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5.3 概率
5.3.3 古典概型
第1课时 古典概型
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 课堂评价
◆ 备课素材
【学习目标】
1.理解古典概型及其概率计算公式,会判断古典概型；
2.会用列举法求古典概型的概率.
知识点一 古典概型
1.一般地，如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是________
（简称为有限性），而且可以认为每个只包含一个样本点的事件（即基本事件）
发生的可能性大小都______（简称为等可能性），则称这样的随机试验为古典
概率模型，简称为古典概型.
有限的
相等
2.古典概型的两个特征：________与__________.
有限性
等可能性
【诊断分析】1. 下列概率模型是古典概型的打“√”，不是的打“×”.
（1）从6名同学中任选4名参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小.( )
√
（2）同时掷两枚均匀的骰子，掷出的点数之和为7的概率.( )
√
（3）近三天中有一天降雨的概率.( )
×
（4）10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率.( )
√
2.是否所有的随机试验都能归结为古典概型？
解：并不是所有的随机试验都能归结为古典概型，一个随机试验是否能归结为
古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征：有限性与等可能性.
知识点二 古典概型的概率公式
在古典概型中，假设样本空间含有 个样本点，则每个基本事件发生的概率均为
__.此时，如果事件包含有 个样本点，则__________.
探究点一 样本点的计数问题
例1 袋子中装有除颜色外完全相同的2个黑球和3个红球，从中一次摸出2个球.
（1）写出这个试验的样本空间；
解：将2个黑球分别记为,,3个红球分别记为,, ，
则这个试验的样本空间,,,,,,,,, .
（2）用集合表示事件恰好摸出1个黑球和1个红球，事件 至少摸出1个黑球.
解：,,,,, ；
,,,,,, .
变式 做掷红、蓝两个骰子的试验，用表示样本点，其中 表示红色骰子
出现的点数， 表示蓝色骰子出现的点数.
（1）求这个试验的样本空间，并指出样本点的总数；
解：这个试验的样本空间，，，，， ，
，，，，，，，，，， ，
，，，，，，，，，， ，
，，，，，，， ，共包含36个样本点.
（2）用集合表示事件出现的点数之和大于8，事件 出现的点数相同.
解：，，，，，，，， ，
.
，，，，， .
［素养小结］
确定样本空间的方法：
随机事件的结果是相对于条件而言的，要确定样本空间必须明确事件发生的条
件，根据题意，按一定的次序列出问题的答案.求样本点时，一定要按规律去写，
要做到既不重复也不遗漏.
探究点二 古典概型的判断
例2 下列概率模型是古典概型吗？为什么？
（1）从区间 内任意取出一个实数，求取到实数2的概率；
解：不是古典概型，因为区间 内有无限个实数，取出一个实数有无限种结
果，与古典概型的特征“有限性”矛盾.
（2）先后抛掷两枚骰子，以正面向上的点数之和作为样本点，求和为12，11，
10的概率;
解：不是古典概型,因为正面向上的点数之和不是等可能出现的.
（3）从1,2,3， ，100这100个整数中任意取出1个整数，求取到偶数的概率.
解：是古典概型，因为试验的样本空间 的样本点总数有限，而且每个样本点
出现的可能性相等.
变式 袋中有大小相同的5个白球、3个黑球和3个红球，每个球有一个区别于
其他球的编号，从中摸出一个球.
（1）有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作是一个样本点建立概率模
型，该模型是不是古典概型？
解：因为共有11个球，且每个球有不同的编号，所以共有11种不同的摸法.
因为所有球大小相同，所以每个球被摸到的可能性相等，即以球的编号为样本
点的概率模型为古典概型.
（2）若按球的颜色为样本点，有多少个样本点？以这些样本点建立概率模型，
该模型是不是古典概型？
解：由于11个球共有3种颜色，因此共有3个样本点，
记摸到白球，摸到黑球， 摸到红球.
因为所有球的大小相同，所以一次摸球每个球被摸到的可能性均为 .
因为有5个白球，所以一次摸球摸到白球的可能性为，即 .
同样，摸到黑球、红球的可能性均为 ，
即 .
显然这三个样本点出现的可能性不相等，
故以颜色为样本点的概率模型不是古典概型.
［素养小结］
判断一个事件是否是古典概型，关键看该事件是否具备古典概型的两大特征：
（1）有限性：在一次试验中，样本空间所包含的样本点只有有限个.
