(共37张PPT)
4.1 指数与指数函数
4.1.1 实数指数幂及其运算
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 课堂评价
◆ 备课素材
【学习目标】
1.理解 次方根及根式的概念，正确运用根式的运算性质进行根式运算；
2.掌握根式与分数指数幂的互化，掌握有理指数幂的运算性质.
知识点一 有理指数幂
1.根式
（1）次方根：一般地,给定大于1的正整数和实数,如果存在实数 ,使得
________,则称为 的_________.
次方根
（2）根式：当有意义的时候,____称为根式,称为________, 称为_______
___.
一般地,根式具有以下性质:
根指数
被开方数
① ___.
②当为奇数时,___;当为偶数时, ____.
2.分数指数幂
正分数指数幂
负分数指数幂
3.分数指数幂（有理数指数幂）的运算法则
_____,____,______.
【诊断分析】
1.我们已经知道,若,则,那么等于什么 呢 呢
解:，， .
2.我们知道,那么 成立吗
解:成立. ，
，所以 .
3.任何有意义的根式都能化为有理数指数幂的形式吗
解:能.引入分数指数幂后,任何有意义的根式都能够化为分数指数幂的形式,即
，即任何有意义的根式都能化为有理数指数幂的形式.
知识点二 实数指数幂
无理指数幂（， 是无理数）是一个确定的______，有理指数幂的运算
性质对于无理指数幂同样适用.因此当，为任意实数时，实数指数幂 都
有意义，对任意实数和 ，类似有理指数幂的运算法则仍然成立.
实数
探究点一 根式的概念与性质
例1（1） [2023·湖南汨罗一中高一月考]已知函数 ，
则 ( )
C
A. B. C.3 D.
[解析] ，所以，所以 ，
故选C.
（2）计算下列各式的值：
① ____；
[解析]
② ____.
[解析] .
（3）若有意义，则实数 的取值范围是________.
[解析] 要使有意义，则，即.故实数的取值范围是 .
变式（1） 计算下列各式的值:
① ______；
[解析] .
② ______.
[解析] .
（2）若，则实数 的取值范围为________.
[解析] 因为, ，所以
，所以，解得.故实数的取值范围为 .
［素养小结］
进行根式的计算时应先考虑根指数的形态，再考虑被开方数应符合的范围，然
后进行有效的变形再化简、计算.
探究点二 根式与分数指数幂的互化
例2（1） （多选题）下列运算中正确的是( )
BCD
A. B.
C. D.
[解析] 对于A，因为，所以，所以 ，故A错误；
对于B，因为，所以 ，故B正确；
对于C， ，故C正确；
对于D，，故D正确.故选 .
（2）根式 的分数指数幂的形式为_____.
[解析] .
变式（1） （多选题）下列各式中一定成立的有( )
BD
A. B.
C. D.
[解析] ，故A不一定成立；
，故B一定成立；
,故C不一定成立；
，故D一定成立.故选 .
（2）[2024·上海黄浦区光明中学高一月考] 已知， ，若
，则 ___.
[解析] 因为，，所以，所以， ，
所以 .
［素养小结］
根式与分数指数幂互化的规律及技巧：
（1）规律：根指数 分数指数幂的分母.
被开方数（式）的指数 分数指数幂的分子.
（2）技巧：当表达式中的根号较多时，由里向外用分数指数幂的形式写出来，
然后再利用相关的运算性质进行化简.
探究点三 指数幂的运算
例3 化简求值:
（1） ;
解： .
（2） .
解： .
变式（1） [2023·江西抚州高一期末]有的科学计算器无法直接计算很大的数，
我们可以设计一下计算方法，以便利用科学计算器进行近似计算.利用计算器计
算得到，，则 的近似值是( )
D
A. B.
C. D.
[解析]
.故选D.
（2）已知，，且，则 _ _____________.
[解析] 由，可得 .
［素养小结］
实数指数幂运算的基本原则和常规方法:
（1）基本原则:式子里既有分数指数幂又有根式时,一般把根式统一化为分数指
数幂的形式,再利用运算法则化简.
（2）常规方法:①化负指数幂为正指数幂;
②化根式为分数指数幂;
③化小数为分数.
