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4.4 幂函数
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 课堂评价
◆ 备课素材
【学习目标】
1.掌握幂函数的概念、图象和性质;
2.熟悉,2,3,, 时的五类幂函数的图象、性质及其特点;
3.能利用幂函数的图象与性质解决综合问题.
知识点一 幂函数的概念
一般地，函数________称为幂函数，其中 为常数.
注意：幂函数的系数为1.
知识点二 幂函数的图象与性质
1.幂函数的图象
在同一平面直角坐标系中，幂函数,,,, 的图象如图
所示.
2.幂函数的性质
（1）所有的幂函数在区间________上都有定义,因此在第一象限内都有图象，
并且图象都通过点______.
（2）如果,那么幂函数的图象通过原点,并且在区间 上是______
__.当时，幂函数的图象在区间 上的增长情况是__________；
当时，幂函数的图象在区间 上的增长情况是__________.
增函数
先快后慢
先慢后快
（3）如果,那么幂函数在区间 上是________,且在第一象限内：当
从右边趋向于原点时,图象在轴右方且无限地逼近___轴；当 无限增大时,图象
在 轴上方且无限逼近___轴.
减函数
3.幂函数之间的关系
当时，若，则 ；
当时，若，则 .
【诊断分析】
1.当时，若函数的图象在函数的图象的上方，则与 的大
小关系是______________________.
或
2.幂函数的图象能经过第四象限吗？为什么？
解:幂函数的图象不能经过第四象限，因为当时，（其中 ）.
探究点一 幂函数的概念
例1（1） 已知幂函数的图象经过点，则 ( )
A
A.3 B. C.9 D.
[解析] 设 ，因为函数的图象经过点，所以 ，解得
，所以 ，所以 ，故选A.
（2）（多选题）[2024·哈尔滨高一期末]下列函数中是幂函数的是( )
BCD
A. B. C. D.
[解析] 根据幂函数的定义知B，C，D中的函数均是幂函数，A中的函数
为指数函数，故选 .
（3）已知函数，则当分别为何值时， 是：
①正比例函数；②反比例函数；③二次函数；④幂函数？
解：①若为正比例函数，则解得 .
②若为反比例函数，则解得 .
③若为二次函数，则解得 .
④若为幂函数，则，所以 .
变式（1） [2024·四川宜宾高一期末] 已知幂函数
为偶函数，则实数 的值为___.
1
[解析] 因为为幂函数，所以 ，解
得或，又为偶函数，所以 .
（2）若幂函数的图象经过点，则 _____.
[解析] 设幂函数 ，因为的图象经过点，所以 ，
解得，则
［素养小结］
判断函数是幂函数的依据：
（1）指数为常数;（2）底数为自变量;（3）系数为1.
探究点二 幂函数的图象
例2（1） 如图所示，，，为幂函数 在第一
象限内的图象，则解析式中的指数 依次可以取( )
C
A.，， B.，， C.，， D.，，
[解析] 由幂函数的图象特征可知，C选项正确.
（2）下列关于函数 与 的图象正确的是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 函数 是幂函数，而 是一次函数.
选项A中，直线对应的函数为，曲线对应的函数为；
选项B中，直线对应的函数为 ，曲线对应的函数为；
选项C中，直线对应的函数为 ，曲线对应的函数为；
选项D中，直线对应的函数为，曲线对应的函数为 .故选项C正确.
变式（1） [2024·北京海淀区高一期末]在同一直角坐标系中，函数
,, 的部分图象可能是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 函数,的单调性一定相反，且, 的图象均
不过原点，故排除A，D；
在B，C选项中，过原点的图象为幂函数 的图象，由的图象可
知，所以单调递减， 单调递增，故排除B.故选C.
（2）已知幂函数的图象关于 轴对称，如图
所示，则( )
D
A.为奇数，且 B.为奇数，且
C.为偶数，且 D.为偶数，且
[解析] 因为函数的图象关于 轴对称，所以函数
为偶函数，即为偶数，又函数的定义域为 ，且在
上单调递减，所以，即 .故选D.
