1.2.空间向量基本定理 难点训练微专题(学生版）
突破通法：
深刻理解定义：空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc,其中,{a,b,c}叫做空间的一个基底.
微专题训练
一、单选题
1．已知向量，，是空间不共面的三个向量，则下列选项中能构成空间向量一组基底是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
2．对于三元点集，若对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得，则称为“空间基本点集”.下列集合是“空间基本点集”的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（ ）
A． B．
C． D．
4．若是空间的一个基底，且向量，则叫向量在基底下的坐标，已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，一个向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在空间四边形中，是的中点，点在上，且，设，则，，的值分别为（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
6．如图，空间四边形中，，，，点在线段上，且，点为中点，则等于（ ）
A． B．
C． D．
7．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱．如图，在堑堵，中，M是的中点，是的中点，若，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
8．四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若，则等于（ ）
A． B．1 C． D．2
二、多选题
9．设构成空间的一个基底，下列说法正确的是（ ）
A．两两共面，但不可能共面
B．有且仅有一对实数，使得
C．对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使得
D．，，一定能构成空间的另一个基底
10．如图，在平行六面体中，，，底面ABCD为菱形，，与AB，AD所成的角均为（ ）
A．
B．四边形为矩形
C．
D．如果，那么点M在平面内
11．已知空间向量，，，，若存在实数组和，满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则，，共面
B．若，，共面，则
C．若，，不共面，则，，
D．若，，共面，则
三、填空题
12．若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则实数 ．
13．在正四面体中，点是的中心，若（），则 .
14．如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，点为的中点，若，则 .
四、解答题
15．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，，，为与的交点．设，，．
(1)用，，表示，并求的值；
(2)求的值．
16．在平行六面体中，设，，，分别是的中点.
(1)用向量表示；
(2)若，求实数x，y，z的值.1.2.空间向量基本定理 难点训练微专题(解析版）
突破通法：
深刻理解定义：空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc,其中,{a,b,c}叫做空间的一个基底.
微专题训练
一、单选题
1．已知向量，，是空间不共面的三个向量，则下列选项中能构成空间向量一组基底是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】D
【分析】根据空间向量的基本定理结合共面向量的定义逐项分析判断.
【详解】因为向量，，是不共面的三个向量，
对于A：因为，所以，，共面，
所以，，不能构成空间的一组基底，故A错误；
对于B：因为，所以，，共面，
所以，，不能构成空间的一组基底，故B错误；
对于C：因为，所以，，共面，
所以，，不能构成空间的一组基底，故C错误；
对于D ：假定向量，，共面，
则存在不全为的实数，，使得，整理得，
而向量，，不共面，则有，显然不成立，所以向量，，不共面，
即向量，，能构成空间的一个基底，故D正确；
故选：D
2．对于三元点集，若对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得，则称为“空间基本点集”.下列集合是“空间基本点集”的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】对于ABC，由空间向量基底概念可判断各选项正误.
对于D，由题目中所提供信息可得答案.
【详解】根据空间向量基本定理及题意知这三个向量，，不共面，即这三个向量能构成空间的一个基底.
对于A，三个向量，，对应坐标的竖坐标相同且为0，则三个向量都在平面上，即三个向量共面，故A错误；
对于B，三个向量，，对应坐标的纵坐标相同且为0，则三个向量都在平面上，即三个向量共面，故B错误；
对于C，三个向量，，对应坐标的横坐标相同且为0，则三个向量都在平面上，即三个向量共面，故C错误；
对于D，设空间中任意向量为，，
则存在唯一的有序实数组，使 ，
则为“空间基本点集”，故D正确
故选：D
3．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据向量线性运算原则求解即可.
【详解】由题意，，
，
则，
故选：D.
4．若是空间的一个基底，且向量，则叫向量在基底下的坐标，已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，一个向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设在基底下的坐标为，则，即得，解出即可.
【详解】设在基底下的坐标为，
则，
在下的坐标为，
，
由得，
，即在下的坐标为．
故选：B．
5．如图，在空间四边形中，是的中点，点在上，且，设，则，，的值分别为（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】C
【分析】利用向量的加法、减法和数乘向量即可化简求出.
【详解】因为，则，即，
因是的中点，则，
所以.
故选：C．
6．如图，空间四边形中，，，，点在线段上，且，点为中点，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用空间向量基本定理，得到答案.
【详解】，点为中点，
.
故选：D
7．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱．如图，在堑堵，中，M是的中点，是的中点，若，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】连接，根据空间向量法线性运算法则计算可得.
