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5.3 概率
5.3.5 随机事件的独立性
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 课堂评价
◆ 备课素材
【学习目标】
1.在具体情境中,了解两个事件相互独立的概念；
2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题；
3.综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解决一些问题.
知识点 相互独立事件
1.一般地，当__________________时，就称事件与 相互独立（简称独立），
事件与相互独立的直观理解是，事件是否发生______影响事件 发生的概率.
2. ,这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个
事件发生的概率的____.
3.如果事件与相互独立，则与，与，与 也相互______.
不会
积
独立
4.有限个事件相互独立
“事件,, , 相互独立”的充要条件是“其中任意有限个事件同时发生的概
率都等于它们各自发生的概率之积”.
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若，则事件与 相互独立.( )
√
（2）表示事件，同时发生的概率，一定有 .( )
×
[解析] 只有事件与相互独立时，才有 .
（3）若把一副扑克牌中的4张 随机分给甲、乙、丙、丁四个人，每人得到1张
扑克牌，则事件“甲分到红桃”与事件“乙分到红桃 ”相互独立.( )
×
[解析] 事件“甲分到红桃”与事件“乙分到红桃 ”不可能同时发生，是互斥事件.
（4）若和是两个相互独立事件，则表示事件， 中至少有1个
发生的概率.( )
×
[解析] 若和是两个相互独立事件，则表示事件， 中至多有1
个发生的概率.
探究点一 相互独立事件的判断
例1 判断下列各对事件是否是相互独立事件.
（1）甲组有3名男生和2名女生，乙组有2名男生和3名女生，现从甲、乙两组中
各选1名学生参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；
解：“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生对“从乙组中选出1名女生”这一
事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件.
（2）容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出
的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”.
解：“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为 ，若这一事件发生了，
则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为 ；若前一事件没
有发生，则后一事件发生的概率为 .可见，前一事件是否发生对后一事件发生的
概率有影响，所以二者不是相互独立事件.
变式（1） [2023·河北邢台高一期末]设，，为三个随机事件，则“ ，
，相互独立”是“ ”的( )
A
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 三个事件A，B，C相互独立的充要条件是 ，
，， ，所以由A，
B，C相互独立得 ，反之不成立.故“A，B，C相互独立”
是“ ”的充分不必要条件.故选A.
（2）（多选题）[2024·江西吉安高一期末] 某人连续掷两次骰子，事件 表示
“第一次掷出的点数是2”，事件表示“第二次掷出的点数是3”，事件 表示“两
次掷出的点数之和为5”，事件 表示“两次掷出的点数之和为9”.则( )
ACD
A.与相互独立 B.与 相互独立
C.与不相互独立 D.与 不相互独立
[解析] 由题意知， ，
，
.
对于A，，与 相互独立，故A正确.
对于B，，与 不相互独立，故B错误.
对于C，，与 不相互独立，故C正确.
对于D，，与 不相互独立，故D正确.
故选 .
［素养小结］
判断事件是否相互独立的方法：
（1）定义法：事件，相互独立 .
（2）直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.
探究点二 相互独立事件发生的概率
例2 甲、乙、丙三个人独立解决同一个问题，三人在一定的时间内能解出该题
的概率分别是,, .求:
（1）他们都解出该题的概率;
解：用事件,, 分别表示甲、乙、丙三个人在一定的时间内能解出该题.依题
意可知,事件,,相互独立,且,, .; 他们都解出该题,即
事件,,同时发生,故 .
（2）他们都没有解出该题的概率;
解：他们都没有解出该题,即事件,, 同时发生,
故 .
（3）他们能够解决这个问题的概率.
解：“他们能够解决这个问题”的对立事件为“他们都没有解出该题”,结合对立事
件间的概率关系,可得所求事件的概率 .
变式 [2024·湖北荆州高一期末] 甲、乙两名篮球选手赛前进行三分球投篮训
练，甲每次投中三分的概率为，乙每次投中三分的概率为 ，在每次投篮中，
甲和乙互不影响.已知两人各投篮一次至少有一人命中三分球的概率为0.94.
