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4.2 对数与对数函数
4.2.1 对数运算
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 课堂评价
◆ 备课素材
【学习目标】
1.能够在具体的数学问题情境中,得出对数的概念；
2.由指数运算与对数运算的关系,得出对数运算的性质；
3.能够利用对数运算的性质进行对数运算.
知识点一 对数及相关概念
1.对数的概念：在表达式且,中，当与 确
定之后，只有唯一的能满足这个式子，此时，幂指数称为以为底 的______，
记作__________,其中称为对数的______， 称为对数的______.
对数
底数
真数
2.常用对数：以____为底的对数称为常用对数,即 是常用对数,通常简写为
______.
3.自然对数：在科学技术中，常使用以无理数 为底的对数，以
__为底的对数称为__________,自然对数 通常简写为_____.
10
自然对数
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）是与 的乘积.( )
×
（2）可化为 .( )
×
（3）对数运算的实质是求幂指数.( )
√
2.（1）如何准确理解指数式与对数式的关系？
解:指数式和对数式的关系如图所示.
（2）在对数概念中,为什么规定且 呢
解:①若，则取某些数值时，不存在，因此规定 不能小于0.
②若，则当时，不存在，当时，则 有无数个值，
与函数定义不符，因此规定 .
③若，则当时，不存在，当时，则 有无数个值，
与函数定义不符，因此规定 .
知识点二 对数的性质
1.__________没有对数.
负数和零
2.当且 时,
（1） ___;
（2） ___;
（3） ___;
（4） 的充要条件是________;
（5） ___.
0
1
探究点一 对数的概念
例1 已知函数且，若，则 _____.
[解析] 由题知，则 .
变式 [2023· 贵州贵阳高一期末] 使式子有意义的 的取值范
围是 ( )
C
A. B.
C.且 D.
[解析] 要使式子有意义，则解得且 .
故选C.
［素养小结］
（1）要注意对数中的底数和真数与指数中的底数和幂指数的对应关系.
（2）在对数中，对底数和真数的范围要求是求解自变量取值范围的关键.
探究点二 指数式与对数式的互化
例2（1） [2024·石家庄精英中学高一期末] 已知,
且，则 的值为____.
54
[解析] 因为,且 ，
所以,，则 .
（2）将下列指数式与对数式互化：
① ;
解：化为指数式是 .
② ;
解：化为指数式是 .
③ ;
解：化为指数式是 .
④ ;
解：化为对数式是 .
⑤ ;
解：化为对数式是 .
⑥ .
解：化为对数式是 .
变式（1） 已知,,，则 ( )
D
A. B. C.2 D.3
[解析] 设，则, ,
， ，整理得
，又,， ，
，即 .故选D.
（2）将下列各等式化为相应的对数式或指数式：
① ；
解：因为，所以 .
② .
解：因为，所以 .
［素养小结］
指数式与对数式互化时应注意的问题：
（1）利用对数式与指数式间的互化公式互化时，要注意字母的位置改变.
（2）对数式的书写要规范：底数要写在符号“ ”的右下角，真数正常表示.
探究点三 利用对数的性质求值
例3（1） 求下列各式的值：
① ___；
② ___；
③ ____；
④ ___.
3
0
1
（2）求下列各式中 的值：
①， ______；
1000
[解析] 因为，所以，所以 .
②， ___；
9
[解析] 由，可得，所以 .
③, ___；
[解析] 由，可得 .
④， ___.
-4
[解析] 由,可得,所以,所以 .
（3）计算：
① ___;
4
[解析] .
② __.
[解析] 原式 .
变式（1） 已知 ，且
，则( )
C
A. B.
C. D.
[解析] ，
， ，
,,,, ,
,,,, .
故选C.
（2）求下列各式的值：
① ;
解：因为，，所以原式 .
② ;
解：原式 .
③ ;
解：原式 .
④ .
解：原式 .
［素养小结］
1.利用对数性质求解的两类问题的解题方法：
（1）求多重对数式的值，应从内到外求，如求的值，先求 的
值，再求 的值；
（2）已知多重对数式的值，求变量的值，应从外到内求，逐步脱去“ ”后再求
解.