（2）等可能性：每个基本事件发生的可能性相等.
探究点三 古典概型概率的计算
［提问］ 按先后顺序抛掷两枚质地均匀的硬币,求出现两个正面向上的概率.
解：样本空间（正，正）,（正，反）,（反，正）,（反，反） ，共包含4
个样本点，这里4个样本点出现的可能性相等,属于古典概型.出现两个正面向上
包含的样本点有（正，正），有1个，故所求概率 .
例3 （多选题）[2024·河南南阳高一期末] 甲、乙两人约定玩一种游戏，把一
枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，游戏规则有如下四种，其中对甲有利的规则
是( )
AB
A.若两次掷出的点数之和是2，3，4，5，6，10，12其中之一，则甲获胜，否则
乙获胜
B.若两次掷出的点数中最大的点数大于4，则甲获胜，否则乙获胜
C.若两次掷出的点数之和是偶数，则甲获胜；若两次掷出的点数之和是奇数，
则乙获胜
D.若两次掷出的点数是一奇一偶，则甲获胜；若两次掷出的点数均是奇数或者
偶数，则乙获胜
[解析] 对于A，把一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，共有36个样本点，两次
掷出的点数之和是2，3，4，5，6，10，12包含的样本点有,, ,
,,,,,,,,,,,，, ,
，共19个，则甲获胜的概率为，乙获胜的概率为 ，此种规则对甲
有利，故A正确；
对于B，两次掷出的点数中最大的点数大于4有最大的点数为5与最大的点数为6
两种情况，最大的点数为5包含的样本点有9个，最大的点数为6包含的样本点
有11个，则甲获胜的概率为 ，此种规则对甲有利，故B正确；
对于C，两次掷出的点数之和是偶数包含的样本点有,,, ,
, ,,,，,,,,,,,, ，
共18个，则两次掷出的点数之和是奇数包含的样本点也有18个，此时甲、乙获
胜的概率均为 ，此种规则对甲并不有利，故C错误；
对于D，两次掷出的点数是一奇一偶包含的样本点有 （个），两次掷
出的点数均是奇数或者偶数，包含的样本点有（个），此时甲、乙获
胜的概率均为 ，此种规则对甲并不有利，故D错误.故选 .
变式 袋中装有除颜色外其他均相同的6个球,其中4个白球,2个红球,从袋中任取
2个球,求下列事件的概率:
解：设4个白球的编号分别为1，2，3，4，2个红球的编号分别为5，6.从袋中任
取2个球的样本空间，，，，，， ，
，，，，，，， ，共包含15个样本点，
且每个样本点出现的可能性相同.
（1）取出的2个球都是白球;
用事件表示“取出的2个球都是白球”，则，， ，
，，，事件包含的样本点个数为6，所以 .
（2）取出的2个球1个是白球,另1个是红球.
解： 用事件表示“取出的2个球1个是白球，另1个是红球”，则 ，
，，，，，，，事件 包含的样本点个数为8，
所以 .
［素养小结］
求解古典概型概率问题的一般步骤:（1）计算样本空间的样本点的总数 ;（2）
计算事件包含的样本点的个数;（3）计算事件发生的概率 .
1.下列概率模型是古典概型的是( )
C
A.种下一粒大豆观察它是否发芽
B.从规格直径为的合格产品中任意抽一件，测量其直径
C.抛一枚均匀的硬币，观察其出现正面或反面的情况
D.某人射击中靶或不中靶
[解析] 在A中，“发芽”与“未发芽”不一定是等可能发生的；
在B中，试验的样本空间中有无数个样本点；
在D中，“中靶”与“不中靶”不一定是等可能发生的，因此A，B，D都不是古
典概型.故选C.
2.一部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则排放次序的样本空间的样
本点个数为( )
C
A.3 B.4 C.6 D.12
[解析] 记这部小说的三册分别为1，2，3，排放次序的样本空间为 ,
,,,, ，共包含6个样本点.故选C.
3.（多选题）下列关于古典概型的说法中正确的是( )
ACD
A.试验的样本空间的样本点总数有限
B.每个事件出现的可能性相等
C.每个样本点出现的可能性相等
D.已知样本点总数为，若随机事件包含个样本点，则事件 发生的概率
[解析] 由古典概型的概念可知，试验的样本空间的样本点总数有限，每个样本
点出现的可能性相等，故A，C正确；
每个事件不一定是样本点，可能包含若干个样本点，故B不正确；
根据古典概型的概率计算公式可知D正确.故选 .
