1.1集合的概念 提升练习（含解析）-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第一章　集合与常用逻辑用语
1.1　集合的概念
题组一　集合的概念与元素的特性
1.下面给出的四类对象中,能构成集合的是(　　)
A.某班视力较好的同学　　　　B.某小区长寿的人
C.π的近似值 D.方程x2=1的实数根
2.已知集合S中的三个元素a,b,c是△ABC的三条边长,那么△ABC一定不是(　　)
A.锐角三角形　　　　B.直角三角形
C.钝角三角形　　　　D.等腰三角形
3.若以方程x2-3x+2=0和x2-5x+6=0的所有的解为元素组成集合A,则A中的元素个数为(　　)
A.1　　B.2　　C.3　　D.4
题组二　元素与集合的关系
4.给出下列关系:①π∈R;②∈Q;③-3 Z;④|-3| N;⑤0 Q.其中正确的个数为(　　)
A.1　　B.2　　C.3　　D.4
5.已知集合A={x|3x+2>m},若-1 A,则实数m的取值范围是(　　)
A.m<-1　　B.m>-1　　C.m≥-1　　D.m≤-1
6.已知集合A={1,a2+2a,a+2},若3∈A,则a=(　　)
A.1　　B.-3　　C.-3或1　　D.3
题组三　集合的表示方法
7.若集合A={x|-1≤x≤4,x∈N},则集合A中的元素个数为(　　)
A.3　　B.4　　C.5　　D.6
8.方程组的解组成的集合是(　　)
A.{1,6}　　　　B.{x=3,y=2}　　
C.{(1,6)}　　　　D.{(3,2)}
9.在数轴上与原点距离不大于3的点对应的数组成的集合是(　　)
A.{x|x≤-3或x≥3}　　　　B.{x|-3≤x≤3}
C.{x|x≤-3}　　　　D.{x|x≥3}
10.(多选题)下列各组中,M,P表示不同集合的是(　　)
A.M={3,-1},P={(3,-1)}
B.M={(3,1)},P={(1,3)}
C.M={y|y=x2+1,x∈R},P={x|x=t2+1,t∈R}
D.M={y|y=x2-1,x∈R},P={(x,y)|y=x2-1,x∈R}
11.集合A=xx∈Z,且∈N用列举法可表示为A=　　　　.
12.(1)用列举法表示方程组 的解组成的集合;
(2)用描述法表示不等式-1<2x+3<9的解集.
答案与解析
第一章　集合与常用逻辑用语
1.1　集合的概念
基础过关练
1.D 2.D 3.C 4.A 5.C 6.B 7.C 8.D
9.B 10.ABD
1.D　A,B,C均不满足集合中元素的确定性.方程x2=1的实数根为-1,1,具有确定性,能构成集合.故选D.
2.D　因为集合中的元素必须是互异的,所以三角形的三条边长两两互不相等,故选D.
3.C　易得方程x2-3x+2=0的解为1,2,方程x2-5x+6=0的解为2,3,
∴集合A={1,2,3},共有3个元素.故选C.
4.A　易知仅有π∈R正确,故选A.
5.C　∵集合A={x|3x+2>m},-1 A,∴3×(-1)+2≤m,即m≥-1,故选C.
6.B　因为A={1,a2+2a,a+2},3∈A,
所以a2+2a=3或a+2=3,解得a=-3或a=1,
当a=-3时,A={1,3,-1},符合题意;当a=1时,a2+2a=a+2,不满足集合中元素的互异性,舍去,
因此a=-3.故选B.
7.C　由A={x|-1≤x≤4,x∈N}得A={0,1,2,3,4},所以集合A中的元素个数为5.故选C.
8.D　解方程组得故所求集合是{(x,y)|x=3,y=2}或{(3,2)}.故选D.
9.B　在数轴上与原点距离不大于3的点对应的数x满足|x|≤3,即-3≤x≤3,因此所求的集合为{x|-3≤x≤3},故选B.
