滚动习题(四) [范围3.2~3.4]
(时间:45分钟 分值:100分)
一、单项选择题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
1.如图所示的函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求图中交点横坐标的是 ( )
A.①③ B.②④
C.①② D.③④
2.已知函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线,且有如下对应函数值表:
x 1 2 4 5 6
f(x) 123.136 15.552 10.88 -52.488 -232.064
在以下区间中f(x)一定有零点的是 ( )
A.(1,2) B.(2,4)
C.(4,5) D.(5,6)
3.若方程x2+ax+a=0的一个根小于-2,另一个根大于-2,则实数a的取值范围是 ( )
A.(4,+∞) B.(0,4)
C.(-∞,0) D.(-∞,0)∪(4,+∞)
4.若关于x的不等式x2+mx+n<0的解集为(1,3),则关于函数f(x)=x2+mx+n,下列说法不正确的是 ( )
A.f(x)在(-∞,2)上单调递减
B.f(x)有2个零点,分别为1和3
C.f(x)在[1,3]上单调递增
D.f(x)的最小值是-1
5.[2025·河南南阳高一期中] 设A=,B=,f(x)=若m∈A,且f[f(m)]∈A,则m的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.
6.已知函数f(x)的定义域为R,满足f(x)=2f(x-1),且当x∈(0,1]时,f(x)=x2-x.若对任意x∈(-∞,a],都有f(x)≥-,则实数a的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题:本大题共2小题,每小题6分,共12分.
7.已知函数f(x)在区间(0,3)上有两个零点,且都可以用二分法求得,其图象是连续不断的,若f(0)>0,f(1)f(2)f(3)<0,则下列命题正确的是 ( )
A.函数f(x)的两个零点可以分别在区间(0,1)和(1,2)内
B.函数f(x)的两个零点可以分别在区间(1,2)和(2,3)内
C.函数f(x)的两个零点可以分别在区间(0,1)和(2,3)内
D.函数f(x)的两个零点不可能同时在区间(1,2)内
8.已知函数f(x)=若关于x的方程f[f(x)]=0有8个不同的实数解,则实数a的值可能是 ( )
A.8 B.7
C.6 D.5
三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.
9.函数f(x)=x+1-的两个零点为x1,x2,若x1=3,则x2= .
10.如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,且AD>BC.已知AB+BC+CD为定值l,∠BCD=120°.设等腰梯形的面积为S,高为h,则S关于h的函数解析式为 .
11.已知函数f(x)=若关于x的不等式[f(x)]2+af(x)<0(a>0)恰有1个整数解,则实数a的最大值是 .
四、解答题:本大题共3小题,共43分.
12.(13分)(1)求不等式≥0的解集;
(2)已知不等式5x2-bx+c<0的解集为{x|-113.(15分)[2025·重庆万州区高一期中] 为了缓解交通压力,需要限定汽车速度,交管部门对某路段作了调研,得到了某时间段内的车流量L(千辆/小时)和汽车平均速度v(千米/时)的下列数据:
v 10 30 40 60 70
L 0.8 6 8 4.8 3.5
为了描述车流量L和汽车平均速度v的关系,现有以下三种模型供选择:L=,L=2v+k,L=k-.
(1)选出你认为最符合实际的函数模型,请说明理由并计算k的值;
(2)计算该路段最大车流量及最大车流量时汽车的平均速度.
14.(15分)已知函数f(x)=x2-x+-2(x>0).
(1)用定义证明f(x)在(0,1)内单调递减;
(2)证明:f(x)存在两个不同的零点a,b,且a+b>2.滚动习题(四)
1.A [解析] 因为①③中图象对应函数的零点两侧函数值的符号相同,故不能用二分法求解.
2.C [解析] 由题知f(4)f(5)<0,因为函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线,所以f(x)在区间(4,5)上一定有零点.故选C.
3.A [解析] 设f(x)=x2+ax+a,则
解得a>4,所以实数a的取值范围是(4,+∞).
4.C [解析] 由题知方程x2+mx+n=0的两个根是1和3,则函数f(x)=x2+mx+n的图象开口向上,对称轴是直线x=2,与x轴的交点为(1,0),(3,0),故A中说法正确,C中说法错误,B中说法正确;因为-m=1+3,n=1×3=3,所以m=-4,n=3,则f(x)=x2-4x+3,所以f(2)=-1为f(x)的最小值,故D中说法正确.故选C.
5.D [解析] 当x∈时,f(x)=x+∈,且f=;当x∈时,f(x)=2-2x∈[0,1),且f=.若m∈A,且f[f(m)]∈A,即f[f(m)]∈,则≤f(m)≤1.作出f(x)的图象如图所示,因为m∈A,所以由图可知≤m≤.故选D.
