(共38张PPT)
4.2 对数与对数函数
4.2.2 对数运算法则
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 课堂评价
◆ 备课素材
【学习目标】
1.理解对数的运算法则；
2.能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；
3.会运用运算法则进行一些简单的化简与证明.
知识点一 对数的运算法则
（1） _______________,
（2） ________,
（3） _______________.
其中，且,,, .
知识点二 对数换底公式
1.，其中且，，且 ，这一结果通常被称
为换底公式.
2.对数换底公式的重要推论：
（1）且，且 ；
（2）且， ；
（3），，，且 ，
， .
【诊断分析】
（1）若，则 ____.
[解析] .
（2）若，，则 __.
[解析] .
探究点一 对数的运算法则
例1 用,, 表示下列各式：
（1） ;
解： .
（2） ;
解：
.
（3） ;
解： .
（4） .
解： .
变式 用，， 表示下列各式：
（1） ；
解: .
（2） ；
解: .
（3） .
解: .
［素养小结］
正确应用计算公式是解决这类问题的关键，尤其不要混淆对数的加减运算和乘
除运算.
探究点二 对数运算法则的应用
例2（1） 计算： .
解:原式 .
（2）计算：
解:原式 .
变式 计算下列各式的值：
（1） ；
解：方法一：原式
.
方法二：原式 .
（2） .
解：原式 .
［素养小结］
（1）对数运算法则的作用:
①利用对数的运算法则,可以将真数的积、商、幂的运算转化为对数的和、差、
倍数运算,反之亦然.
②通过对对数运算法则的灵活运用,能起到降幂、去分母、去根号的作用.
（2）运用对数的运算法则时要注意的问题:
①注意正用、逆用三条法则.
②在进行对数运算时,要判断能否使用运算法则.
③不要将“积商幂的对数”和“对数的积商幂”混淆.
拓展 已知，求 的值.
解:,, ,在等式两边取常用
对数得，由对数的运算性质可得，即 ,
或 .
探究点三 换底公式的应用
例3（1） [2024·陕西咸阳高一期末]若,，则 的值约为 ( )
A
A.1.322 B.1.410 C.1.507 D.1.669
[解析] 因为, ，所以
.故选A.
（2）[2024·广东佛山高一期末] 记 ，则
___.
1
[解析]
（3）计算下列各式的值：
① ；
解:原式 .
② .
解:原式 .
变式（1） 计算： ( )
A
A. B. C.1 D.2
[解析] 原式 .
（2）计算： __.
[解析] .
（3）已知，，则可以用， 表示为_____.
[解析] 由，得 ，则
.
［素养小结］
（1）利用对数的换底公式能够将不同底的对数化为常用对数或自然对数或同底
的对数,可用对数的运算法则来解决对数求值问题,同时要注意换底公式的逆用.
（2）题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式.
探究点四 对数的实际应用
例4 地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标
准.震级 是用距震中100千米处的标准地震仪所记录的地震波最大振幅值的对
数来表示的.里氏震级的计算公式为，其中 是被测地震的最大
振幅， 是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震
中的距离造成的偏差）.根据该公式可知， 级地震的最大振幅是6级地震的最
大振幅的____倍.（精确到1）
32
[解析] 由题意可得,即,所以 .当
时，级地震的最大振幅；当 时，6级地震的最大
振幅.所以 .
变式 神舟十二号载人飞船搭载3名宇航员进入太空，在中国空间站完成了为
期三个月的太空驻留任务，期间进行了很多空间实验，目前已经顺利返回地球.
在太空中水资源有限，要通过回收水的方法制造可用水，回收水是指将宇航员
的尿液、汗液和太空中的水收集起来经过特殊的净水器处理后循环使用.净化水
的过程中，每增加一次过滤可减少水中 的杂质，要使水中杂质减少到原来
的以下，则至少需要过滤的次数为（参考数据： ）( )
C
A.10 B.12 C.14 D.16
[解析] 设过滤的次数为，原来的水中杂质为1，则 ，
即，所以，所以 ，所以
.因为，所以 的最小值为14，则至少
需要过滤14次.故选C.
［素养小结］
解决这类问题的关键是把实际问题转化为对数的运算问题，考查数学建模能力.
1. ( )
B
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] .
2. ( )
A
A. B. C. D.
[解析] 原式 .故选A.
