滚动习题(三) [范围3.1]
(时间:45分钟 分值:100分)
一、单项选择题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
1.下列各组函数中,f(x)与g(x)表示同一函数的是 ( )
A.f(x)=x,g(x)=
B.f(x)=1,g(x)=(x-1)0
C.f(x)=,g(x)=
D.f(x)=,g(x)=x-3
2.若函数f(x)=ax+b在区间[1,2]上的平均变化率为3,则a= ( )
A.-3 B.2
C.3 D.-2
3.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,则下列结论中一定正确的是 ( )
A.函数f(x)+x2是奇函数
B.函数f(x)+|x|是偶函数
C.函数x2f(x)是奇函数
D.函数|x|f(x)是偶函数
4.若函数y=是奇函数,则f(-3)= ( )
A.-2 B.2
C.3 D.-3
5.已知对任意的x,y∈R,都有f[x+y+f(x)]=6x+2y+3,则一次函数f(x)的解析式为 ( )
A.f(x)=x+1 B.f(x)=2x
C.f(x)=2x+1 D.f(x)=x
6.已知函数f(x)的定义域为R,y=f(x)-1为奇函数,y=f(x+1)为偶函数,若f(7)=0,则f(3)= ( )
A.1 B.-1
C.0 D.-3
二、多项选择题:本大题共2小题,每小题6分,共12分.
7.为了评估某种药物的疗效,现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量,甲、乙两人服用该药物后,血管中的药物浓度c(单位:mg/mL)随时间t(单位:h)变化的关系如图所示,则下列四个结论中正确的是 ( )
A.在t1时刻,甲、乙两人血管中的药物浓度相同
B.在[0,t1]这个时间段内,甲血管中的药物浓度的平均变化率大于乙血管中的药物浓度的平均变化率
C.在[t2,t3]这个时间段内,甲、乙两人血管中的药物浓度的平均变化率相同
D.在[t1,t2],[t2,t3]两个时间段内,甲血管中的药物浓度的平均变化率不相同
8.[2025·云南昆明高一期中] 已知函数f(x)对于任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)f(y),当x>0时,0A.f(0)=1
B.若f(m)=25,则m=2
C.f(x)>0
D.f(x)是增函数
三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.
9.已知函数f(x)=
(1)若f(x)≥,则x的取值范围是 ;
(2)f(x)的值域为 .
10.已知函数f(x)=3-2|x|,g(x)=x2-2x,F(x)=min{f(x),g(x)},则F(x)的最大值为 .
11.设函数f(x),g(x)的定义域分别为Df,Dg,且Df Dg.若对于任意x∈Df,都有g(x)=f(x),则称函数g(x)为f(x)在Dg上的一个延拓函数.设f(x)=x2+2x,x∈(-∞,0],g(x)为f(x)在R上的一个延拓函数,且g(x)是偶函数,则g(x)= .
四、解答题:本大题共3小题,共43分.
12.(13分)[2025·甘肃天水高一期中] 已知函数f(x)=是奇函数,且f(1)=2.
(1)求f(x)的解析式;
(2)判断f(x)在区间(0,1)上的单调性并说明理由.
13.(15分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x3+x.
(1)求当x<0时,函数f(x)的解析式;
(2)求不等式f(x-2)14.(15分)已知函数f(x)的定义域为R且f(x)>0恒成立,f(2)=,对任意的a,b∈R,都有f(a)f(b)=f(a+b),当x<0时,f(x)>1.
(1)求f(0),f(8)的值;
(2)证明:f(x)为R上的减函数;
(3)求不等式f(5t2-6t)>的解集.滚动习题(三)
1.C [解析] 对于选项A,f(x)=x,g(x)==|x|,对应关系不一致,不是同一函数,故A错误;对于选项B,f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为{x|x≠1},定义域不同,不是同一函数,故B错误;对于选项C,f(x)和g(x)的定义域都是(0,+∞),且f(x)==1,g(x)==1,对应关系一致,是同一函数,故C正确;对于选项D,f(x)的定义域为{x|x≠-3},g(x)的定义域为R,定义域不同,不是同一函数,故D错误.故选C.
