(共33张PPT)
4.6 函数的应用（二）
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 课堂评价
◆ 备课素材
【学习目标】
1.了解幂函数、指数函数、对数函数的广泛应用；
2.通过对数据的合理分析,能自己建立函数模型,解决实际问题.
知识点一 应用函数模型解决实际问题的步骤
用函数模型解应用题的四个步骤
（1）审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；
（2）建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用
数学知识建立相应的数学模型；
（3）求模——求解数学模型，得出数学结论；
（4）还原——将数学结论还原为实际问题的结论.
知识点二 几类常见的函数模型
名称 解析式 条件
指数函数模型 ,,为常数，且,
对数函数模型 ,,为常数，且,
幂函数模型 ,,为常数，,
探究点一 指数函数模型
例1 牛奶保鲜时间因储藏时温度的不同而不同，假定保鲜时间（单位： ）
与储藏温度（单位：）间的关系为指数型函数， 且
，且牛奶放在的冰箱中，保鲜时间是，而放在 的厨房中，
保鲜时间是 .
（1）写出保鲜时间（单位：）关于储藏温度（单位： ）的函数解析式；
解：由题意知
.
（2）利用（1）中结论，求出储藏温度为和 时的保鲜时间
（精确到 ）.
（参考数据： ）
解：当时， ；
当时， .
故储藏温度为和时的保鲜时间分别约为和 .
变式 [2024·北京房山区高一期末] 保护环境功在当代，利在千秋，良好的生
态环境既是自然财富，也是经济财富，关系社会发展的潜力和后劲.某工厂将生
产产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留量 （单位：毫
克/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为 ，其
中为常数，， 为原污染物的量.该工厂某次过滤废气时，若前9个小时
废气中的污染物恰好被过滤掉 ，则再继续过滤3个小时废气中污染物的残留
量约为原污染物的（参考数据： ）( )
A
A. B. C. D.
[解析] 因为前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉，所以 ，
即,所以 .再继续过滤3个小时，废气中污染物的残留量约为
.故选A.
［素养小结］
确定指数函数模型的关键是确定底数,从而确定指数函数关系式.
探究点二 对数函数模型
例2 2020年12月17日凌晨，经过23天的月球采样旅行，嫦娥五号返回器携带月
球样品成功着陆预定区域，我国首次对外天体无人采样返回任务取得圆满成功，
成为时隔40多年来首个完成落月采样并返回地球的国家，标志着我国探月工程
“绕、落、回”圆满收官.近年来，得益于我国先进的运载火箭技术，我国在航天
领域取得了巨大成就.据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可
以用公式计算火箭的最大速度,其中 是喷流相对速
度，是火箭（除推进剂外）的质量， 是推进剂与火箭质量的总
和，称为总质比，已知型火箭的喷流相对速度为 .
解：当总质比为200时， ,
由参考数据得 ,
故当总质比为200时，型火箭的最大速度约为 .
（1）当总质比为200时，利用给出的参考数据求 型火箭的最大速度；
（2）经过材料更新和技术改进后，型火箭的喷流相对速度提高到了原来的 倍，
总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加 ,求在材料更新和
技术改进前总质比的最小整数值.
参考数据：, .
解：由题意，经过材料更新和技术改进后， 型火箭的喷流相对速度为
,总质比变为,要使火箭的最大速度至少增加 ,则需
,化简得 ,即
,
整理得,所以,则,由参考数据，知 ,
所以 ,
故材料更新和技术改进前总质比的最小整数值为74.
变式 某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过8万元
时，按销售利润的进行奖励；当销售利润超过8万元时，若超出 万元，则
超出部分按 进行奖励，不超过8万元的部分仍按原方案奖励.记奖金
为（单位：万元），销售利润为 （单位：万元）.
（1）写出奖金关于销售利润 的函数关系式；
解:由题意，当时， ；
当时，.故奖金关于销售利润 的函数关系式为
（2）如果业务员小江获得3.2万元的奖金，那么他创造的销售利润是多少万元？
解:由题意得，解得 ，
故小江创造的销售利润是20万元.
［素养小结］
（1）解决应用题的基础是读懂题意，理顺数量关系，关键是正确建模，充分注
意数学模型中元素的实际意义.