10.ABD　选项A,集合M的元素为3,-1,集合P的元素为点(3,-1),所以A符合题意;选项B,集合M的元素为点(3,1),集合P的元素为点(1,3),所以B符合题意;选项C,易知集合M,P为同一集合,所以C不符合题意;选项D,集合M的元素为y,集合P的元素为点(x,y),所以D符合题意.故选ABD.
11.答案　{-2,2,4,5}
解析　∵A=xx∈Z,且∈N,∴6-x是8的约数且x∈Z,∴6-x=8,4,2,1,且x∈Z,∴x=-2,2,4,5,故A={-2,2,4,5}.
12.解析　(1)由解得或所以方程组的解组成的集合为{(0,1),(1,0)}.
(2)因为-1<2x+3<9,所以-2所以不等式的解集为{x|-21.2　集合间的基本关系
题组一　子集、真子集和空集
1.已知集合A={x|x2-1=0},则下列结论错误的是(　　)
A.1∈A　　　　B.{-1} A　　C.{-1}∈A　　　　D.{-1,1}=A
2.已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0A.1　　B.2　　C.3　　D.4
3.下列四个集合中,是空集的是(　　)
A.{x|x+3=3}B.{(x,y)|y2=-x2,x,y∈R}
C.{x|x2≤0}D.{x|x2-x+1=0,x∈R}
4.(多选题)下列结论错误的是(　　)
A.{0}∈{0,1}　　　　B. ∈{0}C.{1,2} Z　　　　D. {0,1}
5.已知M={x|x=3m-1,m∈Z},N={x|x=3n+2,n∈Z},P={x|x=6p-1,p∈Z},则下列结论正确的是(　　)
A.M=P N　　　　B.P M=N　　C.M N P　　　　D.N M P
题组二　集合间的关系及其应用
6.设集合A={0,-a},B={1,-1,2a-2},若A B,则a=(　　)
A.2　　B.1　　C.　　D.-1
7.已知集合A={x|xA.{a|a≥3}　　　　B.{a|a>3} C.{a|a>0}　　　　D.{a|a≥0}
8.(多选题)已知集合A={0,1},B={x|x∈A,x∈N},C={x|x A},则关于集合A、B、C之间的关系,下列结论正确的有(　　)
A.A=B　　B.A B　　C.A=C　　D.A C
9.已知集合A=,B=xx=k±,k∈Z,则集合A,B之间的关系为　　　　.
10.设m为实数,集合A={x|-3≤x≤2},B={x|m≤x≤2m-1},且B A,则m的取值范围是　　　　.
11.(2024河北卓越联盟月考)已知集合A={x|ax2+2x+1=0,x∈R}.
(1)若A恰有一个子集,求a的取值范围;
(2)若A恰有一个元素,求a的取值集合.
答案与解析
1.2　集合间的基本关系
1.C 2.D 3.D 4.AB 5.B 6.B 7.B 8.AD
1.C　集合A={x|x2-1=0}={-1,1},∴1∈A,-1∈A,{-1} A,故A,B,D正确,C错误.故选C.
2.D　由题意可得A={1,2},B={1,2,3,4},
∵A C B,
∴满足条件的集合C为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4},共4个,故选D.
3.D　选项A,{x|x+3=3}={0};
选项B,{(x,y)|y2=-x2,x,y∈R}={(0,0)};
选项C,{x|x2≤0}={0};
选项D,方程x2-x+1=0中,Δ=1-4=-3<0,∴该方程无实数解,∴{x|x2-x+1=0,x∈R}= .故选D.
4.AB　∵{0} {0,1},∴A错误;∵ {0},∴B错误;∵{1,2} Z,∴C正确;易知D正确.故选AB.
5.B　因为M={x|x=3m-1,m∈Z},
N={x|x=3n+2,n∈Z}={x|x=3(n+1)-1,n∈Z},
P={x|x=6p-1,p∈Z}={x|x=3·2p-1,p∈Z},
所以P M=N.故选B.
6.B　由A B得2a-2=0,解得a=1,
此时A={0,-1},B={1,-1,0},符合题意.故选B.
7.B　因为B A,故0,3均为A={x|x3,故选B.
8.AD　集合A={0,1},B={x|x∈A,x∈N}={0,1}=A,选项A正确,B错误;
C={x|x A}={ ,{0},{1},{0,1}},则A C,选项C错误,D正确.故选AD.
