(共55张PPT)
专题课：平抛运动规律的应用
学习任务一 平抛运动的两个重要二级结论
学习任务二 与斜面有关的平抛运动
随堂巩固
备用习题
练习册
◆
答案核查【导】
答案核查【练】
学习任务一 平抛运动的两个重要二级结论
［科学推理］
(1) 如图所示,设质点做平抛运动的速度方向与水平方向的夹角(速度偏向角)为
,位移方向与水平方向的夹角(位移偏向角)为 ,试证明 .
[答案] 证明： 将质点平抛运动的位移沿水平方向和竖直方向分解，设时间为 时，对应的水平位移和竖直位移分别为和，水平分运动是匀速直线运动，有 ，竖直分运动是自由落体运动，有，由图可知 ，联立解得.将 时刻的速度沿水平方向和竖直方向分解为和，由图可知
，故 ，得证.
(2) 如图所示,试证明平抛运动的速度反向延长线过水平位移的中点,即 .
[答案] 证明：由图可知，， ，联立解得 .
例1 (多选)［2024·莆田一中高一月考］ 如图所示，某人从 点对准正前方竖直
靶上的点，分别将两支飞镖水平掷出，飞镖打在靶上、 两点，且与竖直方向
的夹角分别为 与 ，忽略空气阻力，则( )
A.两飞镖离开手时，速度大小相同
B.两飞镖在空中运动时间相同
C.两飞镖击中靶的速度大小相同
D.间距为 间距的3倍
√
√
[解析] 平抛运动在竖直方向的分运动为自由落体运动，则有 ，两飞镖
在空中下落的高度不同，可知在空中运动时间不相同，B错误；
水平方向做匀速直线运动，根据 ，两飞镖在空中通过的水平位移相同，但运动时间不同，可知两飞镖离开手时，速度大小不相同，A错误；根据平抛运动推论，速度方向的反向延长线过水平位移的中点可得
，，联立可得 ,D正确；
飞镖打在靶上点时的竖直分速度为 ，
飞镖打在靶上点时的速度大小为 ，
飞镖打在靶上点时的竖直分速度为，
飞镖打在靶上点时的速度大小为 ，C正确.
变式 (多选)如图所示，从某高度处水平抛出一小球，经过时间 到达地面时，速
度与水平方向的夹角为 ，不计空气阻力，重力加速度为 .下列说法正确的是
( )
A.小球水平抛出时的初速度大小为
B.小球在时间内的位移方向与水平方向的夹角为
C.若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长
D.若小球初速度增大，则 减小
√
√
[解析] 落地时竖直方向上的速度，因为速度方向与水平方向的夹角为 ，
所以小球的初速度 ，故A正确；速度与水平方向夹角的正切值
，位移与水平方向夹角的正切值 ，
，但 ，故B错误；平抛运动的落地时间
由高度决定，与初速度无关，C错误；速度与水平方向夹角
的正切值 ，若小球初速度增大，下落时间不
变，所以 减小，即 减小，D正确.
学习任务二 与斜面有关的平抛运动
一、平抛运动与斜面结合问题
情景示例 解题策略
已知速 度方向 从斜面外平抛，垂直落在斜面上，如图所示， 即已知速度的方向垂直于斜面 _____________________________________________________ 分解速度
情景示例 解题策略
已知位 移方向 从斜面上平抛又落到斜面上，如图所示，已知 位移的方向沿斜面向下 _____________________________________________________ 分解位移
续表
情景示例 解题策略
已知位 移方向 在斜面外平抛，落在斜面上位移最小，如图所 示，已知位移方向垂直于斜面 _____________________________________________________ 分解位移
续表
例2 ［2024·三明一中高一月考］一水平抛出的小球落到一倾
角为 的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图
中虚线所示，则下列说法正确的是 ( )
A.水平速度与竖直速度之比为 B.水平速度与竖直速度之比为
C.水平位移与竖直位移之比为 D.水平位移与竖直位移之比为
[解析] 小球撞在斜面上，速度方向与斜面垂直，则速度方向与竖直方向的夹角
为 ，故水平速度与竖直速度之比为 ，选项A正确，B错误；水平位
移与竖直位移之比 ，选项C、D错误.
√
例3 (多选)[2024·仙游一中高一月考]两个小球都从斜面上的顶端 水平抛出，一个落在斜面的中点，一个落在斜面的底端，不计空气阻力，则、 两球( )
A.在空中的飞行时间之比为
B.初速度之比为
C.末速度之比为
D.末速度方向与斜面的夹角的正切值之比为
√
√
[解析] 由题图可知，竖直方向有，可得 ，A错误；
水平方向有、，可得，故B错误；
根据平抛运动规律有 、，设斜面倾角为 ，小球落在斜面时，有 ，设末速度与水平方向的夹角为 ，可得 ，可知两球落到斜面时速度方向与水平方向夹角的正切值相等，故小球、 到达斜面上时的速度方向相同，末速度方向与斜面的夹角的正切值之比为 ，D正确；小球的末速度为 ，末速度方向与水平方向的夹角相等，故末速度之比就等于初速度之比，为 ，C正确.
