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4.3 指数函数与对数函数的关系
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 课堂评价
◆ 备课素材
【学习目标】
1.了解反函数的概念,知道指数函数和对数函数互为反函数,弄清它们的图象
间的对称关系；
2.能结合函数的图象与性质解决一些综合问题.
知识点 指数函数与对数函数的关系
1.反函数
（1）反函数的定义
一般地，如果在函数中，给定值域中任意一个 的值，只有唯一的___
与之对应，那么是的函数，这个函数称为 的________，函数
的反函数记作 .
反函数
（2）反函数的性质
①函数的定义域与的______相同，函数 的值域与
的________相同.
②与 的图象关于直线______对称.
③如果是增函数，那么是____函数；如果 是减函
数，那么 是____函数.
④若函数的图象上有一点，则点______在其反函数 的
图象上.
值域
定义域
增
减
2.指数函数与对数函数的关系
（1）指数函数与对数函数且 ____________.
（2）指数函数与对数函数且 的图象关于
____________对称.
互为反函数
直线
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）函数的反函数是 .( )
×
[解析] 函数的反函数是 .
（2）函数的反函数的值域为 .( )
×
[解析] 函数的反函数的值域是原函数的定义域，故 的反函数
的值域为 .
（3）函数的图象与的图象关于直线 对称.( )
×
[解析] 互为反函数的图象关于直线对称，所以函数 的图象与
的图象关于直线对称，函数的图象与 的图象关于
直线 对称.
2.函数与且 的定义域和值域有什么关系？
解:且的定义域为，值域为，
且的定义域为，值域为 ，即它们的定义域和值域互换.
探究点一 求简单函数的反函数
例1 求下列函数的反函数.
（1） ;
解：由得 ,
所以函数的反函数是 .
（2） ;
解：的底数是,它的反函数是指数函数 .
（3） ;
解：由得，故，对调其中的和 得
.因为的值域是 ,所以它的反函数为
.
（4） .
解：因为,所以,故,对调其中的和 得
.因为函数的值域是 ，所以
的定义域为,即函数 的反函数是
.
变式（1） 已知是函数的反函数，则 的值为( )
A
A.0 B.1 C.10 D.100
[解析] 因为是函数的反函数，所以，所以
.故选A.
（2）函数与函数 的图象关于( )
B
A.轴对称 B.直线对称 C.原点对称 D. 轴对称
[解析] 函数与函数互为反函数，故它们的图象关于直线 对
称.故选B.
［素养小结］
求反函数的一般步骤：
（1）先确定原函数的值域，即反函数的定义域.
（2）对调原函数解析式中的和，解出 .
（3）写出反函数.
注意：求反函数时，若原函数 的定义域有限制条件，则其反函数的定
义域只能是根据原函数的值域来求.
探究点二 反函数性质的应用
例2（1） 函数的反函数 的定义域为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 的定义域即为函数的值域， ，
，故的定义域为 .
（2）已知函数是增函数，它的反函数是,若 （2）,
（3）,则, 的大小关系是( )
A
A. B. C. D.无法确定
[解析] 因为是增函数，所以其反函数也是增函数，所以 ,
(3)> (2),即 .故选A.
（3）[2023 辽宁沈阳实验中学高一月考] 设函数 存在反函数
，且函数的图象过点，则函数 的
图象一定过点________.
[解析] 因为函数的图象过点，所以，
解得 ，即的图象过点，所以的图象过点，
的图象过点，所以的图象过点 .
变式（1） 已知函数的图象过点 ，且其反函数
的图象过点，则 是( )
A
A.增函数 B.减函数 C.奇函数 D.偶函数
[解析] 因为函数的图象过点，所以函数的图象过点 ，又函
数的图象过点，所以解得 即
.易知函数 为增函数，且为非奇非偶函数.故选A.
（2）下列说法中正确的是( )
C
①偶函数一定不存在反函数；
②若函数和其反函数 的图象存在交点，则交点必定在直线
上；
③函数和其反函数 的图象的交点可能有无数个；
④在定义域上单调递增的函数必存在反函数.
