(共37张PPT)
5.4 统计与概率的应用
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 课堂评价
◆ 备课素材
【学习目标】
1.通过实例进一步理解统计与概率的意义及应用；
2.能用统计与概率的知识解决实际生活中的问题.
知识点 概率的应用
概率是描述随机事件发生________大小的度量，它已经渗透到人们的日常生活
中，成为一个常用的词汇，任何事件的概率是______内的一个数，它度量该事
件发生的可能性.小概率事件（概率接近___）很少发生，而大概率事件
（概率接近___）则经常发生.
可能性
0
1
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）当事件 发生的概率很小时,该事件为不可能事件. ( )
×
[解析] 概率很小的事件也是随机事件,不可能事件发生的概率为0.
（2）某医院治愈某种病的概率为 ,则10个人去治疗,一定有8个人能治愈.( )
×
[解析] 治愈某种病的概率为,是对每个病人来说治愈的可能性为 ,而不是10
个人中有8个人能治愈.
（3）平时的多次比赛中,小明获胜的次数比小华多,所以这次比赛应选小明参加. ( )
√
[解析] 概率能为我们的决策提供很好的参考,小明获胜的次数多,就应该选小明参加.
（4）甲袋中有12个黑球，4个白球，乙袋中有20个黑球，20个白球，从其中一
袋中随机摸出1个球，要想摸出1个黑球，选择乙袋成功的机会更大.( )
×
[解析] 因为甲袋中有12个黑球，4个白球，共16个球，所以从中随机摸出1个球，
摸出的是1个黑球的概率 .因为乙袋中有20个黑球，20个白球，共40个
球，所以从中随机摸出1个球，摸出的是1个黑球的概率.因为 ，
所以选择甲袋成功的机会更大.
探究点一 统计在实际中的应用
例1 某地盛产芒果、榴莲等水果，因其质量较好，长期受到消费者的欢迎.当
地有关部门在实地调研后，立足当地独特优势，大力发展农村经济，为统计当
地居民去年的收入状况，随机抽取100户对去年的年收入进行了一个抽样调查，
得到如下表所示的频数表：
年收入（万元）
频数 15 10 35 20 10 10
（1）估计本村居民的年收入的众数、 分位数；
解：众数为 .
因为前三组的频率之和为 ，
前四组的频率之和为 ，
所以 分位数在第四组内.
设分位数为，则有，解得 .
估计本村居民的年收入的众数为11， 百分位数为13.5.
（2）用分层抽样的方法从这100户居民中抽取20户进行走访，若再从抽取的年
收入在和 的居民中随机抽取2户进行进一步调查，求至少有1户来自年
收入在 内的概率.
解：由频数表及分层抽样可知在年收入在内抽取的户数为 ，在
年收入在内抽取的户数为 .
记年收入在内的3户分别为，，，年收入在内的2户分别为， ，
则从中随机抽取2户的样本空间，，，，，，， ，
， ，共包含10个样本点，
其中至少有1户来自年收入在内包含的样本点有，，，， ，
， ，共7个，
故抽取的2户中至少有1户来自年收入在内的概率 .
变式 为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，分别从两厂随机
各选取了10个轮胎，将每个轮胎的宽度（单位： ）记录下来并绘制出如图
所示的折线图.
（1）分别计算从甲、乙两厂选取的10个轮胎宽度的平均数.
解：从甲厂选取的10个轮胎中，轮胎宽度的平均数
,
从乙厂选取的10个轮胎中，轮胎宽度的平均数
.
（2）若轮胎的宽度在 内，则称这个轮胎是标准轮胎.
（ⅰ）若从甲厂选取的10个轮胎中随机抽取1个，求所抽取的轮胎是标准轮胎的概率；
解： 从甲厂选取的轮胎中，轮胎宽度在 内的数据有195，194，196，
194，196，195，共6个，故从甲厂选取的10个轮胎中随机抽取1个，所抽取的轮
胎是标准轮胎的概率 .
（ⅱ）求从甲、乙两厂分别选取的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差.
解： 从甲厂选取的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的平均数为
,
方差为 .
从乙厂选取的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的平均数为
,
方差为 .
［素养小结］
（1）用样本估计总体是统计学中的核心思想.
（2）主要题型是用样本的数字特征或分布估计总体的数字特征或分布.
（3）平均数、方差（或标准差）是评判数据平均取值水平和离散程度的依据.
探究点二 概率在实际中的应用
例2 为了估计某自然保护区中天鹅的数量，相关工作人员先从该自然保护区中
捕出200只天鹅，给每只天鹅做上记号（不影响其存活），然后放回自然保护区，
经过适当的时间，让其和该自然保护区中其余的天鹅充分混合，再从该自然保
护区中捕出150只天鹅，其中有20只带有记号.假定每只天鹅被捕到的可能性是
相等的，试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量.
解：设该自然保护区中天鹅的数量为.从该自然保护区中任捕一只，设事件 为
捕到带有记号的天鹅，则 .