3.[2024·河北保定高一期末]已知, ，则( )
D
A. B. C. D.
[解析] 因为
，所以
.因为，所以 .故选D.
4.[2024·江苏宿迁高一期末]已知，，则用, 表示为
( )
C
A. B. C. D.
[解析] 因为，所以 ，则
.故选C.
5.若,，则 ___.
1
[解析] 由，得，由，得 ，所以
.
1.“合”“分”策略
对于同底的对数的化简，常用策略有二：
（1）“合”：将同底的多个对数的和（差）合成积（商）的对数；
（2）“分”：将积（商）的对数分成若干个对数的和（差）.
例1 （多选题）[2023·广东佛山高一期末]对于任意两个正数， ，记
曲线与直线，，轴围成的曲边梯形的面积为 ，并约定
和，德国数学家莱布尼茨 最早发现
.下列关于 的说法正确的是( )
ABC
A., B.
C. D.
[解析] 由题意 ，所以.
当 时，；
当时，；
当 时，；
当或 时，也成立.
综上所述，.
对于选项A， , ，，
所以, ，故A正确；
对于选项B， ，
又，所以 ，故B正确；
对于选项C，如图，
因为 ，
所以
，
即，故C正确；
对于选项D，取, ，则，
故D错误.故选 .
2.条件求值
对于带附加条件的指数、对数问题，在求解的过程中要根据问题的需要，分析
条件和待求式子之间的差异，关键是消除差异，这就要把指数式化为对数式或
把对数式化为指数式或应用换底公式化为同底对数等.
例2 已知， .
（1）求 的值；
解：因为，所以 ，
.
（2）试用，表示 .
解：由得 ，
所以
.
3.在运用换底公式时，要根据需要恰当选择底数，简化运算.
例3 在中，令,,,已知 , ，
，,求证： .
证明：
.4.2.2 对数运算法则
【课前预习】
知识点一
(1)logaM+logaN (2)αlogaM (3)logaM-logaN
知识点二
诊断分析
(1) (2) [解析] (1)log4a===.
(2)log68==.
【课中探究】
例1 解:(1)loga(xyz)=logax+logay+logaz.
(2)loga=loga(xy2)-logaz=logax+logay2-logaz=logax+2logay-logaz.
(3)loga=loga(y)-loga=loga+logay-loga=logax+logay-logaz.
(4)loga=loga(x5y3)-logaz2=logax5+logay3-2logaz=5logax+3logay-2logaz.
变式 解:(1)logax-4=-4logax.
(2)loga(xy-1z2)=logax+logay-1+logaz2=logax-logay+2logaz.
(3)loga=loga-loga(y2z)=loga-(logay2+logaz)=logax-2logay-logaz.
例2 解:(1)原式=log2+log2122-log242=log2=log2=-.
(2)原式=3lg 5·lg 2+3lg 5+3(lg 2)2+lg+lg 6-2=3(lg 5+lg 2)·lg 2+3lg 5-2=3(lg 2+lg 5)-2=1.
变式 解:(1)方法一:原式=(lg 25-lg 72)-lg +lg (72×5=lg 2-lg 7-2lg 2+lg 7+lg 5=lg 2+lg 5=(lg 2+lg 5)=.
方法二:原式=lg -lg 4+lg 7=lg =lg(×)=.
(2)原式=2lg 5+2lg 2+(2lg 2+lg 5)lg 5+(lg 2)2=2lg 10+(lg 5+lg 2)2=2+(lg 10)2=2+1=3.
拓展 解:∵==xlg x,∴2xlg x=20,∴xlg x=10,在等式两边取常用对数得lg xlg x=lg 10=1,由对数的运算性质可得lg x·lg x=1,即lg x=±1,∴x=10或.
例3 (1)A (2)1 [解析] (1)因为2x=,lg 2≈0.301 0,所以x=log2==≈≈1.322.故选A.
(2)+++…+=logA2+logA3+logA4+…+logA2024=logA(2×3×4×…×2024)=logAA=1.
(3)解:①原式=log32=log32=+=.
②原式=lo·log 9=-log32·log29=-log32·3log23=-.
变式 (1)A (2) (3) [解析] (1)原式===.
(2)(log43+log83)·(log32+log92)=(log6427+log649)·(log94+log92)=log64243·log98=·=·=.