2.C [解析] 根据平均变化率的定义,可知==a=3,故选C.
3.C [解析] 因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x).对于A,f(-x)+(-x)2=-f(x)+x2≠-[f(x)+x2],所以函数f(x)+x2不是奇函数,A选项错误;对于B,f(-x)+|-x|=-f(x)+|x|≠f(x)+|x|,所以函数f(x)+|x|不是偶函数,B选项错误;对于C,(-x)2f(-x)=-x2f(x)=-[x2f(x)],所以函数x2f(x)是奇函数,C选项正确;对于D,|-x|f(-x)=-|x|f(x)≠xf(x),所以函数|x|f(x)不是偶函数,D选项错误.故选C.
4.D [解析] 记g(x)=因为g(x)为奇函数,所以g(-3)=-g(3),又g(-3)=f(-3),g(3)=2×3-3=3,所以f(-3)=g(-3)=-g(3)=-3.故选D.
5.C [解析] 设f(x)=kx+b(k≠0),则f[x+y+f(x)]=f(x+y+kx+b)=k(x+y+kx+b)+b=(k2+k)x+ky+kb+b.因为f[x+y+f(x)]=6x+2y+3,所以(k2+k)x+ky+kb+b=6x+2y+3,则解得所以f(x)=2x+1.故选C.
6.C [解析] 由y=f(x)-1为奇函数得f(-x)+f(x)=2,由y=f(x+1)为偶函数得f(1-x)=f(1+x),则f(x)=f(2-x),所以f(-x)+f(2-x)=2,即f(x)+f(2+x)=2,所以f(x+2)+f(x+4)=2,所以f(x+4)+f(x+6)=2,则f(x+2)=f(x+6),当x=1时,f(3)=f(7)=0.故选C.
7.ACD [解析] 选项A中,在t1时刻,两曲线相交,即此时甲、乙两人血管中的药物浓度相同,故A正确;选项B中,在[0,t1]这个时间段内,甲血管中的药物浓度的平均变化率为>0(c甲为t=0时,甲血管中的药物浓度),乙血管中的药物浓度的平均变化率为>0(c乙为t=0时,乙血管中的药物浓度),因为c甲>c乙,所以<,故B错误;选项C中,在[t2,t3]这个时间段内,甲、乙两人血管中的药物浓度的平均变化率都是,故C正确;选项D中,在[t1,t2]时间段内,甲血管中的药物浓度的平均变化率是,在[t2,t3]时间段内,甲血管中的药物浓度的平均变化率是,显然不相等,故D正确.故选ACD.
8.AC [解析] 对于A,令x=1,y=0,则f(1)=f(0)f(1),∵f(1)=,∴f(0)=1,故A正确;对于B,∵f(1)=,∴f(2)=f(1)f(1)=,故B错误;对于C,令y=-x,则f(x)f(-x)=f(x-x)=f(0)=1,当x<0时,-x>0,∴00,∴对于任意x∈R,f(x)>0,故C正确;对于D,设x2>x1,则f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)f(x1)-f(x1)=f(x1)[f(x2-x1)-1],∵x2-x1>0,∴00,∴f(x2)-f(x1)<0,∴f(x)在R上单调递减,故D错误.故选AC.
9.(1)∪ (2)[0,1] [解析] (1)作出f(x)的图象,如图所示.由于f=,结合函数图象可知,使f(x)≥的x的取值范围是∪.
(2)由图象知,当-1≤x≤1时,f(x)=x2的取值范围为[0,1],当x>1或x<-1时,f(x)=1,所以f(x)的值域为[0,1].
10.7-2 [解析] f(x)=3-2|x|=由解得x=.由解得x=2-,所以f(x)与g(x)的图象的交点坐标为(,3-2),(2-,7-2).因为F(x)=min{f(x),g(x)},所以F(x)=所以F(x)的图象如图所示,由图象可知F(x)的最大值为7-2.