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
[解析] 因为函数， 是偶函数，且存在反函数，所以①错误；
因为函数和函数互为反函数，且点 为它们图象的交点，
但不在直线上，所以②错误；
因为函数 的反函数就是其本身，两函数图象的交点有无数个，所以③正确；
根据反函数的定义，可知④正确.故选C.
［素养小结］
常用的互为反函数的函数间的关系及性质有:
（1）一个函数与其反函数的图象关于直线 对称;
（2）一个函数与它的反函数在相应区间上的单调性一致;
（3）一个函数与其反函数的定义域、值域相反,对应关系互逆等.
探究点三 指数函数与对数函数图象之间的关系
例3（1） 函数 的部分图象是( )
B
A. B. C. D.
[解析] ，，且 .令
且 ，则，
为偶函数，其图象关于轴对称，排除A,C.
令， 函数在区间上单调递增，
函数 在区间 上单调递增，排除D.故选B.
（2）函数的图象与函数的图象关于直线 对称，则函数
的单调递减区间为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 由函数的图象与函数的图象关于直线 对称知，
函数是函数的反函数，所以 ,即
.
要使函数有意义，则 ,即,解得.
设,则该函数在 上单调递增，在上单调递减.因为函数
在定义域上为增函数，所以由复合函数的单调性可知，所求函数的单调
递减区间是 .故选D.
变式（1） 已知是， 的反函数，则函数
的最小值为___.
3
[解析] 易知在 上单调递增，所以
， ，所以
的值域为,则的定义域为.
因为 在上单调递增，所以在上单调递增，
所以 在上单调递增.因为，所以（1）,
所以 （1） .
（2）设方程的根为，方程的根为 ，则
的值为___.
[解析] 将方程整理得， 作出
，，， 的图象，如图所
示，是指数函数的图象与直线的交点
的横坐标，是对数函数 的图象与直线
的交点的横坐标.
由于函数与 互为反函数，所以它们的图象关于直线对称，
由题意可得，， 两点也关于直线对称，所以，两点的坐标分别为，
.而点， 都在直线上，所以（点坐标代入）或
（ 点坐标代入），故 .
［素养小结］
同底数的指数函数和对数函数互为反函数，二者的图象关于直线 对称，借
助图象之间的关系及性质是解决此类问题的关键.
1.若函数的图象位于第一、二象限，则它的反函数 的图象位
于( )
D
A.第一、二象限 B.第三、四象限 C.第二、三象限 D.第一、四象限
[解析] 结合函数与其反函数的图象关于直线 对称，可得其反函数的图象位
于第一、四象限.
2.函数 的反函数的定义域为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 反函数的定义域为原函数的值域.因为,所以
,故的反函数的定义域为 .故选B.
3.[2023 河北沧州一中高一月考]已知函数，若 ，
则( )
C
A. B.
C. D.
[解析] 在同一平面直角坐标系中作出函数,与 的图象，如
图所示.
因为与互为反函数，所以其图象关于直线 对称.
，在图中作直线，则其与,, 的图
象的交点的横坐标依次为,,，可得，又函数 是增函数，
所以 ，故选C.
4.[2024·云南师大附中高一期末] 若的反函数为 ，且
，则 的值为____.
16
[解析] 因为和且互为反函数，所以 的
反函数为，又 ，所以
，所以 .
5.若函数的反函数的图象经过点，则 ___.
4
[解析] 因为函数的反函数的图象经过点，所以
的图象经过点，所以,解得 .
1.判断一个函数是否存在反函数或求反函数时，均需明确原函数的值域.
2.若函数（定义域为，值域为）存在反函数 ，则
（1）的图象与 的图象不一定有交点，若有交点，则交点不
一定在直线上，当交点唯一时，则交点一定在直线 上.
（2）若，则，， .
（3）的图象与的图象关于直线 对称.
[解析] 考虑函数与函数 的图象的公共点，易知B，D两项错误.
