(共39张PPT)
5.1 统计
5.1.2 数据的数字特征
第1课时 最值、平均数、中位数、百分位数
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 课堂评价
◆ 备课素材
【学习目标】
1.会求一组数据的最值、平均数、中位数、百分位数；
2.理解上述数字特征的意义,并能解决与之相关的实际问题.
知识点一 最值
一组数据的最值指的是其中的________与________，最值反映的是这组数最极
端的情况.一般地，最大值用表示，最小值用 表示.
最大值
最小值
知识点二 平均数
1.定义：如果给定的一组数是，， ，，则这组数的平均数为
___________________.简记为 .
2.求和符号
（1）表示： 读作“西格玛”， 右边式子中的 表示求和的______，其最小
值与最大值分别写在 的______与 ______.
范围
下面
上面
（2）性质：
_ ___________；
_ ______；
___.
3.常用结论如果，， ，的平均数为，且,为常数，则 ,
, , 的平均数为_______.
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）平均数可以刻画数据的平均水平，也可以反映数据的极端情况.( )
×
[解析] 平均数可以刻画一组数据的平均水平，但不能反映数据的极端情况.
（2）一组数据的平均数不可以为零.( )
×
[解析] 一组数据的平均数可以为零.
（3） 表示7个数求和.( )
×
[解析] 表示10个数求和.
知识点三 中位数与百分位数
1.中位数
一般地，如果一组数有奇数个数，且按照从小到大排列后为，， ，
，则称______为这组数的中位数；如果一组数有偶数个数，且按照从小到
大排列后为，， ， ，则称________为这组数的中位数.
2.百分位数
（1）定义：一组数的 分位数指的是满足下列条件的一个数值：
至少有的数据________该值，且至少有 的数据________该值.
直观来说，一组数的 分位数指的是，将这组数按照__________的顺序排列后，
处于位置的数.按照定义可知， 分位数可能不唯一.
不大于
不小于
从小到大
（2）计算方法：为了方便，我们按如下方式确定 分位数.设一组数按照从
小到大排列后为，， ，，计算的值，如果不是整数，设
为大于的__________，取为分位数；如果是整数，取_______为 分位
数.特别地，规定：0分位数是（即最小值），分位数是 （即最大值）.
最小整数
（3）第一四分位数即_____分位数；第三四分位数即_____分位数.
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1） 分位数是该组数据的最大值.( )
√
（2）中位数就是位于中间的数.( )
×
[解析] 中位数不一定是数据中的数.
探究点一 最值、平均数、中位数的计算
例1（1） 已知数据，， ，的平均数是100，则 ，
， ， 的平均数是( )
D
A.100 B.2024 C.200 D.201
[解析] 因为数据，， ，的平均数是100，所以， ，
，的平均数是 .故选D.
（2）某医院为了了解病人每分钟呼吸的次数，对20名病人进行检测，记录结
果如下：12，20，16，18，20，28，23，16，15，18，20，24，18，21，18，
19，18，31，18，13.这组数据的最大值为____，最小值为____，平均数为
______，中位数为____.
31
12
19.3
18
[解析] 将这组数据从小到大排列，即12，13，15，16，16，18，18，18，18，
18，18，19，20，20，20，21，23，24，28，31，易得最大值为31，最小值为
12，平均数为 ，中位数为18.
（3）求下列各式的值：
① ；
解： .
② .
解： .
变式 [2024·上海行知中学高一期末] 一组数据3，5，8， ，11，15，18的平
均数为10，则该组数据的中位数是____.
10
[解析] 因为3，5，8， ，11，15，18的平均数为10，
所以，解得 .
这组数据按照从小到大的顺序排列为3，5，8，10，11，15，18，
该组数据的中位数是10.
［素养小结］
（1）求平均数的步骤：
①求和：数据，， ，的和为 .
②求平均数：和除以数据的个数，即，， ，的平均数为 .
（2）求中位数的一般步骤：
①把数据按大小顺序排列.
②找出排列后位于中间位置的数据，即为中位数.若中间位置有两个数据，则求
出这两个数据的平均数作为中位数.
探究点二 百分位数的认识
例2（1） 下列关于一组数据的 分位数的说法正确的是( )
A
A.它就是这组数据的中位数
B.这组数据中的任意一个数小于它的可能性一定是
C.它一定是这组数据中的一个数据
D.这组数据中的任意一个数大于它的可能性一定是
[解析] 根据 分位数的定义可知B，C，D均错误，故选A.