（1）求 的值；
解:由题可知，解得 .
（2）甲、乙两人各投篮两次，求两人共投中三分球三次的概率.
解:设事件,分别表示甲投篮两次投中三分球一次、两次，设事件, 分别
表示乙投篮两次投中三分球一次、两次.
则， ，
， .
设事件 甲、乙两人各投篮两次，两人共投中三分球三次，
则 .
故甲、乙两人各投篮两次，两人共投中三分球三次的概率为 .
［素养小结］
求相互独立事件同时发生的概率的步骤:
（1）确定各事件之间是相互独立的;
（2）确定这些事件可以同时发生;
（3）求出每个事件发生的概率,再求积.
1.下列事件中，事件， 是相互独立事件的是( )
A
A.把一枚均匀的硬币抛掷两次，事件第一次为正面向上，事件 第二次为
反面向上
B.袋中有2个白球和2个黑球，不放回地摸2个球，事件 第一次摸到白球，事
件 第二次摸到白球
C.抛掷一枚均匀的骰子，事件出现的点数为奇数，事件 出现的点数为偶
数
D.事件某人能活到65岁，事件 某人能活到75岁
[解析] 把一枚均匀的硬币抛掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受
先后影响，故A中A，B是相互独立事件；
B中是不放回地摸球，显然事件A与事件B不相互独立；
对于C，A，B为互斥事件，不相互独立；
D中事件B发生的概率受事件A发生的影响.故选A.
2.甲、乙两同名学答同一道题，甲答对的概率为，乙答对的概率为 ，甲、
乙两人答对与否相互独立，则甲、乙两人都答对的概率为( )
B
A.1 B.0.629 C.0 D.0.74或0.85
[解析] 由题知，所求概率 .
3.[2024·山东威海高一期末]掷红、蓝两个质地均匀的骰子，观察朝上的面的点
数，记事件红骰子的点数为2，红骰子的点数为3， 两个骰子
的点数之和为7， 两个骰子的点数之和为9，则( )
C
A.与对立 B.与 不互斥
C.与相互独立 D.与 相互独立
[解析] 对于A，与互斥但不对立，故A错误；
对于B，与 不能同时发生，故与互斥，故B错误；
对于C，样本空间包含 （个）样本点，两个骰子的点数之和为7包含的
样本点有，，，，， ，共6个，则,
又， ，所以，所以与 相互独
立，故C正确；
对于D，两个骰子的点数之和为9包含的样本点有，，， ，
共4个，则,又，，所以
，故D错误.故选C.
4.甲、乙、丙3人分别去不同的商店购买同一种纪念品,3人的购买情况是相互独
立的，若甲、乙2人中至少有1人购买到该纪念品的概率为 ,丙购买到该纪念品的
概率为 ,则甲、乙、丙3人中至少有1人购买到该纪念品的概率为__.
[解析] 因为甲、乙2人中至少有1人购买到该纪念品的概率为 ,所以甲、乙2人均
没有购买到该纪念品的概率 .同理,丙没有购买到该纪念品的概率
，所以甲、乙、丙3人均没有购买到该纪念品的概率
,所以甲、乙、丙3人中至少有1人购买到该纪念品的概率
.
5.[2024·江西九江一中高一期末] 某场比赛甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有
关学生安全知识的问题.已知甲家庭回答正确的概率是 ，甲、丙两个家庭都回答
错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是 ，各家庭是否回答正确
互不影响.则甲、乙、丙三个家庭中恰好有两个家庭回答正确的概率为___.
[解析] 设甲、乙、丙三个家庭回答正确的概率分别为,, ，
由题意得，，，可得，，，
所以甲、乙、丙三个家庭中恰好有两个家庭回答正确的概率
.
1.关键词的理解
明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”
“都不发生”“不都发生”等词语的意义.
一般地，已知两个事件， ，那么：
（1），中至少有一个发生为事件 .
（2），都发生为事件 .
（3），都不发生为事件 .
（4），恰有一个发生为事件 .
（5），中至多有一个发生为事件 .