2.注意对数恒等式 的应用.
探究点四 综合应用
例4（1） 已知则 ___.
1
[解析] 因为 所以
.
（2）求下列各式中 的值：
① ；
解：由 ，
得解得 .
② .
解：， 由题意知 .
变式 已知符号表示“不超过的最大整数”，如 ，
，，则 的值为( )
A
A. B. C.0 D.1
[解析] 由题意可得
.
［素养小结］
在求解有关对数的化简求值等问题时，首先要借助指数幂的运算性质，使其变
形为能够直接运用对数恒等式的情况，再借助对数恒等式或指数幂的运算求值.
1.已知，则 的值为( )
B
A. B.2 C.3 D.4
[解析] 由，得， .
2.[2024·江苏苏州高一期末]若，则 等于( )
C
A. B. C. D.
[解析] ，，，则 .故选
C.
3.（多选题）下列说法中正确的是( )
ACD
A.零和负数没有对数 B.任何一个指数式都可以化成对数式
C.以10为底的对数叫作常用对数 D.以 为底的对数叫作自然对数
[解析] A,C,D中说法正确,B中说法不正确,只有且时, 才能化为
对数式.故选 .
4.若，则 _ ___.
[解析] ，，， .
5.若关于实数的方程有解，则实数 的取值范围为
________________.
[解析] 若方程有解，则 即
即解得或 .
1.对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即
且， ，据此可得两个常用恒等式：
（1）；（2） .
例1 [2024·成都高一期末] 苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为了
简化其中的大数之间的计算而发明了对数.利用对数运算可以求大数的位数.已知
，则 是( )
B
A.9位数 B.10位数 C.11位数 D.12位数
[解析] 记，则，则 ，则
，故 是10位数.故选B.
2.在关系式且，中，已知和求 的运算称为求幂运
算，而如果已知和求 的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，
互为逆运算.
例2 [2024·江西南昌高一期末]纳皮尔精确的对数定义来源于一个运动的几何模
型：假设有两个沿两平行直线运动的动点和，其中点从线段的端点向
运动，点从射线的端点出发向运动，其中的长为.若 的长度满足
在第秒时，的长度满足在第秒时，记 ，
，则是关于的一个对数函数.根据以上定义，当时， ( )
B
A.15 B.18 C.21 D.24
[解析] 由题意得，所以当 时，
，解得 .故选B.4.2 对数与对数函数
4.2.1 对数运算
【课前预习】
知识点一
1.对数 b=logaN 底数 真数
2.10 lg N 3.e 自然对数 ln N
诊断分析
1.(1)× (2)× (3)√
2.解:(1)指数式和对数式的关系如图所示.
(2)①若a<0,则N取某些数值时,logaN不存在,因此规定a不能小于0.
②若a=0,则当N≠0时,logaN不存在,当N=0时,则logaN有无数个值,与函数定义不符,因此规定a≠0.
③若a=1,则当N≠1时,logaN不存在,当N=1时,则logaN有无数个值,与函数定义不符,因此规定a≠1.
知识点二
1.负数和零 2.(1)0 (2)1 (3)N (4)ab=N (5)b
【课中探究】
例1 10a [解析] 由题知ab=10,则f(b+1)=ab+1=a×ab=10a.
变式 C [解析] 要使式子log(3x-1)(2-x)有意义,则解得
例2 (1)54 [解析] 因为logb3=m,logb2=n(b>0且b≠1),
所以bm=3,bn=2,则b3m+n=b3m·bn=·bn=33×2=54.
(2)解:①lg 100=2化为指数式是102=100.
②lo27=-3化为指数式是=27.
③log x=6化为指数式是()6=x.
④43=64化为对数式是log464=3.
⑤3-2=化为对数式是log3=-2.
⑥=16化为对数式是lo16=-2.