又和的图象除了在直线 上存在一个公共点外，还存在
,和, 两个公共点，故选C.
例 当时，方程 的实数解( )
C
A.有且只有一个 B.可能没有 C.可能有3个 D.一定有3个4.3 指数函数与对数函数的关系
【课前预习】
知识点
1.(1)x 反函数
(2)①值域 定义域 ②y=x ③增 减 ④(y,x)
2.(1)互为反函数 (2)直线y=x
诊断分析
1.(1)× (2)× (3)× [解析] (1)函数y=的反函数是y=lox(x>0).
(2)函数y=log3x的反函数的值域是原函数的定义域,故y=log3x的反函数的值域为(0,+∞).
(3)互为反函数的图象关于直线y=x对称,所以函数y=ex的图象与y=ln x的图象关于直线y=x对称,函数y=lg x的图象与y=10x的图象关于直线y=x对称.
2.解:y=ax(a>0且a≠1)的定义域为R,值域为(0,+∞),y=logax(a>0且a≠1)的定义域为(0,+∞),值域为R,即它们的定义域和值域互换.
【课中探究】
例1 解:(1)由y=2x+3得x=y-,
所以函数y=2x+3的反函数是y=x-.
(2)y=lox的底数是,它的反函数是指数函数y=.
(3)由y=-1得y+1=,故x=lo(y+1),对调其中的x和y得y=lo(x+1).因为y=-1的值域是(-1,+∞),所以它的反函数为y=lo(x+1)(x>-1).
(4)因为y=0.2x+1,所以y-1=0.2x,故x=log0.2(y-1),对调其中的x和y得y=log0.2(x-1).因为函数y=0.2x+1(x≤1)的值域是{y|y≥1.2},所以y=log0.2(x-1)的定义域为{x|x≥1.2},即函数y=0.2x+1(x≤1)的反函数是y=log0.2(x-1)(x≥1.2).
变式 (1)A (2)B [解析] (1)因为f-1(x)是函数f(x)=10x的反函数,所以f-1(x)=lg x,所以f-1(1)=lg 1=0.故选A.
(2)函数y=ex与函数y=ln x互为反函数,故它们的图象关于直线y=x对称.故选B.
例2 (1)C (2)A (3)(1,-1) [解析] (1)y=f-1(x)的定义域即为函数f(x)的值域,∵3x+1>1,∴log2(3x+1)>0,故y=f-1(x)的定义域为(0,+∞).
(2)因为f(x)是增函数,所以其反函数f-1(x)也是增函数,所以f(3)>f(2),f-1(3)>f-1(2),即b>a.故选A.
(3)因为函数y=x2-f(x)的图象过点(2,3),所以22-f(2)=3,解得f(2)=1,即y=f(x)的图象过点(2,1),所以y=f-1(x)的图象过点(1,2),y=-f-1(x)的图象过点(1,-2),所以y=-f-1(x)的图象过点(1,-1).
变式 (1)A (2)C [解析] (1)因为函数f-1(x)的图象过点(1,7),所以函数f(x)的图象过点(7,1),又函数f(x)=loga(x-k)的图象过点(4,0),所以解得即f(x)=log4(x-3).易知函数f(x)为增函数,且为非奇非偶函数.故选A.
(2)因为函数y=1,x∈{0}是偶函数,且存在反函数,所以①错误;因为函数y=和函数y=x互为反函数,且点为它们图象的交点,但不在直线y=x上,所以②错误;因为函数y=的反函数就是其本身,两函数图象的交点有无数个,所以③正确;根据反函数的定义,可知④正确.故选C.
例3 (1)B (2)D [解析] (1)∵ex-e-x≠0,∴x≠-x,∴x∈R且x≠0.令G(x)=ln|ex-e-x|(x∈R且x≠0),则G(-x)=ln|e-x-ex|=ln|ex-e-x|=G(x),∴G(x)=ln|ex-e-x|为偶函数,其图象关于y轴对称,排除A,C.令H(x)=ex-e-x(x>0),∵函数H(x)=ex-在区间(0,+∞)上单调递增,∴函数y=ln|ex-e-x|在区间(0,+∞)上单调递增,排除D.故选B.