探究点四 条件求值
例4（1） 已知，，则___， ____.
8
72
[解析] 因为，，所以 .因为
，所以
.
（2）已知,,且,则 _____.
[解析] ,因为, ,所以
,又,所以 ,所
以 .
变式（1） （多选题）[2023·江苏淮安高一期末] 规定， 之间的一种运算，
记作，若，则 ，则下列结论正确的是( )
BCD
A.
B.
C.
D.若，，则
[解析] 对于A，令，，则，，所以 ，即
，所以，即 ，故A错误；
对于B，因为，所以，故B正确；
对于C，令， ，，则，，，
所以，即 ，所以，即，
故C正确；
对于D，令 ，则且，所以，则 ，所以
，当且仅当，即 时取等号，故D正
确.故选 .
（2）已知，则 _____.
[解析] 由，得，即 ，则
，则，即 .
［素养小结］
解决此类问题时,先将所求的式子化简,再将已知条件代入.在化简过程中，要注
意平方差公式及完全平方公式的灵活应用.
拓展 已知,,则 _____.
[解析] 由,得,由,得 ,所以
,所以 .
1. 的值是( )
D
A.1 B. C. D.
[解析] 原式 .故选D.
2.下列运算正确的是( )
D
A. B. C. D.
[解析] 对于A,，故A错误；
对于B, ，故B错误；
对于C,故C错误；
对于D, ，故D正确.故选D.
3.已知，，则 ( )
D
A. B. C. D.
[解析] 因为， ，所以
.故选D.
4.已知，则 的值为( )
C
A. B.6 C. D.8
[解析] ， ，
，
，
则 .
故选C.
5.化简： _________.
[解析] .
1.指数式的化简求值
（1）一般地,进行指数幂运算时,化负指数为正指数、化根式为分数指数幂、化
小数为分数进行运算,便于进行乘除、乘方、开方运算,可以达到化繁为简的目的.
（2）对“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系,然后采取“整体代换”或
“求值后代换”两种方法求值.
（3）分式化简的方法与技巧:
①将分子、分母分解因式,可约分的先约分;
②利用公式的基本性质,化繁分式为简分式,化异分母为同分母;
③把其中适当的几个分式先化简,重点突破;
④可考虑整体思想,用换元法使分式简化.
2.“凑公式”法
在本节的试题中,有些式子直接计算比较麻烦,此时我们要善于观察所求式子的结
构特征,“凑”出乘法公式或因式分解公式的形式,再充分利用这些公式进行幂的综
合运算.
例 化简: .
解:原式 .4.1 指数与指数函数
4.1.1 实数指数幂及其运算
【课前预习】
知识点一
1.(1)xn=a n次方根 (2) 根指数 被开方数 ①a
②a |a|
2.
3.as+t ast asbs
诊断分析
1.解:()2=3,==3,==3.
2.解:成立.6×6=×=×=8×4=32,6=6===25=32,所以6×6=6.
3.解:能.引入分数指数幂后,任何有意义的根式都能够化为分数指数幂的形式,即=,即任何有意义的根式都能化为有理数指数幂的形式.
知识点二
实数
【课中探究】
例1 (1)C (2)① ②-6 (3)(3,+∞)
[解析] (1)f(x-1)=x-π+π=x-1+1,所以f(x)=x+1,所以f(2)=3,故选C.
(2)①=.②=-6.
(3)要使有意义,则a-3>0,即a>3.故实数a的取值范围是(3,+∞).
变式 (1)①π-3 ②3-π (2)
[解析] (1)①=|3-π|=π-3.
②=3-π.
(2)因为=|2a-1|,=1-2a,所以|2a-1|=1-2a,所以2a-1≤0,解得a≤.故实数a的取值范围为.
例2 (1)BCD (2)- [解析] (1)对于A,因为->0,所以a<0,所以=-,故A错误;
对于B,因为π-2>0,所以=π-2,故B正确;
对于C,==,故C正确;
对于D,=x9-8=x,故D正确.故选BCD.
(2)==-=-.
变式 (1)BD (2)2 [解析] (1)=n7m-7,故A不一定成立;==,故B一定成立;=(x3+y3,故C不一定成立;=(=(=,故D一定成立.故选BD.
