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5.3 概率
5.3.3 古典概型
第2课时 古典概型的应用
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 课堂评价
◆ 备课素材
【学习目标】
应用古典概型的概率公式计算复杂事件的概率.
知识点一 古典概型的概率公式及性质
假设古典概型对应的样本空间含个样本点，事件包含 个样本点，则：
（1）由 与__________可知_____________;
（2）因为中包含的样本点个数为,所以 _______
_____,即 ___;
（3）若事件包含有个样本点，而且与互斥，则容易知道 包含
个样本点，从而 ____________.
1
知识点二 古典概型的应用
1.从不同的角度去考虑一个实际问题，可以将问题转化为不同的古典概型来解
决，而所得到的古典概型的所有可能结果越少，问题的解决就变得越简单.
2.古典概型的两类主要问题：“有放回”与“不放回”问题，“有序”与“无序”问题.
探究点一 古典概型的简单应用
例1（1） 某班准备到郊外野营,为此向商店订了帐篷.如果下雨与不下雨是等可
能的,能否准时收到帐篷也是等可能的.只要帐篷如期运到,他们就不会淋雨,则下
列说法中正确的是( )
C
A.淋雨的概率为 B.淋雨的概率为 C.淋雨的概率为 D.一定不会淋雨
[解析] 如图,淋雨的情况是天下雨且不能准时收到帐篷,故淋雨的概率 .
（2）某比赛为甲、乙两名运动员制定了下列发球规则.规则一：投掷1枚质地均
匀的硬币，若出现正面向上，则甲发球，否则乙发球；规则二：从装有质地均
匀的2个红球与2个黑球的布袋中随机取出2个球，若同色，则甲发球，否则乙发
球；规则三：从装有质地均匀的3个红球与1个黑球的布袋中随机取出2个球，若
同色，则甲发球，否则乙发球.对甲、乙都公平的发球规则是( )
C
A.规则一和规则二 B.规则二和规则三 C.规则一和规则三 D.只有规则一
[解析] 对于规则一，每人发球的概率都是 ，故规则一是公平的.
对于规则二，记2个红球分别为红1，红2，2个黑球分别为黑1，黑2，该试验的样
本空间 （红1，红2），（红1，黑1），（红1，黑2），（红2，黑1），
（红2，黑2），（黑1，黑） ，共包6个样本点，其中同色包含的样本点有2个，
所以甲发球的可能性为 ，故规则二是不公平的.
对于规则三，记3个红球分别为红1，红2，红3，该试验的样本空间
（红1，红2），（红1，红3），（红1，黑），（红2，红3），（红2，黑），
（红3，黑） ，共包含6个样本点，其中同色包含的样本点有3个，所以两人发
球的可能性均为 ，故规则三是公平的.故选C.
［素养小结］
当一个事件的样本点有有限个，且每个基本事件发生的可能性相等时，则可使
用古典概型概率公式进行计算，同时还要注意样本空间的确定.
探究点二 “不放回”与“放回”抽取问题
例2 [2024·山东济宁高一期末] 一个不透明的箱子中有4个红球、2个蓝球
（球除颜色外，没有其他差异）.
（1）若从箱子中不放回地随机抽取2个球，求这2个球颜色相同的概率；
解：把4个红球标记为,，,，2个蓝球标记为, .
从箱子中不放回地随机抽取2个球的样本空间
,,,,,,,,,,,, ,
, ，共包含15个样本点，
设事件 为“从箱子中不放回地随机抽取2个球且颜色相同”，
则,,,,,, ，共包含7个样本点，
则 .
（2）若从箱子中有放回地抽取2个球，求这2个球颜色相同的概率.
解：从箱子中有放回地随机抽取2个球的样本空间，， ，
，，，，，，，，， ，
，，，，，，，，， ，
，，，，，，，，，， ，
，，共包含36个样本点，
设事件 为“从箱子中有放回地抽取2个球且颜色相同”，
则，，，，，，， ，
，，，，，，，，， ，
，，共包含20个样本点，则 .
变式 某商户为了吸引客人，举行抽奖游戏，在一个不透明的口袋内装有形状
大小完全相同的5个小球，其中有3个红球、1个黑球、1个黄球.
解:设3个红球的编号分别为1，2，3，黑球为，黄球为 .
（1）若从口袋中一次性摸出2个球，摸出黄球就中奖，求某个客人中奖的概率；
从口袋中一次性摸出2个球的样本空间包含，，， ，
，，，，， ，共10个样本点.
摸出黄球包含的样本点有，，， ，共4个，故某个客人中
奖的概率 .
（2）从口袋中连续取两次球，每次取1个球后放回，若取出的2个球中没有红球
就中奖，求某个客人中奖的概率.
