单元素养测评卷(三)B
1.B [解析] 因为函数f(x)=ax+1是单调函数,且在(0,1)内恰有一个零点,所以f(0)f(1)<0,又f(0)=1>0,所以f(1)=a+1<0,解得a<-1.故选B.
2.D [解析] 由题知,f(-2)=f[f(-1)],f(-1)=f[f(0)],f(0)=f[f(1)],因为f(1)=2,所以f(0)=f(2)=3,所以f(-1)=f(3)=4,所以f(-2)=f(4)=5.故选D.
3.D [解析] 因为f(x)与g(x)在[0,+∞)上均单调递减,f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,所以g(x)在R上单调递减,f(x)在(-∞,0]上单调递增.对于A,f(2)>f(3),但无法判断f(2)与f(3)的正负,所以无法判断f[f(2)]与f[f(3)]的大小,故A不正确;对于B,g(2)>g(3),但无法判断g(2)与g(3)的正负,所以无法判断f[g(2)]与f[g(3)]的大小,故B不正确;对于C,g(2)>g(3),因为g(x)在R上单调递减,所以g[g(2)]f(3),因为g(x)在R上单调递减,所以g[f(2)]4.C [解析] ∵第一次所取的区间是(-2,6),∴第二次所取的区间可能为(-2,2),(2,6),第三次所取的区间可能为(-2,0),(0,2),(2,4),(4,6).故选C.
5.B [解析] 因为f(1-x)==-1=-1,所以f(x)=-1(x≠1).故选B.
6.B [解析] 因为f(-4-x)+f(x)=+=2,所以f(x)的图象的对称中心为点(-2,1),所以将f(x)的图象向右平移2个单位,再向下平移1个单位后得到的图象关于原点对称,所以f(x-2)-1为奇函数,故选B.
7.D [解析] 因为奇函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,0)上单调递增.因为f(x)为奇函数,所以由x[f(x)-f(-x)]<0,得2xf(x)<0,即xf(x)<0.当x>0时,可得08.B [解析] 函数f(x)=min{2x2+4x+2,2-x}的图象如图所示.令f(x)=t,函数y=t2-at+1至多有两个零点t1,t2,方程f(x)=t1至多有三个根,方程f(x)=t2至多有三个根.要使g(x)=[f(x)]2-af(x)+1有六个不同的零点,需使y=t2-at+1有两个不相等的零点t1,t2,不妨设t19.ACD [解析] 因为函数f(x)=x2+1的值域是[1,5],x2+1≥1,f(0)=1,f(2)=f(-2)=5,所以函数f(x)的定义域是[-2,2]的子集,且定义域中至少有一个端点值和x=0,对比选项知,A,C,D满足条件.故选ACD.
10.ACD [解析] f(x)===3+,作出函数f(x)图象如图所示,由图可知,f(x)有且仅有一个零点,f(x)的定义域为{x|x≠1},f(x)在(-∞,1)和(1,+∞)上单调递减,f(x)的图象关于点(1,3)对称.故选ACD.
11.AC [解析] 由已知得f(x)=作出函数f(x)的图象如图所示.对于A,由图可知,当112.[-3,-2] [解析] 因为函数f(x)是R上的增函数,所以解得-3≤a≤-2,故实数a的取值范围是[-3,-2].
13. [解析] 如图,作出函数y1=x2-2x与y2=-x的图象,易知两函数图象的交点坐标为(0,0)和,函数y1=x2-2x的最小值为-1,当y2=-1时,x=.因为f(x)的值域为R,所以实数m的取值范围为.
14.(-∞,-2025)∪(0,2025) [解析] 因为f(x+2025)的图象关于点(-2025,0)对称,所以f(x)的图象关于点(0,0)对称,所以f(x)为R上的奇函数,所以f(0)=0.令g(x)=xf(x),因为对任意x1,x2∈(0,+∞),当x1≠x2时,都有(x1-x2)[x1·f(x1)-x2·f(x2)]<0,所以g(x)在(0,+∞)上为减函数,因为g(-x)=-xf(-x)=xf(x)=g(x),所以g(x)为R上的偶函数,所以g(x)在(-∞,0)上为增函数.又g(2025)=2025f(2025)=0,所以当x∈(-2025,0)∪(0,2025)时,g(x)=xf(x)>0,当x∈(-∞,-2025)∪(2025,+∞)时,g(x)=xf(x)<0,所以当x∈(-2025,0)时,f(x)<0,当x∈(0,2025)时,f(x)>0,当x∈(-∞,-2025)时,f(x)>0,当x∈(2025,+∞)时,f(x)<0,则f(x)>0的解集为(-∞,-2025)∪(0,2025).
15.解:(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c(a≠0),
因为f(x+1)-f(x)=2x-1,所以2ax+(a+b)=2x-1,
所以解得
又f(0)=3,所以c=3,所以f(x)=x2-2x+3.
