第一章 集合与常用逻辑用语
1．5 全称量词与存在量词
1．5．1 全称量词与存在量词
明确目标 发展素养
1.通过已知数学实例，理解全称量词与存在量词的意义以及全称量词命题和存在量词命题的意义． 2．掌握全称量词命题与存在量词命题真假性的判断. 1.借助全称量词命题与存在量词命题的真假性的判断，提升逻辑推理素养． 2．借助全称量词命题和存在量词命题的应用，提升数学运算素养.
1．全称量词与全称量词命题
全称量词 定义 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词
符号表示
全称量词命题 定义 含有全称量词的命题，叫做全称量词命题
一般形式 对M中任意一个x，p(x)成立
符号表示 x∈M，p(x)
2.存在量词与存在量词命题
存在量词 定义 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词
符号表示
存在量词 命题 定义 含有存在量词的命题，叫做存在量词命题
一般形式 存在M中的元素x，p(x)成立
符号表示 x∈M，p(x)
[微思考] 全称量词命题与存在量词命题有什么区别？
提示：（1）全称量词命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质，无一例外，强调“整体、全部”．
（2）存在量词命题中的存在量词表明给定范围内的对象有例外，强调“个别、部分”．
题型一 全称量词命题与存在量词命题的判断
[典例1] 判断下列语句是全称量词命题还是存在量词命题：
(1)所有不等式的解集A，都满足A R；
(2) x∈R，y∈R，使(x＋y)(x－y)＞0；
(3)存在x∈R,2x＋1是整数；
(4)自然数的平方是正数；
(5)所有四边形的内角和都是360°吗？
[解] “自然数的平方是正数”的实质是“任意一个自然数的平方都是正数”，所以(1)(4)是全称量词命题．(2)(3)中含有存在量词，所以(2)(3)是存在量词命题．(5)是疑问句，不是命题．
[方法技巧]
判断全称量词命题与存在量词命题的思路
提醒：全称量词命题可以省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略．
【对点练清】
判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用量词符号“ ”或“ ”表示：
(1)所有实数x都能使x2＋x＋1＞0成立；
(2)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解；
(3)一定有整数x，y，使得3x－2y＝10成立；
(4)所有的有理数x都能使x2＋x＋1是有理数．
解：(1)全称量词命题， x∈R，x2＋x＋1＞0.
(2)全称量词命题， a，b∈R，ax＋b＝0恰有一个解．
(3)存在量词命题， x，y∈Z,3x－2y＝10.
(4)全称量词命题， x∈Q，x2＋x＋1是有理数．
题型二 全称量词命题与存在量词命题真假的判断
[典例2] 指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假：
(1) x∈N，2x＋1是奇数；
(2)存在一个x∈R，使＝0；
(3)对任意实数a，|a|＞0；
(4)有一个角α，使sin α＝.
[解] (1)是全称量词命题．因为 x∈N,2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题．
(2)是存在量词命题．因为不存在x∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题．
(3)是全称量词命题．因为|0|＝0，所以|a|＞0不都成立，所以该命题是假命题．
(4)是存在量词命题．因为当α＝30°时，sin α＝，所以该命题是真命题．
[方法技巧]
1．判断全称量词命题真假的思维过程
2．判断存在量词命题真假的思维过程
【对点练清】
1．(多选)下列命题中是存在量词命题并且是假命题的是( )
A．每个二次函数的图象与x轴都有两个不同的交点
B．对任意非正数c，若a≤b＋c，则a≤b
C．存在一个菱形不是平行四边形
D．存在一个实数x，使不等式x2－3x＋7＜0成立
解析：选CD 对于A，是全称量词命题，是假命题，故A错误；对于B，是全称量词命题，是真命题，故B错误；对于C，是存在量词命题，是假命题，故C正确；对于D，是存在量词命题，是假命题，故D正确．故选C、D.