4.（多选题）[2023·四川遂宁蓬溪中学高一期末] 甲、乙两个元件组成一个串联
电路，每个元件可能正常或失效.设事件甲元件正常， 乙元件正常，
用,分别表示甲、乙两个元件的状态， 表示这个串联电路的状态，以
1表示元件正常，0表示元件失效，则下列说法正确的是( )
AB
A.样本空间,,,
B.,
C.事件“电路是断路”可以用（或 ）表示
D.事件“电路是通路”可以用（或 ）表示，共
包含3个样本点
[解析] 样本空间,,, ，故A正确；
事件B发生，则乙元件正常，故，而任取，故B正确；
事件“电路是断路”中，, 至少有一个取0，因此事件“电路是断路”,
,，, ，,，，，
, ，则“电路是断路”可表示为，故C错误；
事件“电路是通路”中，, 都需要取1，因此事件“电路是通路”，
,，， ，则“电路是通路”可表示为，其中只
有1个样本点，故D错误.故选 .
5.[2023·广西玉林高一期末] 一个盒子里装有标号为1,2,3,4,5的5张标签，随机抽
取两张标签，则抽取的2张标签上的数字为相邻整数的概率是__.
[解析] 由题意得，该试验的样本空间,,,,, ,
,,, ，共包含10个样本点.
其中2张标签上的数字为相邻整数的事件包含的样本点有,,, ，
共4个，
所以抽取的2张标签上的数字为相邻整数的概率是 .
古典概型问题
（1）要准确判断；
（2）正确写出样本空间，得到样本点的总数，确定事件包含的样本点个数 ；
（3）代入公式计算.
[解析] 记“”为事件A，因为， ，所以事件A包含的
样本点有，，，，，，，， ，
，，，，，， ，共16个，依题意得，样本空
间中样本点的总数为36，且每个样本点出现的可能性相等.因此他们“心有灵犀”
的概率 .故选D.
例 甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为 ，再由乙猜甲刚
才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中,，若 ，
就称“甲、乙心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为
( )
D
A. B. C. D.5.3.3 古典概型
第1课时 古典概型
【课前预习】
知识点一
1.有限的 相等 2.有限性 等可能性
诊断分析
1.(1)√ (2)√ (3)× (4)√
2.解:并不是所有的随机试验都能归结为古典概型,一个随机试验是否能归结为古典概型,在于这个试验是否具有古典概型的两个特征:有限性与等可能性.
知识点二
P(C)=
【课中探究】
例1 解:(1)将2个黑球分别记为a,b,3个红球分别记为c,d,e,
则这个试验的样本空间Ω={ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de}.
(2)A={ac,ad,ae,bc,bd,be};
B={ab,ac,ad,ae,bc,bd,be}.
变式 解:(1)这个试验的样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)},共包含36个样本点.
(2)A={(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}.
B={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}.
例2 解:(1)不是古典概型,因为区间[1,10]内有无限个实数,取出一个实数有无限种结果,与古典概型的特征“有限性”矛盾.
(2)不是古典概型,因为正面向上的点数之和不是等可能出现的.
(3)是古典概型,因为试验的样本空间Ω的样本点总数有限,而且每个样本点出现的可能性相等.
变式 解:(1)因为共有11个球,且每个球有不同的编号,所以共有11种不同的摸法.
因为所有球大小相同,所以每个球被摸到的可能性相等,即以球的编号为样本点的概率模型为古典概型.
(2)由于11个球共有3种颜色,因此共有3个样本点,
记A:摸到白球,B:摸到黑球,C:摸到红球.
因为所有球的大小相同,所以一次摸球每个球被摸到的可能性均为.
因为有5个白球,所以一次摸球摸到白球的可能性为,即P(A)=.
同样,摸到黑球、红球的可能性均为,
即P(B)=P(C)=.
显然这三个样本点出现的可能性不相等,
故以颜色为样本点的概率模型不是古典概型.
提问 解:样本空间Ω={(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)},共包含4个样本点,这里4个样本点出现的可能性相等,属于古典概型.出现两个正面向上包含的样本点有(正,正),有1个,故所求概率P=.