9.答案　A=B
解析　A==…,-,-,-,,,,…,
B==…,-,-,-,,,,…,故A=B.
10.答案　
解析　当B= 时,m>2m-1,即m<1,满足B A;
当B≠ 时,由B A得解得1≤m≤.
综上所述,m的取值范围是.
11.解析　(1)若集合A恰有一个子集,则集合A是空集,即方程ax2+2x+1=0无实根,
故a≠0,且Δ=4-4a<0,解得a>1,所以a的取值范围是{a|a>1}.
(2)当a=0时,方程为2x+1=0,得x=-,此时集合A只有一个元素,符合题意;
当a≠0时,由题意得Δ=4-4a=0,解得a=1.
所以a的取值集合为{0,1}.
1.3　集合的基本运算
题组一　并集与交集的运算
1.集合A={x|-1≤x≤2},B={x∈N|x<2},则A∩B=(　　)
A.{x|x<2}　　　　B.{x|x≥1}　　
C.{0,1}　　　　D.{x|-1≤x<2}
2.已知集合A={x|0≤x≤3},B={x|1A.{x|1C.{x|1≤x≤3}　　　　D.{x|03.已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z},T={t|t=4n+1,n∈Z},则S∩T=(　　)
A. 　　B.S　　C.T　　D.Z
4.集合M={(x,y)|2x+y=0},N={(x,y)|x+y-3=0},则M∩N=(　　)
A.{-3,6}　　　　B.(-3,6)　　
C.{(-3,6)}　　　　D.{(3,-6)}
题组二　补集的运算及其与交集、并集的综合运算
5.已知集合U=R,A={x|x≤-1或x>2},则 UA=(　　)
A.{x|x<-1,或x>2}　　　　B.{x|-1C.{x|x≤-1,或x≥2}　　　　D.{x|-16.已知集合U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},集合A={x∈U|x为素数},B={x∈U|x为奇数},则集合 U(A∩B)=(　　)
A.{2,4,6,8,10}　　　　B.{2,4,6,8,9,10}
C.{1,2,4,6,8,9,10}　　　　D.{1,2,3,5,7}
7.如图,已知U为全集,集合A,B均为U的子集,则A∩( UB)表示区域(　　)
A.Ⅰ　　B.Ⅱ　　C.Ⅲ　　D.Ⅳ
8.已知全集U={x∈N*|x<9},( UA)∩B={1,6},A∩( UB)={2,3}, U(A∪B)={5,7,8},则B=(　　)
A.{2,3,4}　　　　B.{1,4,6}
C.{4,5,7,8}　　　　D.{1,2,3,6}
题组三　利用集合的运算解决参数问题
9.设集合A={2,a},B={-1,a2-2},若A∩B≠ ,则实数a=(　　)
A.-2　　　　B.-1　　
C.-1或-2　　　　D.-1或±2
10.设U={0,1,2,3},A={x∈U|x2+mx=0},若 UA={1,2},则实数m=　　　　.
11.设集合M={x|-412.设m为实数,集合A={x|-2≤x≤4},B={x|m≤x≤m+2}.
(1)若m=3,求A∪B, R(A∩B);
(2)若A∩B= ,求实数m的取值范围.
答案与解析
1.3　集合的基本运算
1.C 2.B 3.C 4.C 5.B 6.C 7.B 8.B 9.A
1.C　由题意知,B={0,1},故A∩B={0,1}.故选C.
2.B　由A={x|0≤x≤3},B={x|1得A∪B={x|0≤x<4}.故选B.
3.C　当n是偶数时,设n=2k,k∈Z,则s=2n+1=4k+1,k∈Z,当n是奇数时,设n=2k+1,k∈Z,则s=2n+1=4k+3,k∈Z,因此T S,所以S∩T=T,故选C.
4.C　联立方程解得所以M∩N={(-3,6)},故选C.
5.B　借助数轴可得 UA={x|-16.C　由题可得A={2,3,5,7},B={1,3,5,7,9},
则A∩B={3,5,7},
所以 U(A∩B)={1,2,4,6,8,9,10}.故选C.
