第一章 集合与常用逻辑用语
1．1 集合的概念
明确目标 发展素养
1.通过实例了解集合的含义． 2.理解元素与集合的属于关系． 3.掌握常用的数集及其记法． 4.掌握集合的两种表示方法. 1.通过学习集合的概念，逐步形成数学抽象素养． 2.借助集合中元素的互异性的应用，培养逻辑推理素养． 3.借助描述法转化为列举法时的运算，培养数学运算素养.
知识点一 元素与集合
1．元素与集合的含义
定义 表示
元素 一般地，把研究对象统称为元素 通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素
集合 把一些元素组成的总体叫做集合，简称为集 通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合
2．集合相等
只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．
3．集合中的元素必须满足的性质
确定性 一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的
互异性 一个集合中的任何两个元素都不相同．也就是说，集合中的元素 是不重复出现的
无序性 集合中的元素是没有顺序的
知识点二 元素与集合的关系及常用数集
1．元素与集合的关系
关系 概念 记法
a属于集合A 如果a是集合A的元素，就说a属于集合A a∈A
a不属于集合A 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A a A
2．常用数集及符号表示
名称 非负整数集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 N N*或N＋ Z Q R
[微思考] N与N*有何区别？
提示：N*是所有正整数组成的集合，而N是由0和所有的正整数组成的集合，所以N比N*多一个元素0.
知识点三 集合的表示方法
1．列举法
把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
2．描述法
一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．
[微思考]
(1)不等式x－3<4的解集中的元素有什么共同特征？
(2)如何用描述法表示不等式x－2<3的解集？
提示：(1)元素的共同特征为x∈R，且x<7.
(2){x|x<5，x∈R}．
题型一 集合的概念及特征
[典例1] 下列对象能构成集合的是( )
A．高一年级长得高的学生
B．sin 30°，sin 45°，cos 60°，1
C．全体很大的自然数
D．平面内到△ABC三个顶点距离相等的所有点
[解析] 由于高与很大没有一个确定的标准，因此A、C不能构成集合；B中sin 30°＝cos 60°，不满足互异性；D满足集合的三要素．故选D.
[答案] D
[方法技巧]
判断元素能否构成集合，关键在于是否有一个明确的客观标准来衡量这些对象，即看这些元素是否具有确定性．同时注意互异性和无序性．如果条件满足就可以断定这些元素可以构成集合，否则就不能构成集合．
提醒：注意集合中元素的互异性，相同的元素在集合中只能出现一次．
【对点练清】
1．(多选)下列对象能构成集合的是( )
A．某市拥有小轿车的家庭
B．2024年高考数学试卷中的难题
C．所有的有理数
D．方程x＝1的实数根
解析：选ACD 根据集合的概念，B选项中的“难题”标准不明确，不满足集合中元素的确定性，显然A，C，D选项中的对象都能构成集合，故选A，C，D.
2．由实数x，－x|x|，，()2，－组成的集合最多含有________个元素．
解析：由题可知x≥0，所以x，－x|x|，，()2，－可分别化为x，－x2，x，x2，－x，故由实数x，－x|x|，，()2，－组成的集合最多含有4个元素．
答案：4
题型二 元素与集合的关系
[典例2] (1)满足“a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N”，有且只有2个元素的集合A的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)用符号“∈”与“ ”填空：
①(－1)0_____N*；＋2_____Q；_____Q.
②若a2＝3，则a____R；若a2＝－1，则a____R.
[解析] (1)∵a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N，
若a＝0，则4－a＝4，此时A＝{0,4}满足要求；
若a＝1，则4－a＝3，此时A＝{1,3}满足要求；
若a＝2，则4－a＝2，此时A中只有一个元素2，不满足要求．
故有且只有2个元素的集合A有2个，故选C.
(2)①(－1)0＝1∈N*；＋2是无理数，故＋2 Q；是无限循环小数，是有理数，故∈Q.
②平方等于3的数是±，是实数；平方等于－1的实数不存在．所以a2＝3时，a∈R；a2＝－1时，a R.
[答案] (1)C (2)①∈ ∈ ②∈
[方法技巧]
解决元素与集合的关系问题的策略
(1)判断一个元素是不是某个集合的元素，关键是判断这个元素是否具有这个集合中元素的共同特征．
(2)要熟练掌握R，Q，Z，N，N*表示什么数集．
(3)解决比较复杂的集合问题时要充分利用集合满足的性质，运用转化思想，将问题等价转化为比较熟悉的问题解决．
【对点练清】
1．集合M是由大于－2且小于1的所有实数构成的，则下列关系式正确的是( )
A.∈M B．0 M
C．1∈M D．－∈M
解析：选D ＞1，故 M；－2＜0＜1，故0∈M；1不小于1，故1 M；－2＜－＜1，故－∈M.故选D.
2．设集合D是由满足y＝x2的所有有序实数对(x，y)组成的，则－1________D，(－1,1)________D．(用符号“ ”或“∈”填空)
解析：－1不是有序实数对，∴－1 D.(－1,1)满足y＝x2，∴(－1,1)∈D.