(2)因为p>0,q>0,所以==pq=paqb,所以a=1,b=1,所以a+b=2.
例3 解:(1)+-+=8+1-+=9-8+4×27=109.
(2)×b-1÷=×b-1×=×b-1×=×=1.
变式 (1)D (2) [解析] (1)2500=(210)50=(1.024×103)50=1.02450×(103)50≈3.273 4×10150.故选D.
(2)由b-3m=56,可得b==.
例4 (1)8 72 (2)- [解析] (1)因为3x=4,3y=2,所以32x-y====8.因为3x-y===2,所以92x-y+27x-y=(32)2x-y+(33)x-y=(32x-y)2+(3x-y)3=82+23=72.
(2)==,因为x+y=12,xy=9,所以(x-y)2=(x+y)2-4xy=122-4×9=108,又x变式 (1)BCD (2)194 [解析] (1)对于A,令(4,6)=x,(2,3)=y,则4x=6,2y=3,所以=2,即22x-y=2,所以2x-y=1,即2×(4,6)-(2,3)=1,故A错误;对于B,因为21=2,所以(2,2)=1,故B正确;对于C,令(4,5)=m,(4,6)=n,(4,30)=s,则4m=5,4n=6,4s=30,所以4m×4n=4s,即4m+n=4s,所以m+n=s,即(4,5)+(4,6)=(4,30),故C正确;对于D,令(a,b)=t,则at=b且t>0,所以a=,则(b,a)=,所以(a,b)+(b,a)=t+≥2=2,当且仅当t=1,即a=b时取等号,故D正确.故选BCD.
(2)由+=4,得=a+2+=16,即a+=14,则=a2+2+=196,则a2+=194,即a2+a-2=194.
拓展 -2 [解析] 由67x=27=33,得67=,由603y=81=34,得603=,所以===3-2,所以-=-2.
【课堂评价】
1.D [解析] 原式=(23a3·2-1·2-1=22-1-1=.故选D.
2.D [解析] 对于A,a2·a3=a5,故A错误;对于B,(3a)3=27a3,故B错误;对于C,=|a|=故C错误;对于D,(-2a2)3=-8a6,故D正确.故选D.
3.D [解析] 因为a>0,b>0,所以()·(-)÷=-3·=-3a.故选D.
4.C [解析] ∵x+x-1=4(0∴+====,
x-x-1=-=-=-2,
则===-4.
故选C.
5.(a-b)2 [解析] =(a-b=(a-b)2.4.1 指数与指数函数
4.1.1 实数指数幂及其运算
【学习目标】
1.理解n次方根及根式的概念,正确运用根式的运算性质进行根式运算;
2.掌握根式与分数指数幂的互化,掌握有理指数幂的运算性质.
◆ 知识点一 有理指数幂
1.根式
(1)n次方根:一般地,给定大于1的正整数n和实数a,如果存在实数x,使得 ,则x称为a的 .
(2)根式:当有意义的时候, 称为根式,n称为 ,a称为 .
一般地,根式具有以下性质:
①()n= .
②当n为奇数时,= ;当n为偶数时,= .
2.分数指数幂
正分数 指数幂 ①=(a>0); ②=()m=
负分数 指数幂 = (a>0,n,m∈N+)
3.分数指数幂(有理数指数幂)的运算法则
asat= ,(as)t= ,(ab)s= . (s,t∈Q)
【诊断分析】 1.我们已经知道,若x2=3,则x=±,那么()2等于什么 呢 呢
2.我们知道32×33=,那么6×6=6成立吗
3.任何有意义的根式都能化为有理数指数幂的形式吗
◆ 知识点二 实数指数幂
无理指数幂at(a>0,t是无理数)是一个确定的 ,有理指数幂的运算性质对于无理指数幂同样适用.因此当a>0,t为任意实数时,实数指数幂at都有意义,对任意实数s和t,类似有理指数幂的运算法则仍然成立.
◆ 探究点一 根式的概念与性质
例1 (1)[2023·湖南汨罗一中高一月考] 已知函数f(x-1)=+π,则f(2)= ( )
A.2π-3 B.-3
C.3 D.3-2π
(2)计算下列各式的值:
①= ;②= .
