第一章 集合与常用逻辑用语
1．4 充分条件与必要条件
1．4．1 充分条件与必要条件
明确目标 发展素养
1.理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系． 2.理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系． 3.掌握充分条件、必要条件的简单应用. 1.通过对充分条件、必要条件的判断，提升逻辑推理素养． 2.借助充分条件、必要条件的应用，培养数学运算素养.
充分条件与必要条件
关系 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题
推出 关系 p q pq
条件 关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件
定理 关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件． 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件
[微提醒]
(1)对于命题“若p，则q”的条件和结论，我们都视为条件，只看“ ”的推出方向，“箭尾”是“箭头”的充分条件，“箭头”是“箭尾”的必要条件．
(2)若p q，则p是q的充分条件．所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”．
(3)若p q，则q是p的必要条件．所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少，缺其不可．“有之未必成立，无之必不成立”．
(4)p是q的充分条件反映了p q，而q是p的必要条件同样反映了p q，这说明p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的同一逻辑关系，只是说法不同．
(5)如果“若p，则q”为假命题，那么由p推不出q，记作pq．此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．
题型一 充分条件的判断
[典例1] 指出下列哪些命题中p是q的充分条件？
(1)在△ABC中，p：∠B>∠C，q：AC>AB；
(2)已知x，y∈R，p：x＝1，q：(x－1)·(x－2)＝0；
(3)已知x∈R，p：x>1，q：x>2.
[解] (1)在△ABC中，由大角对大边知，∠B>∠C AC>AB，所以p是q的充分条件．
(2)由x＝1 (x－1)(x－2)＝0，故p是q的充分条件．
(3)法一：由x>1x>2，所以p不是q的充分条件．
法二：设集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x>2}，
所以B A，所以p不是q的充分条件．
[方法技巧]
充分条件的判断方法
(1)判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p q问题．
(2)除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A B，则p是q的充分条件．
【对点练清】
1．直线y＝kx＋b过原点的充分条件是( )
A．b＝0 B．b>0
C．b<0 D．b∈R
解析：选A b＝0时，直线y＝kx过原点，故选A.
2．(多选)使0＜x＜3成立的一个充分条件是( )
A．2＜x≤3 B．0≤x＜1
C．0＜x≤2 D．1＜x＜2
解析：选CD 从集合观点看，求0＜x＜3成立的一个充分条件，就是从A，B，C，D中选出集合{x|0＜x＜3}的子集．由于{x|0＜x≤2} {x|0＜x＜3}，{x|1＜x＜2} {x|0＜x＜3}，故选C，D.
题型二 必要条件的判断
[典例2] 指出下列哪些命题中q是p的必要条件？
(1)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；
(2)p：A B，q：A∩B＝A；
(3)p：a>b，q：ac>bc.
[解] (1)因为矩形的对角线相等，
所以q是p的必要条件．
(2)因为p q，所以q是p的必要条件．
(3)因为pq，所以q不是p的必要条件．
[方法技巧]
必要条件的判断方法
(1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p q为真，则p是q的充分条件，若q p为真，则p是q的必要条件．
(2)也可利用集合的关系判断，如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A B，则甲是乙的必要条件．
【对点练清】
1．使x>1成立的一个必要条件是( )
A．x>0 B．x>3
C．x>2 D．x<2
解析：选A 只有x>1 x>0，其他选项均不可由x>1推出．
2．“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．既是充分条件又是必要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件
解析：选B 因为正方形的四条边相等，但四条边相等的四边形不一定是正方形，所以“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的必要条件．
3．已知命题p：a是末位是0的整数，q：a能被5整除，则p是q的______条件；q是p的________条件．(填“充分”或“必要”)
解析：因为p q，所以p是q的充分条件，q是p的必要条件．
答案：充分 必要
题型三 充分条件与必要条件的应用
[典例3] (1)集合A＝{x|－1
A．{b|－2≤b<0} B．{b|0C．{b|－2(2)已知p：x<－2或x>10，q：x<1＋a或x>1－a.若p是q的必要条件，则实数a的取值范围为________．
[解析] (1)A＝{x|－1B＝{x|－a因为“a＝1”是“A∩B≠ ”的充分条件，
所以－1≤b－1<1或－1(2)设p对应的集合A＝{x|x<－2或x>10}，q对应的集合B＝{x|x<1＋a或x>1－a}．
∵q：x<1＋a或x>1－a，∴a≤0.
∵p是q的必要条件，∴q p，∴B A.
∴解得a≤－9.
[答案] (1)C (2){a|a≤－9}
[方法技巧]
充分条件与必要条件的应用技巧
(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．
(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．
【对点练清】
1．已知p：实数x满足3a解：p：3aq：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．
因为p q，所以A B，所以 －≤a<0，
所以a的取值范围是.