从该自然保护区中捕出150只天鹅，其中有20只带有记号，
由概率的统计定义可知 .
由①②，得，解得 ，
故该自然保护区中天鹅约有1500只.
变式 已知是一个三位正整数，若 的个位数字大于十位数字，十位数字大于
百位数字，则称 为“三位递增数”（如135，256，345等）.现要从甲、乙两名同
学中选出一人参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5，
6组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，若抽取的“三位递增数”是偶数，
则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛.
（1）由1，2，3，4，5，6可组成多少个“三位递增数”？分别用树形图和列举法解答.
解：画出树形图，如图所示，
由图可知，由1，2，3，4，5，6可组成20个“三位递增数”.
由题知，由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数”分别是123，124，125，126，
134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，
356，456，共20个，故由1，2，3，4，5，6可组成20个“三位递增数”.
（2）这种选取规则对甲、乙两名同学公平吗？请说明理由.
解：不公平.理由如下：
由（1）知由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数”有20个.记“甲参加数学竞赛”
为事件，事件 包含的样本点有124，126，134，136，146，156，234，236，
246，256，346，356，456，共13个，
所以 .
记“乙参加数学竞赛”为事件，则事件 包含的样本点有123，125，135，145，
235，245，345，共7个，
所以.因为 ，
所以该选取规则对甲、乙两名同学不公平.
［素养小结］
（1）游戏规则是否公平，即判定概率是否都相等.
（2）大概率事件易发生，小概率事件不易发生.
探究点三 情境应用
例3 为了了解某地机动车的所有人缴纳车船使用税的情况，调查部门在该地某
大型停车场对机动车的所有人进行了随机调查.向被调查者提出三个问题：（1）
你的车牌号码的最后一位数字是奇数吗？（2）你缴纳了本年度的车船使用税吗？
（3）你的手机号码的倒数第二位是偶数吗？调查人员给被调查者准备了一枚质
地均匀的骰子，让被调查者背对调查人员掷一次骰子.如果出现一点或二点则回
答第一个问题；如果出现三点或四点则回答第二个问题；如果出现五点或六点
则回答第三个问题（被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只
需回答“是”或“否”，所有人都如实回答）.结果被调查的3000人中有1200人回答
了“否”，由此估计这3000人中没有缴纳车船使用税的人数大约为( )
A
A.600 B.200 C.400 D.300
[解析] 因为骰子出现一点或二点、三点或四点、五点或六点的概率相等，都等
于 ，所以大约有1000人回答了第一个问题.因为车牌号码的最后一位数字是奇数
与是偶数的概率是相等的，所以在这1000人中大约有500人的车牌号码的最后一
位数字是偶数，这500人都回答了“否”.
同理也大约有1000人回答了第三个问题，在这1000人中大约有500人回答了“否”，
因此在回答“否”的1200人中大约有200人对第二个问题回答了“否”.故在这3000人
中大约有600人没有缴纳车船使用税. 故选A.
变式 [2023·广东揭阳高一期中] 为了解某中学生遵守《中华人民共和国交通
安全法》的情况，调查部门在该校进行了如下的随机调查，向被调查者提出两
个问题：（1）你的学号是奇数吗 （2）在过路口时你是否闯过红灯 要求被调
查者背对着调查人员抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则
就回答第二个问题.被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需
回答“是”或“不是”，因为只有调查者本人知道回答了哪一个问题，所以都如实
地作了回答.结果被调查的1200人（学号从1至1200）中有366人回答了“是”.由此
可以估计这1200人中闯过红灯的人数是_____.
[解析] 被调查的1200人中，在准备回答的两个问题中每一个问题被问到的概率
相同，
所以第一个问题可能被问600次，因为被问的600人中大约有300人的学号是奇数，
且有366人回答了“是”，
所以估计有66人在第二个问题中回答了“是”，即600人中有66人闯过红灯，频率
为0.11.
用样本频率估计总体，从而估计这1200人中闯过红灯的人数为
.
［素养小结］
情境主要有生活情境和学科情境，首先要审清题意，建构数学模型，分析统计
和概率，进行综合应用.
1.从一群游戏的小孩中抽出 人，一人分一个苹果，让他们返回继续游戏，一会
儿后，再从中任取人，发现其中有 个小孩曾分过苹果，估计一共有小孩 ( )
B
A.人 B.人 C.人 D. 人
[解析] 设一共有个小孩，根据概率的意义，有，所以 .故选B.
2.一批产品的合格率为，检验员抽检时出错率为 ，则检验员抽取一件
产品，检验为合格品的概率为( )
B
A.0.81 B.0.82 C.0.90 D.0.91
[解析] 一批产品的合格率为，检验员抽检时出错率为， 检验员抽
取一件产品，检验为合格品的概率为 故选B.
3.为评估某种新型水稻的种植效果，选择了 块面积相等、肥力相同的试验稻田.
