第二章 一元二次函数、方程和不等式
2．3 二次函数与一元二次方程、不等式
明确目标 发展素养
1．掌握一元二次不等式的解法． 2．能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题． 3．掌握一元二次不等式的实际应用． 4．会解一元二次不等式中的恒成立问题. 1．通过解一元二次不等式，培养数学运算素养． 2．通过“三个二次”关系的应用，提高数学运算和逻辑推理素养． 3．通过分式不等式的解法及不等式的恒成立问题的学习，培养数学运算素养． 4．借助一元二次不等式的应用，培养数学建模素养.
第一课时 一元二次不等式及其解法
1．一元二次不等式
定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的不等式，称为一元二次不等式
一般形式 ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0
2.二次函数的零点
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．
3．“三个二次”的关系
二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x＜x1，或x＞x2} R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1＜x＜x2}
[微思考]
(1)如何理解一元二次不等式中的“一元”与“二次”？
提示：“一元”即只含一个未知数，其他元素均为常数(或参数)．
“二次”即未知数的最高次数必须为2，且其系数不能为0.
(2)如何理解一元二次不等式的“解”与“解集”？
提示：一元二次不等式的解与一元二次不等式的解集是部分与整体的关系，不要将二者混淆．如1是x2＋x＞0的一个解，但x2＋x＞0的解集是一个集合，解集为{x|x＜－1或x＞0}．
题型一 不含参数的一元二次不等式的解法
[典例1] 解下列不等式：
(1)2x2＋7x＋3＞0；
(2)－4x2＋18x－≥0；
(3)－2x2＋3x－2＜0.
[解] (1)因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，
所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－.
又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，
所以原不等式的解集为.
(2)原不等式可化为2≤0，
所以原不等式的解集为.
(3)原不等式可化为2x2－3x＋2＞0，
因为Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，
所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，
又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，
所以原不等式的解集为R.
[方法技巧]
解不含参数的一元二次不等式的步骤
【对点练清】
1．不等式x(x＋2)＜3的解集是( )
A．{x|－1＜x＜3} B．{x|－3＜x＜1}
C．{x|x＜－1或x＞3} D．{x|x＜－3或x＞1}
解析：选B 由题意x(x＋2)＜3，∴x2＋2x－3＜0，即(x＋3)(x－1)＜0，解得－3＜x＜1，∴该不等式的解集是{x|－3＜x＜1}，故选B.
2．解下列不等式：
(1)－x2＋8x－3＞0；
(2)x2－4x－5≤0；
(3)－x2＋3x－5＞0.
解：(1)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52＞0，所以方程－x2＋8x－3＝0有两个不等实根x1＝4－，x2＝4＋.又二次函数y＝－x2＋8x－3的图象开口向下，所以原不等式的解集为{x|4－＜x＜4＋}．
(2)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0，所以原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}．
(3)原不等式可化为x2－6x＋10＜0，因为Δ＝(－6)2－40＝－4＜0，所以方程x2－6x＋10＝0无实根，又二次函数y＝x2－6x＋10的图象开口向上，所以原不等式的解集为 .
题型二 含参数的一元二次不等式的解法
[典例2] 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.
[解] 当a＝0时，原不等式可化为x>1.
当a≠0时，原不等式可化为(ax－1)(x－1)<0.
当a<0时，原不等式可化为(x－1)>0，
∵<1，∴x<或x>1.
当a>0时，原不等式可化为(x－1)<0.
若<1，即a>1，则若＝1，即a＝1，则x∈ ；
若>1，即0综上所述，当a<0时，原不等式的解集为；
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>1}；当01时，原不等式的解集为.
[方法技巧]
解含参数的一元二次不等式的步骤
【对点练清】
(1)当a＝时，求关于x的不等式x2－x＋1≤0的解集；
(2)若a>0，求关于x的不等式x2－x＋1≤0的解集．
解：(1)当a＝时，有x2－x＋1≤0，即2x2－5x＋2≤0，解得≤x≤2，故不等式的解集为.
(2)x2－x＋1≤0 (x－a)≤0，
①当0②当a＝1时，a＝＝1，不等式的解集为{1}；
③当a>1时，a>，不等式的解集为.
综上，当0当a＝1时，不等式的解集为{1}；
当a>1时，不等式的解集为.
题型三 “三个二次”之间对应关系的应用
[典例3] 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2[解] 法一：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2由a<0知c<0，＝－，故不等式cx2＋bx＋a<0，
即x2＋x＋>0，
即x2－x＋>0，解得x<或x>，
所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为
法二：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2[方法技巧]
一元二次不等式解集的端点值是相应的一元二次方程的根，据此，利用根与系数的关系可求得a，b，c的值，进而求解．也可以利用，的值整体代入，转化所求不等式进行求解．
【对点练清】
1．[变设问]本例中条件不变，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集．
解：由根与系数的关系知＝－5，＝6且a<0.
∴c<0，＝－，故不等式cx2－bx＋a>0，
即x2－x＋<0，即x2＋x＋<0.
解得－故原不等式的解集为.
2．[变条件]若将本例的条件“关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2解：法一：由ax2＋bx＋c≥0的解集为知a＜0.又×2＝＜0，则c＞0.
又－，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，
∴－＝，∴＝－.