［素养小结］
解决幂函数的图象问题需把握两个原则:
（1）依据图象高低判断幂指数的大小，相关结论为：在 上，指数越大，幂
函数的图象越靠近轴（简记为“指大图低”）；在 上，指数越大，幂函
数图象越远离 轴（简记为“指大图高”）.
（2）由图象确定幂指数 与0，1的大小关系，需根据幂函数在第一象限内的图
象来判断.
探究点三 幂函数的性质
例3（1） 设，，，则，， 的大小关系是( )
A
A. B. C. D.
[解析] 因为为增函数，所以.又, ,
所以,所以 .
（2）（多选题）[2023·山东青岛高一期末] 下列关于幂函数（ 为常数）
的性质说法不正确的有 ( )
AB
A.当 时，函数在其定义域上为减函数
B.当 时，函数不是幂函数
C.当 时，函数是偶函数
D.当时，函数图象与 轴有且只有一个交点
[解析] 对于A，在, 上单调递减，但在定义域上不单调，
故A中说法不正确；
对于B，根据幂函数的定义知 是幂函数，故B中说法不正确；
对于C，是偶函数，故C中说法正确；
对于D， 单调递增，当且仅当时，故函数的图象与 轴
有且只有一个交点，故D中说法正确.故选 .
变式（1） 下列函数中，在区间上是增函数且其图象关于 轴对称的是
( )
C
A. B. C. D.
[解析] 对于A，设，该函数的定义域为 ，因为
，所以函数 为偶函数，函数
在上为增函数，在 上为减函数，故A不符合题意；
对于B，设，该函数的定义域为，则函数 为非奇非
偶函数，故B不符合题意；
对于C，设 ，该函数的定义域为，因为
，所以函数 为偶函数，函数在上为减
函数，在 上为增函数，故C符合题意；
对于D，设，函数的定义域为，则函数 为非奇非
偶函数，故D不符合题意.故选C.
（2）[2023·吉林白山高一期末]已知幂函数在 上
是减函数，则 的解集为( )
A
A. B.
C. D.
[解析] 是幂函数，，解得 或
，又在上是减函数，.不等式 等价于
，解得，的解集为 .故选A.
［素养小结］
（1）幂函数 的单调性：如果，那么幂函数在 上为增函
数;如果，那么幂函数在 上为减函数.
（2）利用幂函数的单调性比较大小时要注意的问题：比较大小的两个实数必须
在同一函数的同一单调区间内.
1.在函数，，， 中幂函数的个数是( )
C
A.0 B.1 C.2 D.3
[解析] 只有和 是幂函数，故选C.
2.已知幂函数的图象过点 ，则下列说法正确的是( )
C
A.是偶函数，其单调递增区间为
B.是偶函数，其单调递减区间为
C.是偶函数，其单调递增区间为
D.是奇函数，其单调递增区间为
[解析] 设 ，则，解得，所以 ，其定义域为
.因为，所以 为偶函数，显然其单调
递增区间为，单调递减区间为 .故选C.
3.函数 的大致图象是( )
B
A. B. C. D.
[解析] ，由，得，即函数的定义域为 ，且在
定义域上单调递增，故B正确.
4.（多选题）[2023· 云南昆明十四中高一月考]下列说法正确的是( )
AB
A.若幂函数的图象过点，则
B.函数 表示幂函数
C.函数在 上单调递增
D.幂函数的图象都过点,
[解析] 设 ，则，解得，所以 ，故A正确；
是幂函数，故B正确；
因为，所以函数 在上单调递减，故C错误；
幂函数的图象不过点 ，故D错误.故选 .
5.已知函数是上的减函数，则实数 的取值范围是
_________.
[解析] 因为函数是 上的减函数，所以
解得，所以实数的取值范围是 .
性质法
利用幂函数的性质求参数,主要是利用幂函数 的单调性和奇偶性确定 的
取值,利用单调性求参数时，注意自变量在单调区间中的位置，需要进行分类讨论.