答案： ∈
题型三 集合的表示
【分类例析】
角度(一) 用列举法表示集合
[典例3] 用列举法表示下列集合：
(1)不大于10的所有非负偶数组成的集合A；
(2)小于8的所有质数组成的集合B；
(3)方程2x2－x－3＝0的所有实数根组成的集合C；
(4)一次函数y＝x－3与y＝－2x－6的图象的交点组成的集合D.
[解] (1)不大于10的所有非负偶数有0,2,4,6,8,10，
所以A＝{0,2,4,6,8,10}．
(2)因为小于8的所有质数有2,3,5,7，所以B＝{2,3,5,7}．
(3)因为方程2x2－x－3＝0的所有实数根为－1，，
所以C＝.
(4)由得
所以一次函数y＝x－3与y＝－2x－6的图象的交点为(－1，－4)，所以D＝{(－1，－4)}．
[方法技巧]
用列举法表示集合的3个步骤
(1)求出集合的元素．
(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次．
(3)用花括号括起来．
提醒：二元方程组的所有实数解组成的集合、函数图象上的所有点构成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开，如{(2,3)，(5，－1)}．
角度(二) 用描述法表示集合
[典例4] 用描述法表示下列集合：
(1)函数y＝－2x2＋x图象上的所有点组成的集合；
(2)不等式2x－3<5的所有解组成的集合；
(3)被3除余数等于1的所有正整数组成的集合；
(4)3和4的所有正的公倍数组成的集合．
[解] (1)函数y＝－2x2＋x图象上的所有点组成的集合可表示为{(x，y)|y＝－2x2＋x}．
(2)不等式2x－3<5的所有解组成的集合可表示为{x|2x－3<5}，即{x|x<4}．
(3){x|x＝3n＋1，n∈N}．
(4)3和4的最小公倍数是12，因此3和4的所有正的公倍数组成的集合是{x|x＝12n，n∈N*}．
[方法技巧]
1．描述法表示集合的2个步骤
(1)写代表元素：分清楚集合中的元素是点或是数还是其他的元素．
(2)明确元素的特征：将集合中元素所具有的公共特征写在竖线的后面．
2．用描述法表示集合的注意点
(1)若需要多层次描述属性，可选用“且”“或”连接．
(2)若描述部分出现元素记号以外的参数，则要说明参数的含义或指出参数的取值范围．
【对点练清】
用适当的方法表示下列集合：
(1)方程组的解组成的集合；
(2)所有小于13的既是奇数又是素数的自然数组成的集合；
(3)方程x2－2x＋1＝0的所有实数根组成的集合；
(4)平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合；
(5)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合；
(6)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有点的纵坐标组成的集合．
解：(1)解方程组得故其解组成的集合可用描述法表示为，也可用列举法表示为{(4，－2)}．
(2)小于13的既是奇数又是素数的自然数有4个，分别为3,5,7,11，可用列举法表示为{3,5,7,11}．
(3)方程x2－2x＋1＝0的所有实数根为1，因此可用列举法表示为{1}，也可用描述法表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}．
(4)集合的代表元素是点，可用描述法表示为{(x，y)|x<0且y>0}．
(5)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为点(x，y)，其中x，y满足y＝x2＋2x－10，由于点有无数个，则用描述法表示为{(x，y)|y＝x2＋2x－10}．
(6)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有点的纵坐标组成的集合中，代表元素为y，是实数，故可用描述法表示为{y|y＝x2＋2x－10}．第一章 集合与常用逻辑用语
1．1 集合的概念
【课时跟踪检测】
层级(一) “四基”落实练
1．(多选)下列每组对象，能组成集合的是( )
A．中国各地最美的乡村
B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点
C．小于π的正整数
D．清华大学2025年入学的全体学生
2．设A是方程2x2＋ax＋2＝0的解集，且2∈A，则实数a的值为( )
A．－5 B．－4 C．4 D．5
3．已知集合Ω中的三个元素l，m，n分别是△ABC的三个边长，则△ABC一定不是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
4．将集合用列举法表示，正确的是( )
A．{2,3} B．{(2,3)}
C．{x＝2，y＝3} D．(2,3)
5．(多选)设集合A＝{x|x2－2x＝0}，则下列表述正确的是( )
A．{0}∈A B．2∈A
C．{2}∈A D．0∈A
6．已知集合A是由偶数组成的，集合B是由奇数组成的，若a∈A，b∈B，则a＋b________A，ab________A．(填“∈”或“ ”)
7．若a，b∈R，且a≠0，b≠0，则＋的可能取值所组成的集合中元素的个数为________．
8．用适当的方法表示下列集合．
(1)方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；
(2)在自然数集中，小于1 000的奇数构成的集合．
层级(二) 能力提升练
9．(多选)下列说法错误的是( )
A．在直角坐标平面内，第一、三象限的点的集合为{(x，y)|xy＞0}
B．方程＋|y＋2|＝0的解集为{－2,2}
C．集合{(x，y)|y＝1－x}与{x|y＝1－x}是相等的
D．若A＝{x∈Z|－1≤x≤1}，则－1.1∈A
10．设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中的元素的个数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
11．已知含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成{a2，a＋b,0}，则a2 024＋b2 025________.
