滚动习题(一)
1.D [解析] ===.故选D.
2.C [解析] 由题得A=(-1,3),B=[1,4],所以A∩B=[1,3).故选C.
3.D [解析] 由ab=1,得b=,则g(x)=bx==a-x,又f(x)=ax,所以函数f(x),g(x)的图象关于y轴对称.故选D.
4.D [解析] 当x>时,f(x)=x+-2,因为a>1,所以x+-2≥2-2,当且仅当x=,即x=>时取等号;当x≤时,f(x)=(a-1)x,因为D ,所以0
5.B [解析] 由题知0>a,故b>c>a.故选B.
6.D [解析] 由题意知函数f(x)=的定义域为[-1,2],令t=,易知t∈,则2t∈,所以f(x)max=2,分析知k≥f(x)max,所以k≥2.故选D.
7.ACD [解析] f(x)的定义域为R,关于原点对称,
f(-x)=+a=+a.
对于A,若f(x)为奇函数,则f(x)+f(-x)=1+2a=0,解得a=-,故A正确;
对于B,若f(x)为偶函数,则f(x)=f(-x),但显然+a≠+a,故B错误;
对于C,y=f(x)+f(-x)=+a++a=1+2a是常数函数,所以y=f(x)+f(-x)为偶函数,故C正确;
对于D,y=f(x)-f(-x)=+a--a==-1+,因为函数y=2x+1在R上单调递增,所以函数y=-1+在R上单调递减,故D正确.故选ACD.
8.BD [解析] 函数f(x)=|ax-1|(a>0且a≠1)的定义域为R.对于A,f(0)=|a0-1|=0,函数f(x)的图象过定点(0,0),故A错误.对于B,ax-1>-1,所以|ax-1|≥0,函数f(x)的值域为[0,+∞),故B正确.对于C,当01时,y=ax单调递增,当x∈(-∞,0]时,01时,函数f(x)的图象如图①所示,此时2a>2,显然直线y=2a与函数f(x)的图象只有一个交点,不符合题意;当09.(1,-1) [解析] 令-x+1=0,得x=1,可得f(1)=-1,故点P的坐标为(1,-1).
10. [解析] 由题得k·4x+2x+2>0在x∈(-∞,2]时恒成立,所以k>-=--在x∈(-∞,2]时恒成立.因为函数y=--在(-∞,2]时单调递增,所以函数y=--在(-∞,2]上的最大值为--=-,所以实数k的取值范围为.
11. [1,3] [解析] 令-x2+2x+3≥0,解得-1≤x≤3,
所以函数y=的定义域为[-1,3],
则-x2+2x+3=-(x-1)2+4∈[0,4],所以∈[0,2],
所以∈,即函数y=的值域为.
令t=,x∈[-1,3],
令u=-x2+2x+3,易知u=-x2+2x+3在[-1,1)上单调递增,在[1,3]上单调递减,
而函数t=在定义域内为增函数,
所以函数t=在[-1,1)上单调递增,在[1,3]上单调递减,
因为函数y=是R上的减函数,所以函数y=的单调递增区间为[1,3].
12.解:(1)原式=π-3+(0.2)-1-0.5×4=π-3+5-2=π.
(2)因为a-a-1=1,所以(a-a-1)2=a2-2+a-2=1,所以a2+a-2=3,
所以(a+a-1)2=a2+2+a-2=5,又a>0,所以a+a-1=,
则====.
13.解:(1)∵f(x)为R上的奇函数,∴f(0)=0,∴b=1,
∴f(x)=,此时f(-x)===-f(x),∴b=1.
(2)f(x)是R上的减函数.证明如下:
任取x1,x2∈R,且x1则f(x1)-f(x2)=-=,
∵x10,
又(+1)·(+1)>0,∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
故f(x)是R上的减函数.
(3)∵对于任意x∈R,不等式f(x2-2x)+f(2x2-k)<0恒成立,∴f(x2-2x)<-f(2x2-k)在R上恒成立,
又f(x)为奇函数,∴f(x2-2x)∵f(x)为减函数,∴x2-2x>k-2x2在R上恒成立,
即k<3x2-2x在R上恒成立,而3x2-2x=3-≥-,∴k<-,
∴实数k的取值范围为.