(2)由函数y=f(x)的图象与函数g(x)=ex的图象关于直线y=x对称知,函数f(x)是函数g(x)=ex的反函数,所以f(x)=ln x,即f(4+3x-x2)=ln(4+3x-x2).要使函数有意义,则4+3x-x2>0,即x2-3x-4<0,解得-1
变式 (1)3 (2)3 [解析] (1)易知f(x)=2x+x在[0,2]上单调递增,所以f(x)min=f(0)=20+0=1,f(x)max=f(2)=22+2=6,所以f(x)=2x+x的值域为[1,6],则y=f-1(x)的定义域为[1,6].因为f(x)=2x+x在[0,2]上单调递增,所以y=f-1(x)在[1,6]上单调递增,所以y=f(x)+f-1(x)在[1,2]上单调递增.因为f(0)=1,所以f-1(1)=0,所以ymin=f(1)+f-1(1)=21+1+0=3.
(2) 将方程整理得2x=-x+3,log2x=-x+3.作出y=2x,y=log2x,y=x,y=-x+3的图象,如图所示,a是指数函数y=2x的图象与直线y=-x+3的交点A的横坐标,b是对数函数y=log2x的图象与直线y=-x+3的交点B的横坐标.由于函数y=2x与y=log2x互为反函数,所以它们的图象关于直线y=x对称,由题意可得,A,B两点也关于直线y=x对称,所以A,B两点的坐标分别为A(a,b),B(b,a).而点A,B都在直线y=-x+3上,所以b=-a+3(A点坐标代入)或a=-b+3(B点坐标代入),故a+b=3.
【课堂评价】
1.D [解析] 结合函数与其反函数的图象关于直线y=x对称,可得其反函数的图象位于第一、四象限.
2.B [解析] 反函数的定义域为原函数的值域.因为03.C [解析] 在同一平面直角坐标系中作出函数y=2x,y=x与y=log2x的图象,如图所示.因为y=2x与y=log2x互为反函数,所以其图象关于直线y=x对称.2a=log2b=c>0,在图中作直线y=c,则其与y=2x,y=x,y=log2x的图象的交点的横坐标依次为a,c,b,可得a4.16 [解析] 因为y=ax和y=logax(a>0且a≠1)互为反函数,所以f(x)=的反函数为f-1(x)=lox,又f-1(a)+f-1(b)=-4,所以loa+lob=lo(ab)=-4,所以ab=16.
5.4 [解析] 因为函数f(x)=3-log2(x+a)的反函数的图象经过点(1,0),所以f(x)的图象经过点(0,1),所以f(0)=3-log2a=1,解得a=4.4.3 指数函数与对数函数的关系
【学习目标】
1.了解反函数的概念,知道指数函数和对数函数互为反函数,弄清它们的图象间的对称关系;
2.能结合函数的图象与性质解决一些综合问题.
◆ 知识点 指数函数与对数函数的关系
1.反函数
(1)反函数的定义
一般地,如果在函数y=f(x)中,给定值域中任意一个y的值,只有唯一的 与之对应,那么x是y的函数,这个函数称为y=f(x)的 ,函数y=f(x)的反函数记作y=f-1(x).
(2)反函数的性质
①函数y=f(x)的定义域与y=f-1(x)的 相同,函数y=f(x)的值域与y=f-1(x)的 相同.
②y=f(x)与y=f-1(x)的图象关于直线 对称.
③如果y=f(x)是增函数,那么y=f-1(x)是 函数;如果y=f(x)是减函数,那么y=f-1(x)是 函数.
④若函数y=f(x)的图象上有一点(x,y),则点 在其反函数y=f-1(x)的图象上.
2.指数函数与对数函数的关系
(1)指数函数y=ax与对数函数y=logax(a>0且a≠1) .