这块稻田的亩产量（单位：）分别为，， ， ，下列统计量中，
能用来评估这种新型水稻亩产量稳定程度的是( )
A
A.样本，， ，的标准差 B.样本，， ， 的中位数
C.样本，， ，的众数 D.样本，， ， 的平均数
[解析] 标准差刻画了数据的离散程度.故选A.
4.某产品的设计长度为，规定误差不超过 为合格品.对一批产品进行
测量，测量结果如下表：
19.5以下 20.5以上
件数 5 68 7
则这批产品的不合格率为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 由题可知，长度在 的为合格品，所以这批产品的不合格率为
.故选D.
5.某路口的交通信号灯，绿灯亮40秒后，黄灯闪烁若干秒，然后红灯亮30秒，
如果一辆车到达路口时，遇到红灯的概率为 ，那么黄灯闪烁的时间为___秒.
5
[解析] 设黄灯闪烁的时间为秒， 一辆车到达路口时，遇到红灯的概率为 ，
,解得， 黄灯闪烁的时间为5秒.
1.统计与概率的应用
2.概率在实际问题中的应用
（1）概率反映了随机事件发生的可能性的大小，概率是频率的稳定值，可以用
样本中出现的频率近似地估计总体中该结果出现的概率.
（2）实际生活与生产中常常用随机事件发生的概率来估计某个生物种群中个别
生物种类的数量、某批次的产品中不合格产品的数量等.
（3）在实际应用中，先分析问题是古典概型还是用频率估计概率，然后再用合
理的方法解决问题.古典概型中要避免结果的疏漏.
例1 经过市场抽检，质检部门得知市场上食用油的合格率为 ，经调查，某
市市场上的食用油大约有80个品牌，则不合格的食用油品牌大约有____个.
16
[解析] 由题意知市场上食用油的合格率为,则不合格率为 ，
所以80个品牌中，不合格的食用油品牌大约有 （个）.
例2 某地区为了实现产业的转型发展，利用当地旅游资源丰富多样的特点，决
定大力发展旅游产业，一方面对现有旅游资源进行升级改造，另一方面不断提
高旅游服务水平.为此该地区旅游部门对所推出的报团游和自助游项目进行了深
入调查，下表是该部门从去年某月到该地区旅游的游客中随机抽取的100位游客
的满意度调查表.
满意度 老年人 中年人 青年人 报团游 自助游 报团游 自助游 报团游 自助游
满意 12 1 18 4 15 6
一般 2 1 6 4 4 12
不满意 1 1 6 2 3 2
（1）由表中的数据分析，老年人、中年人和青年人这三种人群中，哪一类人群
更倾向于选择报团游？
解：由表中数据可得老年人、中年人和青年人选择报团游的频率分别为
,, ,
因为 ，所以老年人更倾向于选择报团游.
（2）某人要到该地区旅游，根据表中的数据，你会建议他选择哪种旅游项目？
解：由表可知，报团游的满意率 ,
自助游的满意率,因为 ，所以建议他选择报团游.5.4 统计与概率的应用
【课前预习】
知识点
可能性 [0,1] 0 1
诊断分析
(1)× (2)× (3)√ (4)× [解析] (1)概率很小的事件也是随机事件,不可能事件发生的概率为0.
(2)治愈某种病的概率为0.8,是对每个病人来说治愈的可能性为0.8,而不是10个人中有8个人能治愈.
(3)概率能为我们的决策提供很好的参考,小明获胜的次数多,就应该选小明参加.
(4)因为甲袋中有12个黑球,4个白球,共16个球,所以从中随机摸出1个球,摸出的是1个黑球的概率P1==.因为乙袋中有20个黑球,20个白球,共40个球,所以从中随机摸出1个球,摸出的是1个黑球的概率P2==.因为>,所以选择甲袋成功的机会更大.
【课中探究】
例1 解:(1)众数为=11.
因为前三组的频率之和为0.15+0.1+0.35=0.6,
前四组的频率之和为0.15+0.1+0.35+0.2=0.8,
所以75%分位数在第四组内.
设75%分位数为t,则有=,解得t=13.5.
估计本村居民的年收入的众数为11,75%百分位数为13.5.
(2)由频数表及分层抽样可知在年收入在[6,8)内抽取的户数为×20=3,在年收入在[8,10)内抽取的户数为×20=2.
记年收入在[6,8)内的3户分别为A,B,C,年收入在[8,10)内的2户分别为a,b,
则从中随机抽取2户的样本空间Ω={AB,AC,BC,Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,ab},共包含10个样本点,
其中至少有1户来自年收入在[8,10)内包含的样本点有Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,ab,共7个,
故抽取的2户中至少有1户来自年收入在[8,10)内的概率P=.
变式 解:(1)从甲厂选取的10个轮胎中,轮胎宽度的平均数=×(195+194+196+193+194+197+196+195+193+197)=195,
从乙厂选取的10个轮胎中,轮胎宽度的平均数=×(195+196+193+192+195+194+195+192+195+193)=194.
