称轴方程为 .
因为该公司每天都能盈利，且获得的利润随时间 的增大而增大，
所以
解得 ，，所以的取值范围是 .
［素养小结］
解此类问题应注意：
（1）分清题意，确定变量，建立函数模型；
（2）将已知条件代入数学模型，利用函数性质解纯数学问题；
（3）将获得的结果还原到实际问题中；
（4）当自变量的取值限制在一定范围内时，最值不一定在
处取得.
1.某蔬菜基地种植黄瓜，从历年市场行情可知，从2月1日起的300天
内，黄瓜市场售价与上市时间 的关系可以用图①的一条折线表示，
黄瓜的种植成本与上市时间 的关系可以用图②的一段抛物线表示.
（1）写出图①中表示的市场售价与上市时间的函数关系式 ，
写出图②中表示的种植成本与上市时间的函数关系式 ；x
解：由题知，当时，
， ，
则满足的函数关系式为 ；
当时， ，
则满足的函数关系式为 .
故其中 .
由题知，函数 的图象是抛物线的一部分，
其中抛物线的对称轴方程为，
且 .
设,, .
因为,所以 ,
故,, .
（2）若认定市场售价减去种植成本为纯收益，则何时上市能使黄瓜
纯收益最大？
（注：市场售价和种植成本的单位：元/百千克，时间的单位：天）
1.某蔬菜基地种植黄瓜，从历年市场行情可知，从2月1日起的300天
内，黄瓜市场售价与上市时间 的关系可以用图①的一条折线表示，
黄瓜的种植成本与上市时间 的关系可以用图②的一段抛物线表示.
解：设黄瓜的纯收益为， ，
则 .
当时，最大，且 ；
当时,单调递增,则 最大，且 .
综上，当时，最大，且 ，
即从2月1日起第50天上市，能使黄瓜纯收益最大.
2.［2025·云南昆明高一期末］某小区准备在小区内建造一个收发室，
利用其一侧已有的墙体，建造一间高3米，底面积为20平方米，且背
面靠墙的长方体形状的收发室.收发室的背面靠墙体，无需建造费用.
针对这个情况，甲公司给出了如下建造报价：屋子前面新建墙体的
报价为500元每平方米，屋子左、右侧面新建墙体的报价为200元每
平方米，屋顶和地面以及其他共报价7500元，设屋子的左、右侧面
长均为 米.
（1）当屋子的左、右侧面长 为多少时，屋子的建造总价最小，最
小为多少？
解：因为收发室的底面积为20平方米，屋子的左、右侧面长均为
米，所以屋子的前面墙体长为 米，
则屋子的建造总价为
,当且仅当,即 时,等号成立,
所以屋子的左、右侧面长为5米时,
甲公司给出的屋子的建造总价最小,最小为19 500元.
2.［2025·云南昆明高一期末］某小区准备在小区内建造一个收发室，
利用其一侧已有的墙体，建造一间高3米，底面积为20平方米，且背
面靠墙的长方体形状的收发室.收发室的背面靠墙体，无需建造费用.
针对这个情况，甲公司给出了如下建造报价：屋子前面新建墙体的
报价为500元每平方米，屋子左、右侧面新建墙体的报价为200元每
平方米，屋顶和地面以及其他共报价7500元，设屋子的左、右侧面
长均为 米.
（2）现有乙公司参与竞标，其给出的建造总报价为
元，若无论左、右侧面的长为多少，
乙公司的报价都不超过甲公司，试求 可取得的最大整数.
解：因为无论左、右侧面的长为多少,乙公司的报价都不超过甲公司，
所以在 上恒成立，
化简可得在 上恒成立，
当时， 显然成立，当 时，
则有 ，
令，则 ，
所以 ，
由对勾函数性质可知 ，
即，所以 ，
又因为，所以 可取得的最大整数为6.
快速核答案
课前预习 知识点 1.数学抽象 表达问题 构建模型 2.发现问题 提出问题
分析问题 建立模型 计算求解 【诊断分析】 （1）略（2）略
课中探究 探究点 例 略 变式
课堂评价 1.（1） 其中.
，，.
