(共41张PPT)
5.3 概率
5.3.2 事件之间的关系与运算
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 课堂评价
◆ 备课素材
【学习目标】
1.了解事件间的包含关系和相等关系, 理解互斥事件与对立事件的概念与关系；
2.会用互斥事件与对立事件的概率公式求概率, 了解并事件与交事件的概念,
会进行事件的运算.
知识点一 事件的包含与相等
1.一般地，如果事件发生时，事件__________，则称“包含于”（或“ 包含
”），记作（或 ）.
2.如果事件发生时，事件__________；而且事件发生时，事件 也________
__，则称“与相等”，记作 .
3.当 时，有_____________.
一定发生
一定发生
一定发生
知识点二 事件的和（并）
1.给定事件,，由所有中的样本点与 中的样本点组成的事
件称为与的____________，记作（或），事件
与 的和可以用如图所示的阴影部分表示.
和（或并）
2.且 ;
.
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
事件与的和事件发生的概率一定大于事件 发生的概率.( )
×
[解析] 事件与的和事件发生的概率一定大于或等于事件 发生的概率.
知识点三 事件的积（交）
1.给定事件,，由与中的____________组成的事件称为与 的积（或交），
记作（或），事件与 的积可以用如图所示的阴影部分表示.
公共样本点
2.且 .
知识点四 事件的互斥与对立
1.互斥事件
（1）给定事件,，若事件与______同时发生，则称与
互斥，记作 （或 ），这一关系可用图表示.
不能
（2）任意两个基本事件都是______的， 与任意事件互斥.
（3）当__________（即）时，有 ，这称为互
斥事件的概率加法公式.
（4）一般地，如果,, , 是两两互斥的事件，则___________________
_______________________________.
互斥
与互斥
2.对立事件
（1）给定样本空间 与事件，则由 中所有不属于 的样本点组成的事件称
为的__________，记作，如图所示.如果，则称与 相互对立.
（2） .
对立事件
3.概率的几个基本性质
（1）概率的取值范围：______.
（2）必然事件发生的概率为___，不可能事件发生的概率为___.
（3）互斥事件的概率加法公式为：如果事件与为互斥事件，则
____________.
（4）若与为对立事件，则_________.___，
___.
1
0
1
0
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）对立事件一定互斥.( )
√
（2）互斥事件是指两个事件在一次试验中不会同时发生，但可以同时不发生. ( )
√
（3）若，则事件与事件 一定是对立事件.( )
×
知识点五 事件的混合运算
同数的加、减、乘、除混合运算一样，事件的混合运算也有优先级，我们规定：
求积运算的优先级高于求和运算.
探究点一 事件的包含与相等
例1 从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，记“至少有1个白球”为事件
,“全是红球”为事件，“至少有1个红球”为事件，“至多有1个红球”为事件 ，
则与___相等， 包含于___.
[解析] 从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，则事件 个白球和1
个红球，2个白球，事件个红球，事件 个红球和1个白球，2个红
球，事件个白球和1个红球，2个白球}.故与相等，包含于 .
［素养小结］
判断两个事件的关系主要考虑事件之间的充分性和必要性.若发生是 发生的充
要条件，则；若发生是发生的充分不必要条件，则 .
探究点二 交事件与并事件
例2 抛掷一枚质地均匀的骰子，记“向上的点数是1或2”为事件 ，“向上的点数
是2或3”为事件，试用, 表示下列事件：
（1）向上的点数为2；
解：由题知,,所以，即 表示“向上的点数为2”.
（2）向上的点数不超过3.
解：由（1）可知 表示“向上的点数是1或2或3”,即“向上的点数不超过3”.
变式 （多选题）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名参加演讲比赛，
设名全是男生，名全是女生，恰有1名男生， 至少
有1名男生 ，则下列关系正确的是( )
ABC
A. B. C. D.
[解析] 事件D包括2名全是男生和1名男生1名女生，故， ，故A，
C正确；
事件B与D不能同时发生，故 ，故B正确；
表示2名全是男生或2名全是女生， 表示2名全是女生或至少有1名男
生，故，故D错误.故选 .
［素养小结］
进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试
验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析，也可类比集
合的关系和运算用维恩图分析事件.
