第二章 一元二次函数、方程和不等式
2．2 基本不等式
明确目标 发展素养
1.了解基本不等式的证明过程． 2．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小． 3．熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题． 4．会用基本不等式求解实际应用问题. 1.通过不等式的证明，培养逻辑推理素养． 2．借助基本不等式形式求简单的最值问题，提升数学运算素养.
知识点一 基本不等式： ≤
1．重要不等式
a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
2．基本不等式
如果a>0，b>0，有≤，当且仅当a＝b时，等号成立．
其中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
知识点二 基本不等式与最值
1．已知x，y都是正数，则
(1)如果积xy等于定值P(积为定值)，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2.
(2)如果和x＋y等于定值S(和为定值)，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.
2．利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即
(1)一正：符合基本不等式≥成立的前提条件，a＞0，b＞0.
(2)二定：化不等式的一边为定值．
(3)三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立．以上三点缺一不可．
题型一 利用基本不等式比较大小
[典例1] 若0＜a＜1,0＜b＜1，且a≠b，则a＋b，2，2ab，a2＋b2中最大的是( )
A．a2＋b2 B．2 C．2ab D．a＋b
[解析] 法一：∵0＜a＜1,0＜b＜1，且a≠b，
∴a2＋b2＞2ab，a＋b＞2，a＞a2，b＞b2，∴a＋b＞a2＋b2，故选D.
法二：(特殊值法)取a＝，b＝，则a2＋b2＝，
2＝，2ab＝，a＋b＝，显然最大，故选D.
[答案] D
[方法技巧]
在利用基本不等式比较大小时，应创设应用基本不等式的条件，合理拆项或配凑．在拆项与配凑的过程中，首先要考虑基本不等式使用的条件，其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”转化为“和式”的功能．
【对点练清】
1．已知m＝a＋(a＞2)，n＝4－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是( )
A．m＞n B．m＜n
C．m＝n D．不确定
解析：选A 因为a＞2，所以a－2＞0.又因为m＝a＋＝(a－2)＋＋2，所以m≥2 ＋2＝4.由b≠0得b2≠0，所以4－b2＜4，即n＜4.所以m＞n.
2．已知a＞b＞c，则与的大小关系是________．
解析：∵a＞b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0，
∴≤＝.
当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时，等号成立．
答案：≤
题型二 利用基本不等式求最值
[典例2] (1)已知x＞2，求x＋的最小值；
(2)已知0＜x＜，求x(1－2x)的最大值；
(3)已知x＞0，y＞0，且＋＝1，求x＋2y的最小值．
[解] (1)∵x＞2，∴x－2＞0，∴x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝6.当且仅当x－2＝即x＝4时，等号成立．∴x＋的最小值为6.
(2)∵0＜x＜，∴1－2x＞0，
∴x(1－2x)＝·2x·(1－2x)≤2＝，当且仅当2x＝1－2x，即x＝时，等号成立，
∴x(1－2x)的最大值为.
(3)∵x＞0，y＞0，＋＝1，
∴x＋2y＝(x＋2y)·
＝10＋＋≥10＋2 ＝18.
∴x＋2y的最小值为18.
[方法技巧]
通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形．
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标．
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
【对点练清】
1．[变条件]若把本例(1)中的条件“x＞2”改为“x＜2”，求x＋的最大值．
解：因为x＜2，所以2－x＞0，
所以x＋＝－＋2≤－2 ＋2＝－2，
当且仅当2－x＝，得x＝0或x＝4(舍去)，
即x＝0时，等号成立．故x＋的最大值为－2.
2．[变条件]把本例(3)中“＋＝1”改为“＋＝3”，其他条件不变，求x＋2y的最小值．
解：∵x＞0，y＞0，＋＝3，∴＝1.
∴x＋2y＝(x＋2y)·
＝≥＝6.
∴x＋2y的最小值为6.
题型三 利用基本不等式证明不等式
[典例3] 已知a，b，c均为正数且a＋b＋c＝1.求证：＋＋≥9.
[证明] 法一：∵a，b，c均为正数，a＋b＋c＝1，∴＋＋＝＋＋＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
法二：∵a，b，c均为正数，a＋b＋c＝1，
∴＋＋＝(a＋b＋c)＝1＋＋＋＋1＋＋＋＋1＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
[方法技巧]
1．可利用基本不等式证明题目的类型
所证不等式一端出现“和式”，而另一端出现“积式”，这便是应用基本不等式的“题眼”，可尝试用基本不等式证明．
2．利用基本不等式证明不等式的注意点
(1)多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立．
(2)累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用．
(3)对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用．
【对点练清】
1．已知a，b，c＞0，求证：＋＋≥a＋b＋c.