2.概率问题中的数学思想
（1）正难则反：灵活应用对立事件的概率关系 简化问题，
是求解概率问题最常用的方法.
（2）化繁为简：将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与
已知事件之间的关系,分析“所求事件”是分几类（考虑加法公式，转化为互斥事
件）还是分几步（考虑乘法公式，转化为相互独立事件）.
（3）函数思想:利用有关的概率公式和问题中的数量关系,建立函数,通过求解函
数使问题得解.
例 某校为丰富教职工业余文化生活，在教师节活动中举办了“三神杯”比赛，
现甲、乙两组进入到决赛阶段，决赛采用三局两胜制决出冠军，假设每局比赛
没有平局且每局比赛中甲组获胜的概率为 .
（1）求甲组最终获得冠军的概率.
解：设事件甲组在第局获胜， ，2，3，
则甲组获胜的概率
.
（2）已知冠军奖品为28个篮球，在甲组第一局获胜后，比赛被迫取消.奖品分
配方案是：如果比赛继续进行下去，按照甲、乙两组各自获胜的概率分配篮球，
请问按此方案，甲组、乙组分别可获得多少个篮球？
解：由题意知，在甲组第一局获胜的情况下，甲组输掉比赛的情况为甲组在接
下来的比赛中连输两场，
所以在甲组第一局获胜的前提下，甲组最终输掉比赛的概率
，所以甲组获胜的概率为 .
故甲组、乙组应按照 的比例来分配奖品，
即甲组应获得21个篮球，乙组应获得7个篮球.5.3.5 随机事件的独立性
【课前预习】
知识点
1.P(AB)=P(A)P(B) 不会 2.积 3.独立
诊断分析
(1)√ (2)× (3)× (4)× [解析] (2)只有事件A与B相互独立时,才有P(AB)=P(A)P(B).
(3)事件“甲分到红桃K”与事件“乙分到红桃K”不可能同时发生,是互斥事件.
(4)若A和B是两个相互独立事件,则1-P(A)P(B)表示事件A,B中至多有1个发生的概率.
【课中探究】
例1 解:(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响,所以它们是相互独立事件.
(2)“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”的概率为,若这一事件发生了,则“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的仍是白球”的概率为;若前一事件没有发生,则后一事件发生的概率为.可见,前一事件是否发生对后一事件发生的概率有影响,所以二者不是相互独立事件.
变式 (1)A (2)ACD [解析] (1)三个事件A,B,C相互独立的充要条件是P(AB)=P(A)P(B),P(BC)=P(B)P(C),P(AC)=P(A)P(C),P(ABC)=P(A)P(B)P(C),所以由A,B,C相互独立得P(ABC)=P(A)P(B)P(C),反之不成立.故“A,B,C相互独立”是“P(ABC)=P(A)P(B)P(C)”的充分不必要条件.故选A.
(2)由题意知P(A1)=,P(A2)=,
P(A3)=×+×+×+×=,
P(A4)=×+×+×+×=.
对于A,∵P(A1A2)=×==P(A1)P(A2),∴A1与A2相互独立,故A正确.
对于B,∵P(A1A3)=×=≠P(A1)P(A3),∴A1与A3不相互独立,故B错误.
对于C,∵P(A2A3)=×=≠P(A2)P(A3),∴A2与A3不相互独立,故C正确.
对于D,∵P(A2A4)=×=≠P(A2)P(A4),∴A2与A4不相互独立,故D正确.
故选ACD.
例2 解:(1)用事件A,B,C分别表示甲、乙、丙三个人在一定的时间内能解出该题.依题意可知,事件A,B,C相互独立,且P(A)=,P(B)=,P(C)=.
(1)他们都解出该题,即事件A,B,C同时发生,故P(ABC)=P(A)·P(B)·P(C)=××=.
(2)他们都没有解出该题,即事件,,同时发生,
故P( )=P()·P()·P()=[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)]=××=××=.
(3)“他们能够解决这个问题”的对立事件为“他们都没有解出该题”,结合对立事件间的概率关系,可得所求事件的概率P=1-P( )=1-=.
变式 解:(1)由题可知1-(1-0.8)×(1-p)=0.94,解得p=0.7.