(2)指数函数y=ax与对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图象关于 对称.
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y=的反函数是y=logx. ( )
(2)函数y=log3x的反函数的值域为R. ( )
(3)函数y=ex的图象与y=lg x的图象关于直线y=x对称. ( )
2.函数y=ax与y=logax(a>0且a≠1)的定义域和值域有什么关系
◆ 探究点一 求简单函数的反函数
例1 求下列函数的反函数.
(1)y=2x+3;(2)y=lox;(3)y=-1;(4)y=0.2x+1(x≤1).
变式 (1)已知f-1(x)是函数f(x)=10x的反函数,则f-1(1)的值为 ( )
A.0 B.1 C.10 D.100
(2)函数y=ex与函数y=ln x的图象关于 ( )
A.x轴对称 B.直线y=x对称
C.原点对称 D.y轴对称
[素养小结]
求反函数的一般步骤:
(1)先确定原函数的值域,即反函数的定义域.
(2)对调原函数解析式中的x和y,解出y.
(3)写出反函数.
注意:求反函数时,若原函数y=f(x)的定义域有限制条件,则其反函数的定义域只能是根据原函数的值域来求.
◆ 探究点二 反函数性质的应用
例2 (1)函数f(x)=log2(3x+1)的反函数y=f-1(x)的定义域为 ( )
A.(1,+∞) B.[0,+∞)
C.(0,+∞) D.[1,+∞)
(2)已知函数f(x)是增函数,它的反函数是f-1(x),若a=f(2)+f-1(2),b=f(3)+f-1(3),则a,b的大小关系是 ( )
A.aC.a>b D.无法确定
(3)[2023·辽宁沈阳实验中学高一月考] 设函数y=f(x)存在反函数y=f-1(x),且函数y=x2-f(x)的图象过点(2,3),则函数y=-f-1(x)的图象一定过点 .
变式 (1)已知函数f(x)=loga(x-k)的图象过点(4,0),且其反函数y=f-1(x)的图象过点(1,7),则f(x)是( )
A.增函数 B.减函数
C.奇函数 D.偶函数
(2)下列说法中正确的是 ( )
①偶函数一定不存在反函数;
②若函数y=f(x)和其反函数y=f-1(x)的图象存在交点,则交点必定在直线y=x上;
③函数y=f(x)和其反函数y=f-1(x)的图象的交点可能有无数个;
④在定义域上单调递增的函数必存在反函数.
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
[素养小结]
常用的互为反函数的函数间的关系及性质有:
(1)一个函数与其反函数的图象关于直线y=x对称;
(2)一个函数与它的反函数在相应区间上的单调性一致;
(3)一个函数与其反函数的定义域、值域相反,对应关系互逆等.
◆ 探究点三 指数函数与对数函数图象之间的关系
例3 (1)函数y=ln|ex-e-x|的部分图象是( )
A B C D
(2)函数y=f(x)的图象与函数g(x)=ex的图象关于直线y=x对称,则函数y=f(4+3x-x2)的单调递减区间为 ( )
A.
C.
变式 (1)已知y=f-1(x)是f(x)=2x+x,x∈[0,2]的反函数,则函数y=f(x)+f-1(x)的最小值为 .
(2)设方程2x+x-3=0的根为a,方程log2x+x-3=0的根为b,则a+b的值为 .
[素养小结]
同底数的指数函数和对数函数互为反函数,二者的图象关于直线y=x对称,借助图象之间的关系及性质是解决此类问题的关键.
1.若函数y=f(x)的图象位于第一、二象限,则它的反函数y=f-1(x)的图象位于 ( )
A.第一、二象限 B.第三、四象限
C.第二、三象限 D.第一、四象限
2.函数y=3x(0A.(0,+∞) B.(1,9]
C.(0,1) D.[9,+∞)
3.[2023·河北沧州一中高一月考] 已知函数f(x)=3x+1,若2a=log2b=c,则 ( )
A.f(a)B.f(b)C.f(a)D.f(c)4.[2024·云南师大附中高一期末] 若f(x)=的反函数为f-1(x),且f-1(a)+f-1(b)=-4,则ab的值为 .
