本章总结
【知识辨析】
1.× [解析] 函数f(x)=的定义域为(-,).
2.√ [解析] 因为f(x)是奇函数,所以f(-1)=-f(1)=-(-2)=2.
3.√ [解析] 由函数的单调性及平均变化率的定义可判断该说法正确.
4.√ [解析] 因为f(2-x)=-f(x+2),所以函数f(x+2)为奇函数,且其图象关于点(0,0)中心对称,所以函数f(x)的图象关于点(2,0)中心对称.
5.√ [解析] f(-2)==2,f[f(-2)]=f(2)=22-1=3.
6.√ [解析] 函数y=-x2+(x∈[2,3])是减函数,所以ymax=-22+=2.
【素养提升】
例1 (1)B (2)C [解析] (1)∵f(x)=∴f(2)=-2+2=0,∴f[f(2)]=f(0)=0+2=2,故选B.
(2)y==≥,故选项A错误;因为≠0,所以y=+1≠1,故选项B错误;y=+1≥1,故选项C正确;y=x2+x+1=+≥,故选项D错误.故选C.
变式 (1)C (2)C [解析] (1)∵f(x)=且f(a)=,∴或解得a=或a=.故选C.
(2)∵函数f(x)的定义域为[2,8],∴若要函数h(x)有意义,则解得1≤x≤3,所以函数h(x)的定义域为[1,3].故选C.
例2 (1)A (2)A [解析] (1)因为奇函数f(x)在(-∞,0)上为增函数,且f(-3)=0,所以f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f(3)=0.令f(x)<0,解得x<-3或0
0,解得-33.不等式(x-2)f(x)<0等价于或解得2(2)由已知可得f(x)的图象如图所示.由题可知f(0)=0,f()=0,f(-)=0.因为f(a-2)≥0,所以-≤a-2≤0或a-2≥,解得2-≤a≤2或a≥2+.故选A.
变式 解:(1)∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),
即=-,可得n=0.
又f(2)=,∴=,解得m=2.
故实数m和n的值分别是2和0.
(2)由(1)知f(x)==+.
任取x1,x2∈[-2,-1],且x1则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)=(x1-x2)·.
∵-2≤x11,x1x2-1>0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)∴函数f(x)在[-2,-1]上单调递增,
∴f(x)max=f(-1)=-,f(x)min=f(-2)=-.
例3 B [解析] 因为f(x)是定义在(2a-6,a)上的奇函数,
所以2a-6+a=0,解得a=2,又f(x)在[0,2)上单调递减,
所以f(x)在(-2,2)上单调递减.由f(3x-1)≤f(1-4x)可得解得≤x<,所以不等式f(3x-1)≤f(1-4x)的解集为.故选B.
变式 B [解析] 因为f(x)是奇函数,所以-f(b)=f(-b).因为f(a)+f(b)>0,所以f(a)>-f(b)=f(-b).因为f(x)在R上是减函数,所以a<-b,即a+b<0. 故选B.
例4 (1)B (2)B [解析] (1)由题知函数y=|x|(x-a)=a>0.当x≥0时,函数y=x(x-a)的图象为开口向上的抛物线的一部分,与x轴的交点坐标为(0,0),(a,0);当x<0时,函数y=-x(x-a)的图象为开口向下的抛物线的一部分.故选B.
(2)因为f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0]上单调递减,所以f(x)在[0,+∞)上单调递增.因为不等式f(x2-m)≤f(2x)对于任意x∈[2,3]恒成立,所以|x2-m|≤|2x|对于任意x∈[2,3]恒成立,所以-2x≤x2-m≤2x对于任意x∈[2,3]恒成立,即x2-2x≤m≤x2+2x对于任意x∈[2,3]恒成立.设g(x)=x2-2x,x∈[2,3],h(x)=x2+2x,x∈[2,3],则g(x)max≤m≤h(x)min.因为g(x)=x2-2x在[2,3]上单调递增,所以g(x)max=g(3)=32-2×3=3,因为h(x)=x2+2x在[2,3]上单调递增,所以h(x)min=h(2)=22+2×2=8,所以3≤m≤8.故选B.