探究点三 互斥事件与对立事件
例3（1） [2024·辽宁辽阳高一期末]一副扑克牌（含大王、小王）共54张，以
黑桃、红桃、梅花、方块表示各组，每组花色包括A，2，3，4，5，6，7，8，
9，10，，，共13张牌.从这副扑克牌中随机取出两张，事件 取出的牌
有两张6，事件取出的牌至少有一张黑桃，事件 取出的牌有一张大王，
事件 取出的牌有一张红桃6，则( )
D
A.事件与事件互斥 B.事件与事件 互斥
C.事件与事件互斥 D.事件与事件 互斥
[解析] 事件A与事件D，事件B与事件C，事件B与事件D都可以同时发生，故A，
B，C错误.
因为取出的牌有两张6的同时不可能再有一张大王，所以事件A与事件C互斥.故选D.
（2）（多选题）若， 是某个试验中的两个随机事件，则以下说法正确的是
( )
AD
A.若，，则当且仅当时，, 是互斥事件
B.若，，则 是必然事件
C.若，是互斥事件，，，则
D.若，是对立事件，则
[解析] 对于A，因为 ，所以A,B是互斥事件，
故A正确；
对于B，若事件A为“抛出骰子点数为1或2”，则 ，若事件B为 “抛出骰子
点数小于或等于4”，则，此时 不是必然事件，故B错误；
对于C，若A,B是互斥事件，则 ，故C错误；
对于D，若A,B是对立事件，则，故D正确.故选 .
变式 某服务电话，打进的电话响第1声时被接的概率是0.1；响第2声时被接的
概率是0.2；响第3声时被接的概率是0.3；响第4声时被接的概率是0.35.
（1）打进的电话在响5声之前被接的概率是多少？
解：设事件“打进的电话响第声时被接”为，则事件 彼此互斥.设
“打进的电话在响5声之前被接”为事件 ，
根据互斥事件的概率加法公式，得
.
（2）打进的电话响4声而不被接的概率是多少？
解：设事件 为“打进的电话响4声而不被接”，
则 为“打进的电话在响5声之前被接”.
所以 .
［素养小结］
（1）判断两个事件是否互斥,主要看它们在一次试验中能否同时发生,若不能同
时发生,则这两个事件互斥,否则不互斥.
（2）判断两个事件是否对立,主要看在一次试验中这两个事件是否同时满足两
个条件:一是不能同时发生;二是必有一个发生.
探究点四 事件的混合运算
例4 盒中装有红球、黑球、白球、绿球共12个，从中任取1个球，设事件 为
“取出1个红球”，事件为“取出1个黑球”，事件为“取出1个白球”，事件 为“取
出1个绿球”.已知，，， .
（1）求“取出1个球为红球或黑球”的概率；
解：方法一：因为事件，，， 两两互斥，所以“取出1个球为红球或黑球”
的概率 .
方法二：“取出1个球为红球或黑球”的对立事件为“取出1个球为白球或绿球”，
即的对立事件为 ，所以
，故“取出1个球
为红球或黑球”的概率为 .
（2）求“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率.
解： 方法一：“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率
.
方法二：“取出1个球为红球或黑球或白球”的对立事件为“取出1个球为绿球”，即
的对立事件为，所以 ，故“取
出1个球为红球或黑球或白球”的概率为 .
变式 下图是某班级50名学生订阅数学、语文、英语学习资
料的情况，其中表示订阅数学学习资料的学生， 表示订
阅语文学习资料的学生， 表示订阅英语学习资料的学生.
（1）从这个班级任意选择一名学生，用自然语言描述1，4，5，8各区域所代表的事件.
解：由给定图形可知，区域1表示该生语文、数学、英语三种学习资料全部订阅.
区域4表示该生只订阅语文、数学两种学习资料；
区域5表示该生只订阅语文学习资料；
区域8表示该生语文、数学、英语三种学习资料都没有订阅.
（2）用，， 表示下列事件：
①至少订阅一种学习资料；
解： 至少订阅一种学习资料为事件 .
②恰好订阅一种学习资料；
解： 恰好订阅一种学习资料的事件包含只订阅数学资料，只订阅语文资料，
只订阅英语资料，所以恰好订阅一种学习资料为事件 .
③没有订阅任何学习资料.
解： 没有订阅任何学习资料为事件 .
［素养小结］
事件混合运算的关键是搞清楚事件之间的关系,正确地选择计算事件概率的公式.