易错警示　求某一集合的补集的前提是明确全集,同一集合在不同全集下的补集是不同的.
7.B　由题图可知,集合A包含Ⅱ,Ⅲ两部分,集合 UB包含Ⅰ,Ⅱ两部分,所以A∩( UB)表示的区域为Ⅱ,故选B.
8.B　易知U={1,2,3,4,5,6,7,8},根据题意作出Venn图,如图,可知B={1,4,6}.
9.A　由A∩B≠ ,得a2-2=2或a2-2=a或a=-1,
由a2-2=2,得a=-2或a=2;由a2-2=a,得a=-1或a=2.当a=-1时,a2-2=-1,不满足集合中元素的互异性,舍去;
当a=-2时,A={2,-2},B={-1,2},符合题意;
当a=2时,不满足集合中元素的互异性,舍去.
所以a=-2.故选A.
10.答案　-3
解析　∵U={0,1,2,3}, UA={1,2},∴A={0,3}.
∵A={x∈U|x2+mx=0},∴0,3为x2+mx=0的两个根,∴m=-3.
11.答案　{t|t≤3}
解析　由M∩N=N得N M(口诀:“越交越小”),
当N= 时,有t+2≥2t-1,解得t≤3,满足N M;
当N≠ 时,由N M得无解.
综上,实数t的取值范围是{t|t≤3}.
12.解析　(1)当m=3时,B={x|3≤x≤5},
又A={x|-2≤x≤4},所以A∪B={x|-2≤x≤5},
A∩B={x|3≤x≤4},所以 R(A∩B)={x|x<3或x>4}.
(2)由A∩B= 得m+2<-2或m>4,
即m<-4或m>4,
所以实数m的取值范围是{m|m<-4或m>4}.
1.4　充分条件与必要条件
题组一　充分条件、必要条件与充要条件的判定
1.已知p:0A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.荀子曾说过:“故不积跬步,无以至千里;不积小流,无以成江海.”这里的“积跬步”是“至千里”的(　　)
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
3.黄金三角形被称为最美等腰三角形,因此它经常被应用于许多经典建筑中.黄金三角形有两种,一种是顶角为36°,底角为72°的等腰三角形,另一种是顶角为108°,底角为36°的等腰三角形,则“△ABC中有一个角是36°”是“△ABC为黄金三角形”的　(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.设M,N为两个集合,则“M∪N≠ ”是“M∩N≠ ”的(　　)
A.充分不必要条件　　　　
B.必要不充分条件
C.充要条件　　　　
D.既不充分也不必要条件
5.已知p是r的充分条件,q是r的充分不必要条件,s是r的必要条件,p是s的必要条件,现有下列命题:①r是p的必要不充分条件;②r是s的充分不必要条件;③q是p的充分不必要条件;④s是q的充要条件.其中正确命题的序号是(　　)
A.①　　　　B.②　　
C.③　　　　D.④
6.下列“若p,则q”形式的命题中,p是q的必要条件的有(　　)
①若x,y是偶数,则x+y是偶数;
②若a<2,则方程x2-2x+a=0有实根;
③若四边形的对角线互相垂直,则这个四边形是菱形;
④若ab=0,则a=0.
A.0个　　　　B.1个　　
C.2个　　　　D.3个
7.(多选题)下列结论中正确的是(　　)
A.“x>3”是“x>5”的必要不充分条件
B.设x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x+y≥4”的充分不必要条件
C.“00恒成立”的充要条件
D.在△ABC中,“AB2+AC2=BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件
8.已知U是全集,A,B是U的两个子集,则“A∩B=A”是“( UB) ( UA)”的　　　　条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选择一个作答).
题组二　充分条件、必要条件与充要条件的探究与证明
9.使x2<4成立的一个充分不必要条件是(　　)
A.x<2　　　　B.0C.-2≤x≤2　　　　D.x>0
10.(多选题)一元二次方程x2+4x+n=0有正数根的充分不必要条件是(　　)
A.n=4　　B.n=-5　　C.n=-1　　D.n<0
11.若a,b都是实数,试从①ab=0;②a+b=0;③a(a2+b2)=0;④ab>0中选出适合的条件填在下面横线处(用序号填空):
(1)“a,b都为0”的必要条件是　　　　;
(2)“a,b都不为0”的充分条件是　　　　;
(3)“a,b至少有一个为0”的充要条件是　　　　.