(2)设事件A1,A2分别表示甲投篮两次投中三分球一次、两次,设事件B1,B2分别表示乙投篮两次投中三分球一次、两次.
则P(A1)=0.8×0.2+0.2×0.8=0.32,P(A2)=0.8×0.8=0.64,
P(B1)=0.7×0.3+0.3×0.7=0.42,P(B2)=0.7×0.7=0.49.
设事件E:甲、乙两人各投篮两次,两人共投中三分球三次,
则P(E)=P(A1B2)+P(A2B1)=0.32×0.49+0.64×0.42=0.425 6.
故甲、乙两人各投篮两次,两人共投中三分球三次的概率为0.425 6.
【课堂评价】
1.A [解析] 把一枚均匀的硬币抛掷两次,对于每次而言是相互独立的,其结果不受先后影响,故A中A,B是相互独立事件;B中是不放回地摸球,显然事件A与事件B不相互独立;对于C,A,B为互斥事件,不相互独立;D中事件B发生的概率受事件A发生的影响.故选A.
2.B [解析] 由题知,所求概率P=0.85×0.74=0.629.
3.C [解析] 对于A,A1与A2互斥但不对立,故A错误;对于B,A3与A4不能同时发生,故A3与A4互斥,故B错误;对于C,样本空间包含6×6=36(个)样本点,两个骰子的点数之和为7包含的样本点有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),共6个,则P(A3)==,又P(A1)=,P(A1A3)=,所以P(A1)P(A3)=P(A1A3),所以A1与A3相互独立,故C正确;对于D,两个骰子的点数之和为9包含的样本点有(3,6),(4,5),(5,4),(6,3),共4个,则P(A4)==,又P(A2)=,P(A2A4)=,所以P(A2)P(A4)≠P(A2A4),故D错误.故选C.
4. [解析] 因为甲、乙2人中至少有1人购买到该纪念品的概率为,所以甲、乙2人均没有购买到该纪念品的概率P1=1-=.同理,丙没有购买到该纪念品的概率P2=1-=,所以甲、乙、丙3人均没有购买到该纪念品的概率P3=P1·P2=×=,所以甲、乙、丙3人中至少有1人购买到该纪念品的概率P=1-P3=.
5. [解析] 设甲、乙、丙三个家庭回答正确的概率分别为P1,P2,P3,
由题意得P1=,(1-P3)=,P2P3=,可得P1=,P2=,P3=,
所以甲、乙、丙三个家庭中恰好有两个家庭回答正确的概率
P=P1P2(1-P3)+P1(1-P2)P3+(1-P1)P2P3=××+××+××=.5.3.5 随机事件的独立性
【学习目标】
1.在具体情境中,了解两个事件相互独立的概念;
2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题;
3.综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解决一些问题.
◆ 知识点 相互独立事件
1.一般地,当 时,就称事件A 与B相互独立(简称独立),事件A与B相互独立的直观理解是,事件A是否发生 影响事件B发生的概率.
2.P(AB)=P(A)P(B),这就是说,两个相互独立事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的 .
3.如果事件A与B相互独立,则与B,A与,与也相互 .
4.有限个事件相互独立
“事件A1,A2,…,An相互独立”的充要条件是“其中任意有限个事件同时发生的概率都等于它们各自发生的概率之积”.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若P(A)P(B)=P(AB),则事件A与B相互独立. ( )
(2)P(AB)表示事件A,B同时发生的概率,一定有P(AB)=P(A)P(B). ( )
(3)若把一副扑克牌中的4张K随机分给甲、乙、丙、丁四个人,每人得到1张扑克牌,则事件“甲分到红桃K”与事件“乙分到红桃K”相互独立.( )
(4)若A和B是两个相互独立事件,则1-P(A)P(B)表示事件A,B中至少有1个发生的概率.( )
◆ 探究点一 相互独立事件的判断
例1 判断下列各对事件是否是相互独立事件.
(1)甲组有3名男生和2名女生,乙组有2名男生和3名女生,现从甲、乙两组中各选1名学生参加演讲比赛,“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”;
(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球,“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的仍是白球”.