1.已知，，若，则 ( )
A
A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4
[解析] 因为，所以 .故选A.
2.[2023·陕西咸阳实验中学高一月考]奥林匹克运动会会旗中央有5个互相套连的
圆环，颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红，下方依次为黄、绿，象征着五
大洲.在手工课上，老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学，每人
分得1个，则事件“甲分得红环”与“乙分得红环”是( )
C
A.对立事件 B.互斥且对立事件
C.互斥但不对立事件 D.既不互斥又不对立事件
[解析] 甲、乙不能同时得到红环，所以事件“甲分得红环”与“乙分得红环”是互
斥事件.甲、乙可能都得不到红环，即事件“甲或乙分得红环”不是必然事件，故
事件“甲分得红环”与“乙分得红环”不是对立事件，所以事件“甲分得红环”与“乙
分得红环”是互斥但不对立事件.故选C.
3.某人打靶3次，事件表示“击中发”，其中,1,2,3，那么 表示
( )
B
A.全部击中 B.至少击中1发 C.至少击中2发 D.全部未击中
[解析] 表示的是,, 这三个事件中至少有一个发生,即可能击
中1发、2发或3发.故选B.
4.在投掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率都是.事件 表示“小于5的偶数点
出现”，事件表示“小于5的点数出现”，则在一次试验中，事件 发生的概
率是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 易知事件A与事件互斥，且, ，所以
.故选C.
5.已知， .
（1）若，则 ____；
0.2
[解析] 因为，所以，所以 .
（2）若，则 ___.
0
[解析] 因为，则与 互斥，所以
.
1.互斥事件与对立事件辨析
例1 判断下列各对事件是否为互斥事件,是否为对立事件.并说明理由.
某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名学生去参加演讲比赛,其中:
（1）恰有1名男生和恰有2名男生;
解：是互斥事件,不是对立事件.
理由:在所选的2名学生中,“恰有1名男生”实质是“1名男生和1名女生”,它与“恰有2
名男生”不可能同时发生,所以是一对互斥事件,但其并事件不是必然事件,所以不
是对立事件.
［分析］根据互斥事件、对立事件的定义判断.
（2）至少有1名男生和至少有1名女生;
解：不是互斥事件,也不是对立事件.
理由:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名男生”两种结果,“至少有1
名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名女生”两种结果,它们可同时发生.
（3）至少有1名男生和全是男生;
解：不是互斥事件,也不是对立事件.
理由:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名男生”,这与“全是男生”可
同时发生.
（4）至少有1名男生和全是女生.
解：是互斥事件,也是对立事件.
理由:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名男生”两种结果,它与“全是
女生”不可能同时发生,且其并事件是必然事件,所以是对立事件.
对立事件一定是互斥事件,也就是说不互斥的两个事件一定不是对立事件,在确定
了两个事件互斥的情况下,就要看这两个事件的和是否为必然事件,这是判断两个
事件对立的基本方法.
2.概率公式的应用
（1）运用互斥事件的概率加法公式解题的步骤:
①确定题中哪些事件彼此互斥;
②将待求事件拆分为几个互斥事件之和;
③先求各互斥事件分别发生的概率,再求和.
（2）当直接计算某事件的概率比较困难时,可间接地先计算其对立事件的概率,
再由公式 求出该事件的概率.
（3）应用公式 时,一定要分清事件的对立事件到底是什么事件,
不能重复或遗漏,该公式常用于“至多”“至少”型问题的求解.
例2 （多选题）[2023·合肥八中高一期末] 若事件, 为两个互斥事件，且
, ，有以下四个结论，其中正确的结论是( )
ACD
A. B.
C. D.
[解析] 事件A,B为两个互斥事件， ， ，故A正确；
事件A,B为两个互斥事件，， ，故B错误；
，故C正确；
，故D正确.故选 .
例3 [2023·陕西咸阳普集高中高一期末]某家族有, 两种遗传性状，该家族某
成员出现性状的概率为，出现性状的概率为，, 两种性状都不出现的
概率为，则该成员, 两种性状都出现的概率为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 设该成员出现性状为事件A，出现性状为事件B，则, 两种性状都不
出现为事件，两种性状都出现为事件，所以, ，
，所以 ，又因为
，所以
.故选B.5.3.2 事件之间的关系与运算
【课前预习】
知识点一
1.一定发生 2.一定发生 一定发生 3.P(A)=P(B)
知识点二
1.和(或并)
诊断分析
× [解析] 事件A与B的和事件发生的概率一定大于或等于事件A发生的概率.