解: 从口袋中连续取两次球，每次取1个球后放回的样本空间包含 ，
，，，，，，，，， ，
，，，，，，，，， ，
，，， ，共25个样本点.
取出的2个球中没有红球包含的样本点有，，， ，共4个，
故某个客人中奖的概率 .
［素养小结］
“抽取”问题的解题策略：
抽取问题是古典概型的常见问题，解决此类问题需要注意两点：一是所给问题
是否需要将被抽取的个体进行区分才能满足古典概型的条件；二是看抽取方式
是有放回还是不放回，两种抽取方式对样本点的总数是有影响的.另外，不放回
抽样看作无序或有序抽取均可，有放回抽样要看作有序抽取.
探究点三 互斥、对立事件与古典概型的综合应用
例3 在某铁人三项接力比赛中，某运动俱乐部要从3名擅长游泳的选手 ，
，，3名擅长骑自行车的选手，，，2名擅长跑步的选手， 中
各选一名组成参赛队.假设在2名擅长跑步的选手中 的状态更好，已确定入选，
擅长游泳与骑自行车的选手每人入选的可能性相等.
（1）求 被选中的概率；
解：从擅长游泳的3名选手与擅长骑自行车的3名选手中各选出1名与选手 组成
参赛队，样本空间中共包含9个样本点，分别为， ，
，，，，， ，
，其中被选中包含的样本点有3个，分别为 ，
， ，
所以被选中的概率 .
（2）求， 不全被选中的概率.
解：用事件表示“, 不全被选中”，
则,所以,不全被选中的概率 .
变式 [2024·福建泉州永春一中高一期末] 将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2
次，观察向上的点数，事件两数之和为8，事件 两数之和是3的倍数.
（1）写出该试验的样本空间 ，并求事件 发生的概率；
解:将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，
样本空间,,,,, ,
,,,,, ,
,,,,, ,
,,,,, ,
,,,,, ,
,,,,, ，共包含36个样本点.
,,,, ，共包含5个样本点，
则 .
（2）求事件 发生的概率；
解:,,,,,,,,,,, ，共
包含12个样本点.则 .
（3）求事件与事件 至少有一个发生的概率.
解:方法一：事件与事件至少有一个发生，即为事件 ，
,,,,,,,,,,, ,
,,,, ，共包含17个样本点，
则事件与事件至少有一个发生的概率 .
方法二：因为，不可能同时发生，所以， 互斥，
所以 .
［素养小结］
求某些较复杂事件的概率通常有两种方法:一是将所求事件的概率表示成一些彼
此互斥事件的概率的和;二是先求此事件的对立事件的概率，用公式
间接法求解.当转化成的彼此互斥的事件较多或用直接法求某一
事件的概率较为复杂时,方法二常可使概率的计算得到简化.
1.[2024·山东威海高一期末]甲、乙两校各有2名教师报名支教，若从报名的4名
教师中任选2名，则选出的2名教师来自不同学校的概率为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 设甲校报名支教的两名教师为,，乙校报名支教的两名教师为, ，
从这4名教师中任选2名，样本空间包含,,, ,
, ，共6个样本点，选出的2名教师来自不同学校包含的样本点有
,,,，共4个，所以所求概率为 .故选C.
2.从含有两件正品,和一件次品 的三件产品中按先后顺序任意取出两件产
品,每次取出后不放回,则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是( )
B
A. B. C. D.
[解析] 从含有两件正品,和一件次品 的三件产品中按先后顺序任意取出两
件产品,每次取出后不放回,样本空间,,, ,
, ,共包含6个样本点.取出的两件产品中恰有一件次品包含的样本
点有,,, ,共4个，则取出的两件产品中恰有一件次品的
概率 .
3.[2024·长春东北师大附中高一期末]将一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次，得到
的点数分别为1,2,4,5,6, ，则这6个点数的中位数为4的概率为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 当或2时，这6个点数的中位数为3；当 时，这6个点数的中位
数为3.5；当时，这6个点数的中位数为4；当 或6时，这6个点数的中
位数为4.5.由古典概型概率计算公式可得所求概率 .故选A.
4.从只读过《论语》的3名同学和只读过《红楼梦》的3名同学中任选2人在班内
进行读后分享，则选中的2人都读过《红楼梦》的概率为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 设只读过《论语》的3名同学为,,，只读过《红楼梦》的3名同学为 ,
, ,设“选中的2人都读过《红楼梦》”为事件A.从只读过《论语》的3名同学和只
读过《红楼梦》的3名同学中任选2人，样本空间中共包含15个样本点，分别为
,,,,,,,,,,,, ,
,,其中事件A包含的样本点有3个，分别为,, ,所以选中
的2人都读过《红楼梦》的概率 .故选A.