6.B [解析] 当x∈(0,1]时,f(x)=x2-x∈.当17.ABD [解析] 因为函数f(x)在区间(0,3)上有两个零点,且都可以用二分法求得,其图象是连续不断的,所以零点两侧函数值异号,又f(0)>0,f(1)f(2)f(3)<0,所以f(3)>0,f(1)f(2)<0.若f(1)>0,f(2)<0,可得f(2)f(3)<0,f(1)f(2)<0,此时函数f(x)的两个零点分别在区间(1,2)和(2,3)内,故B正确;若f(1)<0,f(2)>0,则f(0)f(1)<0,f(1)f(2)<0,此时函数f(x)的两个零点分别在区间(0,1)和(1,2)内,故A正确.综上可知,选项C错误,D正确.故选ABD.
8.ABC [解析] 当a≤0时,f(x)在R上单调递增,显然方程f[f(x)]=0有8个不同的实数解不成立;当a>0时,令f(x)=t,则由f(t)=0得t1=-2a,t2=0,t3=a,又方程f[f(x)]=0有8个不同的实数解,所以解得a>8.故选ABC.
9.-5 [解析] 由题知x1=3是方程f(x)=0的一个根,所以3+1-=0,得k=16,所以f(x)=x+1-,由f(x)=0得x+1-=0,即(x+1)2=16,解得x1=3,x2=-5.
10.S=h(l-h) [解析] 如图,过点C作AD的垂线,交AD于点E,则∠EDC=60°,在△CDE中,ED=CD,CE=h=CD,则CD=AB=h,又AB+BC+CD=l,所以BC=l-h,AD=BC+2ED=l-h,所以S==h(l-h).
11.8 [解析] 作出函数f(x)的图象,如图所示.关于x的不等式[f(x)]2+af(x)<0,当a>0时,-a12.解:(1)不等式≥0等价于解得x≥或x<-4,
所以原不等式的解集为.
(2)由题意可得-1,3是方程5x2-bx+c=0的两根,
所以解得
所以b+c=-5.
13.解:(1)根据表格数据可知,随着汽车平均速度v的增大,车流量L呈现出先增大后减少的趋势,而L=2v+k成持续增大模式,L=k-成持续减少模式,
所以只有L=符合题意.
将v=10,L=0.8代入表达式可得0.8=,解得k=80.
(2)由(1)可知L==,
由均值不等式可得v+-70≥2-70=10,
因此L=≤=8,当且仅当v=,即v=40时,等号成立,
因此该路段最大车流量为8千辆/小时,最大车流量时汽车的平均速度为40千米/时.
14.证明:(1)任取x1,x2∈(0,1),且x1则f(x1)-f(x2)=-x1+-2-=-x1+-+x2-=-+x2-x1+-=(x2+x1)(x1-x2)+(x2-x1)+=(x2-x1),
因为x1,x2∈(0,1),且x1所以x1x2∈(0,1),>1,x1+x2∈(0,2),
所以-(x2+x1)+1+>0,
所以f(x1)-f(x2)>0,
即f(x1)>f(x2),
故f(x)在(0,1)内单调递减.
(2)由(1)可知f(x)在(0,1)内单调递减.
任取x3,x4∈(1,+∞),且x3则x3x4∈(1,+∞),∈(0,1),x3+x4∈(2,+∞),可得-(x4+x3)+1+<0,
所以f(x3)-f(x4)<0,
即f(x3)故f(x)在(1,+∞)内单调递增.
由题知,f=-+-2=,f=-+-2=-,f=-+-2=-,f(2)=22-2+-2=,
根据零点存在定理,可得函数f(x)在及内各存在一个零点,
不妨令a2.(共29张PPT)
滚动习题（四）范围3.2~3.4
一、单项选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
1.如图所示的函数图象与 轴均有交点，其中不能用二分法求图中交
点横坐标的是( )
A.①③ B.②④ C.①② D.③④
√
[解析] 因为①③中图象对应函数的零点两侧函数值的符号相同，
故不能用二分法求解.
2.已知函数 的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应函数值表:
1 2 4 5 6
123.136 15.552 10.88
在以下区间中 一定有零点的是( )
A. B. C. D.
[解析] 由题知,因为函数 的图象是一条连续不断的
曲线,所以在区间 上一定有零点.故选C.
√
3.若方程的一个根小于，另一个根大于 ，则实
数 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
[解析] 设,则
解得,所以实数的取值范围是 .
√
4.若关于的不等式的解集为 ，则关于函数
，下列说法不正确的是( )
A.在上单调递减 B. 有2个零点，分别为1和3
C.在上单调递增 D.的最小值是
√
[解析] 由题知方程 的两个根是1和3，
则函数的图象开口向上，对称轴是直线，
与 轴的交点为, ,故A中说法正确,C中说法错误,B中说法正确；
因为，，所以， ，
则，所以为 的最小值，
故D中说法正确．故选C.
5.［2025·河南南阳高一期中］设， ，
若，且，则 的取值范围为
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 当时， ，且；
当时， ，且.
若，且 ，即，则.
