第一章 集合与常用逻辑用语
1．2 集合间的基本关系
明确目标 发展素养
1.理解集合之间的包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． 2.在具体情境中，了解空集的含义． 3.对相似概念及符号的理解． 4.能使用Venn图表达集合间的基本关系. 1.通过对集合之间包含与相等的含义以及子集、真子集概念的理解，培养数学抽象素养． 2.借助子集和真子集的求解，培养数学运算素养． 3.借助集合间关系的判断，培养逻辑推理素养.
知识点一 子集、集合相等、真子集
1．子集
概念 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A B(或B A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)
图示
结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A A；(2)对于集合A，B，C，如果A B，且B C，那么A C
2.集合相等
概念 一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A B，且B A，则A＝B
图示
结论 若A＝B且B＝C，则A＝C
3.真子集
概念 如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，就称集合A是集合B的真子集，记作A?B(或B?A)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”)
图示
结论 (1)若A B且B?C，则AC； (2)若A B且A≠B，则AB
[微思考] (1)任何两个集合之间是否有包含关系？
(2)符号“∈”与“ ”有何不同？
提示：(1)不一定．如集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，这两个集合就没有包含关系．
(2)符号“∈”表示元素与集合间的关系，而“ ”表示集合与集合之间的关系．
知识点二 空集
定义 我们把不含任何元素的集合叫做空集
记法
规定 空集是任何集合的子集，即 A
特性 (1)空集只有一个子集，即它的本身， ； (2)若A≠ ，则 ?A
[微提醒] (1)0，{0}， 与{ }之间的关系
分类 与0 与{0} 与{ }
相同点 都表示无的意思 都是集合 都是集合
不同点 是集合；0是实数 不含任何元素；{0}含一个元素0 不含任何元素；{ }含一个元素，该元素是
关系 0 ?{0} ?{ }或 ∈{ }
题型一 确定集合的子集、真子集
[典例1] 已知集合M满足{1,2}?M {1,2,3，4,5}，则所有满足条件的集合M的个数是( )
A．6 B．7
C．8 D．9
[解析] 由题意可以确定集合M必含有元素1,2，且至少含有元素3,4,5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下．
含有3个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}．
含有4个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}．
含有5个元素：{1,2,3,4,5}．
故满足条件的集合M：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．
[答案] B
[方法技巧]
求集合子集、真子集个数的三个步骤
【对点练清】
1．已知集合A＝{a1，a2，a3}所有的非空真子集的元素之和等于12，则a1＋a2＋a3＝( )
A．4 B．12
C．6 D．3
解析：选A 因为集合A的所有非空真子集为{a1}，{a2}，{a3}，{a1，a2}，{a1，a3}，{a2，a3}，所以3(a1＋a2＋a3)＝12，即a1＋a2＋a3＝4.
2．集合{y|y＝－x2＋6，x，y∈N}的真子集的个数是( )
A．9 B．8 C．7 D．6
解析：选C 当x＝0时，y＝6；当x＝1时，y＝5；
当x＝2时，y＝2；当x＝3，y＝－3.
所以{y|y＝－x2＋6，x，y∈N}＝{2,5,6}，
共3个元素，故其真子集的个数为23－1＝7.
题型二 集合间关系的判断
[典例2] 指出下列各组集合之间的关系：
(1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；
(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
(3)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．
[解] (1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．
(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A?B.
(3)法一：两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N?M.
法二：由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7，9，…}，所以N?M.
[方法技巧]
判断集合间关系的常用方法
列举观察法 当集合中元素较少时，可列出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系
集合元素 特征法 首先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系
数形结合法 利用数轴或Venn图等直观地判断集合间的关系．不等式的解集之间的关系，适合用数轴法
【对点练清】
1．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1,2}，C＝{x|x＜8，x∈N}，用适当的符号填空：
(1)A________B；(2)A________C；
(3){2}________C；(4)2________C.
解析：集合A为方程x2－3x＋2＝0的所有实数根组成的集合，即A＝{1,2}，而C＝{x|x＜8，x∈N}＝{0,1,2,3,4,5,6,7}．故(1)A＝B；(2)A?C；(3){2}?C；(4)2∈C.
答案：(1)＝ (2)? (3)? (4)∈
2．判断下列各组中集合之间的关系：
(1)A＝{x|x是12的约数}，B＝{x|x是36的约数}；
(2)A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是四边形}，D＝{x|x是正方形}；
(3)A＝{x|－1
解：(1)因为若x是12的约数，则必定是36的约数，反之不成立，所以A?B.