知识点三
1.公共样本点
知识点四
1.(1)不能 (2)互斥 (3)A与B互斥 (4)P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)
2.(1)对立事件
3.(1)[0,1] (2)1 0 (3)P(A)+P(B) (4)1-P(A) 1 0
诊断分析
(1)√ (2)√ (3)×
【课中探究】
例1 D C [解析] 从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,则事件A={1个白球和1个红球,2个白球},事件B={2个红球},事件C={1个红球和1个白球,2个红球},事件D={1个白球和1个红球,2个白球}.故A与D相等,B包含于C.
例2 解:(1)由题知A={1,2},B={2,3},所以{2}=A∩B,即A∩B表示“向上的点数为2”.
(2)由(1)可知A∪B表示“向上的点数是1或2或3”,即“向上的点数不超过3”.
变式 ABC [解析] 事件D包括2名全是男生和1名男生1名女生,故A D,A∪C=D,故A,C正确;事件B与D不能同时发生,故B∩D= ,故B正确;A∪B表示2名全是男生或2名全是女生,B∪D表示2名全是女生或至少有1名男生,故A∪B≠B∪D,故D错误.故选ABC.
例3 (1)D (2)AD [解析] (1)事件A与事件D,事件B与事件C,事件B与事件D都可以同时发生,故A,B,C错误.因为取出的牌有两张6的同时不可能再有一张大王,所以事件A与事件C互斥.故选D.
(2)对于A,因为P(A)+P(B)=+==P(A+B),所以A,B是互斥事件,故A正确;对于B,若事件A为“抛出骰子点数为1或2”,则P(A)=,若事件B为“抛出骰子点数小于或等于4”,则P(B)=,此时A+B不是必然事件,故B错误;对于C,若A,B是互斥事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B)=+=,故C错误;对于D,若A,B是对立事件,则P(A∪B)=1,故D正确.故选AD.
变式 解:(1)设事件“打进的电话响第k声时被接”为Ak(k∈N*),则事件Ak彼此互斥.设“打进的电话在响5声之前被接”为事件A,
根据互斥事件的概率加法公式,得P(A)=P(A1∪A2∪A3∪A4)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4)=0.1+0.2+0.3+0.35=0.95.
(2)设事件B为“打进的电话响4声而不被接”,
则为“打进的电话在响5声之前被接”.
所以P(B)=1-P()=1-P(A)=1-0.95=0.05.
例4 解:方法一:(1)因为事件A,B,C,D两两互斥,所以“取出1个球为红球或黑球”的概率P(A+B)=P(A)+P(B)=+=.
(2)“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=++=.
方法二:(1)“取出1个球为红球或黑球”的对立事件为“取出1个球为白球或绿球”,即A+B的对立事件为C+D,所以P(A+B)=1-P(C+D)=1-P(C)-P(D)=1--=,故“取出1个球为红球或黑球”的概率为.
(2)“取出1个球为红球或黑球或白球”的对立事件为“取出1个球为绿球”,即A+B+C的对立事件为D,所以P(A+B+C)=1-P(D)=1-=,故“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率为.
变式 解:(1)由给定图形可知,区域1表示该生语文、数学、英语三种学习资料全部订阅.
区域4表示该生只订阅语文、数学两种学习资料;
区域5表示该生只订阅语文学习资料;
区域8表示该生语文、数学、英语三种学习资料都没有订阅.
(2)①至少订阅一种学习资料为事件A+B+C.
②恰好订阅一种学习资料的事件包含只订阅数学资料,只订阅语文资料,只订阅英语资料,所以恰好订阅一种学习资料为事件A+B+C.
③没有订阅任何学习资料为事件.
【课堂评价】
1.A [解析] 因为B A,所以P(AB)=P(B)=0.1.故选A.
2.C [解析] 甲、乙不能同时得到红环,所以事件“甲分得红环”与“乙分得红环”是互斥事件.甲、乙可能都得不到红环,即事件“甲或乙分得红环”不是必然事件,故事件“甲分得红环”与“乙分得红环”不是对立事件,所以事件“甲分得红环”与“乙分得红环”是互斥但不对立事件.故选C.