（2）从2月1日起第50天上市，能使黄瓜纯收益最大.
2.（1）屋子的左、右侧面长为5米时，甲公司给出的屋子的建造总价最小，
最小为19 500元.（2） 可取得的最大整数为6.3.4 数学建模活动:决定苹果的最佳出售时间点
【课前预习】
知识点
1.数学抽象 表达问题 构建模型
2.发现问题 提出问题 分析问题 建立模型 计算求解
诊断分析
解:(1)一次函数、二次函数主要解决最优解的问题,一次函数具有严格单调递增、严格单调递减的性质,二次函数具有最值性,因此具体问题中可以根据实际条件,合理构造、利用两个函数模型进行求解.
(2)“量”的关系有相等、不等、大、小、多、少等,因此与“量”有关的函数模型是函数、方程、不等式等.
【课中探究】
例 [问题分析] 本题首先要用含x的代数式表示(1)中的两个问题,再把y与x这两个量用函数关系表达出来(即建立函数模型),然后把自变量x=300和x=350分别代入二次函数关系式,计算出出租设备的数量,从市场占有率和设备的磨损方面考虑出租的套数,最后利用二次函数探求最值,确定最佳方案.
[模型求解] (1)未租出的设备为套,所有未租出设备的支出费用为(2x-540)元.
(2)y=x-(2x-540)=-x2+65x+540.
(3)当月租金为300元时,租赁公司的月收益为11 040元,此时租出设备37套;当月租金为350元时,租赁公司的月收益为11 040元,此时租出设备32套.故出租37套和32套设备获得同样的收益,如果考虑减少设备的磨损,应该选择出租32套;如果考虑市场占有率,应该选择出租37套.
(4)y=-x2+65x+540=-(x-325)2+11 102.5,
所以当x=325时,y有最大值11 102.5.但是当月租金为325元时,租出设备的套数为34.5套,而34.5不是整数,故应租出设备34套或35套,即当月租金为330元(租出34套)或月租金为320元(租出35套)时,租赁公司的月收益最大,最大月收益为11 100元.
变式 {5,6,7,8,9,10} [解析] 设捐赠后每天的利润为W.由题意得W=y(r-m)=(120-2t)·,化简得W=-t2+(2m+10)t+1200-120m,1≤t≤20,t∈N*.记f(t)=-t2+(2m+10)t+1200-120m,则f(t)的图象开口向下,且对称轴方程为t=2m+10.因为该公司每天都能盈利,且获得的利润随时间t的增大而增大,所以解得5≤m<10.25,m∈N*,所以m的取值范围是{5,6,7,8,9,10}.
【课堂评价】
1.解:(1)由题知,当0≤t≤200时,f(0)=300,f(200)=100,
则满足的函数关系式为f(t)=-t+300;
当200则满足的函数关系式为f(t)=2t-300.
故f(t)=其中t∈N.
由题知,函数g(t)的图象是抛物线的一部分,其中抛物线的对称轴方程为t=150,且g(150)=100.
设g(t)=a(t-150)2+100,0≤t≤300,t∈N.
因为g(50)=150,所以a=,
故g(t)=t2-t+,0≤t≤300,t∈N.
(2)设黄瓜的纯收益为h(t),0≤t≤300,则h(t)=f(t)-g(t)=t∈N.
当0≤t≤200时,h(50)最大,且h(50)=100;
当200综上,当t=50时,h(t)最大,且h(50)=100,即从2月1日起第50天上市,能使黄瓜纯收益最大.
2.解:(1)因为收发室的底面积为20平方米,屋子的左、右侧面长均为x(1≤x≤10)米,
所以屋子的前面墙体长为米,
则屋子的建造总价为f(x)=3××500+2×200×3x+7500=+1200x+7500≥2+7500=2×6000+7500=19 500,
当且仅当=1200x,即x=5时,等号成立,
所以屋子的左、右侧面长为5米时,甲公司给出的屋子的建造总价最小,最小为19 500元.