(3)由18b=5,得b=log185,则log3645======.
例4 32 [解析] 由题意可得M=lg A-lg A0=lg,即=10M,所以A=A0·10M.当M=7.5时,7.5级地震的最大振幅A1=A0·107.5;当M=6时,6级地震的最大振幅A2=A0·106.所以==107.5-6=101.5=1=≈32.
变式 C [解析] 设过滤的次数为n,原来的水中杂质为1,则1×(1-20%)n<1×5%,即0.8n<,所以lg 0.8n
==≈13.4.因为n∈N*,所以n的最小值为14,则至少需要过滤14次.故选C.
【课堂评价】
1.B [解析] 2log63+log64=log632+log64=log6(9×4)=log662=2.
2.A [解析] 原式==10lg 9-lg 4==.故选A.
3.D [解析] 因为a-b=-log2=-2log23+1=>0,所以a>b.因为b=log2>log24=2,所以a>b>2.故选D.
4.C [解析] 因为2b=7,所以b=log27,则log4256====.故选C.
5.1 [解析] 由1000a=5,得a=log10005,由100b=2,得b=log1002,所以3a+2b=3log10005+2log1002=3lo5+2lo2=lg 5+lg 2=lg 10=1.4.2.2 对数运算法则
【学习目标】
1.理解对数的运算法则;
2.能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数;
3.会运用运算法则进行一些简单的化简与证明.
◆ 知识点一 对数的运算法则
(1)loga(MN)= ,
(2)logaMα= ,
(3)loga= .
其中,a>0且a≠1,M>0,N>0,α∈R.
◆ 知识点二 对数换底公式
1.logab=,其中a>0且a≠1,b>0,c>0且c≠1,这一结果通常被称为换底公式.
2.对数换底公式的重要推论:
(1)logaN=(N>0且N≠1,a>0且a≠1);
(2)lobm=logab(a>0且a≠1,b>0);
(3)logab·logbc·logcd=logad(a>0,b>0,c>0,d>0且a≠1,b≠1,c≠1).
【诊断分析】 (1)若loga2=m,则log4a= .
(2)若lg 6=a,lg 8=b,则log68= .
◆ 探究点一 对数的运算法则
例1 用logax,logay,logaz表示下列各式:
(1)loga(xyz);(2)loga;(3)loga;
(4)loga.
变式 用logax,logay,logaz表示下列各式:
(1)logax-4;(2)loga(xy-1z2);(3)loga.
[素养小结]
正确应用计算公式是解决这类问题的关键,尤其不要混淆对数的加减运算和乘除运算.
◆ 探究点二 对数运算法则的应用
例2 (1)计算:log2+log212-log242.
(2)计算:lg 5·(lg 8+lg 1000)+3(lg 2)2+lg+lg 0.06.
变式 计算下列各式的值:
(1)lg-lg +lg;
(2)lg 52+lg 8+lg 20·lg 5+(lg 2)2.
[素养小结]
(1)对数运算法则的作用:
①利用对数的运算法则,可以将真数的积、商、幂的运算转化为对数的和、差、倍数运算,反之亦然.
②通过对对数运算法则的灵活运用,能起到降幂、去分母、去根号的作用.
(2)运用对数的运算法则时要注意的问题:
①注意正用、逆用三条法则.
②在进行对数运算时,要判断能否使用运算法则.
③不要将“积商幂的对数”和“对数的积商幂”混淆.
拓展 已知1+xlg x=20,求x的值.
◆ 探究点三 换底公式的应用
例3 (1)[2024·陕西咸阳高一期末] 若2x=,lg 2≈0.301 0,则x的值约为 ( )
A.1.322 B.1.410
C.1.507 D.1.669
(2)[2024·广东佛山高一期末] 记A=1×2×3×…×2024,则+++…+= .
(3)计算下列各式的值:
①(log43+log83)log32;②.
变式 (1)计算:= ( )
A. B.
C.1 D.2
(2)计算:(log43+log83)·(log32+log92)= .
(3)已知log189=a,18b=5,则log3645可以用a,b表示为 .
[素养小结]
(1)利用对数的换底公式能够将不同底的对数化为常用对数或自然对数或同底的对数,可用对数的运算法则来解决对数求值问题,同时要注意换底公式的逆用.
