2025-2026高中数学人教A版（2019）必修第一册第三章 函数概念与性质 检测卷（含解析）

高中数学人教A版（2019）必修第一册
第三章 函数概念与性质检测卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1.函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
2.（2025黑龙江佳木斯期末）已知函数是定义域为的奇函数，当时，则（ ）
A. B. C. D.
3.（2024安庆一中期中）已知函数是幂函数，则（ ）
A. B. 2 C. D. 1
4.（2024北京第十二中学月考）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5.（2025山东淄博段考）已知，若，则（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
6.（2024天津南开区期末）已知是定义在上的奇函数，且，若，都有，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
7.（2025河北石家庄期中）若一些函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”。那么解析式为，值域为的“同族函数”的个数为（ ）
A. 4 B. 6 C. 7 D. 9
8.（2024河北邢台一中月考）已知，且在上单调递减，则，，的大小顺序是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，多选、少选、错选均不得分）
9.对于定义域为的函数，若满足，，都有，我们称为“下凸函数”，比如函数即为“下凸函数”，对于“下凸函数”，下列结论正确的是（ ）
A. 一次函数有可能是“下凸函数”
B. 二次函数为“下凸函数”的充要条件是
C. 函数为“下凸函数”的充要条件是
D. 函数是“下凸函数”
10.（2024四川绵阳期末统考）已知幂函数的图象经过点，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数的定义域为
B. 函数的值域为
C. 不等式的解集为
D. 函数是偶函数
11.（2024河北石家庄十七中期中）下列函数值域为的是（ ）
A. B. C. D.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.（2025北京四中期中）已知点在幂函数的图象上，则函数在区间上的值域为______
（出自文档1（3.2.pdf）全章综合检测第12题）
13.（2024云南昆明期末统考）已知定义在上的函数，满足，，若，则______
（出自文档2（3.3.pdf）第12题）
14.（2025湖北重点高中智学联盟联考）已知函数的定义域为，区间，若存在正实数，使得对任意，，都有，则称函数是区间上的“衰减函数”。若函数是上的“衰减函数”，则的最大值为______
（出自文档1（3.2.pdf）章末培优专练第3题）
四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（13分）（2025黑龙江大庆期中）已知二次函数满足，且
(1)求的解析式；
(2)若在区间上，的值域为，求实数的取值范围。
16.（15分）（2024上海文来中学阶段测试）已知幂函数的图象关于原点对称
(1)求该幂函数的解析式；
(2)设函数，在平面直角坐标系中作出函数的图象。
17.（15分）（2024山东潍坊期中）已知函数对于任意实数，都有，且
(1)求的值；
(2)令，求证：函数为奇函数；
(3)求的值。
18.17分）（2024马鞍山二中阶段检测）若在上的值域是的子集，则称函数在上是封闭的
(1)若在上是封闭的，求实数的取值范围；
(2)若在上是封闭的，求实数的最大值。
19.（17分）（2025广东惠州中学期中）对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部反比例对称函数”
(1)已知函数，试判断是不是“局部反比例对称函数”，并说明理由；
(2)用定义证明函数在上单调递增；
(3)若是定义在区间上的“局部反比例对称函数”，求实数的取值范围。
高中数学人教A版（2019）必修第一册第三章 函数概念与性质检测卷标准答案
一、单选题（每小题5分，共40分）
1.答案：C
解析：求定义域需满足两个条件：
零次幂底数不为0：；
根号下分式非负：且分母不为0，即。
综上，定义域为。
2.答案：D
解析：由奇函数性质（时）：
当时，，代入的解析式：
；
故。
3.答案：C
解析：幂函数需满足系数为1：