例3 AB [解析] 对于A,把一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次,共有36个样本点,两次掷出的点数之和是2,3,4,5,6,10,12包含的样本点有(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,2),(1,4),(4,1),(2,3),(3,2),(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3),(4,6),(6,4),(5,5)(6,6),共19个,则甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,此种规则对甲有利,故A正确;对于B,两次掷出的点数中最大的点数大于4有最大的点数为5与最大的点数为6两种情况,最大的点数为5包含的样本点有9个,最大的点数为6包含的样本点有11个,则甲获胜的概率为=,此种规则对甲有利,故B正确;对于C,两次掷出的点数之和是偶数包含的样本点有(1,1),(1,3),(3,1),(2,2),(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3),(2,6),(6,2),(3,5),(5,3),(4,4),(4,6),(6,4),(5,5),(6,6),共18个,则两次掷出的点数之和是奇数包含的样本点也有18个,此时甲、乙获胜的概率均为,此种规则对甲并不有利,故C错误;对于D,两次掷出的点数是一奇一偶包含的样本点有6×3=18(个),两次掷出的点数均是奇数或者偶数,包含的样本点有6×3=18(个),此时甲、乙获胜的概率均为,此种规则对甲并不有利,故D错误.故选AB.
变式 解:设4个白球的编号分别为1,2,3,4,2个红球的编号分别为5,6.从袋中任取2个球的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)},共包含15个样本点,且每个样本点出现的可能性相同.
(1)用事件A表示“取出的2个球都是白球”,则A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},事件A包含的样本点个数为6,所以P(A)==.
(2)用事件B表示“取出的2个球1个是白球,另1个是红球”,则B={(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6)},事件B包含的样本点个数为8,所以P(B)=.
【课堂评价】
1.C [解析] 在A中,“发芽”与“未发芽”不一定是等可能发生的;在B中,试验的样本空间中有无数个样本点;在D中,“中靶”与“不中靶”不一定是等可能发生的,因此A,B,D都不是古典概型.故选C.
2.C [解析] 记这部小说的三册分别为1,2,3, 排放次序的样本空间为Ω={(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1)},共包含6个样本点.故选C.
3.ACD [解析] 由古典概型的概念可知,试验的样本空间的样本点总数有限,每个样本点出现的可能性相等,故A,C正确;每个事件不一定是样本点,可能包含若干个样本点,故B不正确;根据古典概型的概率计算公式可知D正确.故选ACD.
4.AB [解析] 样本空间Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)},故A正确;事件B发生,则乙元件正常,故x2=1,而x1任取,故B正确;事件“电路是断路”中,x1,x2至少有一个取0,因此事件“电路是断路”={(0,1),(1,0),(0,0)},A={(1,1),(1,0)},={(0,1),(0,0)},B={(0,1),(1,1)},={(1,0),(0,0)},则“电路是断路”可表示为∪,故C错误;事件“电路是通路”中,x1,x2都需要取1,因此事件“电路是通路”={(1,1)},A={(1,1),(1,0)},B={(0,1),(1,1)},则“电路是通路”可表示为A∩B,其中只有1个样本点,故D错误.故选AB.
5. [解析] 由题意得,该试验的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)},共包含10个样本点.
其中2张标签上的数字为相邻整数的事件包含的样本点有(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),共4个,
所以抽取的2张标签上的数字为相邻整数的概率是=.5.3.3 古典概型
第1课时 古典概型
【学习目标】
1.理解古典概型及其概率计算公式,会判断古典概型;
2.会用列举法求古典概型的概率.
◆ 知识点一 古典概型
1.一般地,如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是 (简称为有限性),而且可以认为每个只包含一个样本点的事件(即基本事件)发生的可能性大小都 (简称为等可能性),则称这样的随机试验为古典概率模型,简称为古典概型.
2.古典概型的两个特征: 与 .
【诊断分析】 1.下列概率模型是古典概型的打“√”,不是的打“×”.
(1)从6名同学中任选4名参加数学竞赛,每人被选中的可能性大小. ( )
(2)同时掷两枚均匀的骰子,掷出的点数之和为7的概率. ( )
(3)近三天中有一天降雨的概率. ( )
(4)10人站成一排,其中甲、乙相邻的概率.( )
2.是否所有的随机试验都能归结为古典概型
◆ 知识点二 古典概型的概率公式
在古典概型中,假设样本空间含有n个样本点,则每个基本事件发生的概率均为 .此时,如果事件C包含有m个样本点,则 .