2．判断下列命题的真假：
(1)任意两个面积相等的三角形一定相似；
(2) x，y为正实数，使x2＋y2＝0；
(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；
(4) x∈N，>0.
解：(1)因为面积相等的三角形不一定相似，故它是假命题．
(2)因为当x2＋y2＝0时，x＝y＝0，
所以不存在x，y为正实数，使x2＋y2＝0，故它是假命题．
(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．
(4)因为0∈N, ＝0，所以命题“ x∈N，>0”是假命题．
题型三 求参数的值或取值范围
[典例3] 已知命题p： x∈，－a≥0是真命题，求实数a的取值范围．
[解] ∵－a≥0，∴a≤.
由题意知a≤min，又x∈，
∴1≤≤2，∴a≤1.故实数a的取值范围为{a|a≤1}．
[方法技巧]
求解含有量词命题中参数范围的策略
已知含量词命题的真假求参数的取值范围，实质上是对命题意义的考查．解决此类问题，一定要辨清参数，恰当选取主元，合理确定解题思路．
解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识，利用集合、方程、不等式等知识求解参数的取值范围，解题过程中要注意变量取值范围的限制．
【对点练清】
本例命题p不变，命题q： x∈R，x2＋2x＋2－a＝0，p与q都是真命题，求实数a的取值范围．
解：由 x∈，－a≥0，解得a≤1.
由 x∈R，x2＋2x＋2－a＝0，知Δ＝4－4(2－a)≥0，
解得a≥1.又p，q都是真命题，所以
所以a＝1，故实数a的值为1.第一章 集合与常用逻辑用语
1．5 全称量词与存在量词
1．5．1 全称量词与存在量词
【课时跟踪检测】
层级(一) “四基”落实练
1．“ x∈R，x2＞3”的另一种表述方式是( )
A．有一个x∈R，使得x2＞3
B．对有些x∈R，使得x2＞3
C．任选一个x∈R，使得x2＞3
D．至少有一个x∈R，使得x2＞3
2．(多选)下列命题中全称量词命题是( )
A．每一个一次函数都是增函数
B．至少有一个自然数小于1
C．存在一个实数x，使得x2＋2x＋2＝0
D．圆内接四边形，其对角互补
3．下列命题中存在量词命题的个数为( )
①至少有一个偶数是质数；
② x∈R，x2≤0；
③有的奇数能被2整除．
A．0 B．1
C．2 D．3
4．(多选)下列存在量词命题中，是真命题的是( )
A． x∈Z，x2－2x－3＝0
B．至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除
C．有的三角形没有外接圆
D．某些四边形不存在外接圆
5．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( )
A． x∈R，x2＋2x＋1＞0
B．所有菱形的4条边都相等
C．若2x为偶数，则x∈N
D．π是无理数
6．命题“对任意一个实数x，x2＋2x＋1都不小于零”，用“ ”或“ ”符号表示为________________．
7．根据下述事实，得到含有量词的全称量词命题或存在量词命题为______________．
13＋23＝(1＋2)2，
13＋23＋33＝(1＋2＋3)2，
13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，
13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2，
…
8．判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题，并判断其真假．
(1)没有一个实数α，tan α无意义．
(2)存在一条直线，它经过原点．
(3)所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径吗？
(4)圆外切四边形，其对角互补．
(5)有的反比例函数图象经过原点．
层级(二) 能力提升练
9．(多选)下列命题中，错误的是( )
A． n∈N*,2n2＋5n＋2能被2整除是真命题
B． n∈N*,2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题
C． n∈N*,2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题
D． n∈N*,2n2＋5n＋2能被2整除是假命题
10．若“ x∈R，x2＋4x≥m”是真命题，则实数m的取值范围为________．
11．下列命题：
① x∈R，x2＋1＞0；② x∈N，x2≥1；③ x∈Z，x3＜1；④ x∈Q，x2＝3；⑤ x∈R，x2＋1＝0.其中真命题的序号是________，全称量词命题的序号是________．
12．若命题“ 1≤x≤3，一次函数y＝2x＋b的图象在x轴上方”为真命题，求实数b的取值范围．
13．是否存在整数m，使得命题“ x≥－2，－9＜3－4m＜x＋1”是真命题？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
层级(三) 素养培优练
14.已知非空集合P＝{x|a＋1≤x≤2a＋1}，Q＝{x|－2≤x≤5}．
(1)若a＝3，求( RP)∩Q；
(2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【参考答案】
1.解析：选C “ ”和“任选一个”都是全称量词，故选C.