二、与圆弧面有关的平抛运动
情景示例 解题策略
已知速 度方向 从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地进入圆 弧形轨道，如图所示，即已知速度方向沿该 点圆弧的切线方向 ________________________________________________________________________ 分解速度
情景示例 解题策略
利用位 移关系 从圆心处抛出落到半径为 的圆弧上，如图 所示，位移大小等于半径 _____________________________________________
续表
情景示例 解题策略
利用位 移关系 从与圆心等高圆弧上抛出落到半径为 的圆 弧上，如图所示，水平位移与 的差的平方 与竖直位移的平方之和等于半径的平方 ____________________________________________
续表
例4 ［2025·龙岩高一期中］我国的面食文化博大精深，种类繁多，其中“刀削
面”堪称一绝，传统的操作手法是一手托面，一手拿刀，直接将面削到开水锅里，如图甲所示.某次削面的过程可简化为图乙，面片(可视为质点)以初速度
水平飞出，正好沿锅边缘的切线方向掉入锅中，锅的截面可视为圆心在点的圆弧，锅边缘与圆心的连线与竖直方向的夹角为 ，不计空气阻力，重力加速度大小取 ，
则( )
A.面片在空中运动的时间为
B.面片在空中运动的水平位移为
C.面片运动到锅边缘时的速度大小为
D.面片从飞出到落到锅边缘的位移方向与水平方向的夹角为
√
[解析] 对面片在锅边缘的速度进行分解，有，解得 ，故A
正确；水平方向做匀速直线运动，则有 ，故B错误；面片运动
到锅边缘时的速度大小为 ，故C错误；设面片从飞
出到落到锅边缘的位移方向与水平方向的夹角为 ，根据几何关系可知
，
可知该夹角不为 ，故D错误.
例5 ［2023·漳平三中高一月考］如图所示，在竖直放置的半圆形容器中心 点
分别以水平速度、 抛出两个小球(可视为质点)，最终它们分别落在圆弧上的
点和点，已知，且与竖直方向夹角为 ，则两小球初速度大小
之比 为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由几何关系可知，的竖直位移 ，水平位移 ；
的竖直位移 ，水平位移
，由平抛运动的规律可知， ,解得
，则 ，故选C.
1.(多选)2019年8月1日,在中国内地上映的电影《烈火英雄》源于“大连 大火”
真实事件,其精彩地还原了真实场景,演员们真挚地表演获得了票房和口碑的双丰
收.在一个扑火的镜头中,某演员利用高压水枪向大楼喷水灭火,水从枪口水平喷
出后,射到对面竖直墙面上.若不计空气阻力,水的运动可看作平抛运动,调节阀门,
使高压水枪喷出水的速度加倍,则下列说法正确的是( )
A.水喷出后射到竖直墙面的时间将减半
B.水到达竖直墙面时的速度将加倍
C.水在墙面上的落点与水枪口的高度差将减小到原来的
D.水在墙面上的落点和水枪口的连线与水平方向的夹角将增大
√
√
[解析] 水在水平方向做匀速运动,根据 可知,若高压水枪喷出水的速度加倍,
则水喷出后射到竖直墙面的时间将减半,选项A正确;根据 可知,水到达竖
直墙面时竖直速度减半,根据 可知,合速度不是加倍,选项B错误;
根据,时间减半,则水在墙面上的落点与水枪口的高度差将减小到原来的 , 选项C正确;水在墙面上的落点和水枪口的连线与水平方向的夹角的正切值为,因不变, 减小,故 将减小,选项D错误.
2.如图所示,在一次空地演习中,离地 高处的飞机发射
一颗炮弹,炮弹以水平速度飞出,欲轰炸地面目标 ,反
应灵敏的地面拦截系统同时以速度 竖直向上发射炮
弹进行拦截,设飞机发射炮弹时与拦截系统的水平距离
为.若拦截成功,不计空气阻力,则、 的关系应满足( )
A. B. C. D.
[解析] 当飞机发射的炮弹与拦截炮弹相遇时,满足, ,此过程中拦
截炮弹满足,即,则 ,故选项B正确.