解:因为函数在 上单调递减,所以,解得 .
又 ,所以或 .
因为函数的图象关于 轴对称,
所以为偶数,故, 所以原不等式为 .
又因为函数在,上均单调递减, 所以 或
或,解得或, 即 的取值范
围为, .
例 已知幂函数的图象关于轴对称,且幂函数 在
上单调递减,求满足的 的取值范围.4.4 幂函数
【课前预习】
知识点一
y=xα
知识点二
2.(1)(0,+∞) (1,1) (2)增函数 先快后慢 先慢后快 (3)减函数 y x
诊断分析
1.m>n>0或n
2.解:幂函数的图象不能经过第四象限,因为当x>0时,xα>0(其中α∈R).
【课中探究】
例1 (1)A (2)BCD [解析] (1)设f(x)=xα,因为函数f(x)的图象经过点(4,),所以4α=,解得α=,所以f(x)= ,所以f(81)==3,故选A.
(2)根据幂函数的定义知B,C,D中的函数均是幂函数,A中的函数y=ex为指数函数,故选BCD.
(3)解:①若f(x)为正比例函数,则解得m=1.
②若f(x)为反比例函数,则解得m=-1.
③若f(x)为二次函数,则解得m=.
④若f(x)为幂函数,则m2+2m=1,所以m=-1±.
变式 (1)1 (2)-8 [解析] (1)因为f(x)=(m2-3m+3)xm+1为幂函数,所以m2-3m+3=1,解得m=2或m=1,又f(x)为偶函数,所以m=1.
(2)设幂函数f(x)=xα,因为f(x)的图象经过点(2,8),所以f(2)=2α=8,解得α=3,则f(lo4)=f(-2)=(-2)3=-8.
例2 (1)C (2)C [解析] (1)由幂函数的图象特征可知,C选项正确.
(2)函数y=xα是幂函数,而y=αx是一次函数.选项A中,直线对应的函数为y=x,曲线对应的函数为y=x-1;选项B中,直线对应的函数为y=2x,曲线对应的函数为y=;选项C中,直线对应的函数为y=2x,曲线对应的函数为y=x2;选项D中,直线对应的函数为y=-x,曲线对应的函数为y=x3.故选项C正确.
变式 (1)C (2)D [解析] (1)函数f(x)=logax,g(x)=a-x的单调性一定相反,且f(x),g(x)的图象均不过原点,故排除A,D;在B,C选项中,过原点的图象为幂函数h(x)=xa的图象,由h(x)的图象可知0(2)因为函数y=的图象关于y轴对称,所以函数y=为偶函数,即p为偶数,又函数y=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且在(0,+∞)上单调递减,所以<0,即p<0.故选D.
例3 (1)A (2)AB [解析] (1)因为y=(x>0)为增函数,所以a>c.又<=1,=>1,所以b>a,所以b>a>c.
(2)对于A,y=x-1在(-∞,0),(0,+∞)上单调递减,但在定义域上不单调,故A中说法不正确;对于B,根据幂函数的定义知y=x0是幂函数,故B中说法不正确;对于C,y=x2是偶函数,故C中说法正确;对于D,y=x3单调递增,当且仅当x=0时y=0,故函数y=x3的图象与x轴有且只有一个交点,故D中说法正确.故选AB.
变式 (1)C (2)A [解析] (1)对于A,设f1(x)==,该函数的定义域为R,因为f1(-x)===f1(x),所以函数f1(x)=为偶函数,函数f1(x)=在(0,+∞)上为增函数,在(-∞,0)上为减函数,故A不符合题意;对于B,设f2(x)==,该函数的定义域为[0,+∞),则函数f2(x)为非奇非偶函数,故B不符合题意;对于C,设f3(x)=x-2=,该函数的定义域为{x|x≠0},因为f3(-x)===f3(x),所以函数f3(x)为偶函数,函数f3(x)=x-2在(0,+∞)上为减函数,在(-∞,0)上为增函数,故C符合题意;对于D,设f4(x)==,函数f4(x)的定义域为(0,+∞),则函数f4(x)为非奇非偶函数,故D不符合题意.故选C.