（2）已知一个总体的分位数是 ，则( )
D
A. 一定是总体中的某一个数据
B. 一定不是总体中的某一个数据
C. 一定是总体中的某两个数据的平均数
D. 要么是总体中的某一个数据，要么是总体中的某两个数据的平均数
[解析] 令.若是整数，则是总体中的第项与第 项数据的平均数；
若不是整数，大于的最小整数为，则为总体中的第 项数据.故选D.
变式 对于总体而言,记为其分位数,为其 分位数,则有( )
B
A. B.
C. D.与 的大小关系不确定
[解析] 易知 .
［素养小结］
百分位数可以以概率的方式将一批数据进行分割，表示了在这个样本数据按从
小到大的顺序排列之后小于某值的样本数据的个数占样本容量的比例.
探究点三 百分位数的计算
例3 中国青年志愿者协会成立于1994年12月5日，此后广大志愿者、志愿服务
组织不断蓬勃发展，目前高校青年志愿者组织就有132个.为了解某大学学生参
加志愿者工作的情况，随机抽取某高校志愿者协会的40名成员，就他们本季度
参加志愿服务的次数进行了统计，数据如下表所示，则这40名学生本季度参加
志愿服务次数的 分位数为( )
次数 7 8 9 10 11
人数 6 10 9 8 7
C
A.9 B.8 C.8.5 D.9.5
[解析] ，16为整数，分位数为 .故选C.
变式（1） 若一组数据1,1,,4,5,5,6,7的分位数是6，则 ( )
C
A.4 B.5 C.6 D.7
[解析] 因为，所以这组数据的 分位数为按从小到大的顺序排
列的第6个数和第7个数的平均数，经检验，只有 符合题意.故选C.
（2）记数据3，2，2，1，6，5，7，6，4，8的中位数为，分位数为 ，
则_____， _____.
[解析] 将这组数据由小到大排列为1，2，2，3，4，5，6，6，7，8，由题意得
中位数，而，则分位数 .
［素养小结］
求百分位数的一般步骤：
（1）排序：按照从小到大排列为，， ， .
（2）计算：求 的值.
（3）求值：
分类
探究点四 数字特征的应用
例4 某公司33名职工的月基本工资（单位:元）如下表:
职务 董事长 副董事长 董事 总经理 经理 管理员 职员
人数 1 1 2 1 5 3 20
月基本工资 5500 5000 3500 3000 2500 2000 1500
（1）求该公司职工月基本工资的平均数、中位数.（结果取整数）
解：平均数为
，中位
数是1500.
（2）假设副董事长的月基本工资从5000元提升到20 000元,董事长的月基本工资
从5500元提升到30 000元,那么新的平均数、中位数是否发生变化 （结果取整数）
解：新的平均数为
，中
位数是1500，故平均数发生变化，中位数没有发生变化.
（3）你认为哪个统计量更能反映这个公司职工的月基本工资水平 并说明理由.
解：中位数更能反映这个公司职工的月基本工资水平，因为公司中少数人的月
基本工资与大多数人的月基本工资差别较大，这样会导致平均数偏差较大，所
以平均数不能反映这个公司职工的月基本工资水平.
变式 某公司为了了解一年内的用水情况，抽取了10天的用水量如下表所示：
22 38 40 41 44 50 95
天数 1 1 1 2 2 1 2
（1）在这10天中，该公司每天用水量的平均数是多少？每天用水量的中位数是
多少？
解：在这10天中，该公司每天用水量的平均数
，
每天用水量的中位数是 .
（2）你认为应该用平均数和中位数中的哪一个来描述该公司每天的用水量？
解：平均数受数据中的极端值（2个95）影响较大，使平均数在估计总体时可靠性
降低，10天的用水量有8天都在平均值以下，故用中位数描述每天的用水量更合适.
［素养小结］
（1）中位数、平均数都是描述一组数据集中趋势的量.
（2）平均数的大小与一组数据中每个数据均有关系,任何一个数据的变化都会
引起平均数的变化.
（3）中位数仅与数据的排列位置有关,某些数据的变动对中位数没有影响,中位
数可能出现在所给数据中,也可能不在所给数据中,当一组数据中的个别数据变动
较大时,可用中位数描述其集中趋势.