变式 (1)D [解析] 设loa=log3b=lo(6a+b)=k,则a==,b=3k,6a+b==.∵·=32k=,∴a(6a+b)=b2,整理得b2-ab-6a2=(b-3a)(b+2a)=0,又a>0,b>0,∴b+2a>0,∴b=3a,即=3.故选D.
(2)解:①因为10-3=,所以lg =-3.
②因为ln 2=x,所以ex=2.
例3 (1)①3 ②0 ③-2 ④1 (2)①1000 ②9 ③ ④-4 (3)①4 ② [解析] (2)①因为log3(lg x)=1,所以lg x=3,所以x=103=1000.
②由logx27=,可得=27,所以x=2=(33=32=9.
③由ln x=-,可得x===.
④由x=lo16,可得=16,所以2-x=24,所以x=-4.
(3)①=(==4.
②原式=×=3×(3-1=3×()-1=3×2-1=.
变式 (1)C [解析] ∵loga(lox)=logb(loy)=
logc(loz)=0,∴loga(lox)=0,logb(loy)=0,
logc(loz)=0,∴lox=1,loy=1,loz=1,∴x=>0,
y=>0,z=>0,∵a>b>c>1,∴0<<<<1,∴0(2)解:①因为=3,=2,所以原式=3+2=5.
②原式=22×=4×=.
③原式=10×10lg 2=10×2=20.
④原式=e-1×eln 3=×3=.
例4 (1)1 [解析] 因为f(x)=所以f(-3)=f(-3+2)=f(-1)=f(-1+2)=f(1)=ln 1+1=1.
(2)解:①由lo(3x2+2x-1)=1,
得解得x=-2.
②∵=7+4=,∴由题意知x=2.
变式 A [解析] 由题意可得+++[log21]+[log22]+[log23]+[log24]=(-2)+(-2)+(-1)+0+1+1+2=-1.
【课堂评价】
1.B [解析] 由logx8=3,得x3=8,∴x=2.
2.C [解析] ∵log3(log2x)=1,∴log2x=3,∴x=23=8,则x==.故选C.
3.ACD [解析] A,C,D中说法正确,B中说法不正确,只有a>0且a≠1时,ax=N才能化为对数式.故选ACD.
4. [解析] ∵a=log43,∴4a=3,∴2a=,∴2a+2-a=+=.
5.(-∞,-1)∪(0,1) [解析] 若方程log2(x-2k)=log2有解,则即即解得04.2.1 对数运算
【学习目标】
1.能够在具体的数学问题情境中,得出对数的概念;
2.由指数运算与对数运算的关系,得出对数运算的性质;
3.能够利用对数运算的性质进行对数运算.
◆ 知识点一 对数及相关概念
1.对数的概念:在表达式ab=N(a>0且a≠1,N∈(0,+∞))中,当a与N确定之后,只有唯一的b能满足这个式子,此时,幂指数b称为以a为底N的 ,记作 ,其中a称为对数的 ,N称为对数的 .
2.常用对数:以 为底的对数称为常用对数,即log10N是常用对数,通常简写为 .
3.自然对数:在科学技术中,常使用以无理数e=2.718 28…为底的对数,以 为底的对数称为 ,自然对数logeN通常简写为 .
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)logaN是loga与N的乘积. ( )
(2)(-2)3=-8可化为log(-2)(-8)=3. ( )
(3)对数运算的实质是求幂指数. ( )
2.(1)如何准确理解指数式与对数式的关系
(2)在对数概念中,为什么规定a>0且a≠1呢
◆ 知识点二 对数的性质
1. 没有对数.
2.当a>0且a≠1时,
(1)loga1= ;
(2)logaa= ;
(3)= ;
(4)b=logaN的充要条件是 ;
(5)logaab= .
◆ 探究点一 对数的概念
例1 已知函数f(x)=ax(a>0且a≠1),若b=loga10,则f(b+1)= .
变式 [2023·贵州贵阳高一期末] 使式子log(3x-1)(2-x)有意义的x的取值范围是 ( )
A.x>2
B.C.D.x<2
[素养小结]
(1)要注意对数中的底数和真数与指数中的底数和幂指数的对应关系.