◆ 探究点一 样本点的计数问题
例1 袋子中装有除颜色外完全相同的2个黑球和3个红球,从中一次摸出2个球.
(1)写出这个试验的样本空间;
(2)用集合表示事件A:恰好摸出1个黑球和1个红球,事件B:至少摸出1个黑球.
变式 做掷红、蓝两个骰子的试验,用(x,y)表示样本点,其中x表示红色骰子出现的点数,y表示蓝色骰子出现的点数.
(1)求这个试验的样本空间,并指出样本点的总数;
(2)用集合表示事件A:出现的点数之和大于8,事件B:出现的点数相同.
[素养小结]
确定样本空间的方法:
随机事件的结果是相对于条件而言的,要确定样本空间必须明确事件发生的条件,根据题意,按一定的次序列出问题的答案.求样本点时,一定要按规律去写,要做到既不重复也不遗漏.
◆ 探究点二 古典概型的判断
例2 下列概率模型是古典概型吗 为什么
(1)从区间[1,10]内任意取出一个实数,求取到实数2的概率;
(2)先后抛掷两枚骰子,以正面向上的点数之和作为样本点,求和为12,11,10的概率;
(3)从1,2,3,…,100这100个整数中任意取出1个整数,求取到偶数的概率.
变式 袋中有大小相同的5个白球、3个黑球和3个红球,每个球有一个区别于其他球的编号,从中摸出一个球.
(1)有多少种不同的摸法 如果把每个球的编号看作是一个样本点建立概率模型,该模型是不是古典概型
(2)若按球的颜色为样本点,有多少个样本点 以这些样本点建立概率模型,该模型是不是古典概型
[素养小结]
判断一个事件是否是古典概型,关键看该事件是否具备古典概型的两大特征:
(1)有限性:在一次试验中,样本空间所包含的样本点只有有限个.
(2)等可能性:每个基本事件发生的可能性相等.
◆ 探究点三 古典概型概率的计算
[提问] 按先后顺序抛掷两枚质地均匀的硬币,求出现两个正面向上的概率.
例3 (多选题)[2024·河南南阳高一期末] 甲、乙两人约定玩一种游戏,把一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次,游戏规则有如下四种,其中对甲有利的规则是( )
A.若两次掷出的点数之和是2,3,4,5,6,10,12其中之一,则甲获胜,否则乙获胜
B.若两次掷出的点数中最大的点数大于4,则甲获胜,否则乙获胜
C.若两次掷出的点数之和是偶数,则甲获胜;若两次掷出的点数之和是奇数,则乙获胜
D.若两次掷出的点数是一奇一偶,则甲获胜;若两次掷出的点数均是奇数或者偶数﹐则乙获胜
变式 袋中装有除颜色外其他均相同的6个球,其中4个白球,2个红球,从袋中任取2个球,求下列事件的概率:
(1)取出的2个球都是白球;
(2)取出的2个球1个是白球,另1个是红球.
[素养小结]
求解古典概型概率问题的一般步骤:(1)计算样本空间的样本点的总数n;(2)计算事件A包含的样本点的个数m;(3)计算事件A发生的概率P(A)=.
1.下列概率模型是古典概型的是 ( )
A.种下一粒大豆观察它是否发芽
B.从规格直径为(250±0.6)mm的合格产品中任意抽一件,测量其直径d
C.抛一枚均匀的硬币,观察其出现正面或反面的情况
D.某人射击中靶或不中靶
2.一部三册的小说,任意排放在书架的同一层上,则排放次序的样本空间的样本点个数为 ( )
A.3 B.4
C.6 D.12
3.(多选题)下列关于古典概型的说法中正确的是( )
A.试验的样本空间的样本点总数有限
B.每个事件出现的可能性相等
C.每个样本点出现的可能性相等
D.已知样本点总数为n,若随机事件A包含k个样本点,则事件A发生的概率P(A)=
4.(多选题)[2023·四川遂宁蓬溪中学高一期末] 甲、乙两个元件组成一个串联电路,每个元件可能正常或失效.设事件A:甲元件正常,B:乙元件正常,用x1,x2分别表示甲、乙两个元件的状态,(x1,x2)表示这个串联电路的状态,以1表示元件正常,0表示元件失效,则下列说法正确的是( )
A.样本空间Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)}
B.B={(0,1),(1,1)}
C.事件“电路是断路”可以用∩(或 )表示
D.事件“电路是通路”可以用A∪B(或A+B)表示,共包含3个样本点
5.[2023·广西玉林高一期末] 一个盒子里装有标号为1,2,3,4,5的5张标签,随机抽取两张标签,则抽取的2张标签上的数字为相邻整数的概率是 . 5.3.3 古典概型
第1课时 古典概型
1.C [解析] 记“创客空间”“文学社”“舞龙协会”分别为a,b,c,则样本空间Ω={aa,ab,ac,ba,bb,bc,ca,cb,cc},共9个.故选C.