变式 (1)B (2)D [解析] (1)函数g(x)=的图象关于原点对称的图象对应的函数解析式为y=-,将函数y=-的图象向左平移1个单位长度,所得图象对应的函数解析式为f(x)=-,则f(-5)=-2.故选B.
(2)根据函数图象可知x=2和x=4不在函数f(x)的定义域内,因此x=2和x=4是方程ax2+bx+c=0的两根,可得f(x)=.由图知f(3)=1,则a=-1,即f(x)=-,所以f(5)=-.
(3)解:①当x<0时,-x>0,所以f(-x)=-(-x)2-2x+2=-x2-2x+2.
又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以f(x)=x2+2x-2(x<0).
又f(0)=0,所以f(x)=
②先画出y=f(x)(x>0)的图象,利用奇函数的图象的对称性可得到相应y=f(x)(x<0)的图象,故f(x)的图象如图所示.由图可知,f(x)的单调递增区间为[-1,0),(0,1],单调递减区间为(-∞,-1),(1,+∞).
例5 (1)C (2)a=0或a>1 (3)0.5 [解析] (1)因为f(x)=x3-x-7=x(x2-1)-7是定义在R上的连续函数,当x∈(0,1)时,x(x2-1)<0,所以f(x)=x(x2-1)-7<0,即零点不可能在(0,1)内;任取x1,x2,且10,即f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(+x1x2+-1)<0,即f(x1)0,f(4)=64-4-7=53>0及零点存在定理,可得f(x)=x3-x-7在(2,3)内有零点.故选C.
(2)当a>0时,函数y=ax-3(x>0)必有一个零点,又因为-<0,所以要使函数f(x)有且只有一个零点,只需a+2+a>0,解得a>1.当a=0时,f(x)=恰有一个零点.当a<0时,若x>0,则f(x)=ax-3<0,此时f(x)无零点;若x≤0,则f(x)=ax2+2x+a≤f(0)=a<0,此时f(x)无零点.因此当a<0时,f(x)无零点.故实数a 的取值范围为a=0或a>1.
(3)令f(x)=x3+x2+x-1,则f(0)=-1<0,f(1)=2>0,1-0>0.1,又f<0,f(1)>0,则零点在内,1-=>0.1,又f>0,f<0,则零点在内,-=>0.1,又f>0,f<0,则零点在内,-=>0.1,又f>0,f<0,则零点在内,由于-=<0.1,故函数f(x)的零点在内,因为=0.562 5,=0.5,且零点结果精确到0.1,所以y=x3+x2+x-1在区间(0,1)内的零点的近似值为0.5.
变式 (1)AD (2)4 [解析] (1)由f[g(x)]=1,得-1(2)由题可知,函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),又f(-x)=|-x|+-a=f(x),所以f(x)为偶函数.当x∈(0,+∞)时,f(x)=x+-a,由对勾函数的性质可知,函数f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,且在x=2时,f(x)取得最小值f(x)min=f(2)=4-a.由对称性可得f(-2)=4-a,又f(x)有两个零点,所以4-a=0,解得a=4.
例6 解:(1)证明:函数f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称.
令x=y=0,得f(0)-f(0)=f(0),即f(0)=0.
令y=0,可得f(0)-f(x)=f(-x),即-f(x)=f(-x),
所以f(x)在(-1,1)上为奇函数.
(2)f+f>0,理由如下:
因为f(x)在(-1,1)上为奇函数,所以f+f=f-f=f=f=-f,当x∈(-1,0)时,f(x)<0,即f<0,
所以f+f=-f>0.
变式 解:(1)当a=1,b=2时,f(x)=x2+3x+1.
令f(x0)=+3x0+1=x0,所以x0=-1,
所以-1为f(x)的不动点.