变式 (1)[2023·河北邢台高一期末] 设A,B,C为三个随机事件,则“A,B,C相互独立”是“P(ABC)=P(A)P(B)P(C)”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)(多选题)[2024·江西吉安高一期末] 某人连续掷两次骰子,事件A1表示“第一次掷出的点数是2”,事件A2表示“第二次掷出的点数是3”,事件A3表示“两次掷出的点数之和为5”,事件A4表示“两次掷出的点数之和为9”.则 ( )
A.A1与A2相互独立
B.A1与A3相互独立
C.A2与A3不相互独立
D.A2与A4不相互独立
[素养小结]
判断事件是否相互独立的方法:
(1)定义法:事件A,B相互独立 P(AB)=P(A)·P(B).
(2)直接法:由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.
◆ 探究点二 相互独立事件发生的概率
例2 甲、乙、丙三个人独立解决同一个问题,三人在一定的时间内能解出该题的概率分别是,,.求:
(1)他们都解出该题的概率;
(2)他们都没有解出该题的概率;
(3)他们能够解决这个问题的概率.
变式 [2024·湖北荆州高一期末] 甲、乙两名篮球选手赛前进行三分球投篮训练,甲每次投中三分的概率为0.8,乙每次投中三分的概率为p,在每次投篮中,甲和乙互不影响.已知两人各投篮一次至少有一人命中三分球的概率为0.94.
(1)求p的值;
(2)甲、乙两人各投篮两次,求两人共投中三分球三次的概率.
[素养小结]
求相互独立事件同时发生的概率的步骤:
(1)确定各事件之间是相互独立的;
(2)确定这些事件可以同时发生;
(3)求出每个事件发生的概率,再求积.
1.下列事件中,事件A,B是相互独立事件的是( )
A.把一枚均匀的硬币抛掷两次,事件A:第一次为正面向上,事件B:第二次为反面向上
B.袋中有2个白球和2个黑球,不放回地摸2个球,事件A:第一次摸到白球,事件B:第二次摸到白球
C.抛掷一枚均匀的骰子,事件A:出现的点数为奇数,事件B:出现的点数为偶数
D.事件A:某人能活到65岁,事件B:某人能活到75岁
2.甲、乙两同名学答同一道题,甲答对的概率为0.85,乙答对的概率为0.74,甲、乙两人答对与否相互独立,则甲、乙两人都答对的概率为( )
A.1 B.0.629
C.0 D.0.74或0.85
3.[2024·山东威海高一期末] 掷红、蓝两个质地均匀的骰子,观察朝上的面的点数,记事件A1:红骰子的点数为2,A2:红骰子的点数为3,A3:两个骰子的点数之和为7,A4:两个骰子的点数之和为9,则 ( )
A.A1与A2对立
B.A3与A4不互斥
C.A1与A3相互独立
D.A2与A4相互独立
4.甲、乙、丙3人分别去不同的商店购买同一种纪念品,3人的购买情况是相互独立的,若甲、乙2人中至少有1人购买到该纪念品的概率为,丙购买到该纪念品的概率为,则甲、乙、丙3人中至少有1人购买到该纪念品的概率为 .
5.[2024·江西九江一中高一期末] 某场比赛甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关学生安全知识的问题.已知甲家庭回答正确的概率是,甲、丙两个家庭都回答错误的概率是,乙、丙两个家庭都回答正确的概率是,各家庭是否回答正确互不影响.则甲、乙、丙三个家庭中恰好有两个家庭回答正确的概率为 . 5.3.5 随机事件的独立性
1.D [解析] 根据互斥事件、对立事件及相互独立事件的概念可知,事件A与事件B不是相互独立事件.故选D.
2.D [解析] 两项都合格的概率为×=,两项都不合格的概率为×=,故恰有一项合格的概率为1--=.故选D.
3.A [解析] 设某市民在该超市随机挑选了一块腊肉,该块腊肉为甲品牌的优质品为事件A,该块腊肉为乙品牌的优质品为事件B,则P(A)=×=,P(B)=×=,则所求概率为P(A)+P(B)=.故选A.