2.D [解析] 由题意可得,x的所有可能取值为-1,1,y的所有可能取值为-1,1,故该试验的样本空间包含的样本点有(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1),共4个.故选D.
3.B [解析] 样本空间包含的样本点有男男,男女,女男,女女,共4个,其中一男一女包含的样本点有2个,故所求的概率为.
4.C [解析] 记3个白球为A,B,C,4个黑球为a,b,c,d,从中随机取出两个球,则样本空间为Ω={(A,B),(A,C),(A,a),(A,b),(A,c),(A,d),(B,C),(B,a),(B,b),(B,c),(B,d),(C,a),(C,b),(C,c),(C,d),(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)},共包含21个样本点,其中两个球颜色相同包含的样本点有(A,B),(A,C),(B,C),(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d),共9个,所以两个球颜色相同的概率为=.故选C.
5.D [解析] 切好的小正方体共有27块,只有最中心的1块的六个面均没有涂色,故所求概率P=.
6.D [解析] 记金坛站、武进站、江阴站、张家港站、常熟站分别为A,B,C,D,E,甲、乙两人用字符对表示下车的站,则样本空间为Ω={AB,AC,AD,AE,BA,BC,BD,BE,CA,CB,CD,CE,DA,DB,DC,DE},共包含16个样本点,其中甲比乙晚下车包含的样本点有BA,CA,CB,DA,DB,DC,共6个,所以甲比乙晚下车的概率为=.故选D.
7.A [解析] 由题意得A={x∈Z|1≤x≤5}={1,2,3,4,5},则(a,b)取值的样本空间为Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5), (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5)},共包含25个样本点.
若关于x的方程x2+ax+b2=0有实数根,则Δ=a2-4b2≥0,即|a|≥2|b|,
则方程x2+ax+b2=0有实数根且|a-b|≥3包含的样本点有(4,1),(5,1),(5,2),共3个,所以所求的概率为1-=.
8.BC [解析] 对于A,实验结果有无数个,不是古典概型,故A错误;对于B,实验结果有限且结果是等可能的,故B正确;对于C,实验结果有限且结果是等可能的,故C正确;对于D,实验的结果不是等可能出现的,故D错误.故选BC.
9.ABC [解析] 应从第3组抽取的人数为×6=3,应从第4组抽取的人数为×6=2,应从第5组抽取的人数为×6=1,故A正确;从第3组抽取的人分别记为a,b,c,从第4组抽取的人分别记为d,e,从第5组抽取的人记为f,
则从6人中随机抽取2人包含的样本点有(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c),(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f),共15个,其中第4组志愿者恰有1人被抽中包含8个样本点,其概率为,故B正确;第5组志愿者被抽中包含的样本点有5个,其概率为=,故C正确;第3组志愿者至少有1人被抽中包含的样本点有12个,其概率为=,故D错误.故选ABC.
10. [解析] 用a,b,c,d,e,f分别表示“选择物理”“选择历史”“选择化学”“选择生物”“选择思想政治”“选择地理”,
则所有选科组合的样本空间为Ω={acd,ace,acf,ade,adf,aef,bcd,bce,bcf,bde,bdf,bef},
共包含12个样本点.
设事件A为“选科组合符合该大学工程类招生选科要求”,
则A={acd,ace,acf,ade,adf},共包含5个样本点,
所以P(A)=.
11.{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} [解析] 向上的点数之和构成的样本空间是{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}.两枚骰子向上的点数构成的样本空间包含36个样本点,向上的点数之和为7的事件包含6个样本点,故向上的点数之和为7的概率为.