(2)∵f(x)=(m2+m-1)xm是幂函数,∴m2+m-1=1,解得m=1或m=-2,又f(x)在(0,+∞)上是减函数,∴m=-2.不等式|-2x+1|<1等价于-1<-2x+1<1,解得0【课堂评价】
1.C [解析] 只有y=和y=x0是幂函数,故选C.
2.C [解析] 设f(x)=xα,则2α=,解得α=-2,所以f(x)=x-2,其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).因为f(-x)=x-2=f(x),所以f(x)为偶函数,显然其单调递增区间为(-∞,0),单调递减区间为(0,+∞).故选C.
3.B [解析] y==,由x3≥0,得x≥0,即函数的定义域为[0,+∞),且在定义域上单调递增,故B正确.
4.AB [解析] 设f(x)=xα,则=,解得α=-4,所以f(x)=x-4,故A正确;y==是幂函数,故B正确;因为-<0,所以函数y=在(0,+∞)上单调递减,故C错误;幂函数y=x-1的图象不过点(0,0),故D错误.故选AB.
5.[-7,-2) [解析] 因为函数f(x)=是R上的减函数,所以解得-7≤a<-2,所以实数a的取值范围是[-7,-2).4.4 幂函数
【学习目标】
1.掌握幂函数的概念、图象和性质;
2.熟悉α=1,2,3,,-1时的五类幂函数的图象、性质及其特点;
3.能利用幂函数的图象与性质解决综合问题.
◆ 知识点一 幂函数的概念
一般地,函数 称为幂函数,其中α为常数.
注意:幂函数的系数为1.
◆ 知识点二 幂函数的图象与性质
1.幂函数的图象
在同一平面直角坐标系中,幂函数y=x,y=,y=x2,y=,y=x3的图象如图所示.
2.幂函数的性质
(1)所有的幂函数在区间 上都有定义,因此在第一象限内都有图象,并且图象都通过点 .
(2)如果α>0,那么幂函数的图象通过原点,并且在区间[0,+∞)上是 .当0<α<1时,幂函数的图象在区间[0,+∞)上的增长情况是 ;当α>1时,幂函数的图象在区间[0,+∞)上的增长情况是 .
(3)如果α<0,那么幂函数在区间(0,+∞)上是 ,且在第一象限内:当x从右边趋向于原点时,图象在y轴右方且无限地逼近 轴;当x无限增大时,图象在x轴上方且无限逼近 轴.
3.幂函数之间的关系
当x>1时,若α1<α2,则<;
当0.
【诊断分析】 1.当x>1时,若函数y=xm的图象在函数y=xn的图象的上方,则m与n的大小关系是 .
2.幂函数的图象能经过第四象限吗 为什么
◆ 探究点一 幂函数的概念
例1 (1)已知幂函数f(x)的图象经过点(4,),则f(81)= ( )
A.3 B.3
C.9 D.9
(2)(多选题)[2024·哈尔滨高一期末] 下列函数中是幂函数的是 ( )
A.y=ex B.y=x3
C.y= D.y=
(3)已知函数f(x)=(m2+2m)·,则当m分别为何值时,f(x)是:①正比例函数;②反比例函数;③二次函数;④幂函数
变式 (1)[2024·四川宜宾高一期末] 已知幂函数f(x)=(m2-3m+3)xm+1为偶函数,则实数m的值为 .
(2)若幂函数y=f(x)的图象经过点(2,8),则f(lo4)= .
[素养小结]
判断函数是幂函数的依据:
(1)指数为常数;(2)底数为自变量;(3)系数为1.