(3)若有意义,则实数a的取值范围是 .
变式 (1)计算下列各式的值:
①= ;②= .
(2)若=,则实数a的取值范围为 .
[素养小结]
进行根式的计算时应先考虑根指数的形态,再考虑被开方数应符合的范围,然后进行有效的变形再化简、计算.
◆ 探究点二 根式与分数指数幂的互化
例2 (1)(多选题)下列运算中正确的是 ( )
A.=-
B.=π-2
C.=
D.=x
(2)根式的分数指数幂的形式为 .
变式 (1)(多选题)下列各式中一定成立的有( )
A.=n7
B.=
C.=(x+y
D.=
(2)[2024·上海黄浦区光明中学高一月考] 已知p>0,q>0,若=paqb,则a+b= .
[素养小结]
根式与分数指数幂互化的规律及技巧:
(1)规律:根指数分数指数幂的分母.
被开方数(式)的指数分数指数幂的分子.
(2)技巧:当表达式中的根号较多时,由里向外用分数指数幂的形式写出来,然后再利用相关的运算性质进行化简.
◆ 探究点三 指数幂的运算
例3 化简求值:
(1)+-+(×)6;
(2)×b-1÷.
变式 (1)[2023·江西抚州高一期末] 有的科学计算器无法直接计算很大的数,我们可以设计一下计算方法,以便利用科学计算器进行近似计算.利用计算器计算得到210=1.024×103,1.02450≈3.273 4,则2500的近似值是 ( )
A.1.024×1053 B.3.273 4×1053
C.1.024×10150 D.3.273 4×10150
(2)已知b>0,m∈N*,且b-3m=56,则b= .
[素养小结]
实数指数幂运算的基本原则和常规方法:
(1)基本原则:式子里既有分数指数幂又有根式时,一般把根式统一化为分数指数幂的形式,再利用运算法则化简.
(2)常规方法:①化负指数幂为正指数幂;
②化根式为分数指数幂;
③化小数为分数.
◆ 探究点四 条件求值
例4 (1)已知3x=4,3y=2,则32x-y= ,92x-y+27x-y= .
(2)已知x+y=12,xy=9,且x变式 (1)(多选题)[2023·江苏淮安高一期末] 规定a,b之间的一种运算,记作(a,b),若ac=b,则(a,b)=c,则下列结论正确的是 ( )
A.(4,6)=2×(2,3)
B.(2,2)=1
C.(4,5)+(4,6)=(4,30)
D.若a>1,b>1,则(a,b)+(b,a)≥2
(2)已知+=4,则a2+a-2= .
[素养小结]
解决此类问题时,先将所求的式子化简,再将已知条件代入.在化简过程中,要注意平方差公式及完全平方公式的灵活应用.
拓展 已知67x=27,603y=81,则-=
.
1.(a>0)的值是 ( )
A.1 B.a
C. D.
2.下列运算正确的是 ( )
A.a2·a3=a6 B.(3a)3=9a3
C.=a D.(-2a2)3=-8a6
3.已知a>0,b>0,则()·(-)÷= ( )
A.- B.-3
C.-a D.-3a
4.已知x+x-1=4(0A. B.6
C.-4 D.8
5.化简:= . 4.1 指数与指数函数
4.1.1 实数指数幂及其运算
1.C [解析] ===.
2.A [解析] =(k×k)k=k2k.故选A.
3.C [解析] (3-2x==,要使该式有意义,需3-2x>0,即x<;要使(x-1)0有意义,需x-1≠0,即x≠1.综上,x的取值范围是(-∞,1)∪,故选C.
4.C [解析] 因为m-2n=1,所以2n-m=-1,所以===22n-m=2-1=.故选C.
5.B [解析] 若+有意义,则解得≤x≤2,所以x-2≤0,2x-1≥0,所以+2=+2|x-2|=|2x-1|+2|x-2|=2x-1+2(2-x)=3.故选B.
[技巧] 在进行根式的化简时,要注意根指数的奇偶及被开方数的正负.