12. [解析] 在闭区间[10,30]中,任取一个整数,样本空间中共包含21个样本点,此整数是“通体质数”包含的样本点有11,13,17,共3个,所以此整数是“通体质数”的概率为.
13.解:(1)设写有数字1的m张卡片分别为a1,a2,a3,…,am,
写有数字2的n张卡片分别为b1,b2,b3,…,bn,
从盒子中任取2张卡片的样本空间为Ω={(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),…,(a1,am),(a1,b1),(a1,b2),…,(a1,bn),
(a2,a3),(a2,a4),…,(a2,am),(a2,b1),(a2,b2),…,(a2,bn),…,
(am-1,am),(am-1,b1),(am-1,b2),…,(am-1,bn),
(am,b1),(am,b2),…,(am,bn),
(b1,b2),(b1,b3),…,(b1,bn),
(b2,b3),(b2,b4),…,(b2,bn),…,
(bn-1,bn)},
共包含5+4+3+2+1=15(个)样本点,
其中,任取2张卡片上数字之和小于3包含的样本点有
(a1,a2),(a1,a3),…,(a1,am),
(a2,a3),(a2,a4),…,(a2,am),…,
(am-1,am),
共(m-1)+(m-2)+…+1=(个),
所以小明去北京旅游的概率为=,即m2-m-12=0,
可得m=4,所以n=2.
(2)任取2张卡片数字之和大于3包含的样本点有(b1,b2),共1个,
所以小明去广州旅游的概率为.
小明不去上海旅游即去北京或广州旅游,
所以小明不去上海旅游的概率为+=.
14.解:(1)由题知,样本空间Ω={(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(B1,B2)}.
(2)由(1)知,样本空间中样本点总数为6,其中事件M所包含的样本点个数为4,故P(M)==.
(3)由(1)知,样本空间中样本点总数为6,其中事件N所包含的样本点个数为3,故P(N)==.
15.B [解析] 点P从点A出发跳动五次到达点B,每次向右或向下跳一个单位长度,其样本空间Ω={右右下下下,右下右下下,右下下右下,右下下下右,下右右下下,下右下右下,下右下下右,下下下右右,下下右右下,下下右下右},共包含10个样本点.其中恰好是沿着饕餮纹的路线到达包含的样本点为右右下下下,共1个.则恰好是沿着饕餮纹的路线到达的概率P=.故选B.
16.解:(1)将标号为1,2,3的三张红色卡片分别记为A,B,C,标号为1,2的两张蓝色卡片分别记为D,E.
从五张卡片中任取两张的样本空间Ω1={(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E)},共包含10个样本点.
从五张卡片中任取两张,这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4包含的样本点为(A,D),(A,E),(B,D),共3个.所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为.
(2)记F为标号是0的绿色卡片.从六张卡片中任取两张的样本空间Ω2={(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)},共包含15个样本点.
从六张卡片中任取两张,这两张卡片颜色不同且标号之和小于4包含的样本点为(A,D),(A,E),(A,F),(B,D),(B,F),(C,F),(D,F),(E,F),共8个.所以这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率为.5.3.3 古典概型
第1课时 古典概型
一、选择题
1.为培养学生的兴趣爱好,丰富学生的课余生活,某校团委开设了70个社团供学生自由选择.现已知甲、乙两位同学均准备从“创客空间”、“文学社”、“舞龙协会”这三个社团中选择一个报名,则该试验的样本空间中包含的样本点的个数为( )
A.6 B.8 C.9 D.12
2.已知集合A={-1,1},点P的坐标为(x,y),其中x∈A,y∈A,任取一点P,观察点P的坐标,则该试验的样本空间包含的样本点的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.某夫妇现有一个女儿,若生男生女的概率相同,则再生一男一女的概率为 ( )
A. B. C. D.
4.口袋中共有3个白球4个黑球,从中随机取出两个球,则两个球颜色恰好相同的概率为 ( )
A. B. C. D.
5.先将一个棱长为3的正方体木块的六个面分别涂上六种颜色,再将该正方体均匀切割成棱长为1的小正方体,现从切好的小正方体中任取一块,所得小正方体的六个面均没有涂色的概率是( )