√
1.(与斜面有关的平抛运动)(多选)如图所示,、分别是斜面的顶端和底端, 、
、是斜面上的三个点,且.从 点以不同的水平速度向左
抛出两个小球(不计空气阻力),球 1 落在点,球 2 落在 点.两球从抛出到落在
斜面上的运动过程中,下列说法正确的是( )
A.球1和球2运动的时间之比为
B.球1和球2抛出时初速度大小之比为
C.球1和球2在落点处的速度方向相同
D.球1和球2在落点处的速度大小之比为
√
√
[解析] 两小球做平抛运动，落到斜面上，竖直方向上做自由落体运动，运动时
间，竖直位移之比为，则运动时间之比为 ，故A正确；设斜面倾
角为 ，根据平抛运动的规律结合几何关系可知，斜面的倾角等于小球位移与
水平方向的夹角，位移与水平方向夹角的正切值
，解得初速度为 ，
则球1和球2抛出时初速度大小之比为 ，故B错误；
根据平抛运动的规律可知，速度与水平方向夹角 的正切值等于位移与水平方向夹角 的正切值的二倍，即 ，两小球位移与水平方向夹角相同，则两小球落到斜面上时的速度方向相同，故C正确；速度与水平方向夹角为 ，则小球在落点处的速度，则球1和球2在落点处的速度大小之比为 ，故D错误.
2.(与圆弧面有关的平抛运动)如图所示，竖直放置、半径为 的半圆轨道直径边
在水平地面上，为圆心，、在轨道上，是轨道最左端， 与水平面夹角
为 .在点正上方处将可视为质点的小球水平抛出，小球过 点且与半圆轨
道相切，重力加速度为 ，小球抛出时的初速度为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 小球做平抛运动，在飞行过程中恰好与半圆轨道相切于 点，则知速度
与水平方向的夹角为 ，则有 ，又 ，则得
， ①，水平方向上小球做匀速直线运动，则有
②，联立①②解得 .故B正确.
练习册
1.如图所示,在足够高的竖直墙壁的左侧某点 以不同的初速度将小球水平抛出, 其中 沿水平方向,则所有抛出的小球在碰到墙壁前瞬间,其速度的反向延长线 ( )
A.交于 上的同一点
B.交于上的不同点,初速度越大,交点越靠近 点
C.交于上的不同点,初速度越小,交点越靠近 点
D.因为小球的初速度和、 间距未知,所以无法确定
知识点一 平抛运动的两个重要二级结论
√
[解析] 设小球到达墙壁时速度方向与水平方向的夹角为 ，位移方向与水平方
向的夹角为 ，如图所示，有， ，可得
，设速度的反向延长线与交于点,则
,为 的中点，即所有小球速度的反向
延长线交于 上的同一点，故A正确.
2.(多选)［2024·宁德一中高一月考］ 如图所示,从某高度水平抛出一小球,经过
时间小球到达地面时,速度与水平方向的夹角为 ,不计空气阻力,重力加速度为
.下列说法正确的是( )
A.小球水平抛出时的初速度大小为
B.小球着地时速度大小为
C.小球在时间内的位移方向与水平方向的夹角为
D.若小球初速度增大,则 减小
√
√
[解析] 将小球着地时的速度进行分解，如图所示，可知 ，所以
，选项A错误.着地时速度大小，选项B正确.设 时间内
的位移方向与水平方向的夹角为 ，则 ，选项C
错误，不变，当初速度增大时， 变小，
变小，选项D正确.
知识点二 与斜面有关的平抛运动
3.如图所示，倾角为 的斜面末端与水平地
面相连，在斜面上距水平面高的 处
将一小球(可看成质点)以 的初速度水
平抛出，不计空气阻力，则小球抛出后第一次
落在接触面(斜面或者地面)上的时间为( )
A. B. C. D.
[解析] 若落在斜面上，则有，解得，因为 ，所
以落在水平面上，则有，解得 ，故选B.
√
4.［2024·陕西西安高一期中］如图所示，斜面与水平面之间
的夹角为 ，在斜面底端点正上方高度为处的 点，
以 的初速度水平抛出一个小球，飞行一段时间后撞在斜
面上，不计空气阻力，这段飞行所用的时间为取
( )
A. B. C. D.
[解析] 物体做平抛运动，则水平方向,竖直方向 ，根据题意和几
何关系可知 ，即，代入 ，
，解得 ，故A正确，B、C、D错误.
√
知识点三 与圆弧面有关的平抛运动
5.［2024·湖南长沙高一期中］如图所示为某节目中一个环节的示意图.选手会遇
到一个人造山谷,是竖直峭壁,是以点为圆心的弧形坡, 点右侧是一
段水平跑道.选手助跑后从点水平向右跳出,跃上 点右侧的跑道.选手可视为质
点,忽略空气阻力,下列说法正确的是( )
A.初速度越大,选手从跳出至落在 右侧跑道上的时间越长
B.初速度越大,选手从跳出至落在 右侧跑道上的时间越短
C.只要选手落在 点右侧跑道上,下落时间为一定值与速度无关
D.若落在 圆弧上,初速度越大,选手在空中运动时间越长
√
[解析] 只要选手落在 右侧跑道上,其下落高度为一定值,所以下落时间也为一定
值,与初速度无关,故A、B错误,C正确;若落在圆弧上,初速度越大,选手落在
上的位置越靠右,下落的高度越小,在空中运动时间越短,故D错误.