12.(教材习题改编)已知ab≠0,求证:a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.
题组三　充分条件、必要条件与充要条件的应用
13.若“x>2a-3”是“-1A.a<1　　B.a≤1　　C.a>1　　D.a≥1
14.若“x>a”是“x≤2或x≥3”的充分不必要条件,则实数a的取值范围是　　　　.
15.已知非空集合P={x|a+1≤x≤2a+1},Q={x|-2≤x≤5}.
(1)若a=3,求( RP)∩Q;
(2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
16.已知集合A={-1,3},非空集合B={x|x2-ax+3b=0},若“x∈B”是“x∈A”的充分条件,求3a+4b的值.
答案与解析
1.4　充分条件与必要条件
1.A 2.C 3.B 4.B 5.C 6.D 7.AB 9.B 10.BC 13.B
1.A　因为{x|02.C　“故不积跬步,无以至千里”,即“要至千里,必需积跬步”,而“至千里”还可能有其他必备因素,故选C.
3.B　若△ABC中有一个角是36°且△ABC不是等腰三角形,则△ABC不是黄金三角形,充分性不成立;
反之,若△ABC为黄金三角形,则△ABC中必有一个角是36°,必要性成立,因此,“△ABC中有一个角是36°”是“△ABC为黄金三角形”的必要不充分条件.故选B.
4.B　由M∪N≠ ,得M,N中至少有一个不是空集,而M∩N可能是空集,
因此M∪N≠ 推不出M∩N≠ ,所以充分性不成立;
由M∩N≠ ,说明M,N都不是空集,且M与N至少有一个公共元素,因此M∪N≠ ,
即由M∩N≠ 能推出M∪N≠ ,所以必要性成立.因此“M∪N≠ ”是“M∩N≠ ”的必要不充分条件.
故选B.
5.C　根据题意,可得p r,r s,s p,q r且r /q,
因此p、r、s两两互为充要条件,并且q是p的充分不必要条件,所以只有③正确.故选C.
6.D　对于①,若x+y是偶数,则x,y可能都是偶数,也可能都是奇数,故①不符合题意;对于②,若方程x2-2x+a=0有实根,则Δ=4-4a≥0,即a≤1,可推出a<2,故②符合题意;对于③,若四边形是菱形,则四边形的对角线互相垂直,故③符合题意;对于④,若a=0,则ab=0,故④符合题意.故选D.
7.AB　对于A,“x>5”能推出“x>3”,反之未必,因此“x>3”是“x>5”的必要不充分条件,故A正确;
对于B,若x≥2且y≥2,则x+y≥4,故充分性成立,当x=1,y=5时,满足x+y≥4,但x<2,故必要性不成立,故B正确;对于C,当a=0时,ax2+ax+1=1>0恒成立,故C错误;对于D,在△ABC中,当AB2+AC2=BC2时,△ABC为直角三角形,故充分性成立,当△ABC为直角三角形时,还可能得出AC2+BC2=AB2或AB2+BC2=AC2,故必要性不成立,故D错误.故选AB.
8.答案　充要
解析　由A∩B=A,得A B,故( UB) ( UA),充分性成立;
由( UB) ( UA)得A B,故A∩B=A,必要性成立,
所以“A∩B=A”是“( UB) ( UA)”的充要条件.
9.B　由x2<4,得到-2解题模板　一般将充分、必要条件的探求问题转化为集合间的关系问题,根据“小充分、大必要”求解.
10.BC　由一元二次方程x2+4x+n=0有实数根知Δ=16-4n≥0,即n≤4.
设两实数根为x1,x2,则x1+x2=-4,
又方程x2+4x+n=0有正数根,因此x1,x2一正一负,
所以x1x2=n<0,所以一元二次方程x2+4x+n=0有正数根的充分不必要条件可以是选项B、C.故选BC.