（2）对数函数模型的一般表达式为：，， 为常数，
，， .
探究点三 建立拟合函数模型解决实际问题
例3 为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，聊城市环保部门近年来利用
水生植物（例如浮萍、蒲草、芦苇等）对国家级湿地公园——东昌湖进行进一
步净化和绿化.为了保持水生植物面积和开阔水面面积的合理比例，对水生植物
的生长进行了科学管控，并于2020年对东昌湖内某一水域浮萍的生长情况进行
了调查，测得该水域2月底浮萍覆盖面积为，4月底浮萍覆盖面积为 ，
8月底浮萍覆盖面积为.浮萍覆盖面积（单位：）与月份
年1月底记为，2021年1月底记为 的关系有两个函数模型
与 可供选择.
解：选择数据和 ，
由解得则 ，
当时， ，与实际情况相符;
由解得则 ，
当时， ，与实际情况差别比较大，故选函数
模型 .
（1）你认为选择哪个模型更符合实际？并解释理由.
（2）利用你选择的函数模型，试估算从2020年1月初起至少经过多少个月该水
域的浮萍覆盖面积能达到 .
（参考数据： ）
解：因为 ，
，而 ，
所以至少经过16个月该水域的浮萍覆盖面积能达到 .
变式 噪声是指发声体做无规则振动时发出的声音.噪声不但会对听力造成损伤，
也会对人们的生活工作有所干扰，还能诱发多种疾病.科学家经过大量的分析发
现：声音强度与声音能量 之间存在函数关系.经测定，数据如下
表：
声音能量
声音强度 30 40
声音能量
声音强度
为了描述声音强度与声音能量 之间的函数关系，现有以下两种
模型供选择：
， .
（1）选出你认为符合实际的函数模型，简单叙述理由，并写出相应的解析式.
解：选择 .
原因：对于自变量的取值，，,, ,
,当自变量增加量为常数 时，函数值增加量不是常数，
所以不选择一次函数模型，而选择 .
由已知可得
即解得
所以函数的解析式为 .
（2）对于人的耳朵，声音强度在 内的声音比较适宜室内谈话，在
内的声音比较适宜室外谈话，试问声音能量在什么范围时适合人与人交
流谈话？
解：由已知可得，当 时，适合人与人交流谈话，
所以,即 ,
即,所以 ，
所以当声音能量在 内时，适合人与人交流谈话.
［素养小结］
当一组数据所对应的拟合函数关系不确定时,可根据题设条件,将这几个拟合函数
求出来,再根据题中的其他条件,对这几个拟合函数的可靠性进行评估,选出拟合
性最好的函数.
1.[2024·江西景德镇高一期末]地震的震级直接与震源所释放的能量大小有关，
可以用关系式表达，其中为震级， 为地震能量.11月21日某
地发生了3.6级地震，此前11月19日该地发生了5.0级地震，则第一次的地震能量
大约是第二次的地震能量的（参考数据：, ）( )
D
A.110倍 B.115倍 C.120倍 D.125倍
[解析] 设第一次的地震能量为，则 ，
设第二次的地震能量为，则 ，
由得，则，因为 ，所以
.故选D.
2.我们检测视力时会发现对数视力表中有两列数据，分别是小数记录与五分记
录，其部分数据如下表：
小数记录 0.1 0.12 0.15 0.2 … ？ … 1.0 1.2 1.5 2.0
五分记录 4.0 4.1 4.2 4.3 … 4.7 … 5.0 5.1 5.2 5.3
现有如下函数模型：，，表示小数记录数据，
表示五分记录数据，请选择最合适的模型解决如下问题：
小明同学检测视力时，医生告诉他视力为 ，则小明同学视力的小数记录数据
为（附：，， ）( )
B
A.0.3 B.0.5 C.0.7 D.0.8
[解析] 由数据可知，当时，，两个函数都符合，但当 时，由
得，与表中的数据符合，而由 得
，与表中的数据不符合，所以选择模型 更合适，
此时令，则，所以 .故选B.