(2)(i)从甲厂选取的轮胎中,轮胎宽度在[194,196]内的数据有195,194,196,194,196,195,共6个,故从甲厂选取的10个轮胎中随机抽取1个,所抽取的轮胎是标准轮胎的概率P==.
(ii)从甲厂选取的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的平均数为×(195+194+196+194+196+195)=195,
方差为×[02+(-1)2+12+(-1)2+12+02]=.
从乙厂选取的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的平均数为×(195+196+195+194+195+195)=195,
方差为×[02+12+02+(-1)2+02+02]=.
例2 解:设该自然保护区中天鹅的数量为n.从该自然保护区中任捕一只,设事件A为捕到带有记号的天鹅,则P(A)=①.
从该自然保护区中捕出150只天鹅,其中有20只带有记号,
由概率的统计定义可知P(A)≈②.
由①②,得≈,解得n≈1500,
故该自然保护区中天鹅约有1500只.
变式 解:(1)画出树形图,如图所示,
由图可知,由1,2,3,4,5,6可组成20个“三位递增数”.
由题知,由1,2,3,4,5,6组成的“三位递增数”分别是123,124,125,126,134,135,136,145,146,156,234,235,236,245,246,256,345,346,356,456,
共20个,故由1,2,3,4,5,6可组成20个“三位递增数”.
(2)不公平.理由如下:
由(1)知由1,2,3,4,5,6组成的“三位递增数”有20个.记“甲参加数学竞赛”为事件A,事件A包含的样本点有124,126,134,136,146,156,234,236,246,256,346,356,456,共13个,
所以P(A)=.
记“乙参加数学竞赛”为事件B,则事件B包含的样本点有123,125,135,145,235,245,345,共7个,
所以P(B)=.因为P(A)>P(B),
所以该选取规则对甲、乙两名同学不公平.
例3 A [解析] 因为骰子出现一点或二点、三点或四点、五点或六点的概率相等,都等于,所以大约有1000人回答了第一个问题.因为车牌号码的最后一位数字是奇数与是偶数的概率是相等的,所以在这1000人中大约有500人的车牌号码的最后一位数字是偶数,这500人都回答了“否”.同理也大约有1000人回答了第三个问题,在这1000人中大约有500人回答了“否”,因此在回答“否”的1200人中大约有200人对第二个问题回答了“否”.故在这3000人中大约有600人没有缴纳车船使用税.故选A.
变式 132 [解析] 被调查的1200人中,在准备回答的两个问题中每一个问题被问到的概率相同,
所以第一个问题可能被问600次,因为被问的600人中大约有300人的学号是奇数,且有366人回答了“是”,
所以估计有66人在第二个问题中回答了“是”,即600人中有66人闯过红灯,频率为0.11.
用样本频率估计总体,从而估计这1200人中闯过红灯的人数为1200×0.11=132.
【课堂评价】
1.B [解析] 设一共有x个小孩,根据概率的意义,有≈,所以x≈.故选B.
2.B [解析] ∵一批产品的合格率为90%,检验员抽检时出错率为10%,∴检验员抽取一件产品,检验为合格品的概率为0.9×0.9+0.1×0.1=0.82.故选B.
3.A [解析] 标准差刻画了数据的离散程度.故选A.
4.D [解析] 由题可知,长度在19.5~20.5的为合格品,所以这批产品的不合格率为==.故选D.
5.5 [解析] 设黄灯闪烁的时间为t秒,∵一辆车到达路口时,遇到红灯的概率为,∴=,解得t=5,∴黄灯闪烁的时间为5秒5.4 统计与概率的应用
【学习目标】
1.通过实例进一步理解统计与概率的意义及应用;
2.能用统计与概率的知识解决实际生活中的问题.
◆ 知识点 概率的应用
概率是描述随机事件发生 大小的度量,它已经渗透到人们的日常生活中,成为一个常用的词汇,任何事件的概率是 内的一个数,它度量该事件发生的可能性.小概率事件(概率接近 )很少发生,而大概率事件(概率接近 )则经常发生.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当事件A发生的概率很小时,该事件为不可能事件. ( )
(2)某医院治愈某种病的概率为0.8,则10个人去治疗,一定有8个人能治愈. ( )
(3)平时的多次比赛中,小明获胜的次数比小华多,所以这次比赛应选小明参加. ( )
(4)甲袋中有12个黑球,4个白球,乙袋中有20个黑球,20个白球,从其中一袋中随机摸出1个球,要想摸出1个黑球,选择乙袋成功的机会更大.( )
◆ 探究点一 统计在实际中的应用
例1 某地盛产芒果、榴莲等水果,因其质量较好,长期受到消费者的欢迎.当地有关部门在实地调研后,立足当地独特优势,大力发展农村经济,为统计当地居民去年的收入状况,随机抽取100户对去年的年收入进行了一个抽样调查,得到如下表所示的频数表:
年收入(万元) [6,8) [8,10) [10,12) [12,14) [14,16) [16,18]
频数 15 10 35 20 10 10
(1)估计本村居民的年收入的众数、75%分位数;
(2)用分层抽样的方法从这100户居民中抽取20户进行走访,若再从抽取的年收入在[6,8)和[8,10)的居民中随机抽取2户进行进一步调查,求至少有1户来自年收入在[8,10)内的概率.