5.若函数f(x)=3-log2(x+a)的反函数的图象经过点(1,0),则a= . 4.3 指数函数与对数函数的关系
1.A [解析] 由原函数与反函数间的关系知,反函数的值域为原函数的定义域.故选A.
2.D [解析] 由f(x)=,x∈(0,+∞),得f-1(x)=,x∈(0,+∞).故选D.
3.C [解析] 令=9,解得x=-2,∴f-1(9)=-2.
∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,∴函数y=f-1(x)也是奇函数,则f-1(-9)=-f-1(9)=2,故选C.
4.D [解析] f(x)=2lox=log2x,f(x)与g(x)=2x互为反函数,所以它们的图象关于直线y=x对称.故选D.
5.C [解析] ∵y=log2x的反函数为y=f-1(x)=2x,∴y=f-1(1-x)=21-x=2·2-x=2·,该函数为减函数,故排除选项A,B,又此函数的图象过点(0,2),∴排除选项D.故选C.
6.D [解析] 设可得a=,故y=与其反函数y=x的图象的公共点是N.经检验P,Q,M均不符合题干的要求.故选D.
7.D [解析] 在同一平面直角坐标系中作出函数y=ex,y=ln x的图象及直线y=-x+2和直线y=x,如图所示.
∵y=ex与y=ln x 互为反函数,∴y=ex与y=ln x的图象关于直线y=x对称,易知直线y=-x+2 与y=x垂直,且交点坐标为(1,1),则点(1,1)为A(x1,y1),B(x2,y2)的中点,∴x1+x2=2,故选D.
8.BC [解析] ∵f(x)=ax(a>1),∴f-1(x)=logax,又实数t满足f-1(t)<1-t∴logat<1-t1.
当t≤0时,显然不符合题意;
当01,∴logat<1-t当t=1时,logat=0,1-t=0,at=a,不符合题意;
当t>1时,logat>0,1-t<0,at>a,不符合题意.故选BC.
9.BC [解析] 因为函数f(x)=2-x的图象与函数y=g(x)的图象关于直线y=x对称,所以g(x)=lox,则h(x)=g=lo=log2(x2+2),因为h(x)的定义域为R,且h(-x)=log2[(-x)2+2]=log2(x2+2)=h(x),所以函数y=h(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,所以A错误,B正确;函数y=x2+2在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,根据复合函数的单调性可得,函数y=h(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以h(x)min=h(0)=1,所以C正确,D错误.故选BC.
10.(1,0) [解析] 易知函数g(x)=(a+1)-x(a>-1且a≠0)的图象过定点(0,1).因为函数f(x)是函数g(x)=(a+1)-x(a>-1且a≠0)的反函数,所以函数f(x)的图象过定点(1,0).
11.12 [解析] 因为函数y=f(x)的图象与y=lg x的图象关于直线y=x对称,所以函数y=f(x)与函数y=lg x互为反函数,所以f(x)=10x,所以f(lg 3)·f(lg 4)=10lg 3×10lg 4=3×4=12.
12.4 [解析] 因为f(x)=2x-2+在[0,2]上单调递增,所以f(x)的值域为,所以f-1(x)在上单调递增,因此y=f(x)+f-1(x)在上单调递增,其最大值为f(2)+f-1(2)=2+2=4.
13.解:(1)∵y=f(x)=lg(x+1),∴当x∈[1,9]时,y∈[lg 2,1],且x+1=10y,即x=10y-1,
互换x,y,得y=10x-1,
故f-1(x)=10x-1,x∈[lg 2,1].
(2)不等式0等价于1<<10且x+1>0,解得-故x的取值范围为.
14.解:(1)因为f-1(1)=2,所以f(2)=loga2=1,所以a=2.