A. B. C. D.
6.[2024·江苏苏州高一期末] 为体验高铁速度,游览各地风光,甲、乙两人准备同时从南京南站出发,列车先后会经过金坛、武进、江阴、张家港、常熟站,甲随机选择金坛、武进、江阴、张家港中的一站下车,乙随机选择金坛、武进、江阴、张家港、常熟中的一站下车.已知两人不在同一站下车,则甲比乙晚下车的概率为 ( )
A. B. C. D.
7.已知集合A={x∈Z|x2-6x+5≤0},且a∈A,b∈A,则关于x的方程x2+ax+b2=0无实数根或|a-b|<3的概率为 ( )
A. B. C. D.
8.(多选题)[2024·河南南阳高一期末] 下列试验是古典概型的是 ( )
A.向一条线段内随机地投射一个点,观察点落在线段上不同位置
B.五个人站一排,观察甲、乙两人相邻的情况
C.从一副扑克牌(去掉大、小王共52张)中随机选取1张,这张牌是红色牌
D.某同学随机地向靶心进行射击,这一试验的结果只有有限个:命中10环,命中9环,命中1环和脱靶
9.(多选题)某市为增强市民的环境保护意识,面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分成5组:[20,25),[25,30),[30,35),[35,40),[40,45],得到的频率分布直方图如图所示.若从第3,4,5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参与广场的宣传活动,该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者分享宣传经验,则下列结论正确的是( )
A.应从第3,4,5组中分别抽取3人、2人、1人
B.第4组志愿者恰有1人被抽中的概率为
C.第5组志愿者被抽中的概率为
D.第3组志愿者至少有1人被抽中的概率为
二、填空题
10.[2023·安徽宿州高一期末] 某地新高考采用“3+1+2”模式,其中“3”指的是语文、数学、英语三科必选科目,“1”指的是从物理和历史两科中选一科,即“首选科目”,“2”指的是从化学、生物、思想政治、地理四科中选两科,即“再选科目”.已知某大学工程类招生选科要求首选科目为物理,再选科目化学、生物中至少有1科.从所有选科组合中任意选取1个,则该选科组合符合该大学工程类招生选科要求的概率为 .
11.同时掷两枚质地均匀的骰子,由向上的点数之和构成的样本空间是 ,向上的点数之和为7的概率是 .
12.从古至今,文学与数学都有着密切的联系,一首诗从末尾一字读至开头一字另成一首新诗,称之为“通体回文诗”.数学中也有类似的情况:对一个整数n(n≥10)从左向右和从右向左读其结果都是质数,可以称它为“通体质数”.若在闭区间[10,30]中,任取一个整数,则此整数是“通体质数”的概率为 .
三、解答题
13.盒子中装了6张外形相同数字不同的卡片,其中写有数字1的卡片有m张,写有数字2的卡片有n张,且m+n=6.小明以游戏的方式决定暑期是去北京、上海还是广州旅游.游戏规则为:从盒子中任取2张卡片,若这2张卡片上数字之和小于3则去北京旅游,若这2张卡片上数字之和等于3则去上海旅游,否则就去广州旅游.已知小明去北京旅游的概率为.
(1)求m,n的值;
(2)分别求小明去广州旅游的概率和不去上海旅游的概率.
14.从2名男生(记为A1,A2)和2名女生(记为B1,B2)这4人中一次性选取2名学生参加象棋比赛(每人被选到的可能性相同).
(1)请写出该试验的样本空间Ω;
(2)设事件M为“选到1名男生和1名女生”,求事件M发生的概率;
(3)若2名男生A1,A2所处年级分别为高一、高二,2名女生B1,B2所处年级分别为高一、高二,设事件N为“选出的2人来自不同年级且至少有1名女生”,求事件N发生的概率.
15.饕餮纹(如图①),青铜器上常见的花纹之一,盛行于商代至西周早期,最早出现在长江中下游地区的良渚文化陶器和玉器上.有人将饕餮纹的一部分画到了方格纸上,如图②所示,每个小方格的边长为一个单位长度,点P从点A出发跳动五次到达点B,每次向右或向下跳一个单位长度,且向右或向下跳是等可能的,那么恰好是沿着饕餮纹的路线到达的概率为 ( )
A. B. C. D.
16.袋中有五张卡片,其中有红色卡片三张,标号分别为1,2,3,蓝色卡片两张,标号分别为1,2.
(1)从以上五张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率;
(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片,从这六张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.