，故；
代入得。
4.答案：D
解析：分情况讨论二次函数单调性：
当时：，一次函数在上单调递增，符合；
当时：开口向上，对称轴需（保证递增），解得；
当时：开口向下，对称轴需（保证递增），化简得，因恒成立。
综上，。
5.答案：B
解析：分段函数，分析变量范围：
恒成立（为实数时，需，但，仍需验证）；
当（即）时，，，故；
解方程，得（舍去，因）；
故。
6.答案：B
解析：构造函数，利用单调性与奇偶性：
由，得，故在上递减；
是奇函数，故是偶函数（）；
不等式即，故且，解得且。
7.答案：D
解析：“同族函数”需满足定义域包含中至少一个（取到1）、中至少一个（取到4）：
含1的定义域子集：（3种）；
含2的定义域子集：（3种）；
共种。
8.答案：A
解析：由知对称轴为，利用对称性转化：
；
；
因在上递减，故，即。
二、多选题（每小题6分，共18分）
9.答案：BCD
解析：根据“下凸函数”定义：
A错误：一次函数满足，不满足“<”；
B正确：二次函数，时恒负；
C正确：，化简差值为，时恒负；
D正确：求二阶导数，故下凸。
10.答案：BCD
解析：幂函数过，得，故：
A错误：定义域为；
B正确：值域为；
C正确：且，解集为；
D正确：，是偶函数。
11.答案：BD
解析：逐一验证值域：
A错误：值域为；
B正确：，值域；
C错误：值域为；
D正确：在上递增，时，值域。
三、填空题（每小题5分，共15分）
12.答案：
解析：
幂函数系数，故；
点在图象上，得；
区间上，，，值域为。
13.答案：
解析：
由知对称轴为，故；
由，得。
14.答案：2
解析：
由（），化简得；
因，需；
时，，故的最大值为2（保证对所有成立）。
四、解答题（共77分）
15.解：
(1) 设二次函数为（），根据条件列方程求解：
利用求和：
先展开：。
作差得：。
对比右边，系数需满足：
，解得，。
利用求：
代入、到中：，即，解得。
综上，。
(2) 先通过配方分析的单调性与最值，再结合值域确定：
配方找最值与对称轴：
，图象开口向上，对称轴为，最小值为（在处取得）。
找值域上限对应的：
令，解方程，化简得，解得或。
结合区间确定：
值域需包含最小值，故（对称轴需在区间内）；
值域上限不能超过2，故（若，则，超出值域）。
综上，的取值范围为。
16.解：
(1)由幂函数定义求：
幂函数形式为，故系数。
解方程，得或。
结合对称性筛选：
若，则，满足（奇函数，图象关于原点对称），符合条件；
若，则，满足（偶函数，图象关于轴对称），不符合。
综上，。
(2)
17.解：
(1) 利用抽象函数的“赋值法”：
令，代入，得：
。
已知，代入得，解得。
(2) 根据奇函数定义（对任意，），步骤如下：
求确定：
令，代入抽象函数式：，解得。
故，满足奇函数在处的性质（若有定义则）。
证：
令，代入抽象函数式：。
代入，得，即。
因此。
综上，为奇函数。
(3)利用的奇函数性质分组求和：
转化与的关系：
由，得。
分组计算和式：
和式为，可分为：
中间项：；
对称项：（）。
计算对称项和：
因是奇函数，，故：
。
总求和：
共有2023组对称项，总和为。
18.解：
(1) “封闭函数”定义：在上的值域。（），开口向上，对称轴为，分情况讨论：
情况1：（对称轴在左半段）
最小值：在处，（需，否则超出值域下限）；
最大值：在处（开口向上，远离对称轴端点值更大），（需，否则超出值域上限）。
列不等式组：，解得，即。
情况2：（对称轴在中点）
最小值，最大值，值域为，符合条件。
情况3：（对称轴在右半段）
最小值（时，，超出下限），不符合。
综上，的取值范围为。
(2) “封闭函数”需满足：在上的值域，分析如下：
初步确定的下限：
，因值域，故（否则，超出上限）。
利用值域上限列不等式：
开口向上，值域上限为（因），故，即：
。
结合与值域下限：
值域下限（因），故。
解不等式求：
由，得（）。
两边乘（）：，解方程，得根为。
因，故，即的最大值为。
19.解：
(1) “局部反比例对称函数”定义：存在（定义域内），满足。
列方程：
，，令两者相等：
，整理得。
判断方程是否有实根：
判别式，无实根。
综上，不是“局部反比例对称函数”。
(2)用单调性定义证明（任取，证）：
取值：任取，且；
作差：，整理得：
；
分析符号：
；
；
结论：，即。
综上，在上单调递增。
(3) （定义域），需存在，满足：
列方程并整理：
，令其等于，整理得：
。
换元简化：
设（），由均值不等式得（当时取等号），且。
代入方程得：，即。
分析方程有解条件：
需存在使方程成立，设（开口向上）：
判别式非负（有实根）：；
至少一个根：
若：对称轴在，最小值（已由判别式保证），故；
若：需（开口向上，端点值≤0则有根≥2），代入得，结合得。
综上，的取值范围为。