(2)由(1)得f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2,图象开口向上,对称轴为直线x=1.
①当-2此时函数f(x)在区间[-2,t]上的最大值g(t)=f(-2)=(-2-1)2+2=11;
②当t>4时,|t-1|>|-2-1|,
此时函数f(x)在区间[-2,t]上的最大值g(t)=t2-2t+3.
综上,g(t)=
16.解:(1)因为f(x)=ax2-2x-3<0的解集为{x|-1所以解得a=1,所以a的值为1.
(2)由(1)知f(x)=x2-2x-3=(x-1)2-4,函数f(x)的图象开口向上,对称轴为直线x=1,
当t+1≤1,即t≤0时,f(x)在[t,t+1]上单调递减,
所以g(t)=f(t+1)=(t+1-1)2-4=t2-4;
当t<1当t≥1时,f(x)在[t,t+1]上单调递增,
所以g(t)=f(t)=(t-1)2-4=t2-2t-3.
综上,g(t)=
17.解:(1)因为每件产品的售价为5元,所以x万件产品的销售收入为5x万元.
依题意得,当0当x≥8时,L(x)=5x--3=35-.
所以L(x)=
(2)当0当x≥8时,L(x)=35-≤35-2=35-20=15,
当且仅当x=,即x=10时取等号.
因为9<15,所以当年产量为10万件时,小王在该商品的生产中所获利润最大,最大利润是15万元.
18.解:(1)因为h(x)=2x-1,g(x)=x2-2x+3,
所以y=g(x)-h(x)=x2-2x+3-(2x-1)=x2-4x+4,
令y=0,则x2-4x+4=0,解得x=2,
所以函数y=g(x)-h(x)的零点是2.
(2)(i)由题知2x-1≤ax2+bx+c≤x2-2x+3恒成立,
令x=2,得3≤4a+2b+c≤3,所以4a+2b+c=3①,
由题知f(-2)=4a-2b+c=-1②,由①②可得
因为2x-1≤ax2+bx+c,即ax2-x+2-4a≥0恒成立,
所以即所以a=,
所以c=1-4a=0,此时ax2+bx+c≤x2-2x+3,
即x2-4x+4=(x-2)2≥0恒成立,显然符合题意,所以f(x)=x2+x.
(ii)当x>时,4f(x)≥mg(x)恒成立,即x2+4x≥m(x2-2x+3)恒成立,
又x2-2x+3=(x-1)2+2>0,所以m≤=1+对x∈恒成立.
记F(x)=1+,x∈,令t=2x-1>0,
则F(x)=1+=1+=1+,
因为t>0,所以t+-2≥2-2=6-2=4,当且仅当t=3时取等号,所以0<≤,
所以F(x)=1+∈(1,4],
所以m≤1,故实数m的取值范围为(-∞,1].
19.解:(1)f(x)为奇函数,理由如下:
令x=y=0,则f(0)+f(0)=f(0),解得f(0)=0.
令y=-x,则f(x)+f(-x)=f(0)=0,即f(-x)=-f(x),
又f(x)的定义域关于原点对称,所以f(x)为奇函数.
(2)令-1因为-10,-10,
又x2-x1-(1-x1x2)=x1x2-x1+x2-1=(x1+1)(x2-1)<0,所以0<<1.
因为f(x)为奇函数,且当x∈(-1,0)时,f(x)>0,
所以当x∈(0,1)时,f(x)<0,
所以f<0,即f(x2)所以f(x)在(-1,1)上单调递减.
因为f(2x-1)>f(x),所以-1<2x-1故不等式f(2x-1)>f(x)的解集为(0,1).
(3)因为对任意的x1∈,存在x2∈[-1,2],
使得f(x1)>g(x2)成立,所以f(x)在上的最小值大于g(x)在[-1,2]上的最小值.
由(2)知,f(x)在上单调递减,且f(x)为奇函数,所以f(x)在上的最小值为f=-f=-1.
易知g(x)=x2+bx+1的图象开口向上,且对称轴为直线x=-.
