单元素养测评卷(一)
1.B [解析] 因为log3(log2x)=0,所以log2x=1,所以x=2.故选B.
2.B [解析] 因为f(2)=log33=1,所以f[f(2)]=f(1)=20=1.
3.D [解析] 对于A,y=2x不是幂函数,故A错误;对于B,y=-x3不是幂函数,故B错误;对于C,y=2x是指数函数,故C错误;对于D,y=是幂函数且在(0,+∞)上是减函数,故D正确.故选D.
4.D [解析] A={x|ln(x-2)>0}={x|x-2>1}=(3,+∞),B={x|2x2-9x-5<0}={x|(x-5)(2x+1)<0}=,所以A∩B=(3,5).故选D.
5.B [解析] 当a>1时,函数y=logax是增函数,排除C,D;当a>1时,函数y=(1-a)x是减函数,排除A.故选B.
6.B [解析] 由题意可得t1=250,t2=50,r1=60,r2=60+75=135,Φ=150,则150=,得2πλ=ln=ln.当管道壁的厚度为120 mm时,r2=60+120=180,则Φ==ln×===300(1-log32)≈300×(1-0.63)=111.故选B.
7.B [解析] 令f(x)=(x2-4x+m)=0,得m=-x2+4x或m=-1.作出g(x)=-x2+4x,h(x)=-1的大致图象,如图所示,这两个函数的图象的交点坐标为(0,0),(3,3),因为g(x)max=4,h(x)>-1,所以由图可知m的取值范围是(-1,0)∪(0,3)∪(3,4),又m为整数,所以m=1或m=2.故选B.
8.D [解析] 方程x·3x=4可变形为3x=,方程x·log3x=4可变形为log3x=,所以x1是函数y=3x的图象与函数y=的图象的交点的横坐标,x2是函数y=log3x的图象与函数y=的图象的交点的横坐标.
因为y=3x与y=log3x互为反函数,所以这两个函数的图象关于直线y=x对称,在函数y=的图象上任取一点(a,b),该点关于直线y=x的对称点的坐标为(b,a),由b=,可得a=,则点(b,a)也在函数y=的图象上,故函数y=的图象关于直线y=x对称,所以点与点关于直线y=x对称,所以x1=,所以x1x2=4.故选D.
9.AC [解析] 对于A选项,根据logab·logba=1可知,A选项符合题意;对于B选项,原式=log6(2×4)=log68≠1,B选项不符合题意;对于C选项,原式=[(2+)×(2-)==1,C选项符合题意;对于D选项,因为[(2+-(2-]2=2++2--2(2+×(2-=4-2=2,所以(2+-(2-≠1,D选项不符合题意.故选AC.
10.BC [解析] 对于A,y=cx为减函数,所以ca
b>1,所以logca,即logac>logbc,故B正确;对于C,y=lox在定义域上单调递减,且当x>1时,lox<0,y=在定义域上单调递增,且当x>1时,>1,所以loa<,故C正确;对于D,y=在(0,+∞)上单调递增,所以>,故D错误.故选BC.
11.ABD [解析] 作出函数f(x)=|2x-1|的图象,如图所示.
当m=n时,由f(a)=f(b)=m(a0, 则1-2a=2b-1,即2a+2b=2,所以2=2a+2b>2=2,即2a+b<1,所以a+b<0,故A,B正确;当m>n时,f(a)>f(b),又a12.4 [解析] 易知f(-1)=f(1)=2+2=4.
13. [解析] 由-x2+6x-5>0,解得114.(-∞,] [解析] 当a=0时,f(a)=0,f[f(a)]=f(0)=0≤2,符合题意.当a>0时,f(a)=-a2<0,则f[f(a)]=f(-a2)=a4-a2≤2,解得-≤a≤,则015.解:(1)原式=3+-4=-.
(2)原式=0.5×+lg 5+lg 2-2log23×log32=+1-2=-.
16.解:(1)依题意,一年后这种珍稀鸟类的只数为1000+1000×8%=1080,
两年后这种珍稀鸟类的只数为1080+1080×8%≈1166.
(2)所求的函数关系式为y=1000×1.08x,x∈N.
(3)令1000×1.08x≥3×1000,得1.08x≥3,两边取常用对数,得lg 1.08x≥lg 3,即xlg 1.08≥lg 3,即x≥,即x≥=,因为lg 108=lg(33×22)=3lg 3+2lg 2,所以x≥≈≈14.3.
故至少经过15年以后,这种鸟类的只数达到现有只数的3倍及以上.
17.解:(1)因为f(x)的图象经过第一、二、三象限,所以-1因为y=2x在R上单调递增,y=x在R上单调递增,所以y=2x+x在R上单调递增,因为-1(2)因为a=0,所以f(x)=2x,
则|mf(x)-3|≤f(x)-1对任意的x∈[2,+∞)恒成立等价于|m·2x-3|≤2x-1对任意的x∈[2,+∞)恒成立.
由|m·2x-3|≤2x-1,得-(2x-1)≤m·2x-3≤2x-1,
则即
因为x≥2,所以2x≥4,m≤,m≥,
因为1+>1,-1≤0,所以0≤m≤1.
故存在满足条件的实数m,且m∈[0,1].
18.解:(1)∵f(x)=是奇函数,∴f(0)=1+a=0,解得a=-1.