11.x2-2|x| [解析] 由题意可知当x∈(-∞,0]时,g(x)=x2+2x,设x>0,则-x<0,∵g(x)是偶函数,∴当x>0时,g(x)=g(-x)=(-x)2+2·(-x)=x2-2x,∴g(x)=即g(x)=x2-2|x|.
12.解:(1)因为函数f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),即=-,
因为x2+a2不恒为0,所以-ax+b=-ax-b,所以b=0.
因为f(1)=2,所以=2,所以1-2a+a2=2b=0,所以a=1,则f(x)的解析式为f(x)=.
(2)f(x)在区间(0,1)上单调递减.
证明:任取x1,x2∈(0,1)且x1所以f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=(x1-x2)-=(x1-x2)=(x1-x2),
因为x1,x2∈(0,1),所以0所以x1x2-1<0,x1x2>0,所以<0,因为x10,
即f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以f(x)在区间(0,1)上单调递减.
13.解:(1)当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)3-x=-f(x),所以当x<0时,f(x)=x3+x.
(2)由(1)知f(x)=x3+x(x∈R),函数y=x和y=x3在R上都是增函数,所以f(x)在R上是增函数,不等式f(x-2)0,解得x>2或x<1,所以原不等式的解集为(-∞,1)∪(2,+∞).
14.解:(1)令a=b=0,则[f(0)]2=f(0),又f(0)>0,所以f(0)=1.因为f(2)=,所以f(8)=f(2)f(6)=f(2)f(2)f(4)=[f(2)]4=.
(2)证明:设x11,又f(x2)>0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以f(x)为R上的减函数.
(3)由(1)知f(8)=,则f(5t2-6t)>,即f(5t2-6t)>f(8),又f(x)在R上单调递减,所以5t2-6t<8,解得-的解集为.(共29张PPT)
滚动习题（三）范围 3.1
一、单项选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
1.下列各组函数中，与 表示同一函数的是( )
A., B.,
C., D.,
√
[解析] 对于选项A，, ，对应关系不一致，
不是同一函数，故A错误；
对于选项B，的定义域为， 的定义域为 ，定义域
不同，不是同一函数，故B错误；
对于选项C，和的定义域都是，且 ,
，对应关系一致，是同一函数，故C正确；
对于选项D，的定义域为，的定义域为 ，定义域
不同，不是同一函数，故D错误.故选C.
2.若函数在区间上的平均变化率为3,则 ( )
A. B.2 C.3 D.
[解析] 根据平均变化率的定义，可知 ，故
选C.
√
3.设函数是定义在 上的奇函数，则下列结论中一定正确的是
( )
A.函数是奇函数 B.函数 是偶函数
C.函数是奇函数 D.函数 是偶函数
√
[解析] 因为函数是定义在上的奇函数，所以 .
对于A， ，所以函数
不是奇函数，A选项错误；
对于B，，
所以函数 不是偶函数，B选项错误；
对于C， ，所以函数 是奇
函数，C选项正确；
对于D，，所以函数 不是偶函
数，D选项错误.故选C.
4.若函数是奇函数，则 ( )
A. B.2 C.3 D.
[解析] 记因为 为奇函数，
所以，又， ，
所以 .故选D.
√
5.已知对任意的,，都有 ，则一
次函数 的解析式为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设 ，则
.因为 ，
所以，则 解得
所以 .故选C.
6.已知函数的定义域为，为奇函数，
为偶函数，若，则 ( )
A.1 B. C.0 D.
[解析] 由为奇函数得 ，
由为偶函数得，则 ，
所以，即 ，
所以，所以 ，
则，当时， .故选C.
√
二、多项选择题：本大题共2小题，每小题6分，共12分.