①当-≤-1,即b≥2时,g(x)在[-1,2]上单调递增,
此时g(x)在[-1,2]上的最小值为g(-1)=2-b,
所以2-b<-1,解得b>3,所以b>3;
②当-≥2,即b≤-4时,g(x)在[-1,2]上单调递减,
此时g(x)在[-1,2]上的最小值为g(2)=5+2b,
所以5+2b<-1,解得b<-3,所以b≤-4;
③当-1<-<2,即-4此时g(x)在[-1,2]上的最小值为g=1-,所以1-<-1,
解得b<-2或b>2,所以-4综上所述,实数b的取值范围是(-∞,-2)∪(3,+∞).单元素养测评卷(三)B
第三章
(时间:120分钟 分值:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若函数f(x)=ax+1在(0,1)内恰有一个零点,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-1,+∞) B.(-∞,-1)
C.(1,+∞) D.(-∞,1)
2.已知函数f(x)=则f(-2)= ( )
A.2 B.3
C.4 D.5
3.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,函数g(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)与g(x)在[0,+∞)上均单调递减,则 ( )
A.f[f(2)]>f[f(3)]
B.f[g(2)]C.g[g(2)]>g[g(3)]
D.g[f(2)]4.在用二分法求函数f(x)的零点的近似值时,若第一次所取区间为(-2,6),则第三次所取区间可能是 ( )
A.(-2,-1) B.(-1,1)
C.(2,4) D.(5,6)
5.[2025·四川遂宁高一期中] 已知函数f(1-x)=(x≠0),则f(x)= ( )
A.-1(x≠0)
B.-1(x≠1)
C.-1(x≠0)
D.-1(x≠1)
6.[2025·黑龙江大庆高一期末] 已知函数f(x)=,则下列函数中是奇函数的是 ( )
A.f(x-2)+1 B.f(x-2)-1
C.f(x+2)-1 D.f(x+2)+1
7.设奇函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(1)=0,则不等式x[f(x)-f(-x)]<0的解集为 ( )
A.{x|-11}
B.{x|x<-1或0C.{x|x<-1或x>1}
D.{x|-18.[2025·江西南昌高一期末] 已知min{x,y}表示x,y中的较小者,若函数f(x)=min{2x2+4x+2,2-x},函数g(x)=[f(x)]2-af(x)+1有六个不同的零点,则a的取值范围是 ( )
A.(0,2) B.
C.(2,4) D.(2,+∞)
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.[2024·山东日照高一期中] 已知函数f(x)=x2+1的值域是[1,5],则f(x)的定义域可能是( )
A.[-1,2] B.[-3,2]
C. D.
10.关于函数f(x)=,下列说法正确的是 ( )
A.f(x)有且仅有一个零点
B.f(x)在定义域内单调递减
C.f(x)的定义域为{x|x≠1}
D.f(x)的图象关于点(1,3)对称
11.已知f(x)是定义域为R的奇函数,且满足f(x)=则下列叙述正确的是( )
A.存在实数k,使关于x的方程f(x)=k有3个不相等的实数根
B.当-1f(x2)
C.若当x∈(0,a]时,f(x)的最小值为1,则a的取值范围为
D.若关于x的方程f(x)=和f(x)=m的所有实数根之和为零,则m=-
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.[2025·云南大理高一期中] 已知函数f(x)=是R上的增函数,则实数a的取值范围是 .
13.已知函数f(x)=的值域为R,则实数m的取值范围是 .
14.已知函数f(x)的定义域为R,f(2025)=0,且f(x+2025)的图象关于点(-2025,0)对称.若对任意x1,x2∈(0,+∞),当x1≠x2时,都有(x1-x2)[x1·f(x1)-x2·f(x2)]<0恒成立,则关于x的不等式f(x)>0的解集为 .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)[2025·江西南昌高一期中] 已知二次函数y=f(x)满足f(0)=3,且f(x+1)-f(x)=2x-1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)在区间[-2,t]上的最大值g(t).
16.(15分)[2025·北京密云区高一期中] 已知二次函数f(x)=ax2-2x-3,若不等式f(x)<0的解集为{x|-1(1)求实数a的值;
(2)当x∈[t,t+1]时,求f(x)的最小值g(t).
17.(15分)小王大学毕业后,决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查,生产某小型电子产品需投入年固定成本3万元,每生产x万件,需另投入流动成本W(x)万元.在年产量不足8万件时,W(x)=x2+x(万元);在年产量不小于8万件时,W(x)=6x+-38(万元).每件产品的售价为5元.通过市场分析,小王生产的商品当年能全部售完.
(1)写出年利润L(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:万件)的函数解析式.(年利润=年销售收入-固定成本-流动成本)
(2)当年产量为多少万件时,小王在该商品的生产中所获利润最大 最大利润是多少
18.(17分)[2025·辽宁朝阳高一期末] 定义: x∈R,总有h(x)≤f(x)≤g(x),称f(x)为“完美嵌套”于h(x)与g(x)内.已知h(x)=2x-1,g(x)=x2-2x+3.
(1)求函数y=g(x)-h(x)的零点.
(2)过点(-2,-1)的二次函数f(x)=ax2+bx+c“完美嵌套”于h(x)与g(x)内.
(i)求f(x)的解析式;
(ii)当x>时,4f(x)≥mg(x)恒成立,求实数m的取值范围.
19.(17分)已知函数f(x)的定义域为(-1,1),f(x)+f(y)=f,且当x∈(-1,0)时,f(x)>0.
(1)判断f(x)的奇偶性,并说明理由;
(2)解不等式f(2x-1)>f(x);
(3)已知f=1,g(x)=x2+bx+1,若对任意的x1∈,存在x2∈[-1,2],使得f(x1)>g(x2)成立,求实数b的取值范围.