6.［2024·厦门松柏中学高一月考］如图所示, 是半圆弧
的一条水平直径,是圆弧的圆心, 是圆弧上一点,
,在、两点分别以一定的初速度、 水
平抛出两个小球,结果都落在 点,则两个球抛出的初速度
、 的大小之比为( )
A. B. C. D.
[解析] 两球下落的高度相同,根据知,下落的时间相同,设圆弧的半径为 ,
根据几何关系可得 ,则 点抛出的球平抛运动的水平位移
,从 点抛出的球做平抛运动的水平位移为
,根据知 ,故选B.
√
7.相同高度的两斜面倾角分别为 、 ，两小球分
别由斜面顶端以大小相同的水平速度 抛出，如图所示，
假设两球均能落在斜面上，则分别向左、右两侧抛出的
小球下落高度之比为( )
A. B. C. D.
[解析] 根据平抛运动的规律以及落在斜面上的特点可知，, ，
，分别将 、 代入，可得两球平抛所经历的时间之比
为，两球下落高度之比为 ，选项C正确.
√
8.［2024·福清一中高一月考］如图所示，斜面上、、 三点等
距，小球从点正上方点抛出，做初速度为 的平抛运动，恰落
在点.若小球初速度变为，其落点位于 ，则( )
A. B. C. D.
[解析] 小球从点正上方点抛出，做初速度为的平抛运动，恰落在 点，改
变初速度，落在 点，水平位移变为原来的2倍，假若时间不变，则初速度变为
原来的2倍，由于运动时间变长，所以初速度小于 ，故A正确.
√
9.如图甲所示的“彩虹滑道”是一种较为受欢迎的新型娱乐项目,游客在滑道上某段的运动可简化为如图乙所示.游客(视为质点)以的水平速度从 点滑出,然后落在倾角 的斜面上的点.不计空气阻力,重力加速度取
, 下列说法正确的是 ( )
A.游客在空中运动的时间为
B.、两点的水平距离为
C.游客在点的速度大小为
D.游客从运动到过程中的速度偏转角为
√
[解析] 从到过程中,位移偏转角为 ,由平抛运动推论得速度偏转角的正切
值 ,游客从运动到 过程中的速度偏转角小
于 ,D错误;由平抛运动推论有 ,又, ,解得
,,A、B错误;
游客在点的速度大小 ,
解得 ,C正确.
10.(12分)［2023·泉州一中高一月考］ 图中给出了某一通关游戏的示意图.安装
在轨道 上可上下移动的弹射器，能水平射出速度大小可调节的弹丸，弹丸射
出口在点的正上方，竖直面内的半圆弧的半径，直径 水平且
与轨道处在同一竖直面内，小孔和圆心连线与水平方向夹角为 .游戏
要求弹丸垂直于点圆弧切线方向射入小孔 就能进入下一关.为了能通关，弹射
器离 点的高度和弹丸射出的初速度分别是多少？
(不计空气阻力，， ，重力
加速度取 )
[答案] ;
[解析] 设抛出点为，小球由到做平抛运动，有 ，
，，联立得， .
11.(16分)［2025·河北张家口期末］ 如图甲，在“雪如意”国家跳台滑雪中心举行
的北京冬奥会跳台滑雪比赛是一项“勇敢者的游戏”，穿着专用滑雪板的运动员
在助滑道上获得一定速度后从跳台飞出，身体前倾与滑雪板尽量平行，在空中
飞行一段距离后落在倾斜的雪道上.一运动员从跳台 处沿水平方向飞出，在雪
道处着落，其过程可简化为图乙.测得、间的距离 ，倾斜的雪道与
水平方向的夹角 ，不计空气阻力，重力加速度取 ，
， .求：
(1) (5分)运动员在空中飞行的时间；
[答案]
[解析] 运动员飞离点后做平抛运动，竖直方向上满足
解得
11.(16分)［2025·河北张家口期末］ 如图甲，在“雪如意”国家跳台滑雪中心举行
的北京冬奥会跳台滑雪比赛是一项“勇敢者的游戏”，穿着专用滑雪板的运动员
在助滑道上获得一定速度后从跳台飞出，身体前倾与滑雪板尽量平行，在空中
飞行一段距离后落在倾斜的雪道上.一运动员从跳台 处沿水平方向飞出，在雪
道处着落，其过程可简化为图乙.测得、间的距离 ，倾斜的雪道与
水平方向的夹角 ，不计空气阻力，重力加速度取 ，
， .求：
(2) (5分)运动员在 处的起跳速度大小；
[答案]
[解析] 运动员飞离 点后做平抛运动，水平方向上满足
解得
11.(16分)［2025·河北张家口期末］ 如图甲，在“雪如意”国家跳台滑雪中心举行
的北京冬奥会跳台滑雪比赛是一项“勇敢者的游戏”，穿着专用滑雪板的运动员
在助滑道上获得一定速度后从跳台飞出，身体前倾与滑雪板尽量平行，在空中
飞行一段距离后落在倾斜的雪道上.一运动员从跳台 处沿水平方向飞出，在雪
道处着落，其过程可简化为图乙.测得、间的距离 ，倾斜的雪道与
水平方向的夹角 ，不计空气阻力，重力加速度取 ，
， .求：
(3) (6分)运动员在空中离倾斜雪道距离
最远时的速度大小.(结果均可用根号及
分式表示)
[答案]
[解析] 当运动员的速度方向与倾斜雪道平行时，距离雪道最远，则此时速率
［科学推理］ （1）证明： 将质点平抛运动的位移沿水平方向和竖直方向分解，设时间为时，对应的水平位移和竖直位移分别为和，水平分运动是匀速直线运动，有，竖直分运动是自由落体运动，有，由图可知，联立解得.将时刻的速度沿水平方向和竖直方向分解为和，由图可知，故 ，得证. （2）证明：由图可知，， ，联立解得.