1.一组观察值4,3,5,6出现的次数分别为3,2,4,2,则样本的平均数约为( )
A
A.4.55 B.4.50 C.12.50 D.1.64
[解析] 平均数为 .
2.一组数据由1000个互不相同的数据组成，则位于分位数与 分位数之
间的数据占总体数据的( )
B
A. B. C. D.
[解析] 分位数、分位数、 分位数是总体数据的四分位数,这三个百
分位数把总体数据分成了4部分,易知位于分位数与 分位数之间的数据
占总体数据的 .
3. ( )
C
A.20 B.22 C.26 D.30
[解析] .故选C.
4.因工作需要，张先生的汽车一周需两次加同一种汽油.现张先生本周按照以下
两种方案加油（两次加油时油价不一样），甲方案：每次购买汽油的量一定；
乙方案：每次加油的钱数一定.要使每周加油的平均油费更少，则( )
B
A.采用甲方案 B.采用乙方案
C.采用甲、乙方案一样 D.无法确定应采用哪种方案
[解析] 设两次加油的油价分别为，,，且 ，甲方案每次加油的
量为，乙方案每次加油的钱数为 ，则甲方案的平均油价为
，乙方案的平均油价为 ，因为
，所以 ，即采用乙方案可使每周花费的油费更
少.故选B.
5.若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分分别为89，91，90，92，87，93，
96，94，则这组数据的中位数是_____；平均数是_____；最大值是____；
分位数是_____.
91.5
91.5
96
89.5
[解析] 把这组数据由小到大排列为87，89，90，91，92，93，94，96，所以中
位数是；平均数 ；最大值为96；
因为数据个数为8，而且，所以这组数据的 分位数是
.
1.平均数的计算
平均数与每一个样本数据都有关,受个别极端数据（比其他数据大很多或小很多
的数据）的影响较大,因此若在数据中存在少量极端数据,平均数对总体估计的可
靠性较差,这时往往用众数或中位数去估计总体,有时也采用剔除最大值与最小值
后所得的平均数去估计总体.
在容量为的一组数据中,若数据有个,有个, ,有 个,且
,则这组数据的平均数为
.
2.中位数的优缺点
优点:①不受少数几个极端数据的影响;②易计算,便于利用中间数据的信息.
缺点:对极端值不敏感.
3.百分位数的特点
①当数据个数较多时,可以借助多个百分位数来了解数据的分布特点;
分位数可能不唯一,各种统计软件所得出的 分位数可能会有差异.
例 某校高一年级25个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了10
个班的比赛得分为91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，则这组数据的
分位数为( )
D
A.91 B.92 C.93 D.93.5
[解析] 数据从小到大排列为85,87,89,90,91,91,92,93,94,96，而 ，所
以分位数为 .故选D.5.1.2 数据的数字特征
第1课时 最值、平均数、中位数、百分位数
【课前预习】
知识点一
最大值 最小值
知识点二
1.(x1+x2+…+xn)
2.(1)范围 下面 上面 (2)
3.a+b
诊断分析
(1)× (2)× (3)× [解析] (1)平均数可以刻画一组数据的平均水平,但不能反映数据的极端情况.
(2)一组数据的平均数可以为零.
(3)xi表示10个数求和.
知识点三
1.xn+1
2.(1)不大于 不小于 从小到大 (2)最小整数
(3)25% 75%
诊断分析
(1)√ (2)× [解析] (2)中位数不一定是数据中的数.
【课中探究】
例1 (1)D (2)31 12 19.3 18 [解析] (1)因为数据x1,x2,…,x2024的平均数是100,所以2x1+1,2x2+1,…,2x2024+1的平均数是2×100+1=201.故选D.
(2)将这组数据从小到大排列,即12,13,15,16,16,18,18,18,18,18,18,19,20,20,20,21,23,24,28,31,易得最大值为31,最小值为12,平均数为=19.3,中位数为18.
(3)解:①
变式 10 [解析] 因为3,5,8,a,11,15,18的平均数为10,
所以=10,解得a=10.
这组数据按照从小到大的顺序排列为3,5,8,10,11,15,18,
该组数据的中位数是10.
例2 (1)A (2)D [解析] (1)根据50%分位数的定义可知B,C,D均错误,故选A.