作出 的图象如图所示，
因为，所以由图可知 .故选D.
6.已知函数的定义域为,满足,且当
时,.若对任意,都有,则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 当时, .
当时, ,所以此时
;
当 时,,所以此时
.
因为 ，所以，则,
当 时, ,所以此时
.
因为,所以.
作出函数 的图象, 如图所示.
当时,由,
解得 或,因为对任意,
都有,所以实数 的取值范围为. 故选B.
二、多项选择题：本大题共2小题，每小题6分，共12分.
7.已知函数在区间 上有两个零点，且都可以用二分法求得，
其图象是连续不断的，若， ，则下列命题
正确的是( )
A.函数的两个零点可以分别在区间和 内
B.函数的两个零点可以分别在区间和 内
C.函数的两个零点可以分别在区间和 内
D.函数的两个零点不可能同时在区间 内
√
√
√
[解析] 因为函数在区间 上有两个零点，且都可以用二分法
求得，其图象是连续不断的，所以零点两侧函数值异号，
又，，所以， .
若,，可得， ，
此时函数的两个零点分别在区间和内，故B正确；
若 ,，则，，
此时函数 的两个零点分别在区间和 内，故A正确.
综上可知，选项C错误，D正确.故选 .
8.已知函数若关于的方程 有8个
不同的实数解，则实数 的值可能是( )
A. B. C. D.
[解析] 当时，在上单调递增，
显然方程 有8个不同的实数解不成立；
当时，令，则由 得，
，，又方程 有8个不同的实数解，
所以解得.故选 .
√
√
√
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
9.函数的两个零点为，，若，则
____.
[解析] 由题知是方程的一个根，
所以 ,得,所以，
由得 ,即,解得, .
10.如图，在等腰梯形中，，且 .已知
为定值， .设等腰梯形的面积为 ，高
为，则关于 的函数解析式为_ __________________________.
[解析] 如图，过点作的垂线，
交于点 ，则 ，
在中， ，，则 ，
又,所以 , ，
所以 .
11.已知函数若关于 的不等式
恰有1个整数解，则实数 的最大值是
___．
8
[解析] 作出函数的图象,如图所示.
关于 的不等式，
当时, ,由于关于的不等式
恰有1个整数解,因此其整数解为3,
又 ,，
所以, ,则.故实数 的最大值为8.
四、解答题：本大题共3小题，共43分.
12.（13分）
（1）求不等式 的解集；
解：不等式等价于
解得或 ，所以原不等式的解集为 ．
（2）已知不等式的解集为 ，求
的值.
解：由题意可得，3是方程 的两根，
所以解得 所以 .
13.（15分）［2025·重庆万州区高一期中］ 为了缓解交通压力，需
要限定汽车速度，交管部门对某路段作了调研，得到了某时间段内
的车流量（千辆/小时）和汽车平均速度 （千米/时）的下列数据：
10 30 40 60 70
0.8 6 8 4.8 3.5
为了描述车流量和汽车平均速度 的关系，现有以下三种模型供选
择：，， .
（1）选出你认为最符合实际的函数模型，请说明理由并计算 的值；
解：根据表格数据可知，随着汽车平均速度的增大，
车流量 呈现出先增大后减少的趋势，
而成持续增大模式， 成持续减少模式，
所以只有 符合题意.
将,代入表达式可得，解得 .
13.（15分）［2025·重庆万州区高一期中］ 为了缓解交通压力，需
要限定汽车速度，交管部门对某路段作了调研，得到了某时间段内
的车流量（千辆/小时）和汽车平均速度 （千米/时）的下列数据：
10 30 40 60 70
0.8 6 8 4.8 3.5
为了描述车流量和汽车平均速度 的关系，现有以下三种模型供选
择：，， .
（2）计算该路段最大车流量及最大车流量时汽车的平均速度.
解：由（1）可知 ，
由均值不等式可得 ，
因此，当且仅当，
即 时，等号成立，
因此该路段最大车流量为8千辆/小时,
最大车流量时汽车的平均速度为40千米/时.
14.（15分）已知函数 .
（1）用定义证明在 内单调递减；
证明：任取,，且 ，
则
，
因为,，且 ，所以，，
，所以 ，
所以 ，即 ，故在 内单调递减.
（2）证明：存在两个不同的零点,，且 .
证明： 由（1）可知在 内单调递减.
任取,，且 ，则，，
，可得 ，
所以 ,即 ,故在 内单调递增.
14.（15分）已知函数 .
由题知，， ，
， ，
根据零点存在定理，可得函数在及 内各存在一个零点，
不妨令，则， ，所以 .
快速核答案
一、单项选择题 1.A 2.C 3.A 4.C 5.D 6.B
二、多项选择题 7.ABD 8.ABC
三、填空题 9. 10. 11.8
四、解答题 12.（1） （2）
13.（1） （2）40千米/时 14.（1）略（2）略