(2)在对数中,对底数和真数的范围要求是求解自变量取值范围的关键.
◆ 探究点二 指数式与对数式的互化
例2 (1)[2024·石家庄精英中学高一期末] 已知logb3=m,logb2=n(b>0且b≠1),则b3m+n的值为 .
(2)将下列指数式与对数式互化:
①lg 100=2;②lo27=-3;③logx=6;
④43=64;⑤3-2=;⑥=16.
变式 (1)已知a>0,b>0,loa=log3b=lo(6a+b),则= ( )
A. B. C.2 D.3
(2)将下列各等式化为相应的对数式或指数式:
①10-3=;②ln 2=x.
[素养小结]
指数式与对数式互化时应注意的问题:
(1)利用对数式与指数式间的互化公式互化时,要注意字母的位置改变.
(2)对数式的书写要规范:底数a要写在符号“log”的右下角,真数正常表示.
◆ 探究点三 利用对数的性质求值
例3 (1)求下列各式的值:
①log464= ;②log530= ;
③lg 0.01= ;④log1212= .
(2)求下列各式中x的值:
①log3(lg x)=1,x= ;
②logx27=,x= ;
③ln x=-,x= ;
④x=lo16,x= .
(3)计算:①= ;
②= .
变式 (1)已知a>b>c>1,且loga(lox)=logb(loy)=logc(loz)=0,则 ( )
A.1C.0(2)求下列各式的值:
①+;②;③101+lg 2;④e-1+ln 3.
[素养小结]
1.利用对数性质求解的两类问题的解题方法:
(1)求多重对数式的值,应从内到外求,如求loga(logbc)的值,先求logbc的值,再求loga(logbc)的值;
(2)已知多重对数式的值,求变量的值,应从外到内求,逐步脱去“log”后再求解.
2.注意对数恒等式=N的应用.
◆ 探究点四 综合应用
例4 (1)已知f(x)=则f(-3)= .
(2)求下列各式中x的值:
①lo(3x2+2x-1)=1;
②lo=x.
变式 已知符号[x]表示“不超过x的最大整数”,如[-2]=-2,[-1.5]=-2,[2.5]=2,则+++[log21]+[log22]+[log23]+[log24]的值为 ( )
A.-1 B.-2
C.0 D.1
[素养小结]
在求解有关对数的化简求值等问题时,首先要借助指数幂的运算性质,使其变形为能够直接运用对数恒等式的情况,再借助对数恒等式或指数幂的运算求值.
1.已知logx8=3,则x的值为 ( )
A. B.2 C.3 D.4
2.[2024·江苏苏州高一期末] 若log3(log2x)=1,则等于 ( )
A. B. C. D.
3.(多选题)下列说法中正确的是 ( )
A.零和负数没有对数
B.任何一个指数式都可以化成对数式
C.以10为底的对数叫作常用对数
D.以e为底的对数叫作自然对数
4.若a=log43,则2a+2-a= .
5.若关于实数x的方程log2(x-2k)=log2有解,则实数k的取值范围为 . 4.2 对数与对数函数
4.2.1 对数运算
1.C [解析] 由a=b2(b>0且b≠1),得logba=2.故选C.
2.D [解析] 要使式子log(2x-1)有意义,需满足即解得3.D [解析] 由已知得am=,an=3,所以am+2n=am×a2n=am×(an)2=×32=.故选D.
4.C [解析] 根据指数式与对数式互化可知,e0=1等价于ln 1=0,故A中互化正确;=等价于log8=-,故B中互化正确;log39=2等价于32=9,故C中互化错误;log77=1等价于71=7,故D中互化正确.故选C.
5.A [解析] 令t=3x>0,则原方程可化为t2-3t-4=0,解得t=4或t=-1(舍去),所以3x=4,所以x=log34.
6.B [解析] 由ln a7.D [解析] 由题知2Θ4=log24=2,所以8Θ(2Θ4)=8Θ2=log28=3.