例1 CD 变式 AD 例2 A 例3 CD 例4 A 例5 C
随堂巩固 1.AC 2.B
基础巩固练
1.A 2.BD 3.B 4.A 5.C 6.B
综合提升练
7.C 8.A 9.C
10.
11.（1） （2） （3）专题课:小船渡河与速度关联模型
1.C [解析] 依题意,渡船参与两个分运动,沿船头方向的匀速直线运动和沿水流方向的匀速直线运动,根据运动的合成与分解可知,其合运动为匀速直线运动,所以渡江的轨迹可能为图中的③,故选C.
2.A [解析] 当船头垂直河岸时,小船渡河的时间最短,为tmin== s=120 s,可知小船渡河的最短时间与河水流速无关,故A正确,C错误;由于小船在静水中的速度大于河水流速,则小船的合速度方向可以垂直河岸,小船都可以到达正对岸,小船渡河的最小位移是600 m,故B、D错误.
3.AD [解析] 皮划艇船头对着河正对岸时,皮划艇垂直河岸的分速度v垂最大,河宽d一定,由t=可知此时过河时间最短,故A正确;当v4.B [解析] 由速度的分解可知vAcos θ=v0,在A匀速上升的过程中,θ角变大,则人拉绳的速度将减小,故B正确.
5.D [解析] 如图所示,将A球速度分解成沿着杆与垂直于杆两方向,同时B球速度也是分解成沿着杆与垂直于杆两方向,由于A、B两球在同一杆上,沿杆的分速度相等,则有v1sin θ=v2sin θ,所以v1=v2,故选D.
6.AB [解析] 小船垂直河岸渡河,由平行四边形定则v水=v1cos θ=3 m/s,A正确;由小船在垂直河岸方向做匀速直线运动可知,河宽为d=v1sin θ·t=240 m,B正确;小船船头指向正对岸时,渡河时间最短,最短时间为tmin==48 s,C错误;小船以最短的时间渡河的位移为s=vtmin=·t=48 m,D错误.
7.A [解析] 如图所示,要恰好避开监控区,气球可能沿着PA运动.根据三角形定则可知,最小的驱动速度v驱=v风sin α,而sin α==,解得v驱=2 m/s,故A正确,B、C、D错误.
8.B [解析] 设河宽为d,船速为u,则根据渡河时间关系得∶=k,解得u=,选项B正确.
9.B [解析] 对A物体的速度沿着绳子方向与垂直绳子方向进行分解,则有沿着绳子方向的速度大小为vAcos α,对B物体的速度沿着绳子方向与垂直绳子方向进行分解,则有沿着绳子方向的速度大小为vBcos β,由于沿着绳子方向速度大小相等,即vAcos α=vBcos β,所以α角越来越小,β角越来越大,此后B物体的速度越来越大,所以做加速运动,故选B.
10.30° 40
[解析] 由题意得sin α==,则甲船行驶轨迹与河岸下游夹角为α=30°,甲船渡河时间为20 s,结合河宽100 m和静水速度5 m/s,可知甲船船头正对岸行驶.由题意可知,乙船静水速度方向如图,乙船的实际速度与静水速度大小相等,则乙船渡河时间为t= s=40 s.