5.某部门派四位专家各自在周一、周二两天中任选一天对某县进行调研活动,每
位专家选择周一、周二的可能性相同,则周一、周二都有专家参加调研活动的概
率为__.
[解析] 依题意,四位专家参加调研活动的情况可以用如图所示的树形图表示.
由图可得，样本空间中共包含16个样本点,四位专家都在同一天参加调研活动包
含的样本点有2个,周一、周二都有专家参加调研活动包含的样本点有
（个），故周一、周二都有专家参加调研活动的概率为 .
1.注意综合运用古典概型与互斥事件概率公式，解决较为复杂的概率计算问题.
例1 将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，事件 “两数之和为8”，事
件“两数之和是3的倍数”，事件 “两数均为偶数”.
（1）写出该试验的样本空间 ，并求事件 发生的概率；
解：将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，样本空间, ,
,,,,,,,,,,,,, ,
,,,,,,,,,,,,, ,
,,,,,,共包含36个样本点，事件 “两数之和为8”
包含的样本点有，，，， ，共5个，
事件发生的概率 .
（2）求事件 发生的概率；
解：事件“两数之和是3的倍数”包含的样本点有，，， ，
，，，，，，， ，共12个，
事件发生的概率 .
又事件与事件互斥， 事件发生的概率 .
（3）求事件与事件 至少有一个发生的概率.
解：事件与事件至少有一个发生包含的样本点有，， ，
，，，，，，， ，共11个，
事件与事件至少有一个发生的概率 .
2.在计算样本点总数时,如果分不清“有放回”和“无放回”,那么就会出现“重算”或
“漏算”的错误.突破这一思维障碍的有效方法是考察同一元素在不同次序的试验
中是否能重复出现.
例2 [2023·河南信阳高一期末] 从三名男生（记为，， ）、两名女生
（记为， ）中任意选取两人.
（1）在有放回地选取中，写出样本空间，并计算选到的两人都是男生的概率；
解：样本空间,,,,,, ,
,,,,,，,, ,
,,,,,,,, ，共
包含25个样本点.
记选到的两人都是男生为事件，则事件 包含的样本点有
,,,,,,, ，共9
个，则 .
（2）在不放回地选取中，写出样本空间，并计算选到的两人至少有一名女生的
概率.
解：样本空间,,,,,,,,, ，
共包含10个样本点.
记选到的两人至少有一名女生为事件，则事件 包含的样本点有
,,,,,,，共7个，则 .
3.树形图巧破古典概型的计算
对于古典概型的概率计算问题，关键是找出各个事件包含的所有样本点，当这
个事件较为复杂时，树形图能让这个“复杂问题”峰回路转，下文举例说明.
例3 有，，，四位贵宾，应分别坐在，，， 四个席位上，现在
这四人均未留意，在四个席位上随意就座.
解：将，，， 四位贵宾就座情况
用下面图形表示出来，则本题样本空间中
的样本点共有24个.
（1）求这四人恰好都坐在自己席位上的概率；
设事件为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，
则事件 包含1个样本点，所以 .
（2）求这四人恰好都没坐在自己席位上的概率；
解： 设事件为“这四人恰好都没坐在自己的席位上”，则事件 包含9个样本
点，所以 .
（3）求这四人恰好有一人坐在自己席位上的概率.
解： 设事件为“这四人恰好有一人坐在自己的席位上”，则事件 包含8个样
本点，所以 .
［技巧点拨］ 当事件没有很明显的规律，并且涉及的样本点又不是太多时，我
们可借助树形图法直观地将其表示出来，这是进行列举的常用方法，树形图可
以清晰准确地列出所有的样本点，并且画出一根树枝之后可猜想其余的情况，
利用树形图求古典概型的概率，体现了数形结合思想在概率计算中的应用.第2课时 古典概型的应用
【课前预习】
知识点一
(1)P(A)= 0≤P(A)≤1 (2)1-P(A) 1
(3)P(A)+P(B)
【课中探究】
例1 (1)C (2)C [解析] (1)如图,淋雨的情况是天下雨且不能准时收到帐篷,故淋雨的概率P=.
(2)对于规则一,每人发球的概率都是,故规则一是公平的.对于规则二,记2个红球分别为红1,红2,2个黑球分别为黑1,黑2,该试验的样本空间Ω1={(红1,红2),(红1,黑1),(红1,黑2),(红2,黑1),(红2,黑2),(黑1,黑2)},共包6个样本点,其中同色包含的样本点有2个,所以甲发球的可能性为=,故规则二是不公平的.对于规则三,记3个红球分别为红1,红2,红3,该试验的样本空间Ω2={(红1,红2),(红1,红3),(红1,黑),(红2,红3),(红2,黑),(红3,黑)},共包含6个样本点,其中同色包含的样本点有3个,所以两人发球的可能性均为,故规则三是公平的.故选C.
