滚动习题(三)
1.B [解析] 由题知g(x)是f(x)=log3x的反函数,所以g(x)=3x,所以g(-1)=3-1=.故选B.
2.B [解析] ∵lg a+lg b=0,∴ab=1,即b=,∴g(x)=-lox=logax,∴f(x)与g(x)互为反函数,图象关于直线y=x对称.故选B.
3.C [解析] ∵幂函数y=(m∈Z)的图象与x轴和y轴没有交点,且关于y轴对称,∴m2-2m-3≤0,且m2-2m-3(m∈Z)为偶数.由m2-2m-3≤0,得-1≤m≤3,又m∈Z,∴m=-1,0,1,2,3.当m=-1时,m2-2m-3=1+2-3=0,为偶数,符合题意;当m=0时,m2-2m-3=-3,为奇数,不符合题意;当m=1时,m2-2m-3=1-2-3=-4,为偶数,符合题意;当m=2时,m2-2m-3=4-4-3=-3,为奇数,不符合题意;当m=3时,m2-2m-3=9-6-3=0,为偶数,符合题意.综上所述,m=-1,1,3.故选C.
4.B [解析] 由题得T-24=(88-24)×=64×,将T=40,t=20代入得40-24=64×,解得h=10,所以T-24=(88-24)×,当T=32时,t=30.故选B.
5.D [解析] 因为y=0.3x以及y=0.5x是R上的减函数,所以0.30.3>0.30.5,0.50.3>0.50.5,即a>b,c>d,又因为a=0.30.3=0.0270.1,d=0.50.5=0.031 250.1,而y=x0.1是(0,+∞)上的增函数,所以0.031 250.1>0.0270.1,即d>a.故c>d>a>b.故选D.
6.C [解析] ∵a满足a+lg a=4,b满足b+10b=4,∴a,b分别为函数y=4-x的图象与函数y=lg x,y=10x的图象交点的横坐标.由于y=x与y=4-x的图象交点的横坐标为2,函数y=lg x与y=10x的图象关于直线y=x对称,∴a+b=4,∴函数f(x)=当x≤0时,关于x的方程f(x)=x,即x2+4x+2=x,即x2+3x+2=0,
∴x=-2或x=-1,满足题意;当x>0时,关于x的方程f(x)=x,即x=2,满足题意.∴关于x的方程f(x)=x的解的个数是3.故选C.
7.CD [解析] 分别作出四个选项中函数的图象,如图所示.
根据f<可知,“定义域上的凹函数”是函数图象上任意两点连线的中点都在图象的上方.故选CD.
8.AD [解析] ∵f(x)=∴f(1)=e1-1=1,又f(1)+f(a)=2,∴f(a)=1.当a≥0时,由f(a)=1,可得a=1;当a<0时,由f(a)=1,可得a=-10.故选AD.
9. [解析] 设f(x)=xα,∵f(x)的图象过点(4,2),∴f(4)=4α=2,则α=,故f(x)=,则y==,∴1-2x>0,即x<,故y=的定义域为.
10.e6-1 [解析] 当v=12 000时,2000·ln=12 000,∴ln=6,∴=e6-1.
11.(0,2025) [解析] ∵g(x)的图象过定点(1,2024),∴y=f(x+1)的图象过定点(2024,1).又f(x)的图象可以看作由y=f(x+1)的图象向右平移一个单位得到,∴f(x)的图象过定点(2025,1).∵f(x)与f-1(x)互为反函数,∴y=f-1(x)的图象过定点(1,2025).再结合y=f-1(x)与y=f-1(x+1)图象的关系可知,y=f-1(x+1)的图象过定点(0,2025).
12.证明:函数f(x)在区间[m,n]上的平均变化率为==m+n,
变形得f(n)-f(m)=n2-m2,即f(n)-n2=f(m)-m2,
令f(n)-n2=f(m)-m2=c,c为常数,
所以有f(x)=x2+c,所以函数f(x)是一个二次函数.
13.解:(1)因为f(x)=k·2x-2-x是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,所以k-1=0,解得k=1,所以f(x)=2x-2-x,此时f(-x)=2-x-2x=-f(x),所以f(x)为奇函数,故k=1.
(2)因为f(x)>a·2x-1有解,所以a<-++1有解,所以只需a<.因为-++1=-+≤(当且仅当x=1时等号成立),所以a<.
(3)g(x)=4x+4-x-4f(x)=4x+4-x-4(2x-2-x).令t=2x-2-x,可得函数t=2x-2-x在[1,+∞)上单调递增,所以t≥.因为t2=4x+4-x-2,所以g(x)=h(t)=t2-4t+2,t≥,易知h(t)在上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以当t=2时,h(t)取得最小值-2,此时2=2x-2-x,可得x=log2(1+).故g(x)在[1,+∞)上的最小值为-2,此时x=log2(1+).