11.v0tan θ
[解析] 设竖直杆运动的速度为v1,方向竖直向上,由于弹力方向沿OP方向,所以v0、v1在OP方向的投影相等
即v0sin θ=v1cos θ
解得v1=v0tan θ
12.4 m/s 与上游河岸夹角为37°
[解析] 当小船在到达危险区域之前恰好到达对岸时,其合位移为AO,如图所示,设水流速度为v1,小船在静水中的速度为v2,由几何知识知,当v2⊥v时v2有最小值,由图知v2=v1cos θ,cos θ==0.8,故θ=37°,v2=4 m/s.专题课:小船渡河与速度关联模型
例1 (1)船头垂直于河岸 25 s 125 m (2)船头与上游河岸夹角为arccos 38 s
[解析] (1)由题意知,当船在垂直于河岸方向上的分速度最大时,渡河所用时间最短,河水流速平行于河岸,不影响渡河时间,所以当船头垂直于河岸渡河时,所用时间最短,则最短时间为t===25 s.如图甲所示,当船到达对岸时,船沿水流方向也发生了位移,船的位移大小为l=,由题意可得s=v2t=3 m/s×25 s=75 m,代入得l=125 m.
(2)因船在静水中的速度为v1=4 m/s,大于水流速度v2=3 m/s,故可以使船的实际速度方向垂直于河岸.如图乙所示,设船头斜指向对岸上游,且与上游河岸所成夹角为θ,则有cos θ=,θ=arccos ,v== m/s,所用的时间为t1== s≈38 s.
变式1 C [解析] 当船头垂直河岸时渡河时间最短,tmin== s=50 s,故A错误;船以最短时间50 s渡河时沿河岸的位移s=v水tmin=5×50 m=250 m,即它沿水流方向的位移大小为250 m,故B错误;因为水流速度大于船在静水中的速度,所以船不能沿垂直于河岸的方向渡河,如图所示,当合速度与船在静水中的速度方向垂直时,渡河位移最小,则sin θ==,则渡河的最小位移s'== m=250 m,故C正确;若船以最短位移渡河时,时间为t== s=62.5 s,故D错误.
例2 见解析
[解析] 船向左运动,对绳产生了两个效果,一是沿绳使绳与滑轮的距离变短,二是垂直于绳使绳绕滑轮旋转,即把船速v分解成沿绳和垂直于绳两个方向的分速度,设绳与水面的夹角为θ,由图可得v0=vcos θ,船在靠岸时,夹角θ增大,v0不变,则船速v增大.
变式2 D [解析] 将A的速度沿绳子方向和垂直于绳子方向分解,如图所示,根据平行四边形定则得vB=vsin θ,故D正确.
例3 C [解析] 将A、B两点的速度分解为沿AB方向与垂直于AB方向的分速度,沿AB方向的速度分别为和,由于AB不可伸长,故沿AB方向的速度分量应相同,因=v1cos θ,=v2sin θ,由=,可得v1=v2tan θ,故选项C正确.
随堂巩固
1.A [解析] 根据图甲可知,小船相对于静水的速度方向(船头指向)垂直于河岸,合速度的方向偏向下游,且过河时间最短,故A正确;根据图乙可知,船头指向对岸上游,且合速度的方向正好垂直于河岸,过河的位移最小,但过河的时间不是最短,故B错误;由于河水的流动,不可能出现航线图丙,故C错误;由平行四边形定则知,合速度方向应在船头指向与水流方向之间,且合速度大小及方向一定,船的轨迹应是直线,故D错误.
2.B [解析] 从轨迹曲线的弯曲形状上可以知道,小船先具有向下游的加速度,小船后具有向上游的加速度,故加速度是变化的,由于水流是先加速后减速,即越接近河岸水流速度越小,故A、C错误,B正确;由于船身方向垂直于河岸,这种渡河方式耗时最短,与水流速度是否变化无关,故D错误.