(2)令i=np%.若i是整数,则x是总体中的第i项与第(i+1)项数据的平均数;若i不是整数,大于i的最小整数为j,则x为总体中的第j项数据.故选D.
变式 B [解析] 易知m≤n.
例3 C [解析] ∵40×40%=16,16为整数,∴40%分位数为=8.5.故选C.
变式 (1)C (2)4.5 5.5 [解析] (1)因为8×75%=6,所以这组数据的75%分位数为按从小到大的顺序排列的第6个数和第7个数的平均数,经检验,只有a=6符合题意.故选C.
(2)将这组数据由小到大排列为1,2,2,3,4,5,6,6,7,8,由题意得中位数m==4.5,而10×60%=6,则60%分位数a==5.5.
例4 解:(1)平均数为1500+≈1500+591=2091,中位数是1500.
(2)新的平均数为1500+≈1500+1788=3288,中位数是1500,故平均数发生变化,中位数没有发生变化.
(3)中位数更能反映这个公司职工的月基本工资水平,因为公司中少数人的月基本工资与大多数人的月基本工资差别较大,这样会导致平均数偏差较大,所以平均数不能反映这个公司职工的月基本工资水平.
变式 解:(1)在这10天中,该公司每天用水量的平均数
=×(22+38+40+2×41+2×44+50+2×95)=51,
每天用水量的中位数是=42.5.
(2)平均数受数据中的极端值(2个95)影响较大,使平均数在估计总体时可靠性降低,10天的用水量有8天都在平均值以下,故用中位数描述每天的用水量更合适.
【课堂评价】
1.A [解析] 平均数为≈4.55.
2.B [解析] 25%分位数、50%分位数、75%分位数是总体数据的四分位数,这三个百分位数把总体数据分成了4部分,易知位于25%分位数与50%分位数之间的数据占总体数据的.
3.C [解析] (i2-1)=0+3+8+15=26.故选C.
4.B [解析] 设两次加油的油价分别为x,y(x,y>0,且x≠y),甲方案每次加油的量为a(a>0),乙方案每次加油的钱数为b(b>0),则甲方案的平均油价为=,乙方案的平均油价为==,因为-=>0,所以>,即采用乙方案可使每周花费的油费更少.故选B.
5.91.5 91.5 96 89.5 [解析] 把这组数据由小到大排列为87,89,90,91,92,93,94,96,所以中位数是=91.5;平均数==91.5;最大值为96;因为数据个数为8,而且8×25%=2,所以这组数据的25%分位数是=89.5.5.1.2 数据的数字特征
第1课时 最值、平均数、中位数、百分位数
【学习目标】
1.会求一组数据的最值、平均数、中位数、百分位数;
2.理解上述数字特征的意义,并能解决与之相关的实际问题.
◆ 知识点一 最值
一组数据的最值指的是其中的 与 ,最值反映的是这组数最极端的情况.一般地,最大值用max表示,最小值用min表示.
◆ 知识点二 平均数
1.定义:如果给定的一组数是x1,x2,…,xn,则这组数的平均数为= .简记为=
2.求和符号
(2)性质:
3.常用结论
如果x1,x2,…,xn的平均数为,且a,b为常数,则ax1+b,ax2+b,…,axn+b的平均数为 .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平均数可以刻画数据的平均水平,也可以反映数据的极端情况. ( )
(2)一组数据的平均数不可以为零. ( )
(3)xi表示7个数求和. ( )
◆ 知识点三 中位数与百分位数
1.中位数
一般地,如果一组数有奇数个数,且按照从小到大排列后为x1,x2,…,x2n+1,则称 为这组数的中位数;如果一组数有偶数个数,且按照从小到大排列后为x1,x2,…,x2n,则称 为这组数的中位数.
2.百分位数
(1)定义:一组数的p%(p∈(0,100))分位数指的是满足下列条件的一个数值:至少有p%的数据 该值,且至少有(100-p)%的数据 该值.
直观来说,一组数的p%分位数指的是,将这组数按照 的顺序排列后,处于p%位置的数.按照定义可知,p%分位数可能不唯一.
(2)计算方法:为了方便,我们按如下方式确定p%分位数.设一组数按照从小到大排列后为x1,x2,…,xn,计算i=np%的值,如果i不是整数,设i0为大于i的 ,取为p%分位数;如果i是整数,取 为p%分位数.特别地,规定:0分位数是x1(即最小值),100%分位数是xn(即最大值).