3.B [解析] A1∪A2∪A3表示的是A1,A2,A3这三个事件中至少有一个发生,即可能击中1发、2发或3发.故选B.
4.C [解析] 易知事件A与事件互斥,且P(A)=,P(B)=,所以P(A∪)=P(A)+P()=P(A)+1-P(B)=+1-=.故选C.
5.0.2 0 [解析] (1)因为P(A∪B)=P(A)=0.4,所以B A,所以P(AB)=P(B)=0.2.
(2)因为P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.4+0.2=0.6,则A与B互斥,所以P(AB)=0.5.3.2 事件之间的关系与运算
【学习目标】
1.了解事件间的包含关系和相等关系, 理解互斥事件与对立事件的概念与关系;
2.会用互斥事件与对立事件的概率公式求概率, 了解并事件与交事件的概念,会进行事件的运算.
◆ 知识点一 事件的包含与相等
1.一般地,如果事件A发生时,事件B ,则称“A包含于B”(或“B包含A”),记作A B(或B A).
2.如果事件A发生时,事件B ;而且事件B发生时,事件A也 ,则称“A与B相等”,记作A=B.
3.当A=B时,有 .
◆ 知识点二 事件的和(并)
1.给定事件A,B,由所有A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为A与B的 ,记作A+B(或A∪B),事件A与B的和可以用如图所示的阴影部分表示.
2.P(A)≤P(A+B)且P(B)≤P(A+B);
P(A+B)≤P(A)+P(B).
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
事件A与B的和事件发生的概率一定大于事件A发生的概率. ( )
◆ 知识点三 事件的积(交)
1.给定事件A,B,由A与B中的 组成的事件称为A与B的积(或交),记作AB(或A∩B),事件A与B的积可以用如图所示的阴影部分表示.
2.P(AB)≤P(A)且P(AB)≤P(B).
◆ 知识点四 事件的互斥与对立
1.互斥事件
(1)给定事件A,B,若事件A与B 同时发生,则称A与B互斥,记作AB= (或A∩B= ),这一关系可用图表示.
(2)任意两个基本事件都是 的, 与任意事件互斥.
(3)当 (即AB= )时,有P(A+B)=P(A)+P(B),这称为互斥事件的概率加法公式.
(4)一般地,如果A1,A2,…,An是两两互斥的事件,则 .
2.对立事件
(1)给定样本空间Ω与事件A,则由Ω中所有不属于A的样本点组成的事件称为A的 ,记作,如图所示.如果B=,则称A与B相互对立.
(2)P(A)+P()=1.
3.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围: .
(2)必然事件发生的概率为 ,不可能事件发生的概率为 .
(3)互斥事件的概率加法公式为:如果事件A与B为互斥事件,则P(A∪B)= .
(4)若A与为对立事件,则P()= .P(A∪)= ,P(A∩)= .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)对立事件一定互斥. ( )
(2)互斥事件是指两个事件在一次试验中不会同时发生,但可以同时不发生. ( )
(3)若P(A)+P(B)=1,则事件A与事件B一定是对立事件. ( )
◆ 知识点五 事件的混合运算
同数的加、减、乘、除混合运算一样,事件的混合运算也有优先级,我们规定:求积运算的优先级高于求和运算.
◆ 探究点一 事件的包含与相等
例1 从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,记“至少有1个白球”为事件A,“全是红球”为事件B,“至少有1个红球”为事件C,“至多有1个红球”为事件D,则A与 相等,B包含于 .
[素养小结]
判断两个事件的关系主要考虑事件之间的充分性和必要性.若A发生是B发生的充要条件,则A=B;若A发生是B发生的充分不必要条件,则A B.
◆ 探究点二 交事件与并事件
例2 抛掷一枚质地均匀的骰子,记“向上的点数是1或2”为事件A,“向上的点数是2或3”为事件B,试用A,B表示下列事件:
(1)向上的点数为2;
(2)向上的点数不超过3.
变式 (多选题)某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名参加演讲比赛,设A={2名全是男生},B={2名全是女生},C={恰有1名男生},D={至少有1名男生},则下列关系正确的是( )
A.A D B.B∩D=
C.A∪C=D D.A∪B=B∪D
[素养小结]
进行事件的运算时,一是要紧扣运算的定义,二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果,必要时可列出全部的试验结果进行分析,也可类比集合的关系和运算用维恩图分析事件.