◆ 探究点二 幂函数的图象
例2 (1)如图所示,C1,C2,C3为幂函数y=xα在第一象限内的图象,则解析式中的指数α依次可以取 ( )
A.,-2, B.-2,,
C.-2,, D.,,-2
(2)下列关于函数y=xα与y=αx的图象正确的是 ( )
A B C D
变式 (1)[2024·北京海淀区高一期末] 在同一直角坐标系中,函数f(x)=logax,g(x)=a-x,h(x)=xa的部分图象可能是 ( )
A B
C D
(2)已知幂函数y=(p∈Z)的图象关于y轴对称,如图所示,则( )
A.p为奇数,且p>0
B.p为奇数,且p<0
C.p为偶数,且p>0
D.p为偶数,且p<0
[素养小结]
解决幂函数的图象问题需把握两个原则:
(1)依据图象高低判断幂指数的大小,相关结论为:在(0,1)上,指数越大,幂函数的图象越靠近x轴(简记为“指大图低”);在(1,+∞)上,指数越大,幂函数图象越远离x轴(简记为“指大图高”).
(2)由图象确定幂指数α与0,1的大小关系,需根据幂函数在第一象限内的图象来判断.
◆ 探究点三 幂函数的性质
例3 (1)设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是 ( )
A.b>a>c B.a>b>c
C.c>a>b D.b>c>a
(2)(多选题)[2023·山东青岛高一期末] 下列关于幂函数y=xa(a为常数)的性质说法不正确的有 ( )
A.当a=-1时,函数在其定义域上为减函数
B.当a=0时,函数不是幂函数
C.当a=2时,函数是偶函数
D.当a=3时,函数图象与x轴有且只有一个交点
变式 (1)下列函数中,在区间(-∞,0)上是增函数且其图象关于y轴对称的是 ( )
A.y= B.y=
C.y=x-2 D.y=
(2)[2023·吉林白山高一期末] 已知幂函数f(x)=(m2+m-1)xm在(0,+∞)上是减函数,则|mx+1|<1的解集为 ( )
A.(0,1)
B.(-∞,0)∪(1,+∞)
C.(-2,0)
D.(0,2)
[素养小结]
(1)幂函数f(x)=xα的单调性:如果α>0,那么幂函数在(0,+∞)上为增函数;如果α<0,那么幂函数在(0,+∞)上为减函数.
(2)利用幂函数的单调性比较大小时要注意的问题:比较大小的两个实数必须在同一函数的同一单调区间内.
1.在函数y=,y=2x3,y=-1,y=x0中幂函数的个数是 ( )
A.0 B.1
C.2 D.3
2.已知幂函数f(x)的图象过点,则下列说法正确的是 ( )
A.f(x)是偶函数,其单调递增区间为(0,+∞)
B.f(x)是偶函数,其单调递减区间为[0,+∞)
C.f(x)是偶函数,其单调递增区间为(-∞,0)
D.f(x)是奇函数,其单调递增区间为(-∞,+∞)
3.函数y=的大致图象是( )
A B C D
4.(多选题)[2023·云南昆明十四中高一月考] 下列说法正确的是 ( )
A.若幂函数y=f(x)的图象过点,则f(x)=x-4
B.函数y=表示幂函数
C.函数y=在(0,+∞)上单调递增
D.幂函数的图象都过点(0,0),(1,1)
5.已知函数f(x)=是R上的减函数,则实数a的取值范围是 . 4.4 幂函数
1.D [解析] 由幂函数的定义知,幂函数满足三个条件:①系数为1;②底数为自变量;③指数为常数.故选D.
2.C [解析] 因为函数f(x)=在(0,+∞)上是增函数,03.C [解析] 对于A,y=2x在(0,+∞)上单调递增,在(0,+∞)上的取值范围为(1,+∞),故A错误;
对于B,y=-在(0,+∞)上单调递增,在(0,+∞)上的取值范围为(-∞,0),故B错误;
对于C,y=在(0,+∞)上单调递增,在(0,+∞)上的取值范围为(0,+∞),故C正确;
对于D,y=log2x在(0,+∞)上单调递增,在(0,+∞)上的取值范围为R,故D错误.故选C.
4.D [解析] 因为幂函数f(x)=(k2-2k-14)xk在(0,+∞)上单调递增,所以k2-2k-14=1且k>0,所以k=5.故选D.