(2)题目中有指数式和对数式时,要注意将指数式与对数式统一成一种形式.
◆ 探究点四 对数的实际应用
例4 地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的,一般采用里氏震级标准.震级(M)是用距震中100千米处的标准地震仪所记录的地震波最大振幅值的对数来表示的.里氏震级的计算公式为M=lg A-lg A0,其中A是被测地震的最大振幅,A0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差).根据该公式可知,7.5级地震的最大振幅是6级地震的最大振幅的 倍.(精确到1)
变式 神舟十二号载人飞船搭载3名宇航员进入太空,在中国空间站完成了为期三个月的太空驻留任务,期间进行了很多空间实验,目前已经顺利返回地球.在太空中水资源有限,要通过回收水的方法制造可用水,回收水是指将宇航员的尿液、汗液和太空中的水收集起来经过特殊的净水器处理后循环使用.净化水的过程中,每增加一次过滤可减少水中20%的杂质,要使水中杂质减少到原来的5%以下,则至少需要过滤的次数为(参考数据:lg 2≈0.301 0)( )
A.10 B.12 C.14 D.16
[素养小结]
解决这类问题的关键是把实际问题转化为对数的运算问题,考查数学建模能力.
1.2log63+log64= ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.= ( )
A. B. C. D.
3.[2024·河北保定高一期末] 已知a=,b=log2,则 ( )
A.2>a>b B.b>2>a
C.b>a>2 D.a>b>2
4.[2024·江苏宿迁高一期末] 已知log23=a,2b=7,则log4256用a,b表示为 ( )
A. B.
C. D.
5.若1000a=5,100b=2,则3a+2b= .4.2.2 对数运算法则
1.B [解析] 因为lo==log23,所以==2×=2×3=6.故选B.
2.C [解析] a=log23×log34×…×log20242025=××…×==log22025,∵210=1024,211=2048,
∴log22103.A [解析] lg 2-lg -eln 2=lg-2=-1.故选A.
4.C [解析] +lg 5+log32×log49×lg 2=3×+lg 5+log32×lo32×lg 2=3×2+lg 5+log32×log23×lg 2=6+(lg 5+lg 2)=6+1=7.故选C.
5.B [解析] loga=logax3-loga(y2)=3logax-2logay-logaz=3l-2m-n.故选B.
6.B [解析] 当x<0时,①不正确;若lg x+lg y=0,则lg xy=0,可得xy=1,若xy=1,有可能x<0,y<0,此时lg x,lg y无意义,故“xy=1”是“lg x+lg y=0”的必要不充分条件,②不正确;因为a>0且a≠1,所以logaa2=2logaa=2,③正确.故选B.
7.C [解析] a2+loga=4 logab=4-a2 logab=8-2a2 logba= 2logba=,因为08.ABD [解析] ln e2=2,故A正确;lg 125=lg 53=3lg 5=3-3lg 2,故B正确;log34+log32=log38,故C错误;log23×log34×log42=××=1,故D正确.故选ABD.
9.AD [解析] 由3a=5b=k,得a=log3k,b=log5k.若k=1,则a=b=0,a+b=2ab成立;若k≠1,则a+b=2ab,即+=2,所以+=2,即logk3+logk5=logk15=2,可得k=.故选AD.
10.2 [解析] 由已知条件得整理得∴x-2y=0,∴=2.
【易错】 在利用对数的性质及运算法则进行化简及计算的时候,要注意底数或真数取正时对未知数取值范围的影响.
11. [解析] 因为32x=5,25y=16,所以x=log325,y=log2516,所以xy=log325×log2516=log25×log52=××=.
12.5 [解析] 原式=lo102-log522+log232×log323-3=×log510-2log52+2log23×3log32-3=2(1+log52)-2log52+6××-3=2+6-3=5.
13.解:(1)(lg 2)2+lg 2·lg 50+2lg 5=(lg 2)(lg 2+lg 50)+2lg 5=2lg 2+2lg 5=2×(lg 2+lg 5)=2.
(2)因为lg x+lg y=2lg(x-2y),所以xy=(x-2y)2,即x2-5xy+4y2=0,
解得x=y或x=4y,又x>0,y>0且x-2y>0,所以x=4y,所以=4.
(3)因为2m=3,2n=5,所以m=log23,n=log25.
因为log1220===,所以log1220=.