2．已知p：实数x满足a0，q：实数x满足－2≤x≤3.若p是q的必要条件，求实数a的取值范围．
解：p：aq：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．
因为q p，所以B A，所以 a∈ .第一章 集合与常用逻辑用语
1．4 充分条件与必要条件
1．4．1 充分条件与必要条件
【课时跟踪检测】
层级(一) “四基”落实练
1．x＝－1是|x|＝1的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．既不是充分条件也不是必要条件
D．既是充分条件又是必要条件
2．(多选)使ab>0成立的充分条件是( )
A．a>0，b>0 B．a＋b>0
C．a<0，b<0 D．a>1，b>1
3．(多选)下列选项中，可以是x2<4的一个必要条件的是( )
A．－2C．04．(多选)下列命题中，p是q的充分条件的是( )
A．p：a是无理数，q：a2是无理数
B．p：四边形为等腰梯形，q：四边形对角线相等
C．p：x>2，q：x≥1
D．p：a>b，q：ac2>bc2
5．已知p：1≤x＜4，q：x＜m，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围为( )
A．{m|m＞4} B．{m|m＜4}
C．{m|m≤4} D．{m|m≥4}
6．从“充分条件”“必要条件”中选出适当的一种填空：
(1)“ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”是“ac＜0”的________．
(2)“△ABC≌△A′B′C′”是“△ABC∽△A′B′C′”的________．
7．已知条件p：2k－1≤x≤1－k，q：－3≤x＜3，且p是q的必要条件，则实数k的取值范围为________．
8．下列命题中，哪些命题是“四边形是正方形”的充分条件？
(1)对角线相等的菱形；
(2)对角线互相垂直的矩形；
(3)对角线相等的平行四边形；
(4)有一个角是直角的菱形．
层级(二) 能力提升练
9．(多选)若不等式x－2＜a成立的充分条件是0＜x＜3，则实数a的取值范围可以是( )
A．{a|a≥2} B．{a|a≥1}
C．{a|3＜a≤5} D．{a|a≤2}
10．“a<0，b<0”的一个必要条件为( )
A．a＋b<0 B．a＋b>0
C.>1 D.<－1
11．设α：0≤x≤1，β：x＜2m－1或x＞－2m＋1，m∈R，若α是β的充分条件，求实数m的取值范围．
层级(三) 素养培优练
12．(1)是否存在实数m，使得“2x＋m＜0”是“x<－1或x>3”的充分条件？
(2)是否存在实数m，使得“2x＋m＜0”是“x<－1或x>3”的必要条件？
13．某校高一年级为丰富学生的课外生活，提高学生的探究能力，特开设了一些社会活动小组，现有其中的甲、乙两组同学在参加社团活动中，设计了如下两个电路图．并根据在数学课上所学的充分条件与必要条件知识，提出了下面两个问题：
(1)①中开关A闭合是灯泡B亮的什么条件？
(2)②中开关A闭合是灯泡B亮的什么条件？
你能根据本节课所学知识解答上述两个问题吗？
【参考答案】
1.解析：选A 当x＝－1时，可得|x|＝1，当|x|＝1，不一定有x＝－1成立，所以x＝－1是|x|＝1的充分条件．
2.解析：选ACD 因为a>0，b>0 ab>0；a<0，b<0 ab>0；a>1，b>1 ab>0，所以选项A、C、D都是使ab>0成立的充分条件．
3.解析：选AB ∵x2<4，∴－24.解析：选BC A中，a＝是无理数，a2＝2是有理数，所以p不是q的充分条件；B中，因为等腰梯形的对角线相等，所以p是q的充分条件；C中，x>2 x≥1，所以p是q的充分条件；D中，当c＝0时ac2＝bc2，所以p不是q的充分条件．
5.解析：选D 令A＝{x|1≤x＜4}，B＝{x|x＜m}，
∵p是q的充分条件，∴p q，即A B，∴m≥4.故选D.
6.答案：(1)必要条件 (2)充分条件
7.解析：∵条件p：2k－1≤x≤1－k，q：－3≤x＜3，且p是q的必要条件，∴解得k≤－2.
则实数k的取值范围是{k|k≤－2}．
答案：{k|k≤－2}
8.解：(1)菱形的对角线垂直，它的对角线相等时，一定是正方形，是充分条件．
(2)矩形的对角线相等，它的对角线垂直时，一定是正方形，是充分条件．
(3)对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，不是充分条件．
(4)菱形的四边相等，有一个角是直角，则四个内角都是直角，它是正方形，是充分条件．
9.解析：选ABC 不等式x－2＜a成立的充分条件是0＜x＜3，设x－2＜a的解集为A，则{x|0∵A＝{x|x<2＋a}，
∴2＋a≥3，解得a≥1，则A、B、C均正确．
10.解析：选A 对于A，因为a<0，b<0，所以a＋b<0，即a＋b<0是“a<0，b<0”的必要条件，A正确；对于B，当a<0，b<0时，a＋b>0不可能成立，B不正确；对于C，当a<0，b<0时，>1不一定成立，如a＝－1，b＝－2满足条件，而<1，C不正确；对于D，当a<0，b<0时，必有>0成立，即不能推出<－1，D不正确．
故选A.
11.解：记A＝{x|0≤x≤1}，B＝{x|x＜2m－1或x＞－2m＋1}．
因为α是β的充分条件，所以A B.
①当2m－1＞－2m＋1，即m＞时，B＝R，满足A B；
②当m≤，即B≠R时，1＜2m－1或0＞－2m＋1，m无解．
综上可得，实数m的取值范围是.
12.解：(1)欲使“2x＋m＜0”是“x<－1或x>3”的充分条件，只需 {x|x＜－1或x＞3}，只需－≤－1，即m≥2.故存在实数m，当m≥2时，“2x＋m＜0”是“x<－1或x>3”的充分条件．
(2)欲使“2x＋m＜0”是“x<－1或x>3”的必要条件，只需{x|x＜－1或x＞3} ，这是不可能的．故不存在实数m使“2x＋m＜0”是“x<－1或x>3”的必要条件．
13.解：(1)充分条件．(2)必要条件．