例2 解:(1)把4个红球标记为A1,A2,A3,A4,2个蓝球标记为B1,B2.
从箱子中不放回地随机抽取2个球的样本空间
Ω1={A1A2,A1A3,A1A4,A1B1,A1B2,A2A3,A2A4,A2B1,A2B2,A3A4,A3B1,A3B2,A4B1,A4B2,B1B2},共包含15个样本点,
设事件E为“从箱子中不放回地随机抽取2个球且颜色相同”,
则E={A1A2,A1A3,A1A4,A2A3,A2A4,A3A4,B1B2},共包含7个样本点,
则P(E)=.
(2)从箱子中有放回地随机抽取2个球的样本空间Ω2={A1A1,A1A2,A1A3,A1A4,A1B1,A1B2,A2A1,A2A2,A2A3,A2A4,A2B1,A2B2,A3A1,A3A2,A3A3,A3A4,A3B1,A3B2,A4A1,A4A2,A4A3,A4A4,A4B1,A4B2,B1A1,B1A2,B1A3,B1A4,B1B1,B1B2,B2A1,B2A2,B2A3,B2A4,B2B1,B2B2},共包含36个样本点,设事件F为“从箱子中有放回地抽取2个球且颜色相同”,则F={A1A1,A1A2,A1A3,A1A4,A2A1,A2A2,A2A3,A2A4,A3A1,A3A2,A3A3,A3A4,A4A1,A4A2,A4A3,A4A4,B1B1,B1B2,B2B1,B2B2},共包含20个样本点,则P(F)==.
变式 解:设3个红球的编号分别为1,2,3,黑球为a,黄球为b.
(1)从口袋中一次性摸出2个球的样本空间包含(1,2),(1,3),(2,3),(1,a),(2,a),(3,a),(1,b),(2,b),(3,b),(a,b),共10个样本点.
摸出黄球包含的样本点有(1,b),(2,b),(3,b),(a,b),共4个,故某个客人中奖的概率P1==.
(2)从口袋中连续取两次球,每次取1个球后放回的样本空间包含(1,1),(1,2),(1,3),(1,a),(1,b),(2,1),(2,2),(2,3),(2,a),(2,b),(3,1),(3,2),(3,3),(3,a),(3,b),(a,1),(a,2),(a,3),(a,a),(a,b),(b,1),(b,2),(b,3),(b,a),(b,b),共25个样本点.
取出的2个球中没有红球包含的样本点有(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),共4个,故某个客人中奖的概率P2=.
例3 解:(1)从擅长游泳的3名选手与擅长骑自行车的3名选手中各选出1名与选手C1组成参赛队,样本空间中共包含9个样本点,分别为(A1,B1,C1),(A1,B2,C1),(A1,B3,C1),(A2,B1,C1),(A2,B2,C1),(A2,B3,C1),(A3,B1,C1),(A3,B2,C1),(A3,B3,C1),其中A1被选中包含的样本点有3个,分别为(A1,B1,C1),(A1,B2,C1),(A1,B3,C1),
所以A1被选中的概率P==.
(2)用事件N表示“A1,B1不全被选中”,
则={(A1,B1,C1)},所以A1,B1不全被选中的概率P(N)=1-P()=1-=.
变式 解:(1)将一颗骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,
样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)},共包含36个样本点.
A={(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)},共包含5个样本点,
则P(A)=.
(2)B={(1,2),(1,5),(2,1),(2,4),(3,3),(3,6),(4,2),(4,5),(5,1),(5,4),(6,3),(6,6)},共包含12个样本点.则P(B)==.
(3)方法一:事件A与事件B至少有一个发生,即为事件A∪B,
A∪B={(1,2),(1,5),(2,1),(2,4),(2,6),(3,3),(3,5),(3,6),(4,2),(4,4),(4,5),(5,1),(5,3),(5,4),(6,2),(6,3),(6,6)},共包含17个样本点,
则事件A与事件B至少有一个发生的概率P(A∪B)=.
方法二:因为A,B不可能同时发生,所以A,B互斥,
所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=+=.
【课堂评价】
1.C [解析] 设甲校报名支教的两名教师为A1,A2,乙校报名支教的两名教师为B1,B2,从这4名教师中任选2名,样本空间包含(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(B1,B2),共6个样本点,选出的2名教师来自不同学校包含的样本点有(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),共4个,所以所求概率为=.故选C.
2.B [解析] 从含有两件正品a1,a2和一件次品b的三件产品中按先后顺序任意取出两件产品,每次取出后不放回,样本空间Ω={(a1,a2),(a1,b), (a2,b), (a2,a1), (b,a1), (b,a2)},共包含6个样本点.取出的两件产品中恰有一件次品包含的样本点有(a1,b), (a2,b), (b,a1), (b,a2),共4个,则取出的两件产品中恰有一件次品的概率P==.