变式 为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标,分别从两厂随机各选取了10个轮胎,将每个轮胎的宽度(单位:mm)记录下来并绘制出如图所示的折线图.
(1)分别计算从甲、乙两厂选取的10个轮胎宽度的平均数.
(2)若轮胎的宽度在[194,196]内,则称这个轮胎是标准轮胎.
(i)若从甲厂选取的10个轮胎中随机抽取1个,求所抽取的轮胎是标准轮胎的概率;
(ii)求从甲、乙两厂分别选取的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差.
[素养小结]
(1)用样本估计总体是统计学中的核心思想.
(2)主要题型是用样本的数字特征或分布估计总体的数字特征或分布.
(3)平均数、方差(或标准差)是评判数据平均取值水平和离散程度的依据.
◆ 探究点二 概率在实际中的应用
例2 为了估计某自然保护区中天鹅的数量,相关工作人员先从该自然保护区中捕出200只天鹅,给每只天鹅做上记号(不影响其存活),然后放回自然保护区,经过适当的时间,让其和该自然保护区中其余的天鹅充分混合,再从该自然保护区中捕出150只天鹅,其中有20只带有记号.假定每只天鹅被捕到的可能性是相等的,试根据上述数据,估计该自然保护区中天鹅的数量.
变式 已知n是一个三位正整数,若n的个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称n为“三位递增数”(如135,256,345等).现要从甲、乙两名同学中选出一人参加某市组织的数学竞赛,选取的规则如下:从由1,2,3,4,5,6组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数,若抽取的“三位递增数”是偶数,则甲参加数学竞赛;否则,乙参加数学竞赛.
(1)由1,2,3,4,5,6可组成多少个“三位递增数” 分别用树形图和列举法解答.
(2)这种选取规则对甲、乙两名同学公平吗 请说明理由.
[素养小结]
(1)游戏规则是否公平,即判定概率是否都相等.
(2)大概率事件易发生,小概率事件不易发生.
◆ 探究点三 情境应用
例3 为了了解某地机动车的所有人缴纳车船使用税的情况,调查部门在该地某大型停车场对机动车的所有人进行了随机调查.向被调查者提出三个问题:(1)你的车牌号码的最后一位数字是奇数吗 (2)你缴纳了本年度的车船使用税吗 (3)你的手机号码的倒数第二位是偶数吗 调查人员给被调查者准备了一枚质地均匀的骰子,让被调查者背对调查人员掷一次骰子.如果出现一点或二点则回答第一个问题;如果出现三点或四点则回答第二个问题;如果出现五点或六点则回答第三个问题(被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题,只需回答“是”或“否”,所有人都如实回答).结果被调查的3000人中有1200人回答了“否”,由此估计这3000人中没有缴纳车船使用税的人数大约为 ( )
A.600 B.200 C.400 D.300
变式 [2023·广东揭阳高一期中] 为了解某中学生遵守《中华人民共和国交通安全法》的情况,调查部门在该校进行了如下的随机调查,向被调查者提出两个问题:(1)你的学号是奇数吗 (2)在过路口时你是否闯过红灯 要求被调查者背对着调查人员抛掷一枚硬币,如果出现正面,就回答第一个问题,否则就回答第二个问题.被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题,只需回答“是”或“不是”,因为只有调查者本人知道回答了哪一个问题,所以都如实地作了回答.结果被调查的1200人(学号从1至1200)中有366人回答了“是”.由此可以估计这1200人中闯过红灯的人数是 .
[素养小结]
情境主要有生活情境和学科情境,首先要审清题意,建构数学模型,分析统计和概率,进行综合应用.
1.从一群游戏的小孩中抽出k人,一人分一个苹果,让他们返回继续游戏,一会儿后,再从中任取m人,发现其中有n个小孩曾分过苹果,估计一共有小孩 ( )
A.人 B.人
C.(k+m-n)人 D.(k+m-n)人
2.一批产品的合格率为90%,检验员抽检时出错率为10%,则检验员抽取一件产品,检验为合格品的概率为 ( )
A.0.81 B.0.82
C.0.90 D.0.91
3.为评估某种新型水稻的种植效果,选择了n块面积相等、肥力相同的试验稻田.这n块稻田的亩产量(单位:kg)分别为a1,a2,…,an,下列统计量中,能用来评估这种新型水稻亩产量稳定程度的是 ( )
A.样本a1,a2,…,an的标准差
B.样本a1,a2,…,an的中位数
C.样本a1,a2,…,an的众数
D.样本a1,a2,…,an的平均数
4.某产品的设计长度为20 cm,规定误差不超过0.5 cm为合格品.对一批产品进行测量,测量结果如下表:
长度(cm) 19.5以下 19.5~20.5 20.5以上
件数 5 68 7
则这批产品的不合格率为 ( )