5.B [解析] 结合幂函数的性质可知,在第一象限内,直线x=1的右侧部分的图象由下至上幂指数增大,所以a>1>b>0>c>d,故选B.
6.D [解析] 函数y=ax-2+3中,令x-2=0,解得x=2,此时y=1+3=4,所以定点P(2,4).设幂函数f(x)=xα,则2α=4,解得α=2,所以f(x)=x2,所以f(3)=32=9,所以log3f(3)=log39=2.
7.C [解析] 由y=(x>0)单调递增,得c=0)单调递增,b15=()15=46=(43)2=642,c15=()15=310==2432,可得b8.BCD [解析] 设幂函数f(x)=xa,函数f(x)的图象过点(2,8),即f(2)=2a=8,解得a=3,即f(x)=x3.
对于A,函数f(x)的定义域为R,且f(-x)=-x3=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,故A错误;
对于B,易知函数f(x)是增函数,故B正确;
对于C,由f(x)=x3>-8,解得x>-2,故C正确;
对于D,f===2,故D正确.故选BCD.
9.ABD [解析] 由题意知1-|x|≠0,则x≠±1,当x∈(0,1)时,1-|x|>0,xα>0,f(x)>0,
当x∈(1,+∞)时,1-|x|<0,xα>0,f(x)<0,
所以f(x)的大致图象不可能为C选项中的图象.
当α=时,f(x)的定义域为[0,1)∪(1,+∞),此时A选项符合要求.
当α=1时,f(x)的定义域为{x|x≠±1},且f(-x)===-f(x),故函数f(x)=为奇函数,此时B选项符合要求.
当α=2时,f(x)的定义域为{x|x≠±1},且f(-x)===f(x),故函数f(x)=为偶函数,此时D选项符合要求.故选ABD.
10. [解析] 设f(x)=ax(a>0且a≠1),g(x)=xα,
由题得=2,=2,解得a=4,α=-1,
所以f(x)=4x,g(x)=x-1.由=4,x2-1=4,解得x1=1,x2=,所以x1x2=.
11.(2,6) [解析] ∵幂函数f(x)=x2m+1的图象过点(3,27),∴32m+1=33,∴m=1,幂函数f(x)=x3,显然f(x)是奇函数,且在R上单调递增.若f(k2+3)+f(9-8k)<0,则 f(k2+3)12.[0,2] [解析] y==.
由-x2+4x≥0,解得0≤x≤4,
令u=-x2+4x=-(x-2)2+4,易知u=-x2+4x在[0,2]上单调递增,在[2,4]上单调递减,
又y=在定义域上单调递增,
所以函数y=的单调递增区间是[0,2].
13.解:(1)设幂函数f(x)=xα(α为常数),
由题意得f(2)=2α=,即α=-3,
故函数f(x)的解析式为f(x)=x-3.
(2)∵f(x)=x-3=,∴要使函数有意义,则x≠0,
即f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.
∵f(-x)=(-x)-3=-x-3=-f(x),∴该幂函数为奇函数.
当x>0时,根据幂函数的性质可知f(x)=x-3在(0,+∞)上为减函数,
∵函数f(x)是奇函数,∴f(x)在(-∞,0)上也为减函数,
故f(x)的单调递减区间为(-∞,0),(0,+∞),无单调递增区间.
14.解:(1)依题意得(m-1)2=1,解得m=0或m=2.
当m=2时,f(x)=x-2在(0,+∞)上单调递减,与题设矛盾,舍去.
当m=0时,f(x)=x2在(0,+∞)上单调递增,故m=0.
(2)由(1)得f(x)=x2,
当x∈[1,2)时,f(x)∈[1,4),即A=[1,4).
当x∈[1,2)时,g(x)∈[2-k,4-k),即B=[2-k,4-k).
∵p是q的必要条件,∴B A,∴∴0≤k≤1,
故实数k的取值范围是[0,1].
15.C [解析] 令(m-1)2=1,解得m=2或m=0.