证明：∵a，b，c＞0，∴利用基本不等式可得＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，∴＋＋＋a＋b＋c≥2a＋2b＋2c，即＋＋≥a＋b＋c，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
2．已知a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.求证：≥8.
证明：因为a，b，c均为正数，a＋b＋c＝1，
所以－1＝＝≥，
同理－1≥，－1≥.
上述三个不等式两边均为正，分别相乘，
得≥··＝8.
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
题型四 基本不等式的实际应用
[典例4] 某建筑公司用8 000万元购得一块空地，计划在该地块上建筑一栋至少12层，每层4 000平方米的楼房．经初步估计得知，如果将楼房建为x(x≥12)层，则每平方米的平均建筑费用为s＝3 000＋50x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费用的最小值是多少？
注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝
[解] 设楼房每平方米的平均综合费用为y元，
依题意，得y＝s＋＝50x＋＋3 000(x≥12，x∈N*)．因为y＝50x＋＋3 000≥2× ＋3 000＝5 000，当且仅当50x＝，即x＝20时取等号，
所以当x＝20时，y取得最小值5 000.
所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费用的最小值为5 000元．
[方法技巧]
利用基本不等式解决实际问题的思路
利用基本不等式解决应用问题的关键是构建模型，一般来说，都是通过相关的关系建立关系式，将实际问题转化为最大值或最小值问题，在解题过程中尽量向模型ax＋≥2(a＞0，b＞0，x＞0)上靠拢．
提醒：注意使实际问题有意义的变量的取值范围．
【对点练清】
1．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．
解析：每台机器运转x年的年平均利润为＝18－，且x>0，故≤18－2＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．
答案：5 8
2．要制作一个体积为9 m3，高为1 m的有盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米10元，侧面造价是每平方米5元，盖的总造价为100元，问：该容器的长为多少时，容器的总造价最低？总造价最低为多少元？
解：设该长方体容器的长为x m，则宽为 m，
设该容器的总造价为y元，
则y＝9×10＋2×1×5＋100＝190＋10，因为x＋≥2＝6，当且仅当x＝，即x＝3时取“＝”，所以ymin＝250.
故该容器的长为3米时，容器的总造价最低，总造价最低为250元．第二章 一元二次函数、方程和不等式
2．2 基本不等式
【课时跟踪检测】
层级(一) “四基”落实练
1．若n＞0，则n＋的最小值为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
2．若a>0，b>0，a＋2b＝5，则ab的最大值为( )
A．25 B.
C. D.
3．若－4A．有最小值1 B．有最大值1
C．有最小值－1 D．有最大值－1
4．(多选)已知正数a，b，则下列不等式中恒成立的是( )
A．a＋b≥2 B．(a＋b)≥4
C．(a＋b)2≥2(a2＋b2) D.<
5．设x∈R，对于使－x2＋2x≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值叫做－x2＋2x的上确界．若a>0，b>0，且a＋b＝1，则－－的上确界为( )
A．－5 B．－4
C. D．－
6．设a＋b＝M(a＞0，b＞0)，M为常数，且ab的最大值为4，则M＝________.
7．一批货物随17列货车从A市以v千米/小时匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于2千米，那么这批货物全部运到B市，最快需要________小时．
8．已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：≥9.
层级(二) 能力提升练
9．(多选)设0＜a＜b，a＋b＝1，则下列结论正确的是( )
A．0＜b－a＜ B．a＜a2＋b2
C．ab的最大值为 D.＜a2＋b2＜1
10．(多选)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则( )
A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2
C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1
11.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________ m.
12．设a＞0，b＞0，且a＋b＝＋.
(1)求a＋b的最小值；
(2)证明：a2＋a＜2与b2＋b＜2不可能同时成立．
13．某校食堂需定期购买大米．已知该食堂每天需用大米0.6 t，每吨大米的价格为6 000元，大米的保管费用z(单位：元)与购买天数x(单位：天)的关系为z＝9x(x＋1)(x∈N*)，每次购买大米需支付其他固定费用900元．问：该食堂多少天购买一次大米，才能使平均每天所支付的总费用最少？
层级(三) 素养培优练
14．设a＞b＞c，且＋≥恒成立，则m的取值范围为________．
15.志愿者团队要设计一个如图所示的矩形队徽ABCD，已知点E在边CD上，AE＝CE，AB＞AD，矩形的周长为8 cm.
(1)设AB＝x cm，试用x表示出图中DE的长度，并求出x的取值范围；
(2)计划在△ADE区域涂上蓝色代表星空，如果要使△ADE的面积最大，那么应怎样设计队徽的长和宽．
【参考答案】
1.解析：选B ∵n＞0，∴n＋≥2＝4，当且仅当n＝，即n＝2时等号成立，故选B.