(2)因为f(x)恒有两个相异的不动点,
所以f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)=x,
即关于x的方程ax2+bx+(b-1)=0有两个不同的根,
所以b2-4a(b-1)>0恒成立,
即对任意b∈R,b2-4ab+4a>0恒成立.
令h(b)=b2-4ab+4a,则Δ=(-4a)2-4×(4a)<0,
即a2-a<0,所以0故实数a的取值范围是(0,1).
(3)因为f(x1)+x2=x1+x2=-=,所以b=,则b=,0因为2a+≥2,当且仅当a=时等号成立,所以b≤,又a>0,所以b>0,所以b∈.本章总结
判断下列说法是否正确.(请在括号中填“√”或“×”)
1.函数f(x)=的定义域为[-,]. ( )
2.函数f(x)是奇函数,若f(1)=-2,则f(-1)=2. ( )
3.若函数f(x)的定义域为I,对任意x1,x2∈I,且x1≠x2,函数f(x)满足=>0,则函数f(x)在定义域内为增函数. ( )
4.若函数f(x)满足f(x+2)+f(2-x)=0,则函数f(x)的图象关于点(2,0)中心对称.( )
5.已知函数f(x)=则f[f(-2)]=3. ( )
6.函数y=-x2+(x∈[2,3])的最大值是2.( )
◆ 题型一 函数的概念
[类型总述] (1)函数求值;(2)求函数的定义域;(3)求简单函数的值域.
例1 (1)已知f(x)=则f[f(2)]= ( )
A.0 B.2
C.4 D.6
(2)下列函数中,值域为[1,+∞)的是 ( )
A.y= B.y=+1
C.y=+1 D.y=x2+x+1
变式 (1)设f(x)=若f(a)=,则a= ( )
A. B.
C.或 D.2
(2)已知函数f(x)的定义域为[2,8],则函数h(x)=f(2x)+的定义域为 ( )
A.[4,16]
B.(-∞,1]∪[3,+∞)
C.[1,3]
D.[3,4]
◆ 题型二 函数的单调性与奇偶性
[类型总述] (1)函数单调性的判断与证明;(2)函数奇偶性的判断与证明;(3)利用单调性求最值;(4)利用函数单调性求参数;(5)利用函数奇偶性求参数;(6)函数单调性与奇偶性的综合应用;(7)应用单调性和奇偶性求解不等式.
例2 (1)已知奇函数f(x)在(-∞,0)上为增函数,且f(-3)=0,则关于x的不等式(x-2)·f(x)<0的解集是 ( )
A.(-3,0)∪(2,3)
B.(-3,0)∪(0,3)
C.(-∞,-3)∪(2,3)
D.(-∞,-3)∪(0,3)
(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=x2-2(x>0),若f(a-2)≥0,则实数a的取值范围为 ( )
A.[2-,2]∪[2+,+∞)
B.[2-,2+]
C.[2-,2]
D.[2+,+∞)
变式 已知函数f(x)=是奇函数,且f(2)=.
(1)求实数m和n的值;
(2)求函数f(x)在区间[-2,-1]上的最值.
例3 已知f(x)是定义在(2a-6,a)上的奇函数,且f(x)在[0,a)上单调递减,则不等式f(3x-1)≤f(1-4x)的解集为 ( )
A. B.
C. D.
变式 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)是减函数,若实数a,b满足f(a)+f(b)>0,则a与b的关系是 ( )
A.a+b>0 B.a+b<0
C.a+b=0 D.不确定
◆ 题型三 函数的图象及应用
[类型总述] (1)作函数图象;(2)利用函数图象求单调区间;(3)利用函数图象求最值;(4)函数图象的综合应用.
例4 (1)设a>0,则函数y=|x|(x-a)的图象大致是 ( )
A B C D
(2)[2025·重庆高一期中] 若f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0]上单调递减,且不等式f(x2-m)≤f(2x)对于任意x∈[2,3]恒成立,则m的取值范围是 ( )
A.[0,8] B.[3,8]
C.[3,15] D.[0,15]
变式 (1)[2025·北京东城区高一期末] 将函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与函数g(x)=的图象关于原点对称,则f(-5)= ( )
A.- B.-2
C.2 D.