(2)由图形的特点可画出Venn图如图所示，从而D?B?A?C.
(3)易知A中的元素都是B中的元素，但存在元素，如－2∈B，但－2 A，故A?B.
题型三 由集合间的关系求参数
[典例3] 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，求实数m的取值范围．
[解] ①当B＝ 时，由m＋1>2m－1，得m<2.
②当B≠ 时，如图所示，
∴或
解这两个不等式组，得2≤m≤3.
综上可得，m的取值范围是{m|m≤3}．
[方法技巧]
已知集合间的关系求参数问题的解题策略
(1)若已知集合是有限集，求解时，一般根据对应关系直接列方程．
2 若已知集合是无限集，求解时，通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误.一般含“＝”用实心圆点表示，不含“＝”用空心圆圈表示., 3 此类问题还要注意是否存在空集的情况，因为空集是任何集合的子集.
【对点练清】
1．[变条件]若本例条件“A＝{x|－2≤x≤5}”改为“A＝{x|－2解析：①当B＝ 时，由m＋1>2m－1，得m<2.
②当B≠ 时，如图所示，
∴解得即2≤m<3.
综上可得，m的取值范围是{m|m<3}．
答案：{m|m<3}
2．[变条件]若本例条件“B?A”改为“A B”，其他条件不变，则m的取值范围为________．
解析：当A B时，如图所示，此时B≠ .
∴即∴m不存在．
即不存在实数m使A B.
答案：
3．设集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，则2x＋y＝________.
解析：由集合元素的互异性可知x2≠0，则x≠0，因为A＝B，所以解得
因此2x＋y＝2.
答案：2第一章 集合与常用逻辑用语
1．2 集合间的基本关系
【课时跟踪检测】
层级(一) “四基”落实练
1．(多选)已知集合A＝{x|x2－9＝0}，则下列式子表示正确的有( )
A．3∈A B．{－3}∈A
C． A D．{3，－3} A
2．若x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝，则集合A，B间的关系为( )
A．A?B B．A?B
C．A＝B D．A B
3．(多选)下列四个集合是空集的是( )
A．{x|x2＋1＝0} B．{x|x2＋5x＋6＝0，x∈N}
C．{x|a≤x4．已知集合M＝{x∈Z|1≤x≤m}，若集合M有4个子集，则实数m＝ ( )
A．1 B．2
C．3 D．4
5．设A＝{x|2＜x＜3}，B＝{x|x＜m}，若A B，则m的取值范围是( )
A．{m|m＞3} B．{m|m≥3}
C．{m|m＜3} D．{m|m≤3}
6．已知集合A＝{2，x，x2}，则A的子集有______个；若1∈A，则x＝________.
7．设A＝{1,2,3,4}，B＝{1,2}，请写出一个满足B C A的集合C＝________.
8．判断下列集合间的关系：
(1)A＝{－1,1}，B＝{x∈N|x2＝1}；
(2)M＝{x|x＝a2＋1，a∈R}，N＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈R}．
层级(二) 能力提升练
9．(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2,2a－2}，若A B，则a＝( )
A．2 B．1
C． D．－1
10．(多选)已知非空集合M满足：①M {－2，－1,1,2,3,4}，②若x∈M，则x2∈M，则满足上述要求的集合M有( )
A．{－1,1,2,4} B．{1，－2,2,4}
C．{－1,1} D．{1}
11．已知集合A，B，C，且A B，A C，若B＝{1,2,3,4}，C＝{0,1,2,3}，则所有满足要求的集合A的各个元素之和为________．
12．已知集合A＝{2,4,6,8,9}，B＝{1,2,3,5,8}，存在非空集合C，使C中每个元素加上2就变成了A的一个子集且C中每个元素减去2就变成了B的一个子集，你能确定出集合C的个数是多少吗？
13．已知三个集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋(a－1)＝0}，C＝{x|x2－bx＋2＝0}，则同时满足B?A，C A的实数a，b是否存在？若存在，求出a，b所有的值；若不存在，请说明理由．
层级(三) 素养培优练
14．已知非空集合M满足对任意x∈M，总有x2 M，且 M.若M {0,1,2,3,4,5}，则满足条件的M的个数是( )
A．11 B．12
C．15 D．16
15．设A，B是R的两个子集，对任意x∈R，定义：m＝n＝若A B，则对任意x∈R，m(1－n)＝________.