8.AB [解析] lg(lg 10)=lg 1=0,故A正确;ln(ln e)=ln 1=0,故B正确;若10=lg x,则x=1010,故C错误;若e=ln x,则x=ee,故D错误.故选AB.
9.ACD [解析] 100=1对应的对数式为lg 1=0,故A中互化正确;2=对应的对数式应为log27=-,故B中互化不正确;log39=2对应的指数式为32=9,故C中互化正确;log55=1对应的指数式为51=5,故D中互化正确.故选ACD.
10.4 [解析] ∵==,∴a=,∴loa=4.
11. [解析] ∵4a=2=,∴a=,∴x=1,解得x=.
12.-3 [解析] 令1+loa=2+lob=lo(a-b)=k,则a=,b=,a-b=,所以-== ==-3.
13.解:(1)x=6=(43=4-2=.
(2)因为x6=8,x>0且x≠1,所以x=(x6==(23==.
(3)因为10x=100=102,所以x=2.
(4)由-ln e2=x,得-x=ln e2,即e-x=e2,所以x=-2.
(5)因为lo=x,
所以(-1)x====-1,所以x=1.
14.解:(1)∵lox=m,∴=x,∴x2=.
∵loy=m+2,∴=y,∴y=.
故====16.
(2)由题知f(x)=lg a-+4lg a.
∵f(x)有最大值3,∴lg a<0,且-+4lg a=3,
整理得4(lg a)2-3lg a-1=0,解得lg a=1或lg a=-.
又∵lg a<0,∴lg a=-,∴a=1.
15.D [解析] ∵logab=2,∴a2=b,∴ab=ba=(a2)a=a2a,
∴b=2a,可得a2=2a,又a≠0,∴a=2,∴b=4,∴ab=8.故选D.
16.解:(1)由题知18a=9,18b=54,∴182a-b====.
(2)∵logx27==3×=3×2=6,∴x6=27,
∴x=2=(33==.4.2 对数与对数函数
4.2.1 对数运算
一、选择题
1.若a=b2(b>0且b≠1),则有 ( )
A.log2a=b B.log2b=a
C.logba=2 D.logb2=a
2.[2024·福建福州高一期末] 使式子log(2x-1)有意义的x的取值范围是 ( )
A.(2,+∞) B.
C.(-∞,2) D.∪(1,2)
3.已知loga=m,loga3=n(a>0且a≠1),则am+2n等于( )
A.3 B. C.9 D.
4.下列指数式与对数式互化不正确的一组是 ( )
A.e0=1与ln 1=0
B.=与log8=-
C.log39=2与=3
D.log77=1与71=7
5.方程9x-3x+1-4=0的实数解是 ( )
A.log34 B.4
C.-1 D. log43
6.“<”是“ln aA.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
7.已知a,b∈(0,1)∪(1,+∞),定义运算:aΘb=则8Θ(2Θ4)= ( )
A.-3 B. C.log34 D.3
8.(多选题)下列说法正确的是 ( )
A.lg(lg 10)=0
B.ln(ln e)=0
C.若10=lg x,则x=10
D.若e=ln x,则x=e2
9.(多选题)下列指数式与对数式的互化正确的是 ( )
A.100=1与lg 1=0
B.=与log27=-3
C.log39=2与32=9
D.log55=1与51=5
二、填空题
10.已知=,则loa= .
11.已知4a=2,logax=2a,则x= .
12.[2024·广西桂林高一期末] 已知a>b>0,且1+loa=2+lob=lo(a-b),则-的值为 .
三、解答题
13.求下列各式中x的值.
(1)log64x=-;(2)logx8=6;(3)lg 100=x;
(4)-ln e2=x;(5)lo=x.
14.(1)若lox=m,loy=m+2,求的值.
(2)已知二次函数f(x)=(lg a)x2+2x+4lg a的最大值为3,求a的值.
15.已知实数a,b满足ab=ba,且logab=2(a>0且a≠1),则ab= ( )
A. B.2 C.4 D.8
16.(1)已知log189=a,log1854=b,求182a-b的值.
(2)已知logx27=,求x的值.