3.A [解析] 当x=1或2时,这6个点数的中位数为3;当x=3时,这6个点数的中位数为3.5;当x=4时,这6个点数的中位数为4;当x=5或6时,这6个点数的中位数为4.5.由古典概型概率计算公式可得所求概率P=.故选A.
4.A [解析] 设只读过《论语》的3名同学为x,y,z,只读过《红楼梦》的3名同学为a,b,c,设“选中的2人都读过《红楼梦》”为事件A.从只读过《论语》的3名同学和只读过《红楼梦》的3名同学中任选2人,样本空间中共包含15个样本点,分别为(x,y),(x,z),(x,a),(x,b),(x,c),(y,z),(y,a),(y,b),(y,c),(z,a),(z,b),(z,c),(a,b),(a,c),(b,c),其中事件A包含的样本点有3个,分别为(a,b),(a,c),(b,c),所以选中的2人都读过《红楼梦》的概率P==.故选A.
5. [解析] 依题意,四位专家参加调研活动的情况可以用如图所示的树形图表示.
由图可得,样本空间中共包含16个样本点,四位专家都在同一天参加调研活动包含的样本点有2个,周一、周二都有专家参加调研活动包含的样本点有16-2=14(个),故周一、周二都有专家参加调研活动的概率为=.第2课时 古典概型的应用
【学习目标】
应用古典概型的概率公式计算复杂事件的概率.
◆ 知识点一 古典概型的概率公式及性质
假设古典概型对应的样本空间含n个样本点,事件A包含m个样本点,则:
(1)由0≤m≤n与 可知 ;
(2)因为中包含的样本点个数为n-m,所以P()==1-= ,即P(A)+P()= ;
(3)若事件B包含有k个样本点,而且A与B互斥,则容易知道A+B包含m+k个样本点,从而P(A+B)==+= .
◆ 知识点二 古典概型的应用
1.从不同的角度去考虑一个实际问题,可以将问题转化为不同的古典概型来解决,而所得到的古典概型的所有可能结果越少,问题的解决就变得越简单.
2.古典概型的两类主要问题:“有放回”与“不放回”问题,“有序”与“无序”问题.
◆ 探究点一 古典概型的简单应用
例1 (1)某班准备到郊外野营,为此向商店订了帐篷.如果下雨与不下雨是等可能的,能否准时收到帐篷也是等可能的.只要帐篷如期运到,他们就不会淋雨,则下列说法中正确的是 ( )
A.淋雨的概率为 B.淋雨的概率为
C.淋雨的概率为 D.一定不会淋雨
(2)某比赛为甲、乙两名运动员制定了下列发球规则.规则一:投掷1枚质地均匀的硬币,若出现正面向上,则甲发球,否则乙发球;规则二:从装有质地均匀的2个红球与2个黑球的布袋中随机取出2个球,若同色,则甲发球,否则乙发球;规则三:从装有质地均匀的3个红球与1个黑球的布袋中随机取出2个球,若同色,则甲发球,否则乙发球.对甲、乙都公平的发球规则是( )
A.规则一和规则二
B.规则二和规则三
C.规则一和规则三
D.只有规则一
[素养小结]
当一个事件的样本点有有限个,且每个基本事件发生的可能性相等时,则可使用古典概型概率公式进行计算,同时还要注意样本空间的确定.
◆ 探究点二 “不放回”与“放回”抽取问题
例2 [2024·山东济宁高一期末] 一个不透明的箱子中有4个红球、2个蓝球(球除颜色外,没有其他差异).
(1)若从箱子中不放回地随机抽取2个球,求这2个球颜色相同的概率;
(2)若从箱子中有放回地抽取2个球,求这2个球颜色相同的概率.
变式 某商户为了吸引客人,举行抽奖游戏,在一个不透明的口袋内装有形状大小完全相同的5个小球,其中有3个红球、1个黑球、1个黄球.
(1)若从口袋中一次性摸出2个球,摸出黄球就中奖,求某个客人中奖的概率;
(2)从口袋中连续取两次球,每次取1个球后放回,若取出的2个球中没有红球就中奖,求某个客人中奖的概率.
[素养小结]
“抽取”问题的解题策略:
抽取问题是古典概型的常见问题,解决此类问题需要注意两点:一是所给问题是否需要将被抽取的个体进行区分才能满足古典概型的条件;二是看抽取方式是有放回还是不放回,两种抽取方式对样本点的总数是有影响的.另外,不放回抽样看作无序或有序抽取均可,有放回抽样要看作有序抽取.