3.AC [解析] 货车以速度v向左做匀速直线运动,将货车速度分解为沿绳子分速度和垂直绳子分速度,可得货箱向上运动的速度为v'=vcos θ1.某渡船在横渡闽江时从江岸边的P位置出发,保持船头方向始终与对岸垂直,已知船在静水中的速度大小恒定,江水的流速不变.该渡船渡江的轨迹可能是图中的 ( )
A.① B.② C.③ D.④
2.[2024·莆田高一期末] 一条小船要从岸边到达宽为600 m的河对岸,河水流速为4 m/s,小船在静水中的速度为5 m/s.下列说法正确的是 ( )
A.小船渡河的最短时间为120 s
B.小船渡河的最小位移为800 m
C.若河水流速变小,小船渡河的最短时间变短
D.无论如何改变船头朝向,小船都不可能到达正对岸
3.(多选)假设在一段平直的河道中水流速度为v0,皮划艇在静水中的速度为v,河道宽为d,小刘和小张划动皮划艇过河,则下列说法正确的是 ( )
A.若皮划艇过河时间最短,则皮划艇船头对着河正对岸
B.调整皮划艇船头方向,一定能够到达河的正对岸
C.若水流速度增大,则皮划艇过河最短时间变长
D.若皮划艇能到达河正对岸,则皮划艇过河时间为
◆ 知识点二 关联速度问题
4.人用绳子通过定滑轮拉物体A, A穿在光滑的竖直杆上,当人竖直向下拉绳使物体A匀速上升时,在A匀速上升的过程中,人拉绳的速度将 ( )
A.增大 B.减小
C.不变 D.不能确定
5.[2024·福州高一期中] 如图所示,一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B(均可视为质点).将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑, 当轻杆到达位置2时球A与球形容器球心等高,其速度大小为v1,已知此时轻杆与水平方向成θ=30°角,B球的速度大小为v2,则v1与v2的关系为 ( )
A.v2=v1 B.v1=v2
C.v2=2v1 D.v1=v2
6.(多选)[2024·泉州五中高一月考] 如图所示,某一段河流的两岸相互平行,各处的水流速度相同且平稳,小船以大小为v1=5 m/s(在静水中的速度)、方向与上游河岸成角θ=53°的速度从A处渡河,经过一段时间t=60 s正好到达正对岸的B处,则下列说法中正确的是 ( )
A.河中水流速度为3 m/s
B.由已知条件可知河宽为240 m
C.小船渡河的最短时间为60 s
D.小船以最短的时间渡河的位移是s=240 m
7.如图所示,一个小型侦察气球未打开驱动系统时,恰能相对空气静止,现需要避开前方一个长方形监控区ABCD,该区域为南北方向(A点在北),长200 m, O为AD的中点.现气球恰好飞到P点,PO与AD垂直且PO=150 m,而此时刚好有风,风速向东,大小为 m/s,为使气球避开监控区,则其驱动速度至少为 ( )
A.2 m/s B.3 m/s
C.4 m/s D.5 m/s
8.有一条两岸平直且互相平行、河水均匀流动、流速恒为v的大河.小明驾着小船渡河,去程时船头指向始终与河岸垂直,回程时行驶路线与河岸垂直,去程与回程所用时间之比为k,船在静水中的速度大小相同,则小船在静水中的速度大小为 ( )
A.
B.
C.
D.
9.[2024·莆田四中高一月考] 一根细绳通过定滑轮且两端分别系着A和B两物体,如图所示,物体A在外力作用下,向左以vA匀速运动,当连A的绳子与水平方向成α角,连B的绳子与水平方向成β角时,B物体的速度为vB,则 ( )
A.A物体的速度vA与B物体的速度vB的大小相等
B.A物体的速度vA与B物体的速度vB的大小关系满足vAcos α=vBcos β
C.此后B物体以速度vB做匀速运动
D.此后B物体的速度越来越小,所以做减速运动
10.(3分)[2024·三明高一期中] 某段江面宽100 m,甲、乙两艘小船在静水中的速度均为5 m/s,先后从A点出发,甲船渡河时间为20 s,航行轨迹总长为200 m,则甲船行驶轨迹与河岸下游夹角α= ;如果乙船渡河轨迹与甲船重合,但是渡河时间较长,则乙船渡河时间为 秒.(小船可视为质点)
11.(12分)[2024·厦门外国语学校高一月考]如图所示,一个半径为R的表面光滑的半圆柱体沿水平方向向右以速度v0匀速运动.在半圆柱体上放置一根竖直杆,此杆只能沿竖直方向运动.杆与半圆柱体的接触点为点P,当点P与柱心O的连线与竖直方向的夹角为θ时,求竖直杆运动的速度v1的大小.
12.(16分)[2024·仙游一中高一月考] 有一小船欲从A处渡河,如图所示,已知河宽为400 m,其下游300 m处是暗礁浅滩的危险水域,水流速度恒为5 m/s,欲使小船能安全到达对岸,则船相对静水的最小速度应是多少 此时船头的指向与河岸的夹角又是多大 (sin 37°=0.6,cos 37°=0.8)
第2节 平抛运动 (时间:40分钟 总分:75分)
(单选题每小题4分,多选题每小题6分)专题课:小船渡河与速度关联模型
学习任务一 小船渡河问题
[模型建构]
1.渡河时间问题
(1)渡河时间t取决于河宽d及船沿垂直河岸方向上的速度大小,即t=.
(2)若要渡河时间最短,只要使船头垂直于河岸航行即可,如图所示,此时t=.
请记住:要渡河时间最短,船头应垂直指向河对岸,即v船与水流方向垂直,渡河时间与v水无关.
2.最短位移问题
(1)若v水< v船,最短的位移为河宽d,船头与上游河岸夹角满足cos θ=,如图甲所示.