2.解析：选D ∵a>0，b>0，a＋2b＝5，
∴ab＝a·2b≤×2＝，
当且仅当a＝，b＝时取等号．
3.解析：选D ＝.
又∵－40.
∴＝－≤－1，
当且仅当x－1＝，即x＝0时等号成立．
4.解析：选AB 当a＞0，b＞0时，由基本不等式得，a＋b≥2，当且仅当a＝b时取等号，A成立；
(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b时取等号，B成立；
2(a2＋b2)－(a＋b)2＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，则(a＋b)2≤2(a2＋b2)，C不恒成立；
因为a＋b≥2，所以2ab≤(a＋b)，
当且仅当a＝b时取等号，D不恒成立．
5.解析：选D ∵a>0，b>0，＋＝(a＋b)＝＋＋≥＋2＝，当且仅当a＝，b＝时取等号，∴－－≤－.
6.解析：∵a＋b＝M(a＞0，b＞0)，由基本不等式，得ab≤2＝.又ab的最大值为4，∴＝4(M＞0)．∴M＝4.
答案：4
7.解析：设这批货物从A市全部运到B市的时间为t，则t＝＝＋≥2·＝8(小时)，当且仅当＝，即v＝100时，等号成立，所以这批货物全部运到B市，最快需要8小时．
答案：8
8.证明：∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，
∴1＋＝1＋＝2＋，
同理，1＋＝2＋，
∴＝
＝5＋2≥5＋4＝9，
当且仅当a＝b＝时等号成立．
9.解析：选BD 由0＜a＜b，a＋b＝1，则0＜a＜＜b＜1.
对A，因为－＜－a＜0，＜b＜1，所以0＜b－a＜1，所以A错误；
对B，＜b 1＜2b a＜2ab＜a2＋b2，所以B正确；
对C，ab≤2＝(当且仅当a＝b时取“＝”)，由于a＜b，所以“＝”不可取，所以C错误；
对D，因为a2＋b2＞＝，又a2＜a，b2＜b a2＋b2＜a＋b＝1，所以D正确．
10.解析：选BC 对于A、B，由x2＋y2－xy＝1，得(x＋y)2－1＝3xy≤3()2，解得－2≤x＋y≤2，所以A不正确，B正确；对于C、D，由x2＋y2－xy＝1，得x2＋y2－1＝xy≤，当且仅当x＝y时取等号，所以x2＋y2≤2，所以C正确，D不正确．故选B、C.
11.解析：如图，过点A作AH⊥BC交BC于点H，交DE于点F，易知＝＝＝，则AF＝x，所以FH＝40－x.
所以矩形面积S＝x(40－x)≤2＝400，
当且仅当40－x＝x，即x＝20时，取“＝”．
所以满足题意的矩形花园的边长x为20 m.
答案：20
12.解：由a＋b＝＋＝，且a＞0，b＞0，得ab＝1.
(1)由基本不等式及ab＝1，知a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b＝1时取等号，故a＋b的最小值为2.
(2)证明：由(1)知a2＋b2≥2ab＝2，且a＋b≥2，因此a2＋b2＋a＋b≥4，①
假设a2＋a＜2与b2＋b＜2同时成立，则a2＋b2＋a＋b＜4，②
①②两式矛盾，故a2＋a＜2与b2＋b＜2不可能同时成立．
13.解：设平均每天所支付的总费用为y元，
则y＝[9x(x＋1)＋900]＋0.6×6 000
＝＋9x＋3 609≥2＋3 609
＝180＋3 609＝3 789，
当且仅当＝9x，即x＝10时取等号，
所以该食堂10天购买一次大米，才能使平均每天所支付的总费用最少．
14.解析：由a＞b＞c知，a－b＞0，b－c>0，a－c＞0.
∴原不等式等价于＋≥m.
要使原不等式恒成立，只需＋的最小值不小于m即可．
∵＋＝＋＝2＋＋≥2＋2 ＝4，
当且仅当＝，即2b＝a＋c时，等号成立．
故m的取值范围为{m|m≤4}．
答案：{m|m≤4}
15.解：(1)由题意可得AD＝4－x，且x＞4－x＞0，可得2＜x＜4，
又AE＝CE＝x－DE，
在直角三角形ADE中，可得AE2＝AD2＋DE2，
即(x－DE)2＝(4－x)2＋DE2，
化简可得DE＝4－(2＜x＜4)．
(2)S△ADE＝AD·DE＝(4－x)
＝2≤2＝12－8，
当且仅当x＝2，4－x＝4－2，
即队徽的长和宽分别为2，4－2时，△ADE的面积最大．