(3)第一四分位数即 分位数;第三四分位数即 分位数.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)100%分位数是该组数据的最大值. ( )
(2)中位数就是位于中间的数. ( )
◆ 探究点一 最值、平均数、中位数的计算
例1 (1)已知数据x1,x2,…,x2024的平均数是100,则2x1+1,2x2+1,…,2x2024+1的平均数是( )
A.100 B.2024 C.200 D.201
(2)某医院为了了解病人每分钟呼吸的次数,对20名病人进行检测,记录结果如下:12,20,16,18,20,28,23,16,15,18,20,24,18,21,18,19,18,31,18,13.这组数据的最大值为 ,最小值为 ,平均数为 ,中位数为 .
(3)求下列各式的值:
①
变式 [2024·上海行知中学高一期末] 一组数据3,5,8,a,11,15,18的平均数为10,则该组数据的中位数是 .
[素养小结]
(1)求平均数的步骤:
①求和:数据x1,x2,…,xn的和为
②求平均数:和除以数据的个数n,即x1,x2,…,xn的平均数为
(2)求中位数的一般步骤:
①把数据按大小顺序排列.
②找出排列后位于中间位置的数据,即为中位数.若中间位置有两个数据,则求出这两个数据的平均数作为中位数.
◆ 探究点二 百分位数的认识
例2 (1)下列关于一组数据的50%分位数的说法正确的是 ( )
A.它就是这组数据的中位数
B.这组数据中的任意一个数小于它的可能性一定是50%
C.它一定是这组数据中的一个数据
D.这组数据中的任意一个数大于它的可能性一定是50%
(2)已知一个总体的p%分位数是x,则 ( )
A.x一定是总体中的某一个数据
B.x一定不是总体中的某一个数据
C.x一定是总体中的某两个数据的平均数
D.x要么是总体中的某一个数据,要么是总体中的某两个数据的平均数
变式 对于总体而言,记m为其25%分位数,n为其50%分位数,则有 ( )
A.m=n
B.m≤n
C.m>n
D.m与n的大小关系不确定
[素养小结]
百分位数可以以概率的方式将一批数据进行分割,表示了在这个样本数据按从小到大的顺序排列之后小于某值的样本数据的个数占样本容量的比例.
◆ 探究点三 百分位数的计算
例3 中国青年志愿者协会成立于1994年12月5日,此后广大志愿者、志愿服务组织不断蓬勃发展,目前高校青年志愿者组织就有132个.为了解某大学学生参加志愿者工作的情况,随机抽取某高校志愿者协会的40名成员,就他们本季度参加志愿服务的次数进行了统计,数据如下表所示,则这40名学生本季度参加志愿服务次数的40%分位数为 ( )
次数 7 8 9 10 11
人数 6 10 9 8 7
A.9 B.8 C.8.5 D.9.5
变式 (1)若一组数据1,1,a,4,5,5,6,7的75%分位数是6,则a= ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
(2)记数据3,2,2,1,6,5,7,6,4,8的中位数为m,60%分位数为a,则m= ,a= .
[素养小结]
求百分位数的一般步骤:
(1)排序:按照从小到大排列为x1,x2,…,xn.
(2)计算:求i=np%的值.
(3)求值:
分类 p%分位数
i不是整数 ,其中i0为大于i的最小整数
i是整数
◆ 探究点四 数字特征的应用
例4 某公司33名职工的月基本工资(单位:元)如下表:
职务 董事长 副董事长 董事 总经理 经理 管理员 职员
人数 1 1 2 1 5 3 20
月基本 工资 5500 5000 3500 3000 2500 2000 1500
(1)求该公司职工月基本工资的平均数、中位数.(结果取整数)
(2)假设副董事长的月基本工资从5000元提升到20 000元,董事长的月基本工资从5500元提升到30 000元,那么新的平均数、中位数是否发生变化 (结果取整数)
(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司职工的月基本工资水平 并说明理由.
变式 某公司为了了解一年内的用水情况,抽取了10天的用水量如下表所示:
用水量/t 22 38 40 41 44 50 95
天数 1 1 1 2 2 1 2
(1)在这10天中,该公司每天用水量的平均数是多少 每天用水量的中位数是多少
(2)你认为应该用平均数和中位数中的哪一个来描述该公司每天的用水量
[素养小结]
(1)中位数、平均数都是描述一组数据集中趋势的量.