A. B. C. D.
5.某路口的交通信号灯,绿灯亮40秒后,黄灯闪烁若干秒,然后红灯亮30秒,如果一辆车到达路口时,遇到红灯的概率为,那么黄灯闪烁的时间为 秒. 5.4 统计与概率的应用
1.D [解析] 该长方体一共可切成12块,其中只有位于大长方体顶点处的小正方体恰有三面涂色,共8块,则所求概率P==.故选D.
2.A [解析] 甲、乙两位同学各自等可能地选择其中1个窗口,该试验包含的样本点有9个,甲、乙两位同学选到同一个窗口包含的样本点有3个,故所求概率为=.故选A.
3.C [解析] 对于袋子1,取出2个球同色的概率为,取出2个球不同色的概率为,故袋子1不公平;对于袋子2,取出2个球同色的概率为,取出2个球不同色的概率为,故袋子2不公平;对于袋子3,取出2个球同色的概率为,取出2个球不同色的概率为,故袋子3公平.故选C.
4.B [解析] 由茎叶图可知,A酒店的综合评分分别为72,86,87,89,92,94,B酒店的综合评分分别为73,74,86,88,94,95,可得≈86.67,=85,≈50.56,=76,则>,<.故选B.
5.B [解析] 建筑行业的招聘人数是76 516,应聘人数没有排在前5位,则应聘人数小于65 280,物流行业的应聘人数是74 570,招聘人数不在前5位,则招聘人数小于70 436,所以就业形势是建筑行业好于物流行业.故选B.
6.C [解析] 由题意知,每个居民从袋子中抽到白球或红球的可能性都是,故300人中大约有300×=150(人)回答了第一个问题,另150人回答了第二个问题.在摸出白球的情况下,回答“是”的概率为,设该地居民乱丢垃圾的概率为x,则150×+150x=58,解得x=.故选C.
7.B [解析] 对于A,2023年5,6月的利润率相同,2023年9,10月的利润率在递增,故A不正确;
对于B,将这11个月的利润率从小到大排列为
5.97%,6.25%,6.35%,6.81%,6.96%,6.98%,7.01%,7.01%,7.09%,7.11%,7.11%,
因为11×80%=8.8,所以80%分位数为7.09%.故B正确;
对于C,由图可知,2023年9,10月的每百元营业收入中的成本呈递减趋势,故C不正确;
对于D,这11个月的每百元营业收入中的成本的平均数≈83.77,
因为(84.30-83.77)2+(83.48-83.77)2=0.280 9+0.084 1=0.365,所以这11个月的每百元营业收入中的成本的方差不可能大于1,故D不正确.故选B.
8.BD [解析] 设申请法学院的男生人数为x,女生人数为y,则x+y=200,则法学院的录取率为==0.7-0.001x.设申请商学院的男生人数为m,女生人数为n,则m+n=300,则商学院的录取率为==0.9-0.001m.因为(0.9-0.001m)-(0.7-0.001x)=0.2-0.001(m-x)=0.001(200-m+x),该值的正负不确定,所以A错误,D正确;这两个学院所有男生的录取率为,这两个学院所有女生的录取率为,因为-=-<0,所以B正确,C错误.故选BD.
9.ABC [解析] 61-(19+18+14)=10,该队除这3人外,剩余7人共得到10分,存在该队上场的10名球员都有得分的可能,故A正确;该队除这3人外,剩余7人共得到10分,若极差为17,则剩余7人最低得分为2分,这种情况不存在,即上场的10名球员得分的极差不可能为17分,故B正确;该队上场的10名球员得分的平均数为=6.1,按照分数从小到大排序,则第8个、第9个、第10个数据一定是14,18,19,若中位数大于或等于平均数,则第5个、第6个数据之和应大于或等于12.2分,这与7人得到10分不符,故C正确;根据已知条件,上场的10名球员得分情况可能为0,0,0,1,3,3,3,14,18,19,即3可能是中国队上场的10名球员得分的众数,故D错误.故选ABC.
10.[0,176] (176,230] [解析] 因为70%分位数为176,90%分位数为230,所以用电量在[0,176]内为第一阶梯;用电量在(176,230]内为第二阶梯.
11. [解析] 由题意得x=20-(2+3+5+4+2)=4,样本中数据落在[10,50)内的频率为=,所以估计总体中数据落在[10,50)内的概率为.
12.不公平 将规则改为“和是6或7,则甲胜,否则乙胜”
[解析] 列表如下:
B 和 A 3 4 5 6
1 4 5 6 7
2 5 6 7 8
3 6 7 8 9
由表可知,样本空间包含12个样本点,两个数字和为6包含的样本点有3个.