◆ 探究点三 互斥事件与对立事件
例3 (1)[2024·辽宁辽阳高一期末] 一副扑克牌(含大王、小王)共54张,以黑桃、红桃、梅花、方块表示各组,每组花色包括A,2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K共13张牌.从这副扑克牌中随机取出两张,事件A:取出的牌有两张6,事件B:取出的牌至少有一张黑桃,事件C:取出的牌有一张大王,事件D:取出的牌有一张红桃6,则 ( )
A.事件A与事件D互斥
B.事件B与事件C互斥
C.事件B与事件D互斥
D.事件A与事件C互斥
(2)(多选题)若A,B是某个试验中的两个随机事件,则以下说法正确的是 ( )
A.若P(A)=,P(B)=,则当且仅当P(A+B)=时,A,B是互斥事件
B.若P(A)=,P(B)=,则A+B是必然事件
C.若A,B是互斥事件,P(A)=,P(B)=,则P(A∪B)=
D.若A,B是对立事件,则P(A∪B)=1
变式 某服务电话,打进的电话响第1声时被接的概率是0.1;响第2声时被接的概率是0.2;响第3声时被接的概率是0.3;响第4声时被接的概率是0.35.
(1)打进的电话在响5声之前被接的概率是多少
(2)打进的电话响4声而不被接的概率是多少
[素养小结]
(1)判断两个事件是否互斥,主要看它们在一次试验中能否同时发生,若不能同时发生,则这两个事件互斥,否则不互斥.
(2)判断两个事件是否对立,主要看在一次试验中这两个事件是否同时满足两个条件:一是不能同时发生;二是必有一个发生.
◆ 探究点四 事件的混合运算
例4 盒中装有红球、黑球、白球、绿球共12个,从中任取1个球,设事件A为“取出1个红球”,事件B为“取出1个黑球”,事件C为“取出1个白球”,事件D为“取出1个绿球”.已知P(A)=,P(B)=,P(C)=,P(D)=.
(1)求“取出1个球为红球或黑球”的概率;
(2)求“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率.
变式 下图是某班级50名学生订阅数学、语文、英语学习资料的情况,其中A表示订阅数学学习资料的学生,B表示订阅语文学习资料的学生,C表示订阅英语学习资料的学生.
(1)从这个班级任意选择一名学生,用自然语言描述1,4,5,8各区域所代表的事件.
(2)用A,B,C表示下列事件:
①至少订阅一种学习资料;
②恰好订阅一种学习资料;
③没有订阅任何学习资料.
[素养小结]
事件混合运算的关键是搞清楚事件之间的关系,正确地选择计算事件概率的公式.
1.已知P(A)=0.3,P(B)=0.1,若B A,则P(AB)= ( )
A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4
2.[2023·陕西咸阳实验中学高一月考] 奥林匹克运动会会旗中央有5个互相套连的圆环,颜色自左至右,上方依次为蓝、黑、红,下方依次为黄、绿,象征着五大洲.在手工课上,老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学,每人分得1个,则事件“甲分得红环”与“乙分得红环”是 ( )
A.对立事件
B.互斥且对立事件
C.互斥但不对立事件
D.既不互斥又不对立事件
3.某人打靶3次,事件Ai表示“击中i发”,其中i=0,1,2,3,那么A1∪A2∪A3表示 ( )
A.全部击中 B.至少击中1发
C.至少击中2发 D.全部未击中
4.在投掷一枚骰子的试验中,出现各点的概率都是.事件A表示“小于5的偶数点出现”,事件B表示“小于5的点数出现”,则在一次试验中,事件A∪发生的概率是 ( )
A. B.
C. D.
5.已知P(A)=0.4,P(B)=0.2.
(1)若P(A∪B)=0.4,则P(AB)= ;
(2)若P(A∪B)=0.6,则P(AB)= . 5.3.2 事件之间的关系与运算
1.B [解析] 记事件A:甲不输,B:甲获胜,C:甲、乙下成平局,则事件A是事件B与事件C的和,显然B,C互斥,所以P(A)=P(B)+P(C).因为P(A)=0.8,P(C)=0.5,所以P(B)=P(A)-P(C)=0.3,所以甲获胜的概率是0.3.故选B.
2.B [解析] 由P(A)=,P(B)=,P(AB)=,得P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=.故选B.