(2)[2025·浙江杭州高一期中] 若函数f(x)=的部分图象如图所示,则f(5)= ( )
A.- B.-
C.- D.-
(3)已知f(x)是R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=-x2+2x+2.
①求f(x)的解析式;
②画出f(x)的图象,并指出f(x)的单调区间.
◆ 题型四 函数零点的判断及分布
[类型总述] (1)函数零点个数的判断;(2)一元二次方程根的分布;(3)二分法求函数的近似零点.
例5 (1)函数f(x)=x3-x-7的零点所在的区间是 ( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
(2)已知函数f(x)=有且只有一个零点,则实数a的取值范围是 .
(3)[2024·上海松江区高一期中] 已知函数y=x3+x2+x-1在区间(0,1)上有且仅有一个零点,用二分法得该零点的近似值为 (精确度0.05,零点结果精确到0.1)
变式 (1)(多选题)已知函数f(x),g(x)的图象分别如图①②所示,方程f[g(x)]=1,g[f(x)]=-1,g[g(x)]=-的实根个数分别为a,b,c,则 ( )
A.a+b=c B.b+c=a
C.ab=c D.b+c=2a
(2)已知函数f(x)=|x|+-a有两个零点,则a的值为 .
◆ 题型五 函数的综合应用
[类型总述] (1)抽象函数;(2)函数的性质.
例6 [2025·浙江温州高一期中] 定义在(-1,1)上的函数f(x)满足对任意的x,y∈(-1,1),都有f(y)-f(x)=f,且当x∈(-1,0)时,f(x)<0.
(1)求证:f(x)是奇函数;
(2)判断f+f的正负,并说明理由.
变式 对于函数f(x),若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立,则称x0为f(x)的不动点.已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)(a≠0).
(1)当a=1,b=2时,求函数f(x)的不动点;
(2)若对任意实数b,函数f(x)恒有两个相异的不动点,求实数a的取值范围;
(3)在(2)的条件下,若f(x)的两个不动点为x1,x2,且f(x1)+x2=,求实数b的取值范围.(共46张PPT)
本章总结
题型一 函数的概念
题型二 函数的单调性与奇偶性
题型三 函数的图象及应用
题型四 函数零点的判断及分布
题型五 函数的综合应用
答案核查
判断下列说法是否正确.（请在括号中填“√”或“×”）
1.函数的定义域为 .( )
×
[解析] 函数的定义域为 .
2.函数是奇函数，若，则 .( )
√
[解析] 因为是奇函数，所以 .
3.若函数的定义域为,对任意,，且,函数 满足
，则函数 在定义域内为增函数.( )
√
[解析] 由函数的单调性及平均变化率的定义可判断该说法正确.
4.若函数满足，则函数 的图象关于
点 中心对称.( )
√
5.已知函数则 .( )
√
[解析] ， .
[解析] 因为,所以函数 为奇函数，且其
图象关于点中心对称,所以函数的图象关于点 中心对称.
判断下列说法是否正确.（请在括号中填“√”或“×”）
6.函数 的最大值是2.( )
√
[解析] 函数 是减函数，
所以 .
判断下列说法是否正确.（请在括号中填“√”或“×”）
题型一 函数的概念
［类型总述］（1）函数求值;（2）求函数的定义域;（3）求简单函
数的值域.
例1（1）已知则 ( )
A.0 B.2 C.4 D.6
[解析] ,
,故选B.
√
（2）下列函数中，值域为 的是( )
A. B.
C. D.
[解析] ，故选项A错误；
因为，所以，故选项B错误；
，故选项C正确；
，故选项D错误.故选C.
√
变式（1）设若，则 ( )
A. B. C.或 D.2
[解析] 且，
或解得或 .故选C．
√
（2）已知函数的定义域为 ，则函数
的定义域为( )
A. B.
C. D.
[解析] 函数的定义域为， 若要函数 有意义，
则解得,所以函数的定义域为 .故选C.
