1.2集合间的基本关系 练习（含解析）-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.2　集合间的基本关系 姓名 班级 .
基础过关练
题组一　子集、真子集和空集
1.已知式子:①{a,b}={b,a};②{a,b} {b,a};③ ={ };④{0}= ;⑤ {0};⑥0∈{0}.其中不正确的是(　　)
A.①③④　　B.②④⑤　　C.②⑤⑥　　D.③④
2.下列Venn图中,能正确表示集合M={-1,0,1}和N={x|x2-x=0}的关系的是(　　)
　　　
3.若x,y∈R,A={(x,y)|y=x},B=(x,y)=1,则集合A,B之间的关系为(　　)
A.B∈A　　B.B A　　C.A=B　　D.A B
4.在平面直角坐标系中,集合C={(x,y)|y=x}表示直线y=x上的所有点,从这个角度看,若集合D=(x,y),则集合C、D之间的关系是(　　)
A.C D　　B.D C　　C.C∈D　　D.D∈C
5.已知集合M={x∈N|2x-3<2},则M的真子集的个数是　　　　.
6.已知集合A={x|x2-5x+6=0},B={x|-1题组二　集合间的关系及其应用
7.设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A B,则a=(　　)
A.2　　B.1　　C.　　D.1或2
8.若集合A=xx=(2k+1),k∈±,k∈Z,则集合A,B之间的关系表示最准确的为　(　　)
A.A B　　B.B A　　
C.A=B　　D.A与B互不包含
9.设集合A={x|2x+3>1},B={x|x+a≥0},若A B,则实数a的最小值是　　　　.
10.设m为实数,集合A={x|-3≤x≤2},B={x|m≤x≤2m-1},且B A,则m的取值范围是　　　　.
11.已知集合A={x|x2+4x-a=0}.
(1)若a=5,请写出集合A的所有子集;
(2)若集合B={x|x2+2x=0},且A B,求a的取值范围.
能力提升练
题组一　集合间的基本关系
1.若x∈A,∈A,就称A是具有伙伴关系的集合,集合M=的所有非空子集中,具有伙伴关系的集合的个数为(　　)
A.1　　B.3　　C.5　　D.7
2.集合M={x|x=7k-2,k∈N},P={x|x=7n+5,n∈N},S={x|x=14m+5,m∈N}的关系是(　　)
A.S P M　　B.S=P M　　
C.S P=M　　D.P=M S
3.集合A=a∈Zx=a+,x∈Z的真子集有　　　　个.
4.若集合M {1,2,3,4,5,6,7,8},且M中至少含有两个奇数,则满足条件的集合M的个数是　　　　.
5.设集合S={a1,a2,a3,a4,a5},若集合S的所有非空真子集的元素之和是300,则a1+a2+a3+a4+a5=　　　　.
题组二　由集合间的关系解决参数问题
6.(多选题)知集合A={x|ax2+2x+a=0,a∈R},若集合A有且仅有2个子集,则a的取值可以为(　　)
A.-2　　B.-1　　C.0　　D.1
7.已知集合A={x|ax≤4},B={4,},若B A,则实数a的取值范围为(　　)
A.{a|a≤1}　　B.{a|a≤-1}　　
C.{a|a≤-2}　　D.{a|a≤2}
8.(多选题)已知集合A={0,1},B={x|ax2+x-1=0},若A B,则实数a的取值可以是(　　)
A.0　　B.1　　C.-1　　D.
9.设集合A={x|-1≤x+1≤4},B={x|m-1(1)当x∈N时,求A的非空真子集的个数;
(2)若A B,求实数m的取值范围.
10.已知a∈R,关于x的方程x2+a=x的解组成的集合为A(A≠ ),(x2+a)2+a=x的解组成的集合为B.
(1)求证:A B;
(2)若A=B,求实数a的取值范围.
答案与分层梯度式解析
1.2　集合间的基本关系
基础过关练
1.D 2.B 3.B 4.B 7.B 8.C
1.D　对于①,由集合中元素的无序性可知①正确;
对于②,由①知{a,b}={b,a},根据任何一个集合是它本身的子集可知②正确;
对于③④, 是不含有任何元素的集合,而{ }是以空集为元素的一个集合,{0}是只有一个元素0的集合,故③④错误;
对于⑤,空集是任何集合的子集,故⑤正确;
对于⑥,0是{0}的一个元素,所以⑥正确.
综上,不正确的有③④.
2.B　由x2-x=0得x=0或x=1,故N={1,0},所以N M.
3.B　B=(x,y)=1={(x,y)|y=x,且x≠0},而A={(x,y)|y=x},所以B A.
4.B　易得D=(x,y)={(1,1),(-2,-2)},因为C={(x,y)|y=x},所以D C.
小题速解
　　集合C表示直线y=x上的所有点,集合D表示直线y=x与曲线x2+y=2的交点,所以D C.
5.答案　7
解析　M={x∈N|2x-3<2}=x∈Nx<={0,1,2},集合M中有3个元素,则M的真子集的个数是23-1=7.
6.答案　7
解析　因为A={x|x2-5x+6=0}={2,3},B={x|-17.B　由A B,得0∈B,若a-2=0,则a=2,此时A={0,-2},B={1,0,2},不满足A B,不合题意;若2a-2=0,则a=1,此时A={0,-1},B={1,-1,0},满足A B.
综上,a=1.
8.C　对于集合A,当k=2n(n∈Z)时,A=xx=n+,n∈Z,当k=2n-1(n∈Z)时,A=xx=n-,n∈Z,所以A=B.
9.答案　1
解析　A={x|x>-1},B={x|x≥-a},
∵A B,∴-a≤-1,
∴a≥1,故a的最小值为1.