4.C [解析] 设“甲去黄山”为事件A,“乙去黄山”为事件B,则P(A)=,P(B)=,所以所求概率P=1-P( )=1-×=.故选C.
5.D [解析] 连续抛掷一枚质地均匀的硬币2 次的样本空间为Ω={(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)},由题意得P(A)==,P(B)==,P(C)==,P(AB)=P(AC)=P(BC)=.因为P(AB)==P(A)P(B),所以事件A与事件B相互独立,故①正确;因为P(AC)==P(A)P(C),所以事件A与事件C相互独立,故②正确;因为P(BC)==P(B)P(C),所以事件B与事件C相互独立,故③正确.故选D.
【易错点】 当不能直观地看出事件A是否发生不影响事件B 发生的概率时,一定要根据定义判断A,B是否相互独立,即P(AB)=P(A)P(B)是否成立.
6.D [解析] 汽车在甲、乙、丙三处遇到绿灯的事件分别记为A,B,C,则P(A)=,P(B)=,P(C)=,设汽车在三处遇到两次绿灯为事件M,则M=AB+AC+BC,且AB,AC,BC两两互斥,而事件A,B,C相互独立,所以P(M)=P(AB)+P(AC)+P(BC)=××+××+××=,故汽车在这三处共遇到两次绿灯的概率为.故选D.
7.C [解析] 记零件A,B,C,D能正常工作的概率分别为P(A),P(B),P(C),P(D),该系统正常工作的概率为P{[(AB)∪C]∩D}=P[(AB)∪C]P(D)= [1-P(∪)P()]P(D) ={1-[1-P(AB)][1-P(C)]}P(D)=[1-(1-p2)(1-p)]p.故选C.
8.CD [解析] 对于A,若A与B相互独立,则P(AB)=P(A)P(B)=×=,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=+-=,故A中说法正确;对于B,因为P(A)=,所以P()=1-P(A)=1-=,所以P()P(B)=×==P(B),所以与B相互独立,故B中说法正确;对于C,若A与B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B)=+=,故C中说法不正确;对于D,若B发生时A一定发生,则B A,则P(AB)=P(B)=,故D中说法不正确.故选CD.
9.ABD [解析] 对于A,某顾客抽奖1次中奖的概率是=,故A正确;对于B,某顾客抽奖3次,至少有1次中奖的概率是1-=,故B正确;对于C,D,在1次抽奖过程中,已知顾客第1次抽出了红球,则该顾客中奖的概率是=,故C错误,D正确.故选ABD.
10.2个球不都是白球 [解析] 从甲袋内摸出白球与从乙袋内摸出白球两事件是相互独立的,故2个球都是白球的概率为×=,所以2个球不都是白球的概率P=1-=.
11.{1,5,7,8} [解析] 由题可得P(A)=P(B)=P(C)=,
因为P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=,
所以ABC={1},又A,B,C不相互独立,
即P(AB)≠P(A)P(B)=,P(AC)≠P(A)P(C)=,
P(BC)≠P(B)P(C)=,所以C={1,5,7,8}.
12.0.9 [解析] 设事件A为“参加过家政培训”,事件B为“参加过医院陪护工培训”,则P(A)=60%=0.6,P(B)=75%=0.75.任选1名女农民工,她参加过培训的对立事件是她既没有参加过家政培训,也没有参加过医院陪护工培训,则任选1名女农民工,她参加过培训的概率P=1-(1-P(A))(1-P(B))=1-(1-0.6)×(1-0.75)=0.9.
13.解:(1)设该同学在A处击中目标为事件A,在B处击中目标为事件B,在C处击中目标为事件C,依题意得P(A)=,P(B)=P(C)=,则P()=,P()=P()=.
则该同学得4分的概率为P(BC)=P()P(B)P(C) =××=.
(2)该同学得0分的概率为P()=P()P()P()=××=;
该同学得2分的概率为P(B+C)=P(B)+P(C)=××+××=;
该同学得3分的概率为P(A)=P(A)P()P()=××=.