√
题型二 函数的单调性与奇偶性
［类型总述］（1）函数单调性的判断与证明;（2）函数奇偶性的判
断与证明;（3）利用单调性求最值;（4）利用函数单调性求参数;（5）
利用函数奇偶性求参数;（6）函数单调性与奇偶性的综合应用;（7）
应用单调性和奇偶性求解不等式.
例2（1）已知奇函数在上为增函数，且 ，则
关于的不等式 的解集是( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为奇函数在上为增函数，且 ，
所以在上为增函数，且.
令，解得 或；
令，解得或 .
不等式等价于或
解得 或 .故选A.
√
（2）已知定义在上的奇函数满足 ，若
，则实数 的取值范围为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由已知可得 的图象如图所示.
由题可知，， .
因为，所以或
，解得或 ．
故选A.
变式 已知函数是奇函数，且 .
（1）求实数和 的值；
解： 是奇函数， ，
即，可得 .
又，，解得 .
故实数和 的值分别是2和0.
（2）求函数在区间 上的最值．
解：由(1)知 .任取，,且 ，
则 .
,,, ,
,即 ,函数在 上单调递增，
, .
变式 已知函数是奇函数，且 .
例3 已知是定义在上的奇函数，且在 上单
调递减，则不等式 的解集为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为是定义在 上的奇函数,
所以，解得,
又在 上单调递减,所以在上单调递减.
由 可得解得,
所以不等式 的解集为 .故选B.
变式 已知函数是定义在上的奇函数，且 是减函数，若实
数，满足，则与 的关系是( )
A. B. C. D.不确定
[解析] 因为是奇函数，所以 ．
因为，所以．
因为在 上是减函数，所以，即 .故选B.
√
题型三 函数的图象及应用
［类型总述］（1）作函数图象;（2）利用函数图象求单调区间;（3）
利用函数图象求最值;（4）函数图象的综合应用.
例4（1）设，则函数 的图象大致是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题知函数 .
当时,函数 的图象为开口向上的抛物线的一部分，
与轴的交点坐标为,；
当时,函数 的图象为开口向下的抛物线的一部分.
故选B.
（2）［2025·重庆高一期中］若是定义在 上的偶函数，且在
上单调递减，且不等式对于任意
恒成立，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为是定义在上的偶函数，
且在 上单调递减，所以在上单调递增.
因为不等式 对于任意恒成立，
所以对于任意 恒成立，
所以对于任意 恒成立，
即对于任意 恒成立.
设，，， ，
则.
因为在 上单调递增，
所以，
因为在 上单调递增，
所以，所以 .故选B.
变式（1）［2025·北京东城区高一期末］将函数 的图象向右平
移1个单位长度，所得图象与函数 的图象关于原点对称，
则 ( )
A. B. C.2 D.
[解析] 函数 的图象关于原点对称的图象对应的函数解析式
为，将函数 的图象向左平移1个单位长度，所得
图象对应的函数解析式为，则 .故选B.
√
（2）［2025·浙江杭州高一期中］若函数
的部分图象如图所示，则
( )
A. B. C. D.
[解析] 根据函数图象可知和不在函数 的定义域内，
因此和是方程 的两根,可得.
由图知,则 ,即,所以 .
√
（3）已知是上的奇函数，且当 时，
①求 的解析式；
解：当时, ,所以 .
又为奇函数,所以 ,所以 .
又，所以
②画出的图象，并指出 的单调区间.
解：先画出 的图象,利用
奇函数的图象的对称性可得到相应
的图象,故 的图象如图所示.
由图可知， 的单调递增区间为，
，单调递减区间为， .
（3）已知是上的奇函数，且当 时，
题型四 函数零点的判断及分布
［类型总述］（1）函数零点个数的判断；（2）一元二次方程根的
分布；（3）二分法求函数的近似零点.