14.解:(1)由题知f(x)=t·2x+,
则=t·2x+,即t=(2-2x-2-x+1)在x∈(0,+∞)时有解,
令n=2-x∈(0,1),则t=+∈,
所以实数t的取值范围是.
(2)因为f(2x)+2bg(x)≥0对任意的x∈[1,2]恒成立,所以+b(2x-2-x)≥0对任意的x∈[1,2]恒成立.令2x-2-x=m,因为x∈[1,2],所以m=2x-2-x为增函数,
所以m∈,则22x+2-2x=m2+2,
所以+bm≥0对任意的m∈恒成立,即 b≥-对任意的m∈恒成立.
因为φ(m)=-=-在上单调递减,
所以φ(m)的最大值为φ=-=-,
所以b≥-,即实数b的取值范围为.(时间:45分钟 分值:100分)
一、单项选择题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
1.已知a>0,则= ( )
A. B.
C. D.
2.设集合A={x||x-1|<2},B={y|y=2x,x∈[0,2]},则A∩B= ( )
A.[0,2] B.(1,3)
C.[1,3) D.(1,4)
3.已知ab=1(a>0,b>0且a≠b),f(x)=ax,g(x)=bx,则关于函数f(x),g(x)的说法正确的是( )
A.函数f(x),g(x)都单调递增
B.函数f(x),g(x)都单调递减
C.函数f(x),g(x)的图象关于x轴对称
D.函数f(x),g(x)的图象关于y轴对称
4.[2023·石家庄一中高一期末] 已知函数f(x)=(a>1)的值域为D,D ,则a的取值范围是 ( )
A.(1,2) B.(2,3)
C. D.
5.若a=π-2,b=aa,c=,则a,b,c的大小关系为 ( )
A.c>b>a B.b>c>a
C.b>a>c D.a>b>c
6.对于给定的正数k,定义函数fk(x)=若对于函数f(x)=的定义域内的任意实数x,恒有fk(x)=f(x),则 ( )
A.k的最大值为1
B.k的最小值为1
C.k的最大值为2
D.k的最小值为2
二、多项选择题:本大题共2小题,每小题6分,共12分.
7.已知函数f(x)=+a(a∈R),则下列说法正确的是( )
A.f(x)可能是奇函数
B.f(x)可能是偶函数
C.y=f(x)+f(-x)是偶函数
D.y=f(x)-f(-x)是减函数
8.[2023·新疆乌鲁木齐高一期末] 已知函数f(x)=|ax-1|(a>0且a≠1),则下列结论正确的是 ( )
A.函数f(x)的图象过定点(0,1)
B.函数f(x)的值域为[0,+∞)
C.函数f(x)在区间(-∞,0]上单调递增
D.若直线y=2a与函数f(x)的图象有两个不同的交点,则实数a的取值范围是
三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.
9.已知函数f(x)=a-x+1-2(a>0且a≠1)恒过定点P,则点P的坐标为 .
10.已知函数f(x)=k·4x+2x+2在(-∞,2]上的图象总在x轴的上方,则实数k的取值范围为 .
11.[2023·重庆沙坪坝七中高一月考] 函数y=的值域为 ,单调递增区间为 .
四、解答题:本大题共3小题,共43分.
12.(13分)(1)计算+(0.008-(0.25×-4的值.
(2)已知实数a满足a>0,且a-a-1=1,求的值.
13.(15分)已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数.
(1)求b的值;
(2)判断f(x)在定义域R上的单调性并证明;
(3)若对于任意x∈R,不等式f(x2-2x)+f(2x2-k)<0恒成立,求实数k的取值范围.
14.(15分)[2023·安徽合肥高一期末] 已知函数f(x)=,g(x)=.
(1)若存在x∈(0,+∞),使得f(x)=t·2x+成立,求实数t的取值范围;
(2)若不等式f(2x)+2bg(x)≥0对任意的x∈[1,2]恒成立,求实数b的取值范围.