则该同学得分不超过3分的概率为++=.
14.解:(1)记3道选择题的题号为1,2,3,2道填空题的题号为4,5,
则样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)},
共包含10个样本点,且每个样本点是等可能发生的,所以这是一个古典概型.
记事件A为“甲恰好抽到1道填空题”,则事件A所包含的样本点有6个,故P(A)==,
因此甲恰好抽到1道填空题的概率为.
(2)设事件A1,A2分别表示甲答对1道题、2道题,事件B0,B1分别表示乙答对0道题、1道题,根据事件的独立性得P(A1)=×+×=,P(A2)=×=,P(B0)=×=,P(B1)=×+×=.记事件B为“甲比乙恰好多答对1道题”,
则B=A1B0∪A2B1,且A1B0,A2B1两两互斥,A1与B0,A2与B1分别相互独立,
所以P(A1B0)=P(A1)P(B0)=×=,P(A2B1)=P(A2)P(B1)=×=,
所以P(B)=P(A1B0)+P(A2B1)=+=.
故甲比乙恰好多答对1道题的概率为.
15.C [解析] 若甲只投中1次,则甲获胜的概率P1=××××+××××=.若甲投中2次,则甲获胜的概率P2=××××+××××+××××+××××=.故甲获胜的概率为+=.故选C.
16.解:(1)甲队最后赢得整场比赛的情况为第四局甲赢或第四局甲输第五局甲赢,所以甲队最后赢得整场比赛的概率为+×=.
(2)设甲队x个球后赢得比赛,根据题意,x的取值只能为2或4,对应比分为16∶14,17∶15.
两队打了2个球后甲赢得整场比赛,即打第1个球甲发球甲得分,打第2个球甲发球甲得分,此时的概率P1=×=;
两队打了4个球后甲赢得整场比赛,即打第1个球甲发球甲得分,打第2个球甲发球乙得分,打第3个球乙发球甲得分,打第4个球甲发球甲得分,
或打第1个球甲发球乙得分,打第2个球乙发球甲得分,打第3个球甲发球甲得分,打第4个球甲发球甲得分,此时的概率P2=×××+×××=.
故所求概率P=P1+P2=+=.5.3.5 随机事件的独立性
一、选择题
1.袋内有大小相同的3个白球和2个黑球,从中不放回地摸球,事件A表示“第一次摸到白球”,事件B表示“第二次摸到白球”,则事件A与事件B是 ( )
A.互斥事件 B.相互独立事件
C.对立事件 D.不相互独立事件
2.从应届高中生中选拔飞行员,已知这批学生体型合格的概率为,视力合格的概率为,假设各项标准互不影响,从中任选一名学生,则该学生这两项标准恰有一项合格的概率为( )
A. B. C. D.
3.某超市销售的甲、乙两种品牌的腊肉分别占,的份额,已知甲、乙两种品牌的腊肉为优质品的概率分别为,.现某市民在该超市随机挑选了一块腊肉,则该块腊肉为优质品的概率为( )
A. B. C. D.
4.假日期间,甲去黄山的概率是,乙去黄山的概率是,假定两人的行动相互之间没有影响,那么在假日期间甲、乙两人中至少有一人去黄山的概率是 ( )
A. B. C. D.
★5.连续抛掷一枚质地均匀的硬币2次,设“第1次正面朝上”为事件A,“第2次反面朝上”为事件B,“2次朝上结果相同”为事件C,有下列三个说法:
①事件A与事件B相互独立;②事件A与事件C相互独立;③事件B与事件C相互独立.