(2)若> v船,如图乙所示,从出发点A开始作矢量v水,再以v水末端为圆心,以v船的大小为半径画圆弧,自出发点A向圆弧作切线即为船位移最小时的合运动的方向.这时船头与上游河岸夹角θ满足cos θ=,最短位移s短=.
例1 [2024·莆田一中高一月考] 已知某船在静水中的速度为v1=4 m/s,现让船渡过某条河,假设这条河的两岸是理想的平行线,河宽为d=100 m,水流速度为v2=3 m/s且方向与河岸平行.
(1)欲使船以最短时间渡河,船头应朝什么方向 最短时间是多少 船发生的位移是多大
(2)欲使船以最小位移渡河,船头应朝什么方向 渡河所用时间是多少
变式1 [2024·漳州一中高一月考] 一小船在静水中的速度大小为3 m/s,它在一条河宽为150 m,流速为5 m/s的河流中渡河,则下列说法正确的是 ( )
A.小船渡河时间不少于60 s
B.小船以最短时间渡河时,它沿水流方向的位移大小为150 m
C.小船以最短位移渡河时,位移大小为250 m
D.小船以最短位移渡河时,时间为60 s
[反思感悟]
【要点总结】
1.解决小船渡河问题的关键是:正确区分合运动与分运动.沿船航行的方向也就是船头指向的方向,是分运动;船的实际运动是合运动,一般情况下与船头指向不共线.
2.小船渡河时间最短与位移最短是两种不同的运动情境,时间最短时,位移不是最短.
3.渡河时间与船随水漂流的速度大小无关,只要船头指向与河岸垂直,渡河时间即为最短.
学习任务二 关联速度问题
[模型建构] “关联速度”模型
(1)“关联”速度
关联体一般是两个或两个以上由轻绳或轻杆联系在一起,或直接挤压在一起的物体,它们的运动简称为关联运动.一般情况下,在运动过程中,相互关联的两个物体不是都沿绳或杆运动的,即二者的速度通常不同,但却有某种联系,我们称二者的速度为“关联”速度.
(2)“关联”速度分解的步骤
①确定合运动的方向:物体实际运动的方向就是合运动的方向,即合速度的方向.
②确定合运动的两个效果.
用轻绳或可自由
转动的轻杆连接
的物体的问题→
相互接触的
物体的问题→
③画出合运动与分运动的平行四边形,确定它们的大小关系.
(3)常见的模型(如图所示)
例2 如图所示,在以v0的速度匀速拉船靠岸的过程中,拉绳的速度v0与船的速度v有何关系 为什么 船的速度如何变化
变式2 [2024·永春高一期末] 如图所示,以速度v沿竖直杆匀速下滑的物体A用轻绳通过定滑轮拉物体B(B始终未与定滑轮接触),当绳与水平面夹角为θ时,物体B的速度为 ( )
A.v
B.
C.vcos θ
D.vsin θ
[反思感悟]
例3 如图所示,一根长直轻杆AB在墙角沿竖直墙和水平地面滑动(假设A端不脱离墙面).当AB杆和墙的夹角为θ时,杆的A端沿墙下滑的速度大小为v1,B端沿地面滑动的速度大小为v2,则v1、v2的关系是( )
A.v1=v2
B.v1=v2cos θ
C.v1=v2tan θ
D.v1=v2sin θ
[反思感悟]
1.(小船渡河问题)小明同学遥控小船做过河实验,并绘制了四幅小船过河的航线图如图所示.图中实线为河岸,河水的流动速度不变,方向水平向右,虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线,小船相对于静水的速度不变.下列说法正确的是 ( )
A.航线图甲是正确的,船头保持图中的方向,小船过河时间最短
B.航线图乙是正确的,船头保持图中的方向,小船过河时间最短
C.航线图丙是正确的,船头保持图中的方向,小船过河位移最短
D.航线图丁是不正确的,如果船头保持图中的方向,那么船的轨迹应该是曲线
2.(小船过河轨迹分析) 某人划小船横渡一条两岸平行的河流,船在静水中的速度大小不变,船头方向始终垂直于河岸,水流速度与河岸平行,已知小船的运动轨迹如图所示,则 ( )
A.各处水流速度大小都一样
B.离两岸越近水流速度越小
C.离两岸越近水流速度越大
D.无论水流速度是否变化,这种渡河方式耗时最长
3.(关联速度问题)(多选)[2024·仙游一中高一月考] 如图所示,一辆货车利用跨过光滑定滑轮的轻质缆绳提升一箱货物,已知货箱的质量为M,货物的质量为m,货车以速度v向左做匀速直线运动,重力加速度为g,缆绳质量不计,则在将货物提升到图示的位置时,下列说法正确的是 ( )
A.缆绳中的拉力T大于(M+m)g
B.货箱向上运动的速度大于v
C.货箱向上运动的速度等于vcos θ
D.货物对货箱底部的压力等于mg