(2)平均数的大小与一组数据中每个数据均有关系,任何一个数据的变化都会引起平均数的变化.
(3)中位数仅与数据的排列位置有关,某些数据的变动对中位数没有影响,中位数可能出现在所给数据中,也可能不在所给数据中,当一组数据中的个别数据变动较大时,可用中位数描述其集中趋势.
1.一组观察值4,3,5,6出现的次数分别为3,2,4,2,则样本的平均数约为 ( )
A.4.55 B.4.50
C.12.50 D.1.64
2.一组数据由1000个互不相同的数据组成,则位于25%分位数与50%分位数之间的数据占总体数据的 ( )
A. B.
C. D.
3.(i2-1)= ( )
A.20 B.22
C.26 D.30
4.因工作需要,张先生的汽车一周需两次加同一种汽油.现张先生本周按照以下两种方案加油(两次加油时油价不一样),甲方案:每次购买汽油的量一定;乙方案:每次加油的钱数一定.要使每周加油的平均油费更少,则 ( )
A.采用甲方案
B.采用乙方案
C.采用甲、乙方案一样
D.无法确定应采用哪种方案
5.若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分分别为89,91,90,92,87,93,96,94,则这组数据的中位数是 ;平均数是 ;最大值是 ;25%分位数是 . 5.1.2 数据的数字特征
第1课时 最值、平均数、中位数、百分位数
1.C [解析] 若这100个数都是8,则这100个数据的中位数是8,故A错误;因为100为偶数,所以第50个数据和第51个数据的平均数为中位数,故C正确,B,D错误.故选C.
2.C [解析] 将这12个数据从小到大排序:7.8,7.9,8.0,8.3,8.4,8.5,8.5,8.5,8.6,8.9,9.0,9.9.由12×25%=3,可知这组数据的25%分位数为=8.15;由12×50%=6,可知这组数据的50%分位数为=8.5;由12×75%=9,可知这组数据的75%分位数为=8.75.故选C.
3.B [解析] 设更正前甲、乙的成绩分别为a1,a2,另外48名学生的成绩分别为a3,a4,…,a50,则a1+a2+a3+a4+…+a50=50×70,即60+90+a3+a4+…+a50=50×70,更正后的平均数=×(80+70+a3+a4+…+a50)=70.
4.B [解析] 由题意,这组数据按从小到大的顺序排列为1,2,3,4,5,因为5×60%=3,所以这组数据的60%分位数为=3.5.故选B.
5.C [解析] 设利用分层抽样的方法从高一年级抽取的人数为4a,则从高二年级抽取的人数为3a,从高三年级抽取的人数为3a.设高三年级共青团员成绩的样本平均数为x,则=88,解得x=90,故选C.
6.D [解析] 数据x1+y1,x2+y2,x3+y3,…,xn+yn的平均数为故数据4y1+1,4y2+1,4y3+1,…,4yn+1的平均数是4×40+1=161.故选D.
7.D [解析] 对于A,平均数和中位数不能限制某一天的新增疑似病例人数,如0,0,0,0,4,4,4,4,6,8,故A不正确;对于B,平均数和众数不能限制某一天的新增疑似病例人数,如0,0,0,0,0,0,0,0,0,10,故B不正确;对于C,中位数和众数不能限制某一天的新增疑似病例人数,如0,0,0,1,1,3,3,3,3,8,故C不正确;对于D,假设过去10天新增疑似病例数据存在一个数据x,x≥8,而总体平均数为1,则过去10天新增疑似病例数据中至少有7个0,故中位数不可能为1,所以假设不成立,故符合没有发生大规模群体感染的标志,故D正确.故选D.
8.ABC [解析] 将5次考试的成绩按从小到大的顺序排列,第3个数是中位数,又中位数是80,且比80大的有85,93两个数,所以09.BC [解析] 依题意知,x=200,y==200,第四年的经济收入为600万元,故对于这四年的经济收入的数据,中位数为=250=1.25x,平均数为=300=1.5y,故选BC.
10.15 [解析] 设这5个数据分别为a,b,c,d,e.因为前4个数据的平均数是20,所以=20,即a+b+c+d=80①,又全部5个数据的平均数是19,所以=19,即a+b+c+d+e=95②.由②-①得e=15,故第5个数据是15.