∵g(x)=log2(2x+1)-bx是偶函数,∴g(1)=g(-1),
即log23-b=log2+b,解得b=,故a-b=-1-=-.
(2)由(1)知f(x)=ex-e-x,易知f(x)在R上单调递增.
由f(x)是奇函数可知,不等式f(t2-2t-1)+f(2t2-k)<0等价于f(t2-2t-1)<-f(2t2-k)=f(k-2t2),∴t2-2t-1即k>3t2-2t-1 对任意的t∈[-1,2]恒成立.
令h(t)=3t2-2t-1,t∈[-1,2],则k>h(t)max.
易知h(t)=3t2-2t-1在上单调递减,在上单调递增,
又h(-1)=4,h(2)=7,∴h(t)max=h(2)=7,∴k>7,
∴实数k的取值范围是(7,+∞).
19.解:(1)由题意可得4-ax>0,即ax<4,
因为a>0,所以x<,故f(x)的定义域为.
(2)假设存在实数a,使函数f(x)在区间上单调递减且最大值为1.
设函数g(x)=4-ax,由a>0,得-a<0,
所以g(x)在区间上单调递减且g(x)>0恒成立,
因为f(x)在区间上单调递减,所以a>1且4-a>0,解得1因为f(x)在区间上的最大值为1,所以f(1)=loga(4-a)=1,解得a=2,因为2∈,
所以存在实数a=2,使函数f(x)在区间上单调递减且最大值为1.单元素养测评卷(一)
第四章
时间:120分钟 分值:150分
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知log3(log2x)=0,那么x= ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
2.设函数f(x)=则f[f(2)]= ( )
A.0 B.1
C.2 D.3
3.下列函数中,既是幂函数又在(0,+∞)上是减函数的是( )
A.y=2x B.y=-x3
C.y=2x D.y=
4.已知集合A={x|ln(x-2)>0},B={x|2x2-9x-5<0},则A∩B= ( )
A.(2,5) B.[2,5)
C.[3,5) D.(3,5)
5.当a>1时,函数y=logax和y=(1-a)x的图象只可能是 ( )
A B C D
6.[2024·湖南衡阳高一期末] 某种用保温材料制成的管道在单位长度上的热损失Φ(单位:W/m)满足Φ=,其中r1,r2分别为管道的内外半径(单位:mm),t1,t2分别为管道内外表面的温度(单位:℃),λ为保温材料的导热系数(单位:W/(m·℃)).某工厂准备用这种管道传输250 ℃的高温蒸汽,根据安全操作规定,管道外表面温度应控制为50 ℃,已知管道内半径为60 mm,当管道壁的厚度为75 mm时,Φ=150 W/m,则当管道壁的厚度为120 mm时,Φ约为(参考数据:log32≈0.63)( )
A.98 W/m B.111 W/m
C.118 W/m D.126 W/m
7.[2024·陕西榆林高一期末] 已知函数f(x)=(x2-4x+m)·恰有3个零点,则整数m的取值个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
8.已知x1是方程x·3x=4的根,x2是方程x·log3x=4的根,则x1x2= ( )
A.16 B.8
C.6 D.4
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列各选项中值为1的是 ( )
A.log26·log62
B.log62+log64
C.(2+×(2-
D.(2+-(2-
10.已知实数a,b,c满足a>b>1>c>0,则下列结论正确的是 ( )
A.ca>cb B.logac>logbc
C.loa< D.<
11.已知函数f(x)=|2x-1|,且f(a)=m,f(b)=n(aA.若m=n,则2a+2b=2
B.若m=n,则a+b<0
C.若m>n,则b>1
D.若m>n,则b<1
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.若f(x)为偶函数,且当x≥0时,f(x)=2x+log2(x+3),则f(-1)= .
13.[2024·湖北宜昌高一期末] 若函数f(x)=lo(-x2+6x-5)在区间(3m-2,m+2)上单调递增,则实数m的取值范围为 .
14.设函数f(x)=若f[f(a)]≤2,则实数a的取值范围是 .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)计算:
(1)log28+-;
(2)0.2×+lg 25+lg 2-log29×log32.
16.(15分)据观测统计,某湿地公园内某种珍稀鸟类的现有只数为1000,并以平均每年8%的速度增加.
(1)求两年后这种珍稀鸟类的大约只数;
(2)写出y(这种珍稀鸟类的只数)关于x(经过的年数)的函数关系式;
(3)经过多少年以后,这种鸟类的只数达到现有只数的3倍及以上 (结果为整数,参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)
17.(15分)[2024·浙江杭州高一期末] 已知函数f(x)=2x+a.
(1)若f(x)的图象经过第一、二、三象限,求f(a)的取值范围.
(2)当a=0时,是否存在实数m,使得|mf(x)-3|≤f(x)-1对任意的x∈[2,+∞)恒成立 若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由.
18.(17分)已知函数f(x)=是奇函数,g(x)=log2(2x+1)-bx是偶函数.
(1)求a-b;
(2)若对任意的t∈[-1,2],不等式f(t2-2t-1)+f(2t2-k)<0恒成立,求实数k的取值范围.
19.(17分)已知函数f(x)=loga(4-ax)(a>0且a≠1).
(1)求函数f(x)的定义域.
(2)是否存在实数a,使函数f(x)在区间上单调递减且最大值为1 若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.