6.D [解析] 对于A,===22=4,故A错误;
对于B,=23=8,故B错误;
对于C,=|π-4|=4-π,故C错误;
对于D,===,故D正确.故选D.
7.A [解析] ==,故选A.
8.ABD [解析] 对于A,∵a>0,m,n是正整数,且n>1,
∴=,故A正确;对于B,显然a0=1,故B正确;对于C,==,故C不正确;对于D,当n为偶数时,=|a|=a,当n为奇数时,=a,综上,=a,故D正确.故选ABD.
9.BC [解析] 对于A,====,故A错误;对于B,()(-3)÷==-9a,故B正确;对于C,====,故C正确;对于D,因为(x+x-1)2=x2+2+x-2=4,所以x+x-1=±2,故D错误.故选BC.
10. [解析] ====.
11.9 [解析] =(ax)2·(ay=32×=9.
12.2 [解析] -+=-+=+-(2-)+(2-)=2.
13.解:(1)32a-b=32a·3-b===.
(2)===·3b=,又+b=1,所以==3.
(3)·b·=·b·=·b1+1=a3b2=×=×=.
(4)·=·=·====4.
14.解:∵a,b是方程x2-6x+4=0的两个实根,∴
∵a>b>0,∴>.
∵===,
∴==.
15.BD [解析] 当n为奇数时,a的n次方根只有1个,为x,故A错误,B正确;当n为偶数时,因为(±x)n=xn=a,所以a的n次方根有2个,为±x,故C错误,D正确.故选BD.
16.解:(1)由x=a-3+b-2,得x-a-3=b-2,
所以===.
(2)(a4b-4×a0-()6÷(ab4)+=ab-1-a2b3÷(ab4)+|-a|=ab-1-ab-1+a=a.
(3)由(+)2=32=9可得a+a-1=7,由(a+=72=49可得a2+a-2=47,
则a3+a-3=(a+a-1)(a2-aa-1+a-2)=7×(47-1)=322,
由=a2-2aa-1+a-2=47-2=45,得a-a-1=±3,所以a3-a-3=(a-a-1)(a2+aa-1+a-2)=±3×(47+1)=±144.4.1 指数与指数函数
4.1.1 实数指数幂及其运算
一、选择题
1.= ( )
A. B.-
C. D.-
2.若k为正整数,则= ( )
A.k2k B.k2k+1
C.2kk D.k2+k
3.(3-2x+(x-1)0中x的取值范围是 ( )
A.(-∞,+∞)
B.∪
C.(-∞,1)∪
D.
4.[2024·广东茂名高一期末] 若m-2n=1,则= ( )
A.1 B.
C. D.
★5.若代数式+有意义,则+2= ( )
A.2 B.3
C.2x-1 D.x-2
6.下列各式正确的是 ( )
A.=2
B.=-
C.=π-4
D.=
7.根式化为分数指数幂的形式为( )
A. B.
C. D.
8.(多选题)已知a>0,m,n是正整数,且n>1,则下列各式中正确的是 ( )
A.=
B.a0=1
C.=-
D.=a
9.(多选题)下列说法正确的是 ( )
A.=
B.已知a>0,b>0,则()(-3)÷=-9a
C.=
D.已知x2+x-2=2,则x+x-1=2
二、填空题
10.若a>0,则根式的分数指数幂的形式为 .
11.若a>0,且ax=3,ay=5,则
12.-+= .
三、解答题
13.(1)若3a=2,3b=5,求32a-b的值;
(2)若+b=1,求的值;
(3)若a=,b=,求·b·的值;
(4)若a=2.5,b=20,求·的值.
14.已知a,b是方程x2-6x+4=0的两个实根,且a>b>0,求的值.
15.(多选题)若xn=a(x≠0,n>1,n∈Z),则下列说法中正确的是 ( )
A.当n为奇数时,x的n次方根为a
B.当n为奇数时,a的n次方根为x
C.当n为偶数时,x的n次方根为±a
D.当n为偶数时,a的n次方根为±x
16.(1)已知x=a-3+b-2(a≠0,b≠0),化简.
(2)化简:(a4b-4×a0-()6÷(ab4)+(a>0,b>0).
(3)已知+=3,求a3+a-3,a3-a-3的值.