11.甲 [解析] 将他们的成绩分别从小到大排序,则对于甲同学,因为6×10%=0.6,所以甲同学成绩的10%分位数为第1个数据;对于乙同学,因为6×90%=5.4,所以乙同学成绩的90%分位数为第6个数据.显然甲的成绩比乙好.
12.5 [解析] 因为i=18×75%=13.5,所以笔试成绩的75%分位数是70,因为有5人的成绩达到70分,所以有5人进入面试环节.
13.解:(1)把这80个数据按从小到大的顺序排列后,第40个数据和第41个数据分别为5500,5000,所以这组数据的中位数是=5250.
这组数据的平均数=
==6115.
(2)由于大多数员工的月工资达不到平均数6115,显然用平均数作为该公司员工月工资的代表值并不合适;中位数5250在一定程度上代表了大多数人的工资水平,较能反映月工资水平的实际情况.
(3)公司总经理最关心的是月工资的总额,所以他关注的是平均数;
普通员工关注的是自己的收入在本公司职工群体中的位置,中位数能帮助职工了解自己的工资收入处于什么样的水平;应聘者最想知道公司发给大多数员工的工资数额,这也是一般应聘者将会拿到的工资,因此应聘者关注的是该公司月工资的众数.
14.解:(1)设该企业普通员工的人数为n,由样本容量为100,样本中普通员工有88人,高管人员和中层管理人员共有12人,得=,解得n=880,则该企业普通员工的人数为880.
(2)根据题意可得频数分布表如下.
每周学习党史 时间(单位:分钟) [0, 30) [30, 60) [60, 90) [90, 120) [120, 150]
企业人员 10 12 48 22 8
所以抽取的企业人员每周学习党史时间的平均数P=×(15×10+45×12+75×48+105×22+135×8)=×7680=76.8.
因为10+12+48<75<10+12+48+22,
所以75%分位数在区间[90,120)中,则M=90+30×≈96.8.
15.BCD [解析] 由甲、乙两名同学的各科成绩的百分位图可知,甲同学的语文、数学、英语三科成绩高于乙同学,综合成绩低于乙同学,所以甲同学的语文、数学、英语、综合的总分不一定高于乙同学,故A中说法错误;甲同学的语文、数学、英语成绩都高于乙同学,故B中说法正确;甲同学的各科成绩百分位均超过66%,所以甲同学的各科成绩都居该班的上游,故C中说法正确;乙同学的语文成绩不一定比数学成绩高,故D中说法正确.故选BCD.
16.解:该组数据的平均数为(x+28),中位数一定是其中两个数的平均数,由于x不知是多少,所以要分几种情况讨论:
(1)当x≤8时,原数据按从小到大的顺序排列为x,8,10,10,此时中位数为×(10+8)=9.若(x+28)=9,则x=8,满足条件,此时中位数为9.
(2)当8(3)当x>10时,原数据按从小到大的顺序排列为8,10,10,x,此时中位数为×(10+10)=10.若(x+28)=10,则x=12,满足条件,此时中位数为10.
综上所述,这组数据的中位数为9或10.5.1.2 数据的数字特征
第1课时 最值、平均数、中位数、百分位数
一、选择题
1.[2024·河南南阳高一期末] 已知100个数据的中位数是8,则下列说法正确的是 ( )
A.这100个数据中一定有且仅有50个数小于或等于8
B.把这100个数据从小到大排列后,8是第50个数据
C.把这100个数据从小到大排列后,8是第50个数据和第51个数据的平均数
D.把这100个数据从小到大排列后,8是第50个数据和第49个数据的平均数
2.从某公司生产的产品中任意抽取12件,得到它们的质量(单位:kg)如下:7.9,9.0,8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9,7.8,8.3,8.0,则这组数据的四分位数不可能是 ( )
A.8.75 B.8.15
C.9.9 D.8.5
3.某班有50名学生,在一次考试中统计出成绩的平均数为70,后来发现有2名学生的成绩统计有误,学生甲实际得分是80分却误记为60分,学生乙实际得分是70分却误记为90分,更正后成绩的平均数是 ( )
A.65 B.70 C.75 D.80
4.某读书会有5名成员,寒假期间他们每个人阅读的书本数分别为3,5,4,2,1,则这组数据的60%分位数为 ( )
A.3 B.3.5 C.4 D.4.5