当m=2时,f(x)=x-4,函数f(x)=x-4在(0,+∞)上单调递减,满足要求;
当m=0时,f(x)=x2,函数f(x)=x2在(0,+∞)上单调递增,不满足要求,
故f(x)=x-4,其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),
且f(-x)=(-x)-4=x-4=f(x),
故f(x)=x-4为偶函数.
a=0.812∈(0.5,1),b=lo1.41∈=,c=20.31>20=1,|b|∈,其中f(b)=f(|b|).由于0<|b|f(a)>f(c),即f(c)16.解:易知|x|≠0.
∵方程|x|(x-a)=1在(-2,+∞)上有三个相异实根,∴函数f(x)=x-a与g(x)=的图象在(-2,+∞)上有三个不同交点.如图,在同一直角坐标系中画出两函数的图象.由图可知,要使两函数的图象在(-2,+∞)上有三个不同的交点,则在(-2,0)上,函数y=f(x)与y=g(x)的图象有两个不同的交点,在(0,+∞)上,函数y=f(x)与y=g(x)的图象有一个交点.
∵g(x)=∴由整理得x2-ax+1=0,
∴即又易知a<0,∴-故实数a的取值范围为4.4 幂函数
一、选择题
1.下列函数是幂函数的是 ( )
A.y=xx B.y=3
C.y=+1 D.y=
2.已知f(x)=,若0A.f(a)B.fC.f(a)D.f3.下列函数中,在(0,+∞)上单调递增且在(0,+∞)上的取值范围为(0,+∞)的是 ( )
A.y=2x B.y=-
C.y= D.y=log2x
4.[2024·山东威海高一期末] 已知幂函数f(x)=(k2-2k-14)xk在(0,+∞)上单调递增,则k= ( )
A.-3 B.3 C.-5 D.5
5.若四个幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在同一坐标系中的部分图象如图所示,则a,b,c,d的大小关系正确的是 ( )
A.a>b>1 B.a>1>b
C.0>b>c D.0>d>c
6.已知函数y=ax-2+3(a>0且a≠1)的图象过定点P,点P在幂函数y=f(x)的图象上,则log3f(3)= ( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
7.[2023·西南大学附中高一月考] 已知a=,b=,c=,则 ( )
A.aC.b8.(多选题)[2024·福建漳州高一期末] 已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,8),则下列说法正确的是 ( )
A.函数f(x)是偶函数
B.函数f(x)是增函数
C.f(x)>-8的解集为(-2,+∞)
D.f=2
★9.(多选题)函数f(x)=(α∈R)的大致图象可能是( )
A B
C D
二、填空题
10.[2024·广东广州高一期末] 已知指数函数y=f(x)和幂函数y=g(x)的图象都过点P,若f(x1)=g(x2)=4,则x1x2= .
11.已知幂函数f(x)=x2m+1的图象过点(3,27),若f(k2+3)+f(9-8k)<0,则实数k的取值范围是 .
12.[2023·台州黄岩中学高一期末] 函数y=(-x2+4x的单调递增区间是 .
三、解答题
13.已知幂函数y=f(x)的图象经过点.
(1)试求函数f(x)的解析式;
(2)判断函数f(x)的奇偶性并写出函数f(x)的单调区间.
14.[2023·山东日照实验高级中学高一月考] 已知幂函数f(x)=(m-1)2在(0,+∞)上单调递增,函数g(x)=2x-k.
(1)求m的值;
(2)当x∈[1,2)时,记f(x),g(x)的值域分别为集合A,B,设p:x∈A,q:x∈B,若p是q的必要条件,求实数k的取值范围.
15.[2024·江苏常州高一期末] 已知幂函数f(x)=(m-1)2(m∈R)在(0,+∞)上单调递减,设a=0.812,b=lo1.41,c=20.31,则f(a),f(b),f(c)的大小关系为 ( )
A.f(a)B.f(c)C.f(c)D.f(b)16.已知关于x的方程|x|(x-a)=1在(-2,+∞)上有三个相异实根,求实数a的取值范围.