10.答案　
解析　当B= 时,m>2m-1,即m<1,满足B A;
当B≠ 时,由B A得解得1≤m≤.
综上所述,m的取值范围是.
易错警示
　　含有参数的集合B满足B A,解题时要考虑B= 的情况.
11.解析　(1)当a=5时,A={x|x2+4x-5=0}={-5,1},
所以集合A的子集有 ,{-5},{1},{-5,1}.
(2)易得B={x|x2+2x=0}={-2,0}.
①当A= 时,满足A B,此时方程x2+4x-a=0无解,故Δ=16+4a<0,解得a<-4;
②当集合A只有一个元素时,方程x2+4x-a=0有两个相等的实根,故Δ=16+4a=0,可得a=-4,
此时A={x|x2+4x+4=0}={-2},满足A B;
③当集合A有两个元素时,因为A B,所以A=B,即A={-2,0},即关于x的方程x2+4x-a=0的两根分别为-2,0,所以无解.
综上所述,实数a的取值范围是{a|a≤-4}.
能力提升练
1.B 2.A 6.BCD 7.A 8.AC
1.B　由集合M=及新定义可知当x=0时,无意义;当x=,,2时, M;当x=-1,1时,∈M,因此x可取-1和1.
所以符合题意的集合为{-1},{1},{-1,1},
所以具有伙伴关系的集合的个数为3.
2.A　(列举法)M={-2,5,12,19,26,33,…},
P={5,12,19,26,33,…},
S={5,19,33,…},∴S P M.
3.答案　63
解析　因为x∈Z,a∈Z,所以∈Z,所以a=-4,-2,-1,1,2,4,经检验,均满足题意,所以A={-4,-2,-1,1,2,4},所以集合A的真子集有26-1=63个.
4.答案　175
解析　从反面入手,考虑集合M中不含有奇数、只含有1个奇数两种情况.
若M中不含有奇数,则集合M的个数等于集合{2,4,6,8}的子集的个数,为24=16;
若M中只含有1个奇数,则这个奇数有4种可能,故集合M的个数等于集合{2,4,6,8}的子集的个数的4倍,为24×4=64.
易得{1,2,3,4,5,6,7,8}的真子集的个数为28-1=255,
所以当M中至少含有两个奇数时,满足条件的集合M的个数为255-16-64=175.
5.答案　20
分析　根据给定条件,求出含每个元素的集合个数,再进行求和即可.
解析　集合S的所有非空真子集中含有a1的有24-1=15个(即{a2,a3,a4,a5}的真子集的个数),同理,集合S的所有非空真子集中含有a2,a3,a4,a5的均各有15个,
由15(a1+a2+a3+a4+a5)=300,得a1+a2+a3+a4+a5=20.
6.BCD　∵集合A有且仅有2个子集,∴A有且仅有1个元素.
当a=0时,集合A={0},符合题意.
当a≠0时,Δ=4-4a2=0,解得a=±1,
当a=1时,A={-1},符合题意;
当a=-1时,A={1},符合题意.
故a的取值可以为-1,0,1.
7.A　当a=0时,ax≤4即0≤4,显然恒成立,故A=R,满足B A;
当a>0时,由ax≤4得x≤,故A=xx≤,
因为B A,所以 0当a<0时,由ax≤4得x≥,故A=xx≥,
因为B A,所以 a<0.
综上,实数a的取值范围为{a|a≤1}.
考场速决
　　由B A得4∈A,∈A,所以4a≤4,且a≤4,所以a≤1.
8.AC　当a=0时,B={1},满足条件;
当a≠0时,由A B,可得B={1}或B={0}或B={0,1}或B= .
若B={1},则无解;
若B={0},则无解;
若B={0,1},则无解;
若B= ,则Δ=1+4a<0,得a<-.
综上,a的取值范围是aa<-∪{0}.
结合选项知a的值可以为0或-1.
考场速决
　　可把a的值逐个代入检验,易知a=0,a=-1符合.
9.解析　(1)由-1≤x+1≤4得-2≤x≤3,当x∈N时,可得A={0,1,2,3},所以A的非空真子集的个数为24-2=14.
(2)若B= ,则2m+1≤m-1,可得m≤-2;
若B≠ ,则解得-1≤m≤1.
综上,实数m的取值范围为{m|-1≤m≤1或m≤-2}.
10.解析　(1)证明:任取x0∈A,则+a=x0,
将x=x0代入(x2+a)2+a=x,等式成立,
∴x0是方程(x2+a)2+a=x的解,∴x0∈B,因此A B.
(2)∵A≠ ,∴x2-x+a=0有实根,∴Δ=1-4a≥0,
∴a≤.
∵方程(x2+a)2+a=x即x4+2ax2-x+a2+a=0的解组成的集合为B,且A B,
∴因式x4+2ax2-x+a2+a分解后必定含有因式x2-x+a,
由多项式的除法得x4+2ax2-x+a2+a=(x2-x+a)(x2+x+a+1)(类比数的除法,列竖式求解),
∵A=B,∴x2+x+a+1=0无实根或其根为方程x2-x+a=0的根.
当x2+x+a+1=0无实根时,Δ=1-4(a+1)<0,解得a>-.
当x2+x+a+1=0的根为方程x2-x+a=0的根时,
①若x2+x+a+1=0有两个不等实根,由根与系数的关系知,其根不可能与x2-x+a=0的根相同;
②若x2+x+a+1=0有两个相等实根,则Δ=1-4(a+1)=0,得a=-,
此时x2+x+a+1=0即x2+x+=0的根为x1=x2=-,这2个根恰好是x2-x+a=0的根,满足条件.
综上,实数a的取值范围是a-≤a≤.