3.C [解析] ∵随机事件A与B互斥,P(A)=2-a,P(B)=3a-4,∴即解得
4.D [解析] ∵“至少有2件次品”包括“恰有2件、3件、…、10件次品”,∴其对立事件为“恰有1件次品或没有次品”,即“至多有1件次品”.故选D.
5.C [解析] 由题意,可知A={1,3,5},B={5,6},A∩B={5},则事件A∩B为“点数为5”.故选C.
6.D [解析] 对于A,恰好有1件次品和恰好有2件次品互为互斥事件,不是对立事件;对于B,至少有1件次品和全是次品可以同时发生,不是对立事件;对于C,至少有1件正品和至少有1件次品可以同时发生,不是对立事件;对于D,至少有1件次品即存在次品和全是正品为对立事件.故选D.
7.D [解析] 由已知条件可知,一次随机试验中产生的事件可能不止事件A1,A2,A3这三个事件,所以P(A1∪A2∪A3)≤P(A1)+P(A2)+P(A3)=1,故A,B错误;P(A2∪A3)≤P(A2)+P(A3)=0.8,故C错误;P(A1+A2)≤P(A1)+P(A2)=0.5,故D正确.故选D.
【易错点】 在一次随机试验中可以通过事件间的关系判断事件的和的概率,但不能通过事件的概率判定事件间的关系.
8.BC [解析] A∪B表示“甲没有中奖或甲获得一等奖”,但甲可能获得二等奖,即事件A和事件B可能都不发生,故事件A和事件B不是对立事件,故A错误.事件A表示“甲没有中奖”,事件C表示“甲中奖”,则事件A和事件C是互斥的且必然有一个发生,故事件A和事件C是对立事件,故B正确.因为B C,所以P(B+C)=P(C),故C正确.P(BC)=P(B),故D错误.故选BC.
9.ACD [解析] ∵A,B为两个互斥事件,P(A)>0,P(B)>0,∴AB= ,即P(AB)=0,故A正确,B错误.∵A,B为两个互斥事件,∴ B,∴P(∪B)=P() ,故C正确.
∵A,B为两个互斥事件,∴P(A∪B)=P(A)+P(B),故D正确.故选ACD.
10.{8,10} [解析] ∩(B∪C)={8,10}∩{2,6,8,10}={8,10}.
11. [解析] 因为事件A与B互斥,它们都不发生的概率是,所以P(A)+P(B)=1-=,又P(A)=3P(B),所以P(B)=,P(A)=,所以P()=1-P(A)=.
12.命中6环或7环 [解析] 因为A∩B表示“命中6环或7环或8环”,所以A∩B∩表示“命中6环或7环”.
13.解:(1)由题意得,事件A={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)},
事件B={(1,3),(2,2),(3,1)},
事件C={(1,5),(2,6),(5,1),(6,2)},
事件D={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}.
则C∩D={(1,5),(5,1)},A∪B={(1,1),(1,3),(2,2),(3,1),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}.
(2)由(1)知,事件B={(1,3),(2,2),(3,1)},C={(1,5),(2,6),(5,1),(6,2)},
因为E={(1,3),(1,5),(2,2),(2,6),(3,1),(5,1),(6,2)},
所以E=B∪C.
14.解:从袋中任取一球,记“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”.“得到绿球”分别为事件A,B,C,D,事件A,B,C,D彼此互斥.
由已知可得,P(A)=,P(B∪C)=P(B)+P(C)=,P(C∪D)=P(C)+P(D)=,
则P()=1-P(A)=,即P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D)=,
所以P(D)=-=,P(C)=-=,P(B)=-=.
故从中任取一球,得到黑球、黄球和绿球的概率分别是,,.
15.B [解析] 由已知得A={1,3,5},B={1,2,3},A∩B={1,3},所以P(A)=,P(B)=,P(A∩B)=,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=+-=.故选B.
16.①③⑤⑥ [解析] E= ,故①正确;F=AB+B+A,故②错误;F=A+B,故③正确;A+B表示靶被击中,故④错误;G=B+A,故⑤正确;E,F为对立事件,则P(F)=1-P(E),故⑥正确;P(F)=P(A)+P(B)-P(AB),故⑦错误.故填①③⑤⑥.5.3.2 事件之间的关系与运算
一、选择题
1.甲、乙两人下棋,甲不输的概率是0.8,两人下成平局的概率是0.5,则甲获胜的概率是( )
A.0.2 B.0.3
C.0.5 D.0.8
2.[2024·湖北十堰高一期末] 已知P(A)=,P(B)=,P(AB)=,则P(A∪B)=( )
A. B.
C. D.
3.若随机事件A与B互斥,且P(A)=2-a,P(B)=3a-4,则实数a的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.