(2)g(x)=f·f=log2·log2=(log2x-1)(log2x-2),令t=log2x,因为x∈,所以t∈[-1,3],则y=t2-3t+2=-,t∈[-1,3],
所以当t=,即x==2时,g(x)取得最小值-,
当t=-1,即x=时,g(x)取得最大值6.
15.[6,+∞) [解析] 由题得g(x)=ex,因为g[f(a)+f(b)]=f[g(a)g(b)]+3,所以eln a+ln b=ln(eaeb)+3,即eln(ab)=ln(ea+b)+3,即ab=a+b+3,且a>0,b>0,又ab=a+b+3≤,所以a+b≥6,当且仅当a=b=3时等号成立.
16.解:(1)由f(0)=0,得a=1,所以f(x)=,所以f(x)的定义域为R,关于原点对称.
又因为f(x)+f(-x)=+=+=0,
所以f(-x)=-f(x),即f(x)为奇函数.
(2)因为y=f(x)==1-,
所以2x=(-1(3)因为f-1(x)>log2,即log2>log2,
所以解得
所以当0一、选择题
1.函数y=log3x的定义域为(0,+∞),则其反函数的值域是 ( )
A.(0,+∞) B.R
C.(-∞,0) D.(0,1)
2.下列函数中,反函数是其自身的函数为( )
A.f(x)=x2,x∈[0,+∞)
B.f(x)=x3,x∈(-∞,+∞)
C.f(x)=ex,x∈(-∞,+∞)
D.f(x)=,x∈(0,+∞)
3.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=,f-1(x)是f(x)的反函数,那么f-1(-9)= ( )
A.3 B.-3
C.2 D.-2
4.函数f(x)=2log4x与函数g(x)=2x的图象( )
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.关于原点对称
D.关于直线y=x对称
5.已知y=log2x的反函数是y=f-1(x),则函数y=f-1(1-x)的图象是图中的( )
A B C D
6.在P(1,1),Q(1,2),M(2,3),N四点中,函数y=ax的图象与其反函数的图象的公共点只可能是点 ( )
A.P B.Q C.M D.N
7.[2023·河北廊坊高一期末] 已知直线y=-x+2分别与函数y=ex和y=ln x的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2的值是( )
A.1 B.e2
C.ln 2 D.2
8.(多选题)已知函数f(x)=ax(a>1),其反函数为f-1(x),实数t满足f-1(t)<1-tA.-1 B.
C. D.
9.(多选题)[2023·江苏南京高一期末] 已知函数f(x)=2-x的图象与函数y=g(x)的图象关于直线y=x对称,令h(x)=g,则下列说法正确的是 ( )
A.函数y=h(x)的图象关于原点对称
B.函数y=h(x)的图象关于y轴对称
C.函数y=h(x)的最小值为1
D.函数y=h(x)在(0,1)上单调递减
二、填空题
10.[2023·安徽合肥六中高一月考] 已知函数f(x)是函数g(x)=(a+1)-x(a>-1且a≠0)的反函数,则f(x)的图象过定点 .
11.已知函数y=f(x)的图象与y=lg x的图象关于直线y=x对称,则f(lg 3)·f(lg 4)= .
12.设f-1(x)为f(x)=2x-2+(x∈[0,2])的反函数,则y=f(x)+f-1(x)的最大值为 .
三、解答题
13.已知函数f(x)=lg(x+1).
(1)当x∈[1,9]时,求函数f(x)的反函数;
(2)若014.已知函数f(x)=logax(a>0,a≠1),f-1(1)=2.
(1)求实数a的值;
(2)若g(x)=f·f,x∈,求g(x)的最小值、最大值及对应的x的值.
15.[2024·河南开封高一期中] 已知函数f(x)=ln x,函数f(x)与函数g(x)互为反函数,若g[f(a)+f(b)]=f[g(a)g(b)]+3,则a+b的取值范围是 .
16.已知函数f(x)=(a∈R),f(0)=0.
(1)求a的值,并判断f(x)的奇偶性;
(2)求f(x)的反函数f-1(x);
(3)对任意的k∈(0,+∞),解不等式f-1(x)>log2.