【详解】连接，因为是的中点，所以，
因为三棱柱是底面为直角三角形的直棱柱，
所以四边形为长方形，又因为是的中点，
所以，
则，
又，又，，不共面，所以，所以．
故选：D．
8．四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若，则等于（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】结合图形，利用向量的线性运算，即可求解.
【详解】
在四棱锥P-ABCD中，有，
再由点E为棱PC的中点，，所以，
，
由底面ABCD是平行四边形，得，
所以，
又因为，所以，即，
故选：A.
二、多选题
9．设构成空间的一个基底，下列说法正确的是（ ）
A．两两共面，但不可能共面
B．有且仅有一对实数，使得
C．对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使得
D．，，一定能构成空间的另一个基底
【答案】ACD
【分析】根据基底向量的定义结合空间向量的基本定理逐项分析判断.
【详解】对于A，由基底的定义知不可能共面，故A正确；
对于B，因为是空间一个基底，所以不共面，所以不存在实数，使得，故B不正确；
对于C，因为是空间一个基底，由空间向量基本定理可知，对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使得，故C正确；
对于D，因为不共面，且与平行，与平行，与平行，所以，，也不共面，因此一定能构成空间的一个基底，故D正确．
故选：ACD.
10．如图，在平行六面体中，，，底面ABCD为菱形，，与AB，AD所成的角均为（ ）
A．
B．四边形为矩形
C．
D．如果，那么点M在平面内
【答案】ABD
【分析】根据空间向量的线性运算可判断A；根据余弦定理，可得，进而证得平面，即可判断B；据题设，可得是等腰三角形，进而求得，从而判定C；根据空间向量的共面定理推论可判定D.
【详解】选项A，在平行六面体中，
，正确；
选项B，设，
因为，
，
又，与AB，AD所成的角均为，
所以，又O为BD中点，则，
又，，，平面，
所以平面，由于平面，故，
由于，则，所以四边形为矩形，正确；
选项C，因为四边形ABCD为菱形，，所以，
所以，即是等腰三角形，
又，
所以，
所以，即，错误；
选项D，若，由于，
所以M，B，D，四点共面，故点M在平面内，正确．
故选：ABD
11．已知空间向量，，，，若存在实数组和，满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则，，共面
B．若，，共面，则
C．若，，不共面，则，，
D．若，，共面，则
【答案】AC
【分析】根据空间向量共面定理判断A，利用特殊值判断B、D，根据空间向量基本定理判断C.
【详解】对于A：因为，，
所以，
因为，所以，
所以向量，，共面，故A正确．
对于B、D：若，，，则，，共面，
令，则，，，可为任意实数，
此时由，，
得不到，也得不到，故B、D错误；
对于C：若，，不共面，由，，
则，，，故C正确；
故选：AC
三、填空题
12．若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则实数 ．
【答案】
【分析】根据题意，可知存在，使得，结合空间向量基本定理运算求解.
【详解】由不能构成空间的一个基底，则存在，使得，
即，
所以，解得.
故答案为：.
13．在正四面体中，点是的中心，若（），则 .
【答案】/
【分析】连接并延长交于点，连接，可得，，结合图形将用表示即得.
【详解】
如图，在正四面体中，连接并延长交于点，连接，
则，，
于是
，
即得，故.
故答案为：.
14．如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，点为的中点，若，则 .
【答案】
【分析】根据向量的运算法则利用表示，由条件结合空间向量基本定理列方程求可得结论.
【详解】在四棱柱中，底面是平行四边形，点为的中点，
所以
又
所以
即.
故答案为：.
四、解答题
15．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，，，为与的交点．设，，．
(1)用，，表示，并求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)，
(2)2
【分析】（1）先根据平行六面体的性质找到向量之间的关系，用表示出，再通过向量模的计算公式求出的值；
（2）先求出，再根据向量数量积的运算规则求出的值.
【详解】（1）因为平行六面体中，为与的交点，
所以是中点，也是中点，
又因为，且平行六面体中，，
那么，
因为，，
所以，
，
因为，所以，又，，
所以，
，所以.
（2）因为，
所以
.
16．在平行六面体中，设，，，分别是的中点.
(1)用向量表示；
(2)若，求实数x，y，z的值.
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）利用平行六面体的性质，利用空间向量的线性运算求解即得.
（2）用表示，再利用空间向量基本定理求解即得.
【详解】（1）在平行六面体中，
，
由分别是的中点，
得.
.
（2），
而，且不共面，
所以.