例5（1）函数 的零点所在的区间是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为是定义在 上
的连续函数,当时, ,
所以,即零点不可能在内；
任取, ,且，则 ，
因为，所以， ，
即 ，
即，所以在 上单调递增，
由， ，
，
及零点存在定理，可得在 内有零点.故选C.
（2）已知函数 有且只有一个零点，则
实数 的取值范围是_____________.
或
[解析] 当时，函数 必有一个零点，
又因为，所以要使函数 有且只有一个零点，
只需，解得.
当 时，恰有一个零点.
当时，若 ，则，此时无零点；
若 ,则,此时无零点.
因此当 时，无零点.故实数的取值范围为或 .
（3）［2024·上海松江区高一期中］已知函数 在
区间 上有且仅有一个零点，用二分法得该零点的近似值为____
（精确度，零点结果精确到 ）
0.5
[解析] 令 ,则,，
,又,,则零点在 内,，
又， ，则零点在内， ，
又，，则零点在 内，，
又， ，则零点在内，
由于 ，故函数的零点在 内，
因为， ，且零点结果精确到，
所以在区间 内的零点的近似值为0.5.
变式（1）（多选题）已知函数， 的图象分别如图①②所示，
方程，， 的实根个数分别为
，， ，则( )
A. B. C. D.
√
√
[解析] 由,得 ,此时对应4个解,故；
由,得或 ,此时有2个解,故；
由,得 可以取到4个值,如图所示，
即或或
或 ,
则对应的解有6个,故
，故A正确；
，故C错误；
，故B错误；
，故D正确.故选 .
（2）已知函数有两个零点，则 的值为___.
4
[解析] 由题可知，函数的定义域为 ，
又，所以为偶函数.
当 时，，由对勾函数的性质可知，
函数在 上单调递减，在上单调递增，
且在时， 取得最小值.
由对称性可得，
又 有两个零点，所以，解得 .
题型五 函数的综合应用
［类型总述］（1）抽象函数；（2）函数的性质.
例6 ［2025·浙江温州高一期中］定义在上的函数 满足对
任意的,，都有，且当
时， .
（1）求证： 是奇函数；
证明：函数的定义域为 ，关于原点对称.
令，得，即 .
令，可得，
即 ，所以在 上为奇函数.
例6 ［2025·浙江温州高一期中］定义在上的函数 满足对
任意的,，都有，且当
时， .
（2）判断 的正负，并说明理由.
解： ，理由如下：
因为在 上为奇函数，
所以 ，
当时，，即 ，
所以 .
变式 对于函数，若存在，使成立，则称 为
的不动点.已知函数 .
（1）当,时，求函数 的不动点；
解：当,时， .
令，所以 ，所以为 的不动点.
（2）若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求实数 的
取值范围；
变式 对于函数，若存在，使成立，则称 为
的不动点.已知函数 .
解：因为 恒有两个相异的不动点，
所以 ，
即关于的方程 有两个不同的根，
所以 恒成立，
即对任意, 恒成立.
令，则 ，
即，所以 ，故实数的取值范围是 .
（3）在（2）的条件下，若的两个不动点为, ，且
，求实数 的取值范围.
解：因为，所以 ，
则, ,因为,当且仅当时等号成立，
所以 ,又,所以,所以 .
变式 对于函数，若存在，使成立，则称 为
的不动点.已知函数 .
快速核答案
知识辨析 1.× 2.√ 3.√ 4.√ 5.√ 6.√
素养提升 题型一 例1 （1）B （2）C 变式 （1）C （2）C
题型二 例2 （1）A （2）A 变式 （1） 和的值分别是2和0
（2）最大值为，最小值为> 例3 B 变式 B
题型三 例4（1）B（2）B 变式（1）B（2）D（3）①
②图略的单调递增区间为，，单调递减区间为，.
题型四 例5 （1）C （2）或（3）0.5 变式 （1）AD （2）4
题型五 例6 （1）略（2）m> 变式 （1） （2） >