5.某高中团委举办了共青团史知识竞赛(满分100分),其中高一、高二、高三年级参赛的共青团员的人数分别为800,600,600.现用分层抽样的方法从三个年级中抽取样本,经计算可得高一、高二年级共青团员成绩的样本平均数分别为85,90,全校共青团员成绩的样本平均数为88,则高三年级共青团员成绩的样本平均数为 ( )
A.87 B.89 C.90 D.91
6.若第一组数据x1,x2,x3,…,xn的平均数是30,第二组数据x1+y1,x2+y2,x3+y3,…,xn+yn的平均数是70,则第三组数据4y1+1,4y2+1,4y3+1,…,4yn+1的平均数是 ( )
A.70 B.40 C.111 D.161
7.在发生某公共卫生事件期间,有专业机构认为该事件在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天,每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据,一定符合该标志的是 ( )
A.甲地:总体平均数为3,中位数为4
B.乙地:总体平均数为1,众数为0
C.丙地:中位数为2,众数为3
D.丁地:总体平均数为1,中位数为1
8.(多选题)某学生5次考试的成绩(单位:分)分别为85,67,m,80,93,其中m>0,若该学生在这5次考试中成绩的中位数为80,则这5次考试成绩的平均数可能为 ( )
A.70 B.75 C.80 D.85
9.(多选题)某村前三年的经济收入(单位:万元)分别为100,200,300,其中位数为x,平均数为y.经过政府新农村建设后,该村第四年的经济收入在第三年的基础上翻了一番,则对于这四年的经济收入的数据,下列说法正确的是( )
A.中位数为x B.平均数为1.5y
C.中位数为1.25x D.平均数为2y
二、填空题
10.一组5个数据中,前4个数据的平均数是20,全部5个数据的平均数是19,则第5个数据是 .
11.来自同一班级的甲、乙两位同学,记录了他们参加的同样6次考试的成绩(每次成绩各不相同),结果发现:甲同学成绩的10%分位数与乙同学成绩的90%分位数相同,由此可以认为成绩较好的同学是 .
12.某单位招聘技术人员,笔试成绩达不到75%分位数的应聘者不得进入面试环节.现知道18名应聘者的笔试成绩(单位:分)分别为46,48,50,53,55,55,58,60,60,62,65,65,68,70,72,75,76,78,那么能进入面试环节的人数为 .
三、解答题
13.某公司全体职工的月工资如下:
月工资/元 21 000 15 000 11 000 9000 7000 5500 5000 4500 4200
人数 1(总经理) 2(副总经理) 3 4 10 20 22 12 6
(1)试求出该公司全体职工的月工资的中位数和平均数.
(2)你认为用平均数、中位数中的哪一个更能反映该公司的工资水平
(3)对于该公司全体职工月工资数据的平均数、中位数,你认为该公司总经理、普通员工及应聘者将分别关注哪一个 说说你的理由.
14.某企业成立的党史学习教育督查组为调研本企业的党史学习情况,采用分层抽样的方法从该企业人员中抽取一个容量为100的样本,经数据搜集与处理,得到如下频数分布表.
每周学习党史时间(单位:分钟) [0,30) [30,60) [60,90) [90,120) [120,150]
高管人员 0 0 1 0 2
中层 管理人员 1 0 2 2 4
普通员工 9 12 45 20 2
(1)已知该企业的中、高层管理人员共有120人,求该企业普通员工的人数;
(2)求抽取的企业人员每周学习党史时间的平均数P(同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表)、75%分位数M的估计值(精确到0.1).
15.(多选题)某班有n名学生,他们都参加了某次高三复习检测考试,第i名学生的某科成绩记为Xi(i=1,2,3,…,n),设Pi=该科成绩不超过Xi的该班人数÷n,定义Pi为第i名学生的该科成绩的百分位.现对该班的甲、乙两名同学的该次检测成绩做对比分析,若甲、乙两名同学的各科成绩的百分位如图所示,则以下分析正确的是 ( )
A.甲同学的语文、数学、英语、综合的总分高于乙同学
B.甲同学的语文、数学、英语成绩都高于乙同学
C.甲同学的各科成绩都居该班上游(百分位大于66%)
D.乙同学的语文成绩不一定比数学成绩高
16.某班4个小组的人数分别为10,10,x,8,已知该组数据的中位数与平均数相等,求这组数据的中位数.