因为P(和为6)==,所以甲、乙获胜的概率不相等,所以这个游戏规则不公平.如果将游戏规则改为“和是6或7,则甲胜,否则乙胜”,那么此时游戏规则是公平的.
13.解:(1)根据频率分布直方图可知,样本中分数不低于60的频率为
(0.02+0.04+0.02)×10=0.8,
故从500名学生中随机抽取一人,估计其分数不低于60的概率为0.8.
(2)根据题意,样本中分数不小于50的频率为
(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9,
分数在区间[40,50)内的人数为100-100×0.9-5=5.
所以总体中分数在区间[40,50)内的人数约为500×=25.
(3)设3名男生分别为a1,a2,a3,2名女生分别为b1,b2,则从这5名同学中选取2人的样本空间为Ω={(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2)},共包含10个样本点.
抽取的2人中男、女生各1人包含的样本点有
(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),共6个.
所以抽取的2人中男、女生各1人的概率是=.
14.解:(1)选乙参加数学竞赛较合适.理由如下:
由题知==83,则甲数学成绩的方差=50.8,
乙数学成绩的方差=48.8,
∵>,∴乙的成绩比甲稳定,故选乙参加数学竞赛比较合适.
(2)5道备选题中乙能答对的3道分别记为a,b,c,答不对的2道分别记为E,F.
方案一:乙从5道备选题中任意抽出1道,样本空间中包含的样本点有a,b,c,E,F,共5个,其中答对备选题包含的样本点有a,b,c,共3个,
∴选择此方案乙可参加复赛的概率P1=.
方案二:乙从5道备选题中任意抽出3道,样本空间中包含的样本点有(a,b,c),(a,b,E),(a,b,F),(a,c,E),(a,c,F),(a,E,F),(b,c,E),(b,c,F),(b,E,F),(c,E,F),共10个,其中至少答对2道备选题包含的样本点有(a,b,c),(a,b,E),(a,b,F),(a,c,E),(a,c,F),(b,c,E),(b,c,F),共7个,
∴选择此方案乙可参加复赛的概率P2=.
∵P1
15.解:设该市的出租车有1000辆,那么依题意可得信息如下表所示.
实际数据 证人眼中的颜色
蓝色 红色
真实 颜色 蓝色 850 680 170
红色 150 30 120
合计 1000 710 290
从表中可以看出,当目击证人说出租车是红色时,确定它是红色的概率为≈0.41,而它是蓝色的概率为≈0.59.在实际数据面前,警察仅以目击证人的证词作为推断的依据对红色出租车公司显然是不公平的.5.4 统计与概率的应用
一、选择题
1.将一个长、宽、高分别是2,2,3的长方体木块的六个面涂上颜色,再将该长方体均匀切割成棱长为1的小正方体,从切好的小正方体中任取一块,取得的小正方体恰有三面涂有颜色的概率是 ( )
A. B. C. D.
2.某中学组织高三学生进行高考体检,体检中心的抽血科室有3个窗口.若甲、乙两位同学各自等可能地选择其中1个窗口,则他们选到同一个窗口的概率为 ( )
A. B. C. D.
3.不透明的袋子中装有形状、大小完全相同的球,从袋中无放回地一次性取出2个球, 若取出的2个球同色,则甲获胜, 若取出的2个球不同色,则乙获胜.袋中所装球的颜色如下:袋子1中有 3个黑球和2个白球;袋子2中有2个黑球和2个白球;袋子3中有3个黑球和1个白球.其中不公平的袋子是 ( )
A.袋子2 B.袋子3
C.袋子1和袋子2 D.袋子1和袋子3
4.已知A,B两家酒店的综合评分如图所示,记A,B两家酒店的综合评分的平均数分别为,,方差分别为,,则 ( )
A.>,>
B.>,<
C.<,>
D.<,<
5.某地某年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下:
行业名称 计算机 机械 营销 物流 贸易
应聘人数 215 830 200 250 154 676 74 570 65 280
行业名称 计算机 营销 机械 建筑 化工
招聘人数 124 620 102 935 89 115 76 516 70 436
若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况,则根据表中数据,就业形势一定是 ( )
A.计算机行业好于化工行业
B.建筑行业好于物流行业
C.机械行业最紧张
D.营销行业比贸易行业紧张
6.某卫生部门为了调查某地居民垃圾分类的落实情况,随机抽取该地300人,并平均分成三组.调查中使用了以下两个问题:
问题一:你是否是第一组的居民
问题二:你是否经常乱丢垃圾
调查者设计了一个随机化装置,是一个装有大小、形状和质量完全相同的50个白球和50个红球的袋子.每个被调查者随机从袋中摸取1个小球(摸出的球再放回袋中),摸到白球的居民如实回答第一个问题,摸到红球的居民如实回答第二个问题.如果在300人中,共有58人回答了“是”,估计该地居民乱丢垃圾的概率为( )