3.[2024·贵州毕节高一期末]中国唐代著名的天文学家张遂发明了一种内插法近
似计算原理，广泛应用于现代建设工程费用估算.近似计算公式如下：
，其中为计费额的区间， ，
为对应于,的收费基价，为该区间内的插入值，为对应于 的收
费基价.如下表所示，则 的值估计为( )
计费额 （单位：万元） 500 700 1000
收费基价 （单位：万元） 16.5 30.1
C
A.18.53 B.19.22 C.21.94 D.28.22
[解析] 结合题意可知，，, ,
, ，则
.故选C.
4.酒驾是严重的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精
含量低于 的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量大于或等于
且小于的驾驶员为酒后驾车， 及以
上为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了
，如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时 的
速度减少，那么他至少经过___个小时才能驾驶汽车.（结果取整数，参考数
据：， ）
5
[解析] 设他至少经过个小时才能驾驶汽车，则 ，即
，所以 ，
故他至少经过5个小时才能驾驶汽车.
1.函数模型的应用实例主要包括三个方面：
（1）利用给定的函数模型解决实际问题；
（2）建立确定性的函数模型解决实际问题；
（3）建立拟合函数模型解决实际问题.
例1 [2024·四川绵阳高一期末] 火箭必须达到第一宇宙速度 才可以
绕地球轨道飞行.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度 （单位：
）、燃料的质量（单位：）和火箭（除燃料外）的质量（单位： ）
满足（ 为自然对数的底数）.当火箭的最大速度可以达到
时，的值约为，结果精确到 ( )
C
A.48.5 B.51.2 C.53.8 D.58.4
[解析] 由题知，则 .故选C.
2.在引入自变量建立函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二
是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求.
例2 黎曼猜想是一个众所周知的数学难题，著名的数学家欧拉也曾研究过这个
问题，并得到小于数字的素数个数大约可以表示为 的结论.根据欧拉
得出的结论，估计10 000以内的素数个数为（ ，计算结果取整数）
( )
B
A.1079 B.1075 C.434 D.2500
[解析] .故选B.4.6 函数的应用(二)
【课中探究】
例1 解:(1)由题意知∴
∴y=192×.
(2)当x=30时,y=192×≈192×0.13≈25;
当x=11时,y=192×≈192×0.47≈90.
故储藏温度为30 ℃和11 ℃时的保鲜时间分别约为25 h和90 h.
变式 A [解析] 因为前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉80%,所以P0·e-9k=P0,即e-9k=,所以e-3k=.再继续过滤3个小时,废气中污染物的残留量约为P0·e-12k=P0×=P0×≈×0.585×P0≈12%P0.故选A.
例2 解:(1)当总质比为200时,v=1000·ln 200,
由参考数据得v≈1000×5.3=5300(m/s),
故当总质比为200时,A型火箭的最大速度约为5300 m/s.
(2)由题意,经过材料更新和技术改进后,A型火箭的喷流相对速度为1500 m/s,总质比变为,要使火箭的最大速度至少增加500 m/s,则需1500·ln-1000·ln≥500,化简得3ln-2ln≥1,即ln-ln≥1,
整理得ln≥1,所以≥e,则≥27×e,由参考数据,知2.718故材料更新和技术改进前总质比的最小整数值为74.
变式 解:(1)由题意,当0≤x≤8时,y=0.15x;
当x>8时,y=1.2+log5(2x-15).故奖金y关于销售利润x的函数关系式为y=
(2)由题意得1.2+log5(2x-15)=3.2,解得x=20,
故小江创造的销售利润是20万元.
例3 解:(1)选择数据(2,45)和(4,80),
由解得则y=35log2x+10,
当x=8时,y=35log28+10=115,与实际情况相符;
由解得则y=×,
当x=8时,y=×=>115,与实际情况差别比较大,故选函数模型y=35log2x+10.
(2)因为35log215+10≈35×3.9+10=146.5,
35log216+10=150,而146.5<148<150,
所以至少经过16个月该水域的浮萍覆盖面积能达到148 m2.
变式 解:(1)选择D=Mlg I+N.
原因:对于自变量的取值10-13,10-12,×10-12,×10-12,×10-12,×10-12,当自变量增加量为常数×10-12时,函数值增加量不是常数,
所以不选择一次函数模型,而选择D=Mlg I+N.