12．已知数集A满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)，如果a＝2，试求出A中的所有元素．
13．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}．
(1)若集合A中只有一个元素，求实数a的值；
(2)若集合A中至少有一个元素，求实数a的取值范围；
(3)若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．
层级(三) 素养培优练
14．若集合{a，b，c，d}＝{1,2,3,4}，且下列四个关系：
①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4，有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是________．
15．已知集合A＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}，M＝{x|x＝6n＋3，n∈Z}．
(1)若m∈M，则是否存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立？
(2)对任意a∈A，b∈B，是否一定存在m∈M，使a＋b＝m？证明你的结论．
【参考答案】
1.解析：选BCD 中国各地最美的乡村，无法确定集合中的元素，故A不能，∴根据集合元素的确定性可知，B、C、D都能构成集合．
2.解析：选A 因为2∈A，所以2×22＋2a＋2＝0，解得a＝－5.
3.解析：选D 因为集合中的元素是互异的，所以l，m，n互不相等，即△ABC不可能是等腰三角形．
4.解析：选B 解方程组得
所以集合＝{(2,3)}，故B正确．
5.解析：选BD ∵集合A＝{x|x2－2x＝0}＝{0,2}，
∴0∈A,2∈A，∵元素与集合是属于关系，故A、C不正确．
6.解析：因为a是偶数，b是奇数，所以a＋b是奇数，ab是偶数，故a＋b A，ab∈A.
答案： ∈
7.解析：当a，b同正时，＋＝＋＝1＋1＝2.
当a，b同负时，＋＝＋＝－1－1＝－2.
当a，b异号时，＋＝0.
∴＋的可能取值所组成的集合中元素共有3个．
答案：3
8.解：(1)因为方程x(x2＋2x＋1)＝0的解为0或－1，所以解集为{0，－1}．
(2)在自然数集中，奇数可表示为x＝2n＋1，n∈N，故在自然数集中，小于1 000的奇数构成的集合为{x|x＝2n＋1，且n＜500，n∈N}．
9.解析：选BCD 根据集合的概念易知A正确．
B错误，方程的根为故其解集应写成{(2，－2)}．
C错误，{(x，y)|y＝1－x}是由直线y＝1－x上的所有点组成的集合，{x|y＝1－x}是由符合y＝1－x的所有x的值构成的集合，二者不相等．
D错误，由题意可知，A＝{－1,0,1}，∴－1.1 A.
故选B、C、D.
10.解析：选B 当a＝1，b＝4时，x＝5；当a＝1，b＝5时，x＝6；当a＝2，b＝4时，x＝6；当a＝2，b＝5时，x＝7；当a＝3，b＝4时，x＝7；当a＝3，b＝5时，x＝8.由集合元素的互异性知M中共有4个元素．
11.解析：由题意，得＝0且a≠0，a≠1，所以b＝0，a2＝1，解得a＝－1(a＝1舍去)，所以a2 024＋b2 025＝－1.
答案：－1
12.解：根据题意，由2∈A可知，＝－1∈A；
由－1∈A可知，＝∈A；
由∈A可知，＝2∈A.
故集合A中共有3个元素，它们分别是－1，，2.
13.解：(1)当a＝0时，原方程可化为－3x＋2＝0，得x＝，符合题意．当a≠0时，方程ax2－3x＋2＝0为一元二次方程，由题意得，Δ＝9－8a＝0，得a＝.所以当a＝0或a＝时，集合A中只有一个元素．
(2)由题意得，当
即a<且a≠0时方程有两个实根，
又由(1)知，当a＝0或a＝时方程有一个实根．
所以a的取值范围是.
(3)由(1)知，当a＝0或a＝时，集合A中只有一个元素．
当集合A中没有元素，即A＝ 时，
由题意得解得a>.
综上得，当a≥或a＝0时，集合A中至多有一个元素．
14.解析：若只有①正确，则a＝1，b＝1，c≠2，d＝4，而a＝b＝1与集合中元素的互异性矛盾，所以只有①正确是不可能的；
若只有②正确，则有序数组为(3,2,1,4)，(2,3,1,4)；若只有③正确，则有序数组为(3,1,2,4)；
若只有④正确，则有序数组为(2,1,4,3)，(3,1,4,2)，(4,1，3,2)．
故符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是6.
答案：6
15.解：(1)设m＝6k＋3＝3k＋1＋3k＋2(k∈Z)，
令a＝3k＋1(k∈Z)，b＝3k＋2(k∈Z)，则m＝a＋b.
故若m∈M，则存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立．
(2)设a＝3k＋1，b＝3l＋2，k，l∈Z，则a＋b＝3(k＋l)＋3，k，l∈Z.
当k＋l＝2p(p∈Z)时，a＋b＝6p＋3∈M，此时存在m∈M，使a＋b＝m成立；当k＋l＝2p＋1(p∈Z)时，a＋b＝6p＋6 M，此时不存在m∈M，使a＋b＝m成立．
故对任意a∈A，b∈B，不一定存在m∈M，使a＋b＝m.