16．若集合M满足{1,2} M {1,2,3,4}，则集合M＝________.(写出一个集合M即可)
【参考答案】
1.解析：选ACD 根据题意，集合A＝{x|x2－9＝0}＝{－3,3}．对于A,3是集合A的元素，正确；
对于B，{－3}是集合，有{－3} A，错误；
对于C，空集是任何集合的子集，正确；
对于D，任何集合都是其本身的子集，正确．故选A、C、D.
2.解析：选B ∵B＝＝{(x，y)|y＝x，且x≠0}，∴B?A.
3.解析：选ABC 易知x2＋1>1≠0，故A是空集；由x2＋5x＋6＝0，得x＝－2或x＝－3，都不是自然数．故B是空集；易知C是空集；D中集合由满足条件的y＝，x≤0上的点组成，故D不是空集．
4.解析：选B 根据题意，集合M有4个子集，则M中有2个元素，又由M＝{x∈Z|1≤x≤m}，其元素为大于等于1而小于等于m的全部整数，故m＝2.
5.解析：选B 因为A＝{x|2＜x＜3}，B＝{x|x＜m}，A B，将集合A，B表示在数轴上，如图所示，所以m≥3.
6.解析：∵集合A＝{2，x，x2}，∴A的子集有23＝8个．
∵1∈A，解得x2＝1，再由x≠x2，解得x＝－1.
答案：8 －1
7.解析：∵A＝{1,2,3,4}，
若B C A，
∴C＝{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2}或{1,2,3,4}，
答案：{1,2,3}(答案不唯一)
8.解：(1)∵B＝{x∈N|x2＝1}＝{1}，∴B?A.
(2)∵M＝{x|x＝a2＋1，a∈R}＝{x|x≥1}，
N＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈R}＝{x|x＝(a－2)2＋1，a∈R}＝{x|x≥1}，
∴M＝N.
9.解析：选B 依题意有a－2＝0或2a－2＝0.当a－2＝0时，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1,0,2}，不满足A B；当2a－2＝0时，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{－1,0,1}，满足A B.所以a＝1，故选B.
10.解析：选CD 将A、B、C、D四个选项进行验证即可，
A．若M＝{－1,1,2,4}，其中4∈M，则42 M；
B．若M＝{1，－2,2,4}，其中4∈M，则42 M；
C．若M＝{－1,1}，x∈M，则x2∈M；
D．若M＝{1}，x∈M，则x2∈M.
故选C、D.
11.解析：∵集合A，B，C，且A B，A C，B＝{1,2,3,4}，C＝{0,1,2,3}，
∴集合A是两个集合的子集，集合B，C的公共元素是1,2,3，
∴满足上述条件的集合A＝ ，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，
∴所有满足要求的集合A的各个元素之和为：4(1＋2＋3)＝24.
答案：24
12.解：假设存在满足条件的集合C，则C≠ ，
将A中元素都减2，B中元素都加2，
则C {0,2,4,6,7}且C {3,4,5,7,10}，
由于两个集合的共同元素构成的集合为{4,7}，
故非空集合C是{4,7}的子集，
即C＝{4,7}或{4}或{7}．
故这样的集合有3个．
13.解：集合A＝{1,2}，
∵x＝1是方程x2－ax＋(a－1)＝0的解，∴B≠ ，
而B?A，∴B＝{1}，
∴Δ＝(－a)2－4(a－1)＝0，解得a＝2.
由C A，分情况讨论：
①若C＝ ，则Δ＜0，
∴(－b)2－8＜0，
解得－2②若C＝{1}或{2}，Δ＝0，∴b＝±2，
此时C＝{}或{－}，不符合题意，舍去；
③若C＝{1,2}，
由根与系数的关系得解得b＝3.
综上所述：实数a的值为2，实数b的值为3或－214.解析：选A 当M中有元素0时，02＝0∈M，＝0∈M.当M中有元素1时，12＝1∈M，＝1∈M，所以0 M,1 M，所以集合M是集合{2,3,4,5}的非空子集，且去掉元素2,4同时出现的集合，故满足题意的集合M有{2}，{3}，{4}，{5}，{2,3}，{2,5}，{3,4}，{3,5}，{4,5}，{2,3,5}，{3,4,5},共11个．
15.解析：∵A B，∴当x A时，m＝0，m(1－n)＝0；当x∈A时，必有x∈B，∴m＝n＝1，m(1－n)＝0.综上，m(1－n)＝0.
答案：0
16.解析：因为集合M满足{1,2} M {1,2,3,4}，
所以M＝{1,2}或{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2,3,4}．
答案：{1,2}(答案不唯一)