解题模板　解决充分条件、必要条件的探究问题,常先探究其充要条件,再利用充要条件进行判断.
11.答案　(1)①②③　(2)④　(3)①
解析　①ab=0 a=0或b=0,即a,b中至少有一个为0;
②a+b=0 a,b互为相反数,则a,b可能都为0,也可能一正一负;
③a(a2+b2)=0 a=0或
④ab>0 或即a,b同号且都不为0.
12.证明　必要性:因为a+b=1,
所以a+b-1=0.
所以a3+b3+ab-a2-b2=(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=(a+b-1)(a2-ab+b2)=0.
充分性:因为a3+b3+ab-a2-b2=0,
所以(a+b-1)(a2-ab+b2)=0,
又ab≠0,所以a≠0且b≠0.
则a2-ab+b2=+b2>0,
所以a+b-1=0,即a+b=1.
综上可得,当ab≠0时,a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.
易错警示　有关充要条件的证明,要从两个方面考虑,即充分性和必要性,缺一不可,解题时还要注意不能将充分性与必要性弄反了.
13.B　因为“x>2a-3”是“-1所以集合{x|-12a-3}的真子集,故有2a-3≤-1 a≤1,故选B.
14.答案　{a|a≥3}
解析　∵“x>a”是“x≤2或x≥3”的充分不必要条件,∴{x|x>a} {x|x≤2或x≥3},∴a≥3.
15.解析　(1)当a=3时,P={x|4≤x≤7}, RP={x|x<4,或x>7}.又Q={x|-2≤x≤5},
所以( RP)∩Q={x|-2≤x<4}.
(2)因为“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件,所以P是Q的真子集,
又Q={x|-2≤x≤5},P≠ ,
所以或解得0≤a≤2.
故a的取值范围是{a|0≤a≤2}.
解题模板　研究充分性、必要性时,可转化为集合间的关系,若p,q对应的集合为P、Q,则p是q的充分条件 P Q,p是q的必要条件 Q P.
16.解析　依题意得B A,B≠ ,所以B={-1}或B={3}或B={-1,3}.
当B={-1}时,有
所以3a+4b=3×(-2)+4×=-;
当B={3}时,有
所以3a+4b=3×6+4×3=30;
当B={-1,3}时,有
所以3a+4b=3×2+4×(-1)=2.
综上,3a+4b的值为-或30或2.
1.5　全称量词与存在量词
题组一　全称量词命题与存在量词命题及其真假判断
1.下列不是“ x∈R,x2>3”的表述方法的有(　　)
A.有一个x∈R,使得x2>3成立
B.对有些x∈R,x2>3成立
C.任选一个x∈R,都有x2>3成立
D.至少有一个x∈R,使得x2>3成立
2.下列命题是全称量词命题的有(　　)
A.有些实数没有倒数
B.所有的矩形都有外接圆
C.存在一个实数与它的相反数的和为0
D.过直线外一点有一条直线和已知直线平行
3.下列命题为真命题的是(　　)
A. x∈R,x2-x+≥0
B.所有的矩形都是正方形
C. x∈R,x2+2x+2≤0
D. x∈R,x2+1=0
4.(多选题)在下列命题中,真命题有(　　)
A. x∈R,x2+x+3=0B. x∈Q,x2+x+1是有理数
C. x,y∈Z,使3x-2y=10D. x∈R,x3-x2+1≤0
5.(多选题)下列命题中,是真命题的有(　　)
A.设A,B为两个集合,若A B,则对任意x∈A,都有x∈B
B.设A,B为两个集合,若A不包含于B,则存在x∈A,使得x B
C. x∈{y|y是无理数},x2是有理数
D. x∈{y|y是无理数},x3是无理数
6.(多选题)下列命题是真命题的有　(　　)
A.所有平行四边形的对角线都互相平分
B.若x,y是无理数,则xy一定是有理数
C.若m<1,则关于x的方程x2+2x+m=0有两个负根
D.两个相似三角形的周长之比等于它们的对应边之比
7.指出下列命题中,哪些是全称量词命题,哪些是存在量词命题,并判断其真假.