A. B. C. D.
7.某公司2023年5月至2024年3月各月的利润率与每百元营业收入中的成本如图所示,则下列说法中正确的是 ( )
A.2023年5月至2023年12月的利润率呈递减趋势
B.这11个月的利润率的80%分位数为7.09%
C.这11个月的每百元营业收入中的成本呈递增趋势
D.这11个月的每百元营业收入中的成本的方差大于1
8.(多选题)某高校法学院和商学院新学期的招生情况有如下数据:有200人申请法学院,其中男生录取率为50%,女生录取率为70%;有300人申请商学院,其中男生录取率为60%,女生录取率为90%.对于此次招生,给出下列四个结论,其中正确的是 ( )
A.法学院的录取率小于商学院的录取率
B.这两个学院所有男生的录取率小于这两个学院所有女生的录取率
C.这两个学院所有男生的录取率不一定小于这两个学院所有女生的录取率
D.法学院的录取率不一定小于商学院的录取率
9.(多选题)在某次篮球比赛中,某队共得61分,在该队10名上场球员中,得分最高的人得到了19分,其余球员中有2人分别得到了18分,14分,根据以上信息判断,下列说法中正确的是 ( )
A.存在该队上场的10名球员都有得分的可能
B.该队上场的10名球员得分的极差不可能为17分
C.该队上场的10名球员得分的中位数一定小于其平均数
D.3不可能是该队上场的10名球员得分的众数
二、填空题
10.某地区想实行阶梯电价,经调查发现,该地区居民用电量信息如下.
分位数 50% 分位数 70% 分位数 80% 分位数 90% 分位数
用电量/(kW·h) 160 176 215 230
若要求约70%的居民用电量在第一阶梯内,约20%的居民用电量在第二阶梯内,则用电量在 内为第一阶梯,在 内为第二阶梯.
11.一个容量为20的样本,数据的分组及各组的频数如下:[10,20),2;[20,30),3;[30,40),x;[40,50),5;[50,60),4;[60,70),2.根据样本的频率分布估计总体中数据落在[10,50)内的概率为 .
12.如图所示,有两个可以自由转动的均匀转盘A,B.转盘A被平均分成3等份,分别标上1,2,3三个数字;转盘B被平均分成4等份,分别标上3,4,5,6四个数字.有人为甲、乙两人设计了一个游戏,规则如下:自由转动转盘A与B,转盘停止后,指针各指向一个数字,将指针所指的两个数字相加,如果和是6,那么甲获胜,否则乙获胜.这个游戏规则 (填“公平”或“不公平”).如果不公平,怎样修改规则才 能使游戏对双方公平 .(答案不唯一)
三、解答题
13.生活垃圾分为厨余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾和其他垃圾4类.为了获悉高中生对垃圾分类的了解情况,某中学设计了一份调查问卷,有500名学生参加测试,从中随机抽取了100份问卷,记录上面的分数,将数据分成7组:[20,30),[30,40),…,[80,90],并整理得到如图所示的频率分布直方图.
(1)从500名学生中随机抽取一人,估计其分数不低于60的概率.
(2)已知样本中分数小于40的学生有5人,试估计总体中分数在区间[40,50)内的学生人数.
(3)学校环保志愿者协会决定组织同学们利用课余时间分批参加“垃圾分类,我在实践”活动,以增强学生的环保意识.首次活动从样本中问卷分数低于40的学生中随机抽取2人参加,已知样本中分数小于40的5名学生中,男生3人,女生2人,求抽取的2人中男、女生各1人的概率.
14.某学校需要从甲、乙两人中选一人参加数学竞赛,抽取了近期甲、乙两人5次数学考试的成绩,统计结果如下表:
第一 次 第二 次 第三 次 第四 次 第五 次
甲的成绩(分) 80 85 71 92 87
乙的成绩(分) 90 76 75 92 82
(1)已知甲、乙两人这5次数学成绩的平均数都为83,若从甲、乙两人中选一人参加数学竞赛,你认为应选谁参加数学竞赛比较合适 并说明理由.
(2)若数学竞赛分初赛和复赛,在初赛中有两种答题方案:
方案一:每人从5道备选题中任意抽出1道,若答对,则可参加复赛,否则被淘汰;
方案二:每人从5道备选题中任意抽出3道,若至少答对其中2道,则可参加复赛,否则被淘汰.
已知甲、乙两人都只能答对5道备选题中的3道,那么你推荐的选手选择哪种答题方案进入复赛的可能性更大 并说明理由.
15.深夜,某市某路段发生一起出租车交通事故.该市有两家出租车公司,红色出租车公司和蓝色出租车公司,其中红色出租车公司和蓝色出租车公司的出租车分别占整个城市出租车的15%和85%.据现场目击证人说,事故现场的出租车是红色的.对现场目击证人的辨别能力做了测试,测得他辨认的正确率为80%,于是警察就认定红色出租车具有较大嫌疑.你觉得警察这样的认定公平吗