由已知可得
即解得
所以函数的解析式为D=10lg I+160.
(2)由已知可得,当40所以40<10lg I+160≤70,即-120<10lg I≤-90,
即-12所以当声音能量在(10-12,10-9]内时,适合人与人交流谈话.
【课堂评价】
1.D [解析] 设第一次的地震能量为E1,则lg E1=4.8+1.5×5①,
设第二次的地震能量为E2,则lg E2=4.8+1.5×3.6②,
由①-②得lg=2.1,则=102.1,因为102.09<102.1<102.2,所以123<<158.故选D.
2.B [解析] 由数据可知,当x=1时,y=5,两个函数都符合,但当x=0.1时,由y=5+lg x得y=5+lg 0.1=4,与表中的数据符合,而由y=5+lg得y=5+lg 10=5.1,与表中的数据不符合,所以选择模型y=5+lg x更合适,此时令y=4.7,则lg x=-0.3,所以x=10-0.3≈0.5.故选B.
3.C [解析] 结合题意可知,x=700∈[500,1000],x1=500,x2=1000,f(x1)=16.5,f(x2)=30.1,则m=f(700)≈16.5+×(700-500)=21.94.故选C.
4.5 [解析] 设他至少经过x个小时才能驾驶汽车,则150(1-36%)x<20,即0.64x<,所以x>log0.64==≈≈4.51,故他至少经过5个小时才能驾驶汽车.4.6 函数的应用(二)
【学习目标】
1.了解幂函数、指数函数、对数函数的广泛应用;
2.通过对数据的合理分析,能自己建立函数模型,解决实际问题.
◆ 知识点一 应用函数模型解决实际问题的步骤
用函数模型解应用题的四个步骤
(1)审题——弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择模型;
(2)建模——将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识建立相应的数学模型;
(3)求模——求解数学模型,得出数学结论;
(4)还原——将数学结论还原为实际问题的结论.
◆ 知识点二 几类常见的函数模型
名称 解析式 条件
指数函数模型 y=b·ax+c a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0
对数函数模型 y=mlogax+n m,n,a为常数,a>0且a≠1,m≠0
幂函数模型 y=axn+m a,m,n为常数,a≠0,n≠1
◆ 探究点一 指数函数模型
例1 牛奶保鲜时间因储藏时温度的不同而不同,假定保鲜时间y(单位:h)与储藏温度x(单位:℃)间的关系为指数型函数y=k·ax(k≠0,a>0且a≠1),且牛奶放在0 ℃的冰箱中,保鲜时间是192 h,而放在22 ℃的厨房中,保鲜时间是42 h.
(1)写出保鲜时间y(单位:h)关于储藏温度x(单位:℃)的函数解析式;
(2)利用(1)中结论,求出储藏温度为30 ℃和11 ℃时的保鲜时间(精确到1 h).
变式 [2024·北京房山区高一期末] 保护环境功在当代,利在千秋,良好的生态环境既是自然财富,也是经济财富,关系社会发展的潜力和后劲.某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放,已知过滤过程中的污染物的残留量P(单位:毫克/升)与过滤时间t(单位:小时)之间的函数关系为P=P0·e-kt(t≥0),其中k为常数,k>0,P0为原污染物的量.该工厂某次过滤废气时,若前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉80%,则再继续过滤3个小时废气中污染物的残留量约为原污染物的 ( )
A.12% B.10% C.9% D.6%
[素养小结]
确定指数函数模型的关键是确定底数,从而确定指数函数关系式.
◆ 探究点二 对数函数模型
例2 2020年12月17日凌晨,经过23天的月球采样旅行,嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆预定区域,我国首次对外天体无人采样返回任务取得圆满成功,成为时隔40多年来首个完成落月采样并返回地球的国家,标志着我国探月工程“绕、落、回”圆满收官.近年来,得益于我国先进的运载火箭技术,我国在航天领域取得了巨大成就.据了解,在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下,可以用公式v=v0·ln计算火箭的最大速度v(m/s),其中v0(m/s)是喷流相对速度,m(kg)是火箭(除推进剂外)的质量,M(kg)是推进剂与火箭质量的总和,称为总质比,已知A型火箭的喷流相对速度为1000 m/s.