◆ 探究点三 互斥、对立事件与古典概型的综合应用
例3 在某铁人三项接力比赛中,某运动俱乐部要从3名擅长游泳的选手A1,A2,A3,3名擅长骑自行车的选手B1,B2,B3,2名擅长跑步的选手C1,C2中各选一名组成参赛队.假设在2名擅长跑步的选手中C1的状态更好,已确定入选,擅长游泳与骑自行车的选手每人入选的可能性相等.
(1)求A1被选中的概率;
(2)求A1,B1不全被选中的概率.
变式 [2024·福建泉州永春一中高一期末] 将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,事件A:两数之和为8,事件B:两数之和是3的倍数.
(1)写出该试验的样本空间Ω,并求事件A发生的概率;
(2)求事件B发生的概率;
(3)求事件A与事件B至少有一个发生的概率.
[素养小结]
求某些较复杂事件的概率通常有两种方法:一是将所求事件的概率表示成一些彼此互斥事件的概率的和;二是先求此事件的对立事件的概率,用公式P(A)=1-P()间接法求解.当转化成的彼此互斥的事件较多或用直接法求某一事件的概率较为复杂时,方法二常可使概率的计算得到简化.
1.[2024·山东威海高一期末] 甲、乙两校各有2名教师报名支教,若从报名的4名教师中任选2名,则选出的2名教师来自不同学校的概率为 ( )
A. B.
C. D.
2.从含有两件正品a1,a2和一件次品b的三件产品中按先后顺序任意取出两件产品,每次取出后不放回,则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是 ( )
A. B.
C. D.
3.[2024·长春东北师大附中高一期末] 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次,得到的点数分别为1,2,4,5,6,x,则这6个点数的中位数为4的概率为 ( )
A. B.
C. D.
4.从只读过《论语》的3名同学和只读过《红楼梦》的3名同学中任选2人在班内进行读后分享,则选中的2人都读过《红楼梦》的概率为( )
A. B.
C. D.
5.某部门派四位专家各自在周一、周二两天中任选一天对某县进行调研活动,每位专家选择周一、周二的可能性相同,则周一、周二都有专家参加调研活动的概率为 . 第2课时 古典概型的应用
1.B [解析] 样本空间中样本点总数为5,首先到站的是4路车或8路车包含的样本点个数为2,故所求概率为.
2.D [解析] 先后抛掷两枚骰子,出现的点数的样本空间为Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) ,
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)},共包含36个样本点,
其中点数之和是2的有1个样本点,故P1=,
点数之和是3的有2个样本点,故P2==,
点数之和是4的有3个样本点,故P3==,
所以P1
3.C [解析] 样本空间Ω={1,2,3,4,5,6},共包含6个样本点,A={2,4}.若表示B的对立事件,则={5,6},则A+={2,4,5,6},共包含4个样本点,所以事件A+发生的概率为=.故选C.
4.B [解析] 样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)},样本点总数为10,其中抽到的2张卡片上的数字之和是偶数的样本点有(1,3),(1,5),(2,4),(3,5),共4个,所以所求概率为=.故选B.
5.B [解析] 设测量过某项指标的兔子的编号为1,2,3,没测量过某项指标的兔子的编号为4,5,样本空间包含的样本点有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),共10个.恰有2只测量过该项指标包含的样本点有(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(2,3,4),(2,3,5),共6个.故所求概率为=.
6.C [解析] 三辆车的出车顺序可能为123,132,213,231,312,321,即样本空间中的样本点共有6个.选择方案一坐到“3号”车包含的样本点有132,213,231,所以P1==;选择方案二坐到“3号”车包含的样本点有312,321,所以P2==.所以P1+P2=,故选C.
7.D [解析] 用(x,y,z)表示乙、丙、丁领到的红包分别为x元、y元、z元.样本空间中共包含10个样本点,分别为(1,1,4),(1,4,1),(4,1,1),(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1),(2,2,2).乙领到的钱数不少于其他任何人包含的样本点有4个,分别为(4,1,1),(3,1,2),(3,2,1),(2,2,2).根据古典概型的概率计算公式,可得所求概率为=.故选D.