14.解:(1)设奖励函数模型为y=f(x),则企业对函数模型的基本要求是:
当x∈[10,1000]时,函数f(x)为增函数,且f(x)≤x恒成立.
(2)对于①,因为f(x)=x+1>x,所以该模型不符合企业奖励方案.
对于②,由f(10)=20lg 10-10=10>×10,
故当x=10时,f(x)≤x不恒成立,故该模型不符合企业奖励方案.
对于③,函数f(x)的图象的对称轴为直线x=-=5<10,故函数f(x)在区间[10,1000]上单调递增,令g(x)=f(x)-x=(x2-10x+10 000)-x=(x2-1010x+10 000)=(x-10)(x-1000),
当10≤x≤1000时,x-10≥0,x-1000≤0,
故(x-10)(x-1000)≤0,故当x∈[10,1000]时,f(x)≤x恒成立.
综上,函数模型③f(x)=(x2-10x+10 000)符合企业奖励方案.(时间:45分钟 分值:100分)
一、单项选择题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
1.已知函数f(x)=log3x与g(x)的图象关于直线y=x对称,则g(-1)=( )
A.3 B. C.1 D.-1
2.已知a,b均为不等于1的正数,且满足lg a+lg b=0,则函数f(x)=ax与函数g(x)=-logbx的图象可能是 ( )
A B C D
3.已知幂函数y= (m∈Z)的图象与x轴和y轴没有交点,且关于y轴对称,则m=( )
A.1 B.0,2
C.-1,1,3 D.0,1,2
4.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述:设物体的初始温度是T0,经过一段时间t后的温度是T,则T-Tα=(T0-Tα),其中Tα表示环境温度,h称为半衰期.现有一杯88 ℃的咖啡,放在24 ℃的房间中,如果咖啡降温到40 ℃需要20 min,那么降温到32 ℃需要的时长为 ( )
A.25 min B.30 min
C.35 min D.40 min
5.设a=0.30.3,b=0.30.5,c=0.50.3,d=0.50.5,则a,b,c,d的大小关系为 ( )
A.b>d>a>c B.b>a>d>c
C.c>a>d>b D.c>d>a>b
6.若a满足a+lg a=4,b满足b+10b=4,函数f(x)=则关于x的方程f(x)=x的解的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、多项选择题:本大题共2小题,每小题6分,共12分.
7.[2024·昆明高一期末] 已知函数f(x)的定义域为A,若对任意的x1,x2∈A且x1≠x2,都有f<,则称函数f(x)为“定义域上的凹函数”.以下函数是“定义域上的凹函数”的有 ( )
A.f(x)=2x+1
B.f(x)=x3
C.f(x)=x2+1
D.f(x)=-lg x
8.已知函数f(x)=若f(1)+f(a)=2,则a的值可能为 ( )
A.1 B.-1
C.10 D.-10
三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.
9.已知幂函数f(x)的图象过点(4,2),则y=的定义域为 .
10.在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度v(单位:米/秒)和燃料的质量M(单位:千克)、火箭(除燃料外)的质量m(单位:千克)的函数关系式是v=2000·ln.当燃料质量是火箭质量的 倍时,火箭的最大速度可达12 000米/秒.
11.已知函数y=f(x+1)与函数y=g(x)的图象关于直线y=x对称,且g(x)的图象过定点(1,2024),则y=f-1(x+1)的图象过定点 .
四、解答题:本大题共3小题,共43分.
12.(13分)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)在任意区间[m,n](n>m)上的平均变化率均为m+n.求证:f(x)是一个二次函数.
13.(15分)已知函数f(x)=k·2x-2-x是定义在R上的奇函数.
(1)求k的值;
(2)若关于x的不等式f(x)>a·2x-1有解,求实数a的取值范围;
(3)设g(x)=4x+4-x-4f(x),求g(x)在[1,+∞)上的最小值,并指出g(x)取得最小值时x的值.
14.(15分)某企业为了降低生产部门在产品生产过程中造成的损耗,特成立减少损耗技术攻关小组,企业预期每年能减少损耗10万元~1000万元.为了激励攻关小组,现准备制定一个奖励方案:奖金y(单位:万元)随减少损耗费用x(单位:万元)的增加而增加,同时奖金不超过减少损耗费用的50%.
(1)试用数学语言表述企业对奖励函数模型的基本要求;
(2)现有三个奖励函数模型:①f(x)=x+1;
②f(x)=20lg x-10;③f(x)=(x2-10x+10 000).试分析这三个函数模型是否符合企业要求.