(1)当总质比为200时,利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度;
(2)经过材料更新和技术改进后,A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的倍,总质比变为原来的,若要使火箭的最大速度至少增加500 m/s,求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值.
参考数据:ln 200≈5.3,2.718变式 某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案:当销售利润不超过8万元时,按销售利润的15%进行奖励;当销售利润超过8万元时,若超出A万元,则超出部分按log5(2A+1)进行奖励,不超过8万元的部分仍按原方案奖励.记奖金为y(单位:万元),销售利润为x(单位:万元).
(1)写出奖金y关于销售利润x的函数关系式;
(2)如果业务员小江获得3.2万元的奖金,那么他创造的销售利润是多少万元
[素养小结]
(1)解决应用题的基础是读懂题意,理顺数量关系,关键是正确建模,充分注意数学模型中元素的实际意义.
(2)对数函数模型的一般表达式为:f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,a>0,a≠1,m≠0).
◆ 探究点三 建立拟合函数模型解决实际问题
例3 为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念,聊城市环保部门近年来利用水生植物(例如浮萍、蒲草、芦苇等)对国家级湿地公园——东昌湖进行进一步净化和绿化.为了保持水生植物面积和开阔水面面积的合理比例,对水生植物的生长进行了科学管控,并于2020年对东昌湖内某一水域浮萍的生长情况进行了调查,测得该水域2月底浮萍覆盖面积为45 m2,4月底浮萍覆盖面积为80 m2,8月底浮萍覆盖面积为115 m2.浮萍覆盖面积y(单位:m2)与月份x(2020年1月底记为x=1,2021年1月底记为x=13)的关系有两个函数模型y=kax(k>0,a>1)与y=mlog2x+n(m>0)可供选择.
(1)你认为选择哪个模型更符合实际 并解释理由.
(2)利用你选择的函数模型,试估算从2020年1月初起至少经过多少个月该水域的浮萍覆盖面积能达到148 m2.
变式 噪声是指发声体做无规则振动时发出的声音.噪声不但会对听力造成损伤,也会对人们的生活工作有所干扰,还能诱发多种疾病.科学家经过大量的分析发现:声音强度D(dB)与声音能量I(W/cm2)之间存在函数关系.经测定,数据如下表:
声音能量I 10-13 10-12 ×10-12
声音强度D 30 40 42.787 5
声音能量I ×10-12 ×10-12 ×10-12
声音强度D 44.471 6 45.682 0 46.627 6
为了描述声音强度D(dB)与声音能量I(W/cm2)之间的函数关系,现有以下两种模型供选择:
D=KI+B,D=Mlg I+N.
(1)选出你认为符合实际的函数模型,简单叙述理由,并写出相应的解析式.
(2)对于人的耳朵,声音强度在(40,60]内的声音比较适宜室内谈话,在(60,70]内的声音比较适宜室外谈话,试问声音能量在什么范围时适合人与人交流谈话
[素养小结]
当一组数据所对应的拟合函数关系不确定时,可根据题设条件,将这几个拟合函数求出来,再根据题中的其他条件,对这几个拟合函数的可靠性进行评估,选出拟合性最好的函数.