8.AB [解析] 对于游戏1,样本空间包含(黑1,黑2),(黑1,黑3),(黑1,白),(黑2,黑1),(黑2,黑3),(黑2,白),(黑3,黑1),(黑3,黑2),(黑3,白),(白,黑1),(白,黑2),(白,黑3),共12个样本点,其中甲获胜包含的样本点有(黑1,黑2),(黑1,黑3),(黑2,黑1),(黑2,黑3),(黑3,黑1),(黑3,黑2),共6个,则甲获胜的概率为=,乙获胜的概率为1-=,故游戏1公平.对于游戏2,样本空间包含(黑1,黑1),(黑1,黑2),(黑1,白1),(黑1,白2),(黑2,黑1),(黑2,黑2),(黑2,白1),(黑2,白2),(白1,黑1),(白1,黑2),(白1,白1),(白1,白2),(白2,黑1),(白2,黑2),(白2,白1),(白2,白2),共16个样本点,其中甲获胜包含的样本点有(黑1,黑1),(黑1,黑2),(黑2,黑1),(黑2,黑2),(白1,白1),(白1,白2),(白2,白1),(白2,白2),共8个,则甲获胜的概率为=,乙获胜的概率为1-=,故游戏2公平.对于游戏3,样本空间包含(黑1,黑2),(黑1,白1),(黑1,白2),(黑2,黑1),(黑2,白1),(黑2,白2),(白1,黑1),(白1,黑2),(白1,白2),(白2,黑1),(白2,黑2),(白2,白1),共12个样本点,其中甲获胜包含的样本点有(黑1,黑2),(黑2,黑1),(白1,白2),(白2,白1),共4个,则甲获胜的概率为=,乙获胜的概率为1-=,故游戏3不公平.故选AB.
9.BD [解析] 从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为,故A错误;从甲、乙两罐中分别随机抽取一个小球,样本空间包含(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),共20个样本点,其中抽取的两个小球标号之和大于5包含的样本点有(1,5),(2,4),(2,5),(3,3),(3,4),(3,5),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),共10个,所以P(A)==,故B正确;事件A∩B包含的样本点有(2,5),(3,3),(3,4),(3,5),(4,3),(4,4),(4,5),共7个,所以P(A∩B)=,故C错误;事件A∪B包含的样本点有(1,5),(2,4),(2,5),(3,3),(3,4),(3,5),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),共10个,所以P(A∪B)==,故D正确.故选BD.
10. [解析] 记1件正品为A,2件次品分别为b,c,从3件产品中不放回地依次抽取2件产品所包含的样本点有(A,b),(A,c),(b,A),(b,c),(c,A),(c,b),共6个,事件“第二次抽到的是次品”所包含的样本点有(A,b),(A,c),(b,c),(c,b),共4个,所以事件“第二次抽到的是次品”的概率P==.
11. [解析] 将3道选择题分别编号为1,2,3,将2道填空题分别编号为4,5.从5道题中任选2道不同的题解答,每一次选1题,则样本空间包含(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),共20个样本点.设事件A为“所选的题不是同一种题型”,则事件A包含的样本点有(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),共12个,所以P(A)==.
12. [解析] 由1,2,3组成的三位自然数有123,132,213,231,312,321,共6个.同理由1,2,4组成的三位自然数有6个,由1,3,4组成的三位自然数有6个,由2,3,4组成的三位自然数有6个,故样本空间中共有6×4=24(个)样本点.由1,2,3或1,3,4组成的三位自然数为“有缘数”,故这个三位自然数为“有缘数”包含的样本点共有12个,所以这个三位自然数为“有缘数”的概率为=.
13.解:(1)由题可得(0.01+0.02×2+a+0.05+0.06)×5=1,
解得a=0.04.
∵年龄在[35,45)内的频率为(0.02+0.05)×5=0.35<0.5,
年龄在[35,50)内的频率为0.35+0.06×5=0.65>0.5,
∴中位数在[45,50)内,设中位数为x,则0.35+(x-45)×0.06=0.5,
解得x=47.5,∴中位数为47.5.
(2)∵年龄在[45,50)内的频率为0.06×5=0.3,年龄在[50,55)内的频率为0.04×5=0.2,
∴这两组的频率之比为3∶2,
∴在[45,50)内抽取的人数为5×=3,记为A1,A2,A3,
在[50,55)内抽取的人数为5×=2,记为B1,B2.
从5人中抽取2人的样本空间为Ω={(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2)},共包含10个样本点,其中至少有1人的年龄在[50,55)内包含的样本点有
(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),共7个.
故这2人中至少有1人的年龄在[50,55)内的概率P=.
14.解:(1)设这m人的平均年龄为,
则=22.5×0.1+27.5×0.35+32.5×0.25+37.5×0.2+42.5×0.1=31.75.
(2)由频率分布直方图可知各组的频率之比为2∶7∶5∶4∶2,
第四组应抽取20×=4(人),分别记为A,B,C,甲,第五组应抽取20×=2(人),分别记为D,乙.则样本空间为Ω={(A,B),(A,C),(A,甲),(A,乙),(A,D),(B,C),(B,甲),(B,乙),(B,D),(C,甲),(C,乙),(C,D),(甲,乙),(甲,D),(乙,D)},共包含15个样本点.