7.为了评估某种药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药
物浓度进行测量，甲、乙两人服用该药物后，血管中的药物浓度
（单位：）随时间（单位： ）变化的关系如图所示，则下
列四个结论中正确的是( )
A.在 时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度
相同
B.在 这个时间段内，甲血管中的药物
浓度的平均变化率大于乙血管中的药物浓
度的平均变化率
C.在 这个时间段内，甲、乙两人血管
中的药物浓度的平均变化率相同
D.在， 两个时间段内，甲血管
中的药物浓度的平均变化率不相同
√
√
√
[解析] 选项A中，在 时刻，两曲线相
交，即此时甲、乙两人血管中的药物
浓度相同，故A正确；
选项B中，在 这个时间段内，
甲血管中的药物浓度的平均变化率为
（为 时，甲血管中的药物浓度），乙血管中的药物浓度的平
均变化率为（为 时，乙血管中的药物浓度），
因为 ，所 以 ，故B错误；
选项C中，在 这个时间段内，
甲、乙两人血管中的药物浓度的平均
变化率都是，故C正确；
选项D中，在 时间段内，甲血管
中的药物浓度的平均变化率是，在 时间段内，
甲血管中的药物浓度的平均变化率是，显然不相等，故D正确.
故选 .
8.［2025·云南昆明高一期中］已知函数对于任意实数， 都有
，当时，， ，则下
列结论正确的是( )
A. B.若，则
C. D. 是增函数
√
√
[解析] 对于A，令,，则， ，
，故A正确；
对于B， ，，故B错误；
对于C，令 ，则，当时， ,，， 对于任意, ，故C正确；
对于D，设 ，则，
, ，
即，又,,在 上
单调递减，故D错误.故选 .
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
9.已知函数
（1）若，则 的取值范围是___________________；
[解析] 作出 的图象，如图所示.
由于 ，结合函数图象可知，
使的 的取值范围是
.
（2） 的值域为______.
[解析] 由图象知，当时，的取值范围为 ，
当或时，，所以的值域为 .
10.已知函数,， ,
,则 的最大值为_________.
[解析]
由解得 .
由解得，所以
与的图象的交点坐标为， .
因为, ，
所以
所以 的图象如图所示，
由图象可知 的最大值为 .
11.设函数，的定义域分别为，，且 ．若对于
任意，都有，则称函数为在 上的一个
延拓函数．设，，为在 上的一
个延拓函数，且是偶函数，则 _________．
[解析] 由题意可知当时，,设 ，
则，是偶函数， 当 时，
，
即 .
四、解答题：本大题共3小题，共43分.
12.（13分）［2025·甘肃天水高一期中］ 已知函数 是奇
函数，且 .
（1）求 的解析式；
解：因为函数是奇函数，所以 ，
即 ，
因为不恒为0，所以，所以 .
因为，所以，所以 ，所以
，则的解析式为 .
（2）判断在区间 上的单调性并说明理由.
解：在区间 上单调递减.
证明：任取,且，因为 ，
所以 ，
因为,，所以,，所以 ，
所以,，所以，因为 ，所以
，所以 ，
即，即，所以在区间 上单
调递减.
13.（15分）已知函数是定义在上的奇函数，当 时，
.
（1）求当时，函数 的解析式；
解：当时，， ，所以当
时， .
（2）求不等式 的解集.
解：由（1）知，函数和在 上都
是增函数，所以在上是增函数，不等式
即为，即，解得或 ，所
以原不等式的解集为 .
14.（15分）已知函数的定义域为且恒成立， ，
对任意的,，都有，当时， .
（1）求， 的值；
解：令，则，又，所以 .
因为，所以 .
（2）证明：为 上的减函数；
证明：设 ，则
，又，所以 ，
所以，又，所以 ，
即，所以为 上的减函数.
（3）求不等式 的解集.
解：由（1）知，则 ，
即，又在上单调递减，
所以 ，解得 ，
所以不等式的解集为 .
快速核答案
一、单项选择题
1.C 2.C 3.C 4.D 5.C 6.C
二、多项选择题
7.ACD 8.AC
三、填空题
9.（1） （2） 10. 11.
四、解答题
12.（1）（2）在区间上单调递减.证明略
13.（1）m> （2）
14.（1） （2）证明略（3）