1.[2024·江西景德镇高一期末] 地震的震级直接与震源所释放的能量大小有关,可以用关系式lg E=4.8+1.5M表达,其中M为震级,E为地震能量.11月21日某地发生了3.6级地震,此前11月19日该地发生了5.0级地震,则第一次的地震能量大约是第二次的地震能量的(参考数据:102.09≈123,102.2≈158)( )
A.110倍 B.115倍
C.120倍 D.125倍
2.我们检测视力时会发现对数视力表中有两列数据,分别是小数记录与五分记录,其部分数据如下表:
小数记录 0.1 0.12 0.15 0.2 … … 1.0 1.2 1.5 2.0
五分记录 4.0 4.1 4.2 4.3 … 4.7 … 5.0 5.1 5.2 5.3
现有如下函数模型:①y=5+lg x,②y=5+lg ,x表示小数记录数据,y表示五分记录数据,请选择最合适的模型解决如下问题:
小明同学检测视力时,医生告诉他视力为4.7,则小明同学视力的小数记录数据为(附:10-0.3≈0.5,5-0.22≈0.7,10-0.1≈0.8) ( )
A.0.3 B.0.5
C.0.7 D.0.8
3.[2024·贵州毕节高一期末] 中国唐代著名的天文学家张遂发明了一种内插法近似计算原理,广泛应用于现代建设工程费用估算.近似计算公式如下:f(x)≈f(x1)+(x-x1),其中[x1,x2]为计费额的区间,f(x1),f(x2)为对应于x1,x2的收费基价,x为该区间内的插入值,f(x)为对应于x的收费基价.如下表所示,则m的值估计为( )
计费额x(单位:万元) 500 700 1000
收费基价f(x)(单位:万元) 16.5 m 30.1
A.18.53 B.19.22
C.21.94 D.28.22
4.酒驾是严重的违法行为.为了保障交通安全,根据国家有关规定:血液中酒精含量低于20 mg/100 ml的驾驶员可以驾驶汽车,酒精含量大于或等于20 mg/100 ml且小于80 mg/100 ml的驾驶员为酒后驾车,80 mg/100 ml及以上为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后,其血液中的酒精含量上升到了150 mg/100 ml,如果在停止喝酒以后,他血液中酒精含量会以每小时36%的速度减少,那么他至少经过 个小时才能驾驶汽车.(结果取整数,参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477) 4.6 函数的应用(二)
1.D [解析] 设初始荒漠化土地的面积为a(a≠0),则y=a(1+9.8%)x,y是关于x的指数型函数.故选D.
2.D [解析] 当=1000时,C=Wlog21001;当=4000,信道带宽W变为原来的2倍时,C=2Wlog24001.=-1≈-1=+1=lg 2+1≈1.4.故选D.
3.B [解析] 拉面师傅拉7次面共有1×27-1=26=64(根)面条,在7次拉面过程中共对折6次,则去掉面团的总质量为6×18=108(g),剩下64根面条的总质量为300-108=192(g),则每根面条的质量为=3(g).故选B.
4.C [解析] 设经过n年之后,每年度平均每户收入增加y元,由题得y=4000·(1+10%)n>12 000,即1.1n>3,则nln 1.1>ln 3,即n>=≈11,又n∈N*,所以所求年份大约是2036年.故选C.
5.AB [解析] 因为花鲢鱼的游速v与log2(x≥100)成正比,所以设v=k·log2,又因为当x=200时,v=,所以=k·log2,解得k=,所以v=log2(x≥100),故A中说法正确;当花鲢鱼静止时,即v=0,得log2=0,解得x=100,故B中说法正确;当花鲢鱼的耗氧量为400单位时,即x=400,得v=log2=log24=1,故C中说法错误;设花鲢鱼开始的游速为v0,耗氧量的单位数为x0,提速后的游速为v1,提速后的耗氧量的单位数为x1,因为v1=v0+1=log2+1==log2,v1=log2,所以log2=log2,所以x1=4x0,即耗氧量的单位数是原来的4倍,故D中说法错误.故选AB.
6.ABC [解析] 对于A,若a=b,则f(x)=aex+be-x=aex+ae-x,其定义域为R,
因为f(-x)=ae-x+aex=f(x),所以f(x)是偶函数,故A正确.对于B,若a=-b>0,则函数y=aex和y=be-x=-ae-x均为增函数,则f(x)=aex+be-x为增函数;若a=-b<0,则函数y=aex和y=be-x=-ae-x均为减函数,则f(x)=aex+be-x为减函数,故B正确.对于C,若a=1,b=2,则y=ex+2e-x-3,令ex+2e-x-3=0,得-3ex+2=0,解得ex=1或ex=2,所以x=0或x=ln 2,所以函数y=f(x)-3的零点为0和ln 2,故C正确.对于D,当a=b=-1时,f(x)=-ex-=-,显然f(x)<0,故D错误.故选ABC.
7.36.72 [解析] 当N=40时,t=-144lg=-144lg=-144(lg 5-2lg 3)≈36.72.
8.5 [解析] ∵5秒后两桶水量相等,∴ae5n=a,则n=-ln 2.若k秒后甲桶中的水有升,则aenk=a=,即-kln 2=-2ln 2,则k=10,故m=10-5=5.