设事件M为“甲、乙两人至少有一人被选上”,
则M={(A,甲),(A,乙),(B,甲),(B,乙),(C,甲),(C,乙),(甲,乙),(甲,D),(乙,D)},共包含9个样本点,
所以P(M)==.第2课时 古典概型的应用
一、选择题
1.在1,3,4,5,8路公共汽车都要停靠的一个站(假定这个站同一时刻只能停靠一辆车),有一位乘客在等候4路车或8路车,假定当时各路车首先到站的可能性相同,则首先到站的正好是这位乘客所需要乘坐的公共汽车的概率为( )
A. B. C. D.
2.[2024·上海行知中学高一期末] 先后抛掷两枚质地均质的骰子,设出现的点数之和是2,3,4的概率依次是P1,P2,P3,则 ( )
A.P1=P2C.P13.在掷一枚质地均匀的骰子的试验中,事件A表示“出现小于5的偶数点”,事件B表示“出现小于5的点数”.若表示B的对立事件,则一次试验中,事件A+发生的概率为 ( )
A. B. C. D.
4.从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中不放回地随机抽取2张,则抽到的2张卡片上的数字之和是偶数的概率为 ( )
A. B. C. D.
5.有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标,若从这5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该项指标的概率为 ( )
A. B. C. D.
6.某博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车按随机顺序前往酒店接嘉宾.某嘉宾突发奇想,设计了两种乘车方案:方案一,不乘坐第一辆车,若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号,就乘坐此车,否则乘坐第三辆车;方案二,直接乘坐第一辆车.记选择方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P1,P2,则 ( )
A.P1·P2= B.P1=P2=
C.P1+P2= D.P17.甲在微信群中发了6元的拼手气红包,被乙、丙、丁三人抢完.若三人均领到整数元,且每人至少领到1元,则乙领到的钱数不少于其他任何人的概率是 ( )
A. B. C. D.
8.(多选题)下面有三个游戏,则 ( )
取球方式 结果
游戏1 袋中有除颜色外完全相同的3个黑球和1个白球,游戏时,每次取1个球,不放回地依次取2个球 取出的2个球同色→甲获胜;取出的2个球不同色→乙获胜
游戏2 袋中有除颜色外完全相同的2个黑球和2个白球,游戏时,每次取1个球,有放回地依次取2个球
游戏3 袋中有除颜色外完全相同的2个黑球和2个白球,游戏时,每次取1个球,不放回地依次取2个球
A.游戏1公平 B.游戏2公平
C.游戏3公平 D.游戏2不公平
9.(多选题)已知甲罐中有四个相同的小球,标号为1,2,3,4;乙罐中有五个相同的小球,标号为1,2,3,4,5.现从甲、乙两罐中分别随机抽取一个小球,记事件A为“抽取的两个小球标号之和大于5”,事件B为“抽取的两个小球标号之积大于8”,则( )
A.从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为
B.事件A发生的概率为
C.事件A∩B发生的概率为
D.事件A∪B发生的概率为
二、填空题
10.现有1件正品和2件次品,从中不放回地依次抽取2件产品,则事件“第二次抽到的是次品”的概率为 .
11.小李在做一份调查问卷,共有5道题,其中有两种题型,一种是选择题,共3道,另一种是填空题,共2道.若小李从中不放回地依次抽取2道题解答,则所选的题不是同一种题型的概率为 .
12.一个三位自然数百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c,当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时,称这个三位自然数为“有缘数”(如213,134).若a,b,c∈{1,2,3,4},且a,b,c互不相同,则这个三位自然数为“有缘数”的概率是 .
三、解答题
13.某场比赛有6个年龄组:[35,40),[40,45),[45,50),[50,55),[55,60),[60,65)(单位:岁).现抽取了1000名参赛人员,得到各年龄段人数的频率分布直方图如图所示.
(1)求图中a的值,并估计这1000人年龄的中位数;
(2)在抽取的参赛人员中用分层抽样的方法从年龄在[45,55)内的人群中抽取一个容量为5的样本,再从样本中任意抽取2人,求这2人中至少有1人的年龄在[50,55)内的概率.
14.某调研机构为了了解人们对“垃圾分类”相关知识的认知程度,针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“垃圾分类”知识竞赛,满分100分(95分及以上为认知程度高),结果认知程度高的有m人.将这m人按年龄分成5组,其中第一组为[20,25),第二组为[25,30),第三组为[30,35),第四组为[35,40),第五组为[40,45],得到如图所示的频率分布直方图,已知第一组有10人.
(1)根据频率分布直方图,估计这m人的平均年龄.
(2)现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人,担任本市的“垃圾分类”宣传使者.若有甲(38岁),乙(40岁)两人已确定入选,现计划从第四组和第五组被抽到的使者中,再随机抽取2人作为组长,求甲、乙两人至少有一人被选上的概率.