(1)存在一个四边形不是平行四边形;
(2)直角坐标系内任何一条直线都与x轴有交点;
(3)每个二次函数的图象都有最低点;
(4)矩形有一个外接圆.
题组二　全称量词命题和存在量词命题的否定及其真假判断
8.已知命题p: x<1,x2≤1,则 p为(　　)
A. x≥1,x2>1　　　　B. x<1,x2>1　　
C. x<1,x2>1　　　　D. x≥1,x2>1
9.已知:① x∈R,x2+x+1>0;②不存在实数x,使x3+1=0;③ n∈R,n2≥n;④至少有一个实数x,使得x3+1=0.以上命题的否定为真命题的是(　　)
A.①③　　B.②③　　C.②④　　D.①④
10.命题“ x∈{x|x≥0},x2-kx+1>0”的否定是　　　　.
11.若命题p: x∈R,<0,则 p:　　　　　.
12.(2024山东联考)写出下列命题的否定,并判断其真假.
(1)命题p:梯形的内角和是360°;
(2)命题q: a∈R,二次函数y=9x2+7a的图象关于y轴对称.
题组三　全称量词命题与存在量词命题及其否定的应用
13.已知命题p: x∈R,x2+8x+a=0是假命题,则实数a的取值范围是(　　)
A.016　　C.a<0　　D.a≥4
14.(多选题)已知命题p: x∈R,ax2-4x-4=0为真命题,则a的值可以为(　　)
A.-2　　B.-1　　C.0　　D.3
15.命题“ x∈{x|1≤x≤3},3x2-a≥0”为真命题的一个必要不充分条件是(　　)
A.a≤4　　B.a≤2　　C.a≥3　　D.a≤0
16.若“ x∈{x|1≤x≤3},2x+a≥0”为假命题,则实数a的取值范围为　　　　.
17.某学校开展小组合作学习模式,高二某班某组甲同学给组内乙同学出题如下:若“ x∈R,x2+2x+m≤0”是假命题,求m的取值范围.乙略加思索,也给了甲一道题:若“ x∈R,x2+2x+m>0”是真命题,求m的取值范围.这两位同学出的题中m的取值范围是否一致 请说明理由.
18.已知命题p: x∈{x|1≤x≤2},x2+x-a≥0,命题q: x∈R,x2+3x+2-a=0.
(1)当p为假命题时,求实数a的取值范围;
(2)若p和q中有且只有一个是真命题,求实数a的取值范围.
答案与解析
1.5　全称量词与存在量词
1.C 2.B 3.A 4.BC 5.ABD 6.AD 8.C 9.B
13.B 14.BCD 15.A
1.C　“ ”是存在量词,选项A中“有一个”,选项B中“有些”,选项D中“至少有一个”都是存在量词,与“ ”表述相同;选项C中“任选一个”是全称量词,不符合题意.故选C.
2.B　对于A,含有存在量词“有些”,为存在量词命题;
对于B,含有全称量词“所有的”,为全称量词命题;
对于C,含有存在量词“存在一个”,为存在量词命题;
对于D,含有存在量词“有一条”,为存在量词命题.
故选B.
3.A　对于A, x∈R,x2-x+=≥0,A为真命题;对于B,只有长和宽相等的矩形才是正方形,B为假命题;对于C, x∈R,x2+2x+2=(x+1)2+1≥1,C为假命题;对于D,x2+1=0无实根,D为假命题.故选A.
4.BC　因为x2+x+3=+>0,所以A是假命题;因为x是有理数,所以x2+x+1也是有理数,所以B是真命题;当x=4,y=1时,3x-2y=10,所以C是真命题;当x=0时,x3-x2+1=1>0,所以D是假命题.故选BC.
5.ABD　对于A,因为A B,所以对任意x∈A,都有x∈B,故是真命题;对于B,由于A不包含于B,所以存在x∈A,使得x B,故是真命题;对于C,当x=+1时,x2=3+2,是无理数,故是假命题;对于D,当x=时,x3=2,是无理数,故是真命题.故选ABD.