9.3.9 [解析] 设耕地平均每年至多只能减少x公顷,该地区现有人口数量为P,粮食单产为M吨/公顷.依题意得≥×(1+16%),
化简得x≤103-=103×≈103×≈103×0.003 9=3.9.
10.解:由f(x)=>8得1+tx-4<,即tx-4<,
∵t=e-0.5∈(0,1),∴x-4>logt.∵logt==-=4ln 2,∴x>4ln 2+4.
又∵ln 2≈0.693,∴x>6.772,即至少需要6.8年,该生物的身长才能超过8米.
11.解:(1)由图可知,c1(t)的图象经过(4,8),(8,12)两点,将两点坐标代入c1(t)=N0(1-2-kt),
得可得
所以c1(t)=16×.
(2)因为有治疗效果的浓度在4到15之间,所以浓度为15时为最迟停止注射时间,
令c1(t)=16×=15,解得t=16.浓度从15降到4为最长间隔时间,
令c2(t)=15×=4,得=,两边同时取以2为底的对数,则log2=log2,
即-=log24-log215=2-=2-=2-≈2-≈-1.93,所以t≈1.93×4=7.72.
所以最迟隔16个小时停止注射,为保证治疗效果,最多再隔7.72个小时开始进行第二次注射.
12.2027 [解析] 从2022年开始第n(n∈N*)年,设该行业产生的包装垃圾为y万吨.由题意可得y=400×(1+50%)n=400×.当y>4000时,有>10,两边取对数可得n(lg 3-lg 2)>1,可得n≥6,∴从2027年开始,该行业产生的包装垃圾将超过4000万吨.
13.解:(1)由题意得f(0)=1,f(1)=,
f(0)的值表示的含义是没有用洗涤溶液漂洗,残留污渍没有变化.
(2)①f(0)=t=1,f(1)==,则k=2,所以f(x)=.
②设清洗前物品上污渍残留量为1,
用m(m>0)个单位量的洗涤溶液漂洗一次后残留污渍量y1=f(m)=,
用个单位量的洗涤溶液漂洗两次后残留污渍量y2===,
y1-y2=-=.
当m>2时,y1>y2,则“用 个单位量的洗涤溶液漂洗两次”去污效果更好;
当m=2时,y1=y2,两种方案去污效果相同;
当0一、选择题
1.我国大西北某地区荒漠化土地面积每年比上一年平均增长9.8%,专家预测经过x年的增长,荒漠化土地面积为y(平方千米),则函数y=f(x)的大致图象为 ( )
A B C D
2.香农公式C=Wlog2是香农提出并严格证明的,它表示:在受高斯白噪声干扰的信道中,最大信息传递速率C(单位:bit/s)取决于信道带宽W(单位:HZ)、信道内信号的平均功率S(单位:dB)、信道内部的高斯噪声功率N(单位:dB)的大小,其中叫作信噪比.按照香农公式,若信道带宽W变为原来的2倍,而将信噪比从1000提升至4000,则C大约增加了(附:lg 2≈0.3) ( )
A.110% B.120%
C.130% D.140%
3.拉面是很多食客喜好的食物.师傅在制作拉面的时候,将面团先拉到一定长度,然后对折(对折后面条根数变为原来的2倍),再拉到上次面条的长度.每次对折后,师傅都要去掉捏在一只手里的面团.如果拉面师傅将300 g面团拉成细丝面条,每次对折后去掉捏在手里的面团都是18 g,第一次拉的长度是1 m,共拉了7次,则最后每根1 m长的细丝面条的质量是(假定所有细丝面条粗细均匀,质量相等) ( )
A. g B.3 g
C.1.5 g D.3.5 g
4.推动小流域综合治理提质增效,推进生态清洁小流域建设是助力乡村振兴和建设美丽中国的重要途径之一.某乡村落实该举措后因地制宜,发展旅游业,预计2024年平均每户将增加4000元收入,以后每年平均每户较上一年增长的收入是在前一年每户增长收入的基础上以10%的增速增长的,则该乡村每年度平均每户较上一年增加的收入开始超过12 000元的年份大约是(参考数据:ln 3≈1.10,ln 10≈2.30,ln 11≈2.40)( )
A.2034年 B.2035年
C.2036年 D.2037年