其中正确说法的个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
6.某路段在甲、乙、丙三处设有红绿灯,汽车在这三处遇到绿灯的概率分别是,,,则汽车在这三处共遇到两次绿灯的概率为 ( )
A. B. C. D.
7.如图,某系统由A,B,C,D四个零件组成,若每个零件是否正常工作互不影响,且零件A,B,C,D正常工作的概率都为p(0
A.[1-(1-p)p2]p
B.[1-p(1-p2)]p
C.[1-(1-p)(1-p2)]p
D.[1-(1-p)2p]p
8.(多选题)[2024·四川眉山高一期末] 已知事件A,B发生的概率分别为P(A)=,P(B)=,则下列说法不正确的是 ( )
A.若A与B相互独立,则P(A∪B)=
B.若P(B)=,则与B相互独立
C.若A与B互斥,则P(A∪B)=
D.若B发生时A一定发生,则P(AB)=
9.(多选题)为吸引顾客,某商场举办购物抽奖活动.抽奖规则是:从装有2个白球和3个红球(小球除颜色外完全相同)的抽奖箱中,不放回地依次摸取2次,每次摸出1个球,记为1次抽奖,每次抽奖相互独立.若摸出的2个球颜色相同则为中奖,否则为不中奖,则下列随机事件的概率正确的是 ( )
A.某顾客抽奖1次中奖的概率是
B.某顾客抽奖3次,至少有1次中奖的概率是
C.在1次抽奖过程中,若已知顾客第1次抽出了红球,则该顾客中奖的概率是
D.在1次抽奖过程中,若已知顾客第1次抽出了红球,则该顾客中奖的概率是
二、填空题
10.从甲袋内摸出1个白球的概率为,从乙袋内摸出1个白球的概率为,从两个袋内各摸1个球,那么概率为的事件是 .
11.[2024·山东青岛高一期末] 正八面体各个面分别标以数字1到8.抛掷一次该正八面体,观察它与地面接触的面上的数字,得到样本空间为Ω={1,2,3,4,5,6,7,8}.已知事件A={1,2,3,4},B={1,2,3,6},C={1,a,b,c},若P(ABC)=P(A)P(B)P(C),但A,B,C不相互独立,则事件C= .
12.某地区为女农民工免费提供家政和医院陪护工培训,每人可选择参加一项、两项培训或不参加培训.已知该地区的女农民工参加过家政培训的有60%,参加过医院陪护工培训的有75%,假设每个女农民工对培训项目的选择是相互独立的.任选1名女农民工,则她参加过培训的概率是 .
三、解答题
13.在一次射击游戏中,规定每人最多射击3次,在A处击中目标得3分,在B,C处击中目标均得2分,没击中目标不得分.某同学在A处击中目标的概率为,在B,C处击中目标的概率均为,该同学依次在A,B,C处各射击一次,各次射击之间没有影响.
(1)求该同学得4分的概率;
(2)求该同学得分不超过3分的概率.
14.为庆祝建校115周年,某校举行了校史知识竞赛.在必答题环节,甲、乙两位选手分别从3道选择题、2道填空题中随机抽取2道题作答.已知甲每道题答对的概率为,乙每道题答对的概率为,且甲、乙两人答对与否互不影响,各题的结果也互不影响.
(1)求甲恰好抽到1道填空题的概率;
(2)求甲比乙恰好多答对1道题的概率.
15.投壶是中国古代士大夫宴饮时做的一种投掷游戏.现有甲、乙两人进行投壶游戏,且甲、乙每次投壶投中的概率分别为,,每人每次投壶相互独立.若约定甲投壶2次,乙投壶3次,投中次数多者获胜,则甲获胜的概率为( )
A. B. C. D.
16.某排球比赛采用五局三胜制,前四局比赛采用25分制,每个队只有赢得至少25分,并同时超过对方2分时,才胜1局;在决胜局(第五局)采用15分制,每个队只有赢得至少15分,并领先对方2分为胜.在比赛中,每一个回合,赢球的一方可得1分,并获得下一球的发球权,输球的一方不得分.现有甲、乙两队进行排球比赛.
(1)若前三局比赛中甲赢两局,乙赢一局,接下来的每局比赛甲队获胜的概率均为,求甲队最后赢得整场比赛的概率.
(2)若前四局比赛中甲、乙两队已经各赢两局比赛.在决胜局(第五局)中,两队当前的得分均为14分,且甲已获得下一球的发球权.若甲发球时甲赢1分的概率为,乙发球时甲赢1分的概率为.求甲队在4个球以内(含4个球)赢得整场比赛的概率.