滚动习题(二)
1.A [解析] 由102x=25,得(10x)2=25,即10x=5,则10-x==.
2.C [解析] 要使函数有意义,则x+1>0且-x2-3x+4>0,即x>-1且-4
3.C [解析] 在同一坐标系中,作出函数y=3-x与函数y=-3x的图象,如图所示.
由图可知,函数y=3-x与函数y=-3x的图象关于原点对称.故选C.
4.A [解析] b=log34=log3>c==log3,=log32×log34<=<1,即log345.D [解析] 因为函数f(x)=在R上是减函数,所以解得a≥,
所以实数a的取值范围是[,+∞).故选D.
6.D [解析] 作出函数y=f(x)的图象,如图所示.因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x),不等式可化为≥0,则所以或由图知1≤x<2或07.AD [解析] 对于A,函数f(x)的定义域为{x|x≠0},因为f(-x)=ln(-x)2-2ln[(-x)2+1]=ln x2-2ln(x2+1)=f(x),所以函数f(x)为偶函数,故A正确;对于B,不妨设x>0,此时f(x)=2ln x-2ln(x2+1)=2ln,由=≤=(当且仅当x=1时取等号),得0<≤,所以f(x)≤2ln=-2ln 2,又f(x)为偶函数,所以函数f(x)的值域为(-∞,-2ln 2],故B错误;对于C,由f=ln-2ln=ln,f=ln-2ln=2ln≠f,所以函数f(x)的图象不关于直线x=1对称,故C错误;对于D,当x>0时,f(x)=2ln x-2ln(x2+1)=2ln=2ln,由函数y=x+(x>0)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1),得当x>0时,函数f(x)的单调递减区间为(1,+∞),单调递增区间为(0,1),又偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反,所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(0,1),故D正确.故选AD.
8.AC [解析] 设k=4a=6b=9c>1,则a=log4k,b=log6k,c=log9k.
对于A,假设4a-b=9b-c成立,则=,即4a·9c=4b·9b,所以k2=36b,而36b=6b·6b=k2,故假设成立,故A正确.
对于B,假设a+c=2b成立,则+=+=+=log46+log96=2,又log46+log96=(log64+log69)×=>2,log49=1显然不成立,所以log49+≠2,即log46+log96≠2,故假设不成立,故B错误.
对于C,假设ac>b2成立,则=·=log46·log96>1,即log46>log69,因为log46=log4=1+log4,log69=log6=1+log6,所以log46>log69,故假设成立,故C正确.
对于D,因为-=-=2logk6-logk4=logk9=,所以+=,故D错误.故选AC.
9.- [解析] ln-2024ln 1+-=ln -20240+-4=-1+-4=-.
10.x(答案不唯一) [解析] 对于条件①,不妨设00,∵<0,
∴f(x2)-f(x1)<0,∴f(x1)>f(x2),∴f(x)在(0,+∞)上单调递减.对于条件②,刚好符合对数的运算法则.
故f(x)的解析式可以为f(x)=x.
11.4 [解析] 易知函数g(x)=e-|x-1|(-10.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=f(2-x),
则函数f(x)的图象关于直线x=0和x=1对称,又当x∈[0,1]时,f(x)=2x,
所以可在同一坐标系中作出f(x)与g(x)的图象,如图所示.
由图象可得,f(x)与g(x)的图象有4个交点,
又f(x)与g(x)的图象均关于直线x=1对称,
所以两函数图象所有交点的横坐标之和为4.
12.解:(1)由f(x)<得<,整理得3×4x-3<4x+1,即4x=22x<2=21,
∴2x<1,解得x<,∴原不等式的解集为xx<.
(2)f(x)==1+,∵4x>0,∴4x+1>1,
∴-2<<0,∴-1<1+<1,则函数f(x)的值域为(-1,1).
13.解:(1)∵f(x)=loga(x+1),g(x)=loga(4-2x)(a>0且a≠1),
∴y=f(x)-g(x)=loga(x+1)-loga(4-2x).
由解得-1(2)函数y=f(x)-g(x)的值为正数,即f(x)>g(x),可得loga(x+1)>loga(4-2x).
当a>1时,可得x+1>4-2x,解得x>1,
又∵函数y=f(x)-g(x)的定义域为(-1,2),∴x的取值范围为(1,2).
当0又∵函数y=f(x)-g(x)的定义域为(-1,2),∴x的取值范围为(-1,1).
综上所述,当a>1时,x的取值范围是(1,2);
当014.解:(1)当a=1时,f(x)=log2(x+1),由f(x)<-1,得log2(x+1)<-1=log2,则0(2)g(x)=f(4x)=log2(4x+a)(a>0).
因为对任意的x∈(0,2),函数f(x)的图象总在函数g(x)的图象的下方,
所以f(x)即2log2(x+a)即(x+a)2<4x+a,即x2+(2a-4)x+a2-a<0在(0,2)上恒成立.
设h(x)=x2+(2a-4)x+a2-a,则即
即得得0≤a≤1,
又a>0,所以0一、单项选择题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
1.若1=25,则10-x等于 ( )
A. B.-
C. D.-
2.函数y=的定义域为 ( )
A.(-4,-1) B.(-4,1)
C.(-1,1) D.(-1,1]
3.函数y=3-x与函数y=-3x的图象 ( )
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.关于原点对称
D.关于直线y=x对称
4.[2023·天津南开中学高一月考] 已知a=log23,b=log34,c=,则a,b,c的大小关系为( )
A.cC.b5.已知函数f(x)=若函数f(x)在R上是减函数,则实数a的取值范围是 ( )
A.(,+∞) B.(0,+∞)
C.[,3) D.[,+∞)
6.[2024·陕西安康高一期末] 已知函数f(x)是偶函数,当x>0时,f(x)=|log2x|-1,则不等式≥0的解集是 ( )
A.∪
B.(-2,-1]∪[1,2)
C.∪
D.(-∞,-2)∪∪∪[1,2)
二、多项选择题:本大题共2小题,每小题6分,共12分.
7.已知函数f(x)=ln x2-2ln(x2+1),则下列说法正确的是( )
A.函数f(x)为偶函数
B.函数f(x)的值域为(-∞,-1]
C.当x>0时,函数f(x)的图象关于直线x=1对称
D.函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(0,1)
8.若实数a,b,c满足4a=6b=9c>1,则 ( )
A.4a-b=9b-c
B.a+c=2b
C.ac>b2
D.+>
三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.
9.[2023·天津河北区高一期末] 计算:ln-2024ln 1+-= .
10.若函数f(x)满足:①对任意x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2,都有<0;②f=f(x1)-f(x2).则f(x)= .(写出满足这些条件的一个函数的解析式即可)
11.[2024·宁夏银川高一期末] 已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=f(2-x),当x∈[0,1]时,f(x)=2x.若函数g(x)=e-|x-1|(-1四、解答题:本大题共3小题,共43分.
12.(13分)已知函数f(x)=.
(1)解不等式f(x)<;
(2)求函数f(x)的值域.
13.(15分)已知函数f(x)=loga(x+1),函数g(x)=loga(4-2x)(a>0且a≠1).
(1)求函数y=f(x)-g(x)的定义域;
(2)求使函数y=f(x)-g(x)的值为正数的x的取值范围.
14.(15分)[2023·上海杨浦复旦附中高一期末] 已知函数f(x)=log2(x+a)(a>0),设g(x)=f(4x).
(1)当a=1时,解关于x的不等式f(x)<-1;
(2)若对任意的x∈(0,2),函数f(x)的图象总在函数g(x)的图象的下方,求正数a的取值范围.