2.解析：选AD A、D是全称量词命题，B、C是存在量词命题．
3.解析：选D ①中含有存在量词“至少”，所以是存在量词命题；②中含有存在量词符号“ ”，所以是存在量词命题；③中含有存在量词“有的”，所以是存在量词命题．
4.解析：选ABD A中，x＝－1满足题意，是真命题；B中，x＝6满足题意，是真命题；C中，所有的三角形都有外接圆，是假命题；D中，只有对角互补的四边形才有外接圆，是真命题．
5.解析：选B 对于A： x∈R，x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0，故A是假命题；对于B：所有菱形的4条边都相等，满足两个条件，故B正确；对于C：－2为偶数，但－1 N，故C是假命题；对于D：π是无理数不是全称量词命题，故D错误．
6.解析：含有全称量词“任意一个”，用符号“ ”表示，“不小于零”就是“≥0”．因此命题用符号表示为“ x∈R，x2＋2x＋1≥0”．
答案： x∈R，x2＋2x＋1≥0
7.解析：根据已知条件的规律可得： n∈N*,13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2.
答案： n∈N*,13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2
8.解：由于(1)的实质是“所有的实数α，tan α有意义”，含有全称量词，所以(1)为全称量词命题，是假命题．
(2)中含有存在量词，所以(2)是存在量词命题，是真命题．
(3)是疑问句，不是命题．
(4)“圆外切四边形，其对角互补”的实质是“所有圆的外切四边形，其对角都互补”，所以该命题是全称量词命题，是假命题．
(5)中含有存在量词，所以(5)是存在量词命题．因为所有的反比例函数都不经过原点，所以此命题是假命题．
9.解析：选ABD 当n＝1时，2n2＋5n＋2不能被2整除，当n＝2时，2n2＋5n＋2能被2整除，所以A、B、D错误，C正确．故选A、B、D.
10.解析：由题意，y＝x2＋4x＝(x＋2)2－4的最小值为－4，所以m≤－4.
答案：{m|m≤－4}
11.解析：① x∈R，x2＋1＞0；② x∈N，x2≥0；③ x＝0∈Z，x3＜1；④x2＝3 x＝± Q；⑤ x∈R，x2＋1≥1＞0.所以①③为真命题．命题①②中含有全称量词，是全称量词命题．
答案：①③ ①②
12.解：当1≤x≤3时，2＋b≤2x＋b≤6＋b.
∵一次函数y＝2x＋b的图象在x轴上方，
∴2＋b＞0，∴b＞－2.
故实数b的取值范围是{b|b＞－2}．
13.解：假设存在整数m，使得命题“ x≥－2，－9＜3－4m＜x＋1”是真命题．
∵当x≥－2时，x＋1≥－1，
∴－9＜3－4m＜－1，
解得1＜m＜3.又m为整数，∴m＝2.
故存在整数m＝2，使得命题“ x≥－2，－9＜3－4m＜x＋1”是真命题．
14.解：因为P是非空集合，所以2a＋1≥a＋1，即a≥0.
(1)当a＝3时，P＝{x|4≤x≤7}， RP＝{x|x<4或x>7}，Q＝{x|－2≤x≤5}，
所以( RP)∩Q＝{x|－2≤x<4}．
(2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，即P?Q，
即且a＋1≥－2和2a＋1≤5的等号不能同时取得，解得0≤a≤2，
即实数a的取值范围为{a|0≤a≤2}．