4.抽查10件产品,记事件A:至少有2件次品,则表示的事件为 ( )
A.至多有2件次品
B.至少有2件正品
C.至多有2件正品
D.至多有1件次品
5.抛掷一枚质地均匀的骰子,观察朝上的面的点数.记事件A为 “点数为奇数”,事件B为 “点数大于4”,则事件A∩B为 ( )
A.“点数为3” B.“点数为4”
C.“点数为5” D.“点数为6”
6.已知6件产品中有3件正品,3件次品.现从6件产品中任取2件,观察正品件数与次品件数,下列选项中的两个事件互为对立事件的是 ( )
A.恰好有1件次品和恰好有2件次品
B.至少有1件次品和全是次品
C.至少有1件正品和至少有1件次品
D.至少有1件次品和全是正品
★7.在一次随机试验中,其中3个事件A1,A2,A3发生的概率分别为0.2,0.3,0.5,则下列说法中正确的是( )
A.A1+A2与A3是互斥事件,也是对立事件
B.A1+A2+A3是必然事件
C.P(A2∪A3)=0.8
D.P(A1+A2)≤0.5
8.(多选题)[2023·甘肃高一期末] 某饮料厂商开发了一种新的饮料,为了促销,每箱装的6瓶饮料中有2瓶瓶盖上分别印有“一等奖”“二等奖”,其余4瓶印有“谢谢惠顾”.甲从新开的一箱中任选2瓶购买,设事件A表示“甲没有中奖”,事件B表示“甲获得一等奖”,事件C表示“甲中奖”,则 ( )
A.事件A和事件B是对立事件
B.事件A和事件C是对立事件
C.P(B+C)=P(C)
D.P(BC)=P(C)
9.(多选题)设A,B为两个互斥的事件,且P(A)>0,P(B)>0,则下列各式中正确的是 ( )
A.P(AB)=0
B.P(AB)=P(A)P(B)
C.P(∪B)=P()
D.P(A∪B)=P(A)+P(B)
二、填空题
10.某随机事件的样本空间Ω={0,2,4,6,8,10},事件A={0,2,4,6},B={2,6,8},C={8,10},则∩(B∪C)= .
11.[2023·上海徐汇区高一期末] 已知事件A与B互斥,它们都不发生的概率是,且P(A)=3P(B),则P()= .
12.某射击运动员练习射击,记事件A为“命中5环以上”,事件B为“命中不超过8环”,事件C为“命中8环”,则事件A∩B∩的含义是 .
三、解答题
13.[2023·新疆八一中学高一期末] 连续抛掷两枚骰子,观察落地时向上的面的点数.记事件A:两次出现的点数相同,事件B:两次出现的点数之和为4,事件C:两次出现的点数之差的绝对值为4,事件D:两次出现的点数之和为6.
(1)写出事件C∩D,A∪B包含的样本点;
(2)若事件E={(1,3),(1,5),(2,2),(2,6),(3,1),(5,1),(6,2)},则事件E与已知事件是什么运算关系
14.[2023·河南南阳高一期末] 袋中有若干个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,得到红球的概率是,黑球或黄球的概率是,绿球或黄球的概率也是.求从中任取一球,得到黑球、黄球和绿球的概率分别是多少
15.抛掷一枚质地均匀的骰子,向上的一面出现任意点数的概率都是,记事件A为“向上的点数是奇数”,事件B为“向上的点数不超过3”,则P(A∪B)= ( )
A. B. C. D.
16.甲、乙两人对同一个靶各射击一次,设事件A为“甲击中靶”,事件B为“乙击中靶”,事件E为“靶未被击中”,事件F为“靶被击中”,事件G为“恰一人击中靶”.有下列关系式:①E= ;②F=AB;③F=A+B;④G=A+B;⑤G=B+A;⑥P(F)=1-P(E);⑦P(F)=P(A)+P(B).其中正确的关系式的为 .(填序号)