(2)因为无论左、右侧面的长为多少,乙公司的报价都不超过甲公司,
所以300≤+1200x+7500在[1,10]上恒成立,
化简可得a(x-1)≤+4x+21在[1,10]上恒成立,
当x=1时,0≤35显然成立,
当1令t=5x+2∈(7,52],则x=,所以4+=4+=4+=4+,
由对勾函数性质可知y=t+-9∈,
即4+≥4+125×=,所以a≤,
又因为6<<7,所以a可取得的最大整数为6.3.4 数学建模活动:决定苹果的最佳出售时间点
【学习目标】
收集一些现实生活、生产实际或者经济领域中的函数模型,体会人们是如何借助函数刻画实际问题的,感悟数学模型中参数的现实意义.
◆ 知识点 数学建模基本概念
1.数学建模定义:对现实问题进行 ,用数学语言 ,用数学方法 解决问题就是数学建模.
2.数学建模过程主要包括:在实际情境中从数学的视角 、 , 、 ,确定参数、 ,验证结果、改进模型,最终解决实际问题.
【诊断分析】 (1)一次函数和二次函数在实际问题中能够解决哪些问题
(2)关于“量”的函数模型有哪些
◆ 探究点 最值函数模型
例 某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套.经过一段时间的经营发现:当每套设备的月租金为270元时,恰好全部租出.在此基础上,当每套设备的月租金每提高10元时,这种设备就少租出一套,且未租出的一套设备每月需支出费用(维护费、管理费等)20元.设每套设备的月租金为x元,租赁公司出租该型号设备的月收益(收益=租金收入-支出费用)为y元.
(1)用含x的代数式表示未租出的设备数以及所有未租出设备的支出费用.
(2)求y与x之间的二次函数关系式.
(3)当每套设备的月租金分别为300元和350元时,租赁公司的月收益分别是多少元 这两种出租方式哪一种更合适 请你简要说明理由.
(4)请把(2)中所求出的二次函数配方成y=a+的形式,并据此说明:当x为何值时,租赁公司出租该型号设备的月收益最大 最大月收益是多少
变式 某商贸公司售卖某种水果,经过市场调研可知:未来20天内,这种水果每箱的销售利润r(单位:元)与时间t(1≤t≤20,t∈N*,单位:天)之间的关系式为r=t+10,且日销售量y(单位:箱)与时间t之间的关系式为y=120-2t.在未来这20天中,公司决定每销售1箱该水果就捐赠m(m∈N*)元给某希望小学.为保证销售积极性,要求捐赠之后每天都能盈利,且获得的利润随时间t的增大而增大,则m的取值范围是 .
[素养小结]
解此类问题应注意:
(1)分清题意,确定变量,建立函数模型;
(2)将已知条件代入数学模型,利用函数性质解纯数学问题;
(3)将获得的结果还原到实际问题中;
(4)当自变量的取值限制在一定范围内时,最值不一定在x=-处取得.
1.某蔬菜基地种植黄瓜,从历年市场行情可知,从2月1日起的300天内,黄瓜市场售价P与上市时间t的关系可以用图①的一条折线表示,黄瓜的种植成本Q与上市时间t的关系可以用图②的一段抛物线表示.
(1)写出图①中表示的市场售价与上市时间的函数关系式P=f(t),写出图②中表示的种植成本与上市时间的函数关系式Q=g(t);
(2)若认定市场售价减去种植成本为纯收益,则何时上市能使黄瓜纯收益最大
(注:市场售价和种植成本的单位:元/百千克,时间的单位:天)
2.[2025·云南昆明高一期末] 某小区准备在小区内建造一个收发室,利用其一侧已有的墙体,建造一间高3米,底面积为20平方米,且背面靠墙的长方体形状的收发室.收发室的背面靠墙体,无需建造费用.针对这个情况,甲公司给出了如下建造报价:屋子前面新建墙体的报价为500元每平方米,屋子左、右侧面新建墙体的报价为200元每平方米,屋顶和地面以及其他共报价7500元,设屋子的左、右侧面长均为x(1≤x≤10)米.
(1)当屋子的左、右侧面长x为多少时,屋子的建造总价最小,最小为多少
(2)现有乙公司参与竞标,其给出的建造总报价为300元,若无论左、右侧面的长为多少,乙公司的报价都不超过甲公司,试求a可取得的最大整数.