14.解:(1)由题知T0=90,Te=20,t=10,T(10)=55,
则55=(90-20)e-10k+20,则e-10k=,解得k=.
(2)设自然冷却大约需要放置t min才能达到最佳饮用口感,
则65=(85-25)e-kt+25,代入k=,
得t==≈=≈5.7,
所以刚泡好的茶水在室温为25 ℃时自然冷却大约需要放置5.7 min才能达到最佳饮用口感.
15.-3或 [解析] 因为a>0,b>0,ab=2,所以b=loga2,又b+log2a=,所以loga2+log2a=,则loga2+=,解得loga2=2或,则a=或4.当a=时,b=loga2=2,则logb2a=log22=;当a=4时,b=loga2=,则logb2a=lo8=-3.
16.解:由题意可得,log3x-+c=0,即(log3x)2+clog3x-b=0.易知log33+log3=-1=-c,log381·log3=-12=-b,可得c=1,b=12,则原方程为(log3x)2+log3x-12=0,可得log3x=-4或log3x=3,解得x=或x=27.故原方程的根为27或.4.2.2 对数运算法则
一、选择题
1.[2024·安徽芜湖高一期末] =( )
A.4 B.6
C.8 D.10
2.[2024·山东青岛高一期末] 已知a=log23×log34×…×log20242025,则a的取值范围是 ( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(10,11) D.(11,12)
3.lg 2-lg -eln 2= ( )
A.-1 B. C.3 D.-5
4.[2023·天津和平区耀华中学高一期末] 计算:+lg 5+log32×log49×lg 2= ( )
A.5 B.6
C.7 D.8
5.若logax=l,logay=m,logaz=n,则用l,m,n表示loga所得的结果是 ( )
A.3l-2m+n B.3l-2m-n
C.3l-2m+3n D.3l-2m-3n
6.设x,y为非零实数,a>0且a≠1,则下列说法中正确的个数是 ( )
①logax2=2logax;
②“xy=1”是“lg x+lg y=0”的充要条件;
③logaa2=2.
A.0 B.1
C.2 D.3
7.已知实数a,b满足a2+loga=4(0A.0 B.1
C.-3 D.不存在
8.(多选题)历史上数学计算方面的三大发明为阿拉伯数字、十进制和对数,常用对数在化简计算上为人们做出重大贡献,而自然对数成了研究科学、了解自然的必不可少的工具.现有如下四个关于对数的运算,其中正确的是 ( )
A.ln e2=2
B.lg 125=3-3lg 2
C.log34×log32=log38
D.log23×log34×log42=1
9.(多选题)已知3a=5b=k,且a+b=2ab,则实数k的值可以为 ( )
A.1 B.225
C.15 D.
二、填空题
★10.已知lg(x+2y)+lg(x-y)=lg 2+lg x+lg y,则= .
11.设32x=5,25y=16,则xy= .
12.[2024·广东深圳高一期末] 计算:lo100-log54+log29×log38-10lg 3= .
三、解答题
13.(1)求(lg 2)2+lg 2·lg 50+2lg 5的值.
(2)若lg x+lg y=2lg(x-2y),求的值.
(3)若2m=3,2n=5,求log1220(用m,n表示).
14.[2024·哈尔滨高一期末] 中国茶文化博大精深,茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度是T0 ℃,空气温度是Te ℃,那么t min后物体的温度T(t)(单位:℃)可由公式T(t)=(T0-Te)e-kt+Te求得,其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数.现有某种刚泡好的普洱茶,茶水温度是90 ℃,放在室温20 ℃的环境中自然冷却,10分钟后茶水的温度是55 ℃.
(1)求k的值.
(2)经验表明,当室温为25 ℃时,该种普洱茶用85 ℃的水泡制,自然冷却至65 ℃时饮用,可以产生最佳口感,那么刚泡好的茶水在室温为25 ℃时自然冷却大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感 (结果精确到0.1)
(参考数据:ln 2≈0.7,ln 3≈1.1)
15.[2024·重庆南开中学高一期末] 已知实数a>0,b>0,ab=2,且b+log2a=,则logb2a的值为 .
16.甲、乙两人同时解关于x的方程log3x-blogx3+c=0,甲写错了常数b,得两根为3和;乙写错了常数c,得两根为和81.求这个方程的根.