6.AD　易知A是真命题;当x=,y=时,xy=,是无理数,所以B是假命题;由关于x的方程x2+2x+m=0有两个负根,得解得07.解析　(1)存在量词命题.梯形不是平行四边形,所以该命题为真命题.
(2)全称量词命题.与x轴平行的直线与x轴无交点,所以该命题为假命题.
(3)全称量词命题.对于y=ax2+bx+c(a≠0),当a<0时,其图象有最高点无最低点,所以该命题为假命题.
(4)命题可以改写为“所有的矩形都有一个外接圆”,含有全称量词“所有的”,故是全称量词命题.以矩形的对角线为直径的圆是其外接圆,所以该命题为真命题.
8.C　改量词“ ”为“ ”,否结论“x2≤1”为“x2>1”,故选C.
9.B　x2+x+1=+>0,故①为真命题;当x=-1时,x3+1=0,故②为假命题,④为真命题;当n=时,n2方法技巧　命题的否定的真假判断,可以“先判断,再否定”,也可以“先否定,再判断”,视情况合理选择.
10.答案　 x∈{x|x≥0},x2-kx+1≤0
11.答案　 x∈R,>0或x=2
解析　<0隐含x-2≠0,故其否定为>0或x=2.
易错警示　写命题的否定时,要注意式子本身的意义,如:<0的反面不是≥0.
12.解析　(1) p:有一个梯形的内角和不是360°.
因为所有梯形的内角和都是360°,所以 p是假命题.
(2) q: a∈R,二次函数y=9x2+7a的图象不关于y轴对称.
对于y=9x2+7a,用-x替换x,仍成立,故其图象关于y轴对称,所以 q是假命题.
13.B　若命题p为假命题,则其否定为真命题,∴ x∈R,x2+8x+a≠0,∴Δ=64-4a<0,解得a>16.故选B.
解题模板　利用命题p或命题 p的真假求参数的取值范围时,有四种情况:命题p真、命题p假、命题 p真与命题 p假,解题时只要求出一个就能得到其他三个的范围,如求出命题p为真时参数的范围是A,则命题p为假与命题 p为真时参数的范围是 UA(U是全集),命题 p为假时参数的范围是A.
14.BCD　∵p为真命题,∴关于x的方程ax2-4x-4=0有实数根.
当a=0时,解得x=-1,符合题意;
当a≠0时,Δ=16+16a≥0,解得a≥-1,且a≠0.
综上,a的取值范围是{a|a≥-1}.故选BCD.
15.A　由题意可知,3x2≥a,x∈{x|1≤x≤3}恒成立,故只需a≤(3x2)min=3,
结合选项可知,{a|a≤3} {a|a≤4},
因此a≤4是命题“ x∈{x|1≤x≤3},3x2-a≥0”为真命题的一个必要不充分条件.故选A.
16.答案　a<-6
解析　依题意得“ x∈{x|1≤x≤3},a<-2x”是真命题,当1≤x≤3时,-6≤-2x≤-2,则a<(-2x)min=-6,故实数a的取值范围为a<-6.
17.解析　两位同学出的题中m的取值范围是一致的.
理由如下:∵“ x∈R,x2+2x+m≤0”的否定是“ x∈R,x2+2x+m>0”,而“ x∈R,x2+2x+m≤0”是假命题,则其否定“ x∈R,x2+2x+m>0”是真命题,∴两位同学出的题中m的取值范围是一致的.
18.解析　(1)由p为假命题,得 p为真命题,即 x∈{x|1≤x≤2},x2+x-a<0,即a>x2+x在x∈{x|1≤x≤2}时有解,所以a>(x2+x)min,x∈{x|1≤x≤2},易知当x=1时,(x2+x)min=2,所以a>2.
(2)由(1)可知,当p为真命题时,a≤2;当p为假命题时,a>2.
当q为真命题时,方程x2+3x+2-a=0在x∈R上有解,故Δ=9-4(2-a)≥0,解得a≥-;当q为假命题时,a<-.
所以当p为真命题,q为假命题时,a<-;当p为假命题,q为真命题时,a>2.
所以当p和q中有且只有一个是真命题时,a的取值范围是.