5.(多选题) 江苏省高邮市素有“鱼米之乡”之称,高邮城西有风光秀丽的高邮湖,湖内盛产花鲢鱼,记花鲢鱼在湖中的游速为v m/s,花鲢鱼在湖中的耗氧量的单位数为x,经研究发现,花鲢鱼的游速v与log2(x≥100)成正比.经测定,当花鲢鱼的耗氧量为200单位时,其游速为 m/s,则下列说法正确的是 ( )
A.v=log2 (x≥100)
B.当花鲢鱼静止时,耗氧量为100单位
C.当花鲢鱼的耗氧量为400单位时,其游速为2 m/s
D.若某条花鲢鱼的游速提高了1 m/s,则它的耗氧量的单位数是原来的2倍
6.(多选题)[2024·长沙明德中学高一期末] 空旷的田野上两根电线杆之间的电线有相似的曲线形态,这些曲线在数学上称为悬链线,悬链线在工程上有广泛的应用.在恰当的坐标系中,这类函数的表达式可以为f(x)=aex+be-x(其中a,b为非零常数),则下列结论正确的是 ( )
A.若a=b,则f(x)为偶函数
B.若a=-b,则f(x)为单调函数
C.若a=1,b=2,则函数y=f(x)-3的零点为0和ln 2
D.若ab=1,则函数f(x)的最小值为2
二、填空题
7.“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度,假设函数t=-144lg中,t表示达到某一英文打字水平所需的学习时间,N表示每分钟打出的字数,则当N=40时,t≈ .(参考数据:lg 5≈0.699,lg 3≈0.477)
8.将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中,t秒后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线y=aent,假设过5秒后甲桶和乙桶的水量相等,若再过m秒甲桶中的水只有升,则m的值为 .
9.某地现有耕地10 000公顷,规划10年后粮食单产比现在增加20%,人均粮食占有量比现在至少提高16%.如果人口年增长率为3‰(即千分之三),那么耕地平均每年至多只能减少 公顷.(附:1.00310≈1.030 4,精确到小数点后一位)
三、解答题
10.某种生物的身长f(x)(单位:米)与其生长年限x(单位:年)之间的关系为f(x)=(其中t=e-0.5,e为自然对数的底数,该生物出生时x=0),则至少需要经过多少年,该生物的身长才能超过8米 (精确到0.1,ln 2≈0.693)
11.[2023·上海南汇中学高一月考] 用打点滴的方式治疗“支原体感染”病患时,血药浓度(血药浓度是指药物吸收后,在血浆内的总浓度)随时间变化的函数符合c1(t)=N0(1-2-kt),其函数图象如图所示,其中N0为与环境相关的常数.此种药物在人体内有治疗效果的浓度在4到15之间,当达到上限浓度时,必须马上停止注射,之后血药浓度随时间变化的函数符合c2(t)=c·2-kt,其中c为停药时的人体血药浓度.
(1)求出函数c1(t)的解析式.
(2)一名病患开始注射后,最迟隔多长时间停止注射 为保证治疗效果,最多再隔多长时间开始进行第二次注射 (参考数据:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48)
12.有关数据显示,中国某行业产生的包装垃圾在2021年约为400万吨,2022年的年增长率为50%,有专家预测,如果不采取措施,未来包装垃圾还将以此增长率增长,那么从 年开始,该行业产生的包装垃圾将超过4000万吨.(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)
13.[2024·福建泉州高一期末] 某物品上的特殊污渍需用一种特定的洗涤溶液直接漂洗,f(x)表示用x个单位量的洗涤溶液漂洗一次以后残留污渍量与原污渍量之比.已知用1个单位量的洗涤溶液漂洗一次,可洗掉该物品原污渍量的.
(1)写出f(0),f(1)的值,并对f(0)的值给出一个合理的解释.
(2)已知f(x)=.
①求t,k.
②“用m(m>0)个单位量的洗涤溶液漂洗一次”与“用 个单位量的洗涤溶液漂洗两次”,哪种方案去污效果更好