又＝－，∴b＝－a，c＝－a，
∴不等式cx2＋bx＋a<0变为x2＋x＋a＜0，
即2ax2＋5ax－3a＞0.
又∵a＜0，∴2x2＋5x－3＜0，解得－3＜x＜，
故所求不等式的解集为.
法二：由已知得a＜0 且＋2＝－，×2＝，进而知c＞0，
设方程cx2＋bx＋a＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－，x1·x2＝，
其中＝＝－，－＝＝＝－，∴x1＝－3，x2＝.
∴不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为.
第二课时 一元二次不等式的综合问题
题型一 简单分式不等式的解法
[典例1] 解下列不等式：
(1)<0；
(2)≤1.
[解] (1)<0 (2x－5)(x＋4)<0 －4(2)∵≤1，∴－1≤0，∴≤0，即≥0.此不等式等价于(x－4)≥0且x－≠0，解得x<或x≥4，∴原不等式的解集为.
[方法技巧]
(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．
(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零的形式，然后再用上述方法求解．
【对点练清】
解下列不等式：
(1)>1；
(2)≥1.
解：(1)原不等式可化为或
解得或
∴－3∴原不等式的解集为.
(2)原不等式可化为≤0，
如图，
故原不等式的解集为.
题型二 一元二次不等式的实际应用
[典例2] 某小区内有一个矩形花坛ABCD，现将这一矩形花坛拆建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，如图所示．已知AB＝3 m，AD＝2 m．要使矩形AMPN的面积大于32 m2，则DN的长应在什么范围内？
[解] 设DN的长为x(x＞0)m，
则AN的长为(x＋2)m.
因为＝，所以AM＝，
所以S矩形AMPN＝AN·AM＝.
由S矩形AMPN＞32，得＞32.又x＞0，得3x2－20x＋12＞0，解得0＜x＜或x＞6，
即DN的长的取值范围是.
[方法技巧]
解不等式应用题的步骤
解决一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，即分析题目中哪些是未知量，然后选择未知量并设出此未知量，再概括题目中的不等关系列不等式．
【对点练清】
某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？
解：设这批台灯的销售价定为x元，
则[30－2(x－15)]·x>400，即x2－30x＋200<0，
因为方程x2－30x＋200＝0的两根为x1＝10，x2＝20，
所以x2－30x＋200<0的解为10又因为x≥15，所以15≤x<20.
故应将这批台灯的销售价格制定在15元到20元之间(包括15元但不包括20元)，才能使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入.
题型三 不等式恒成立问题
[典例3] (1)若对 x∈R，不等式x2＋mx>4x＋m－4恒成立，求实数m的取值范围；
(2)若x2>4x＋m－4在R上恒成立，求m的取值范围．
[解] (1)原不等式可化为x2＋(m－4)x＋4－m>0，
∴Δ＝(m－4)2－4(4－m)＝m2－4m<0，∴0∴m的取值范围为{m|0(2)原不等式可化为x2－4x＋4＝(x－2)2>m恒成立，
∴m<0，∴m的取值范围为{m|m<0}．
[方法技巧]
对于含参数的二次函数在闭区间上的函数值恒大(小)于或等于零的问题，可以利用函数的图象与性质求解，也可以分离变量，转化为二次函数的最值问题求解．
【对点练清】
1．对于1≤x≤3，mx2－mx－1＜－m＋5恒成立，求m的取值范围．
解：当1≤x≤3时，mx2－mx－1＜－m＋5恒成立，
即当1≤x≤3时，m(x2－x＋1)－6＜0恒成立．
∵x2－x＋1＝2＋＞0，∴m＜.
∵当1≤x≤3时，＝，
x＝3时，其最小值为，∴只需m＜即可．
故m的取值范围是.
2．已知不等式x2＋2x＋a2－3＞0的解集为R，求a的取值范围．
解：∵不等式x2＋2x＋a2－3＞0的解集为R，∴函数y＝x2＋2x＋a2－3的图象应在x轴上方，∴Δ＝4－4(a2－3)＜0，解得a＞2或a＜－2.故a的取值范围为{a|a>2或a<－2}．第二章 一元二次函数、方程和不等式
2．3 二次函数与一元二次方程、不等式
【课时跟踪检测】
层级(一) “四基”落实练
1．不等式(x＋1)(x－2)≤0的解集为( )
A．{x|－1≤x≤2} B．{x|－1＜x＜2}
C．{x|x≥2或x≤－1} D．{x|x＞2或x＜－1}
2．已知集合M＝{－2，－1,0,1,2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N＝( )
A．{－2，－1,0,1} B.{0,1,2}
C．{－2} D.{2}
3．二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2,3，如果a<0，那么ax2＋bx＋c>0的解集为( )
A．{x|x>3或x<－2} B．{x|x>2或x<－3}
C．{x|－24．(多选)不等式mx2－ax－1>0(m>0)的解集不可能是( )
A. B．R
C. D．
5．(多选)二次不等式ax2＋bx＋1＞0的解集为，则下列结论成立的是( )
A．a2＋b2＝5 B．a＋b＝－3
C．ab＝－2 D．ab＝2
6．不等式≥0的解集为( )
A．{x|1≤x≤2} B．{x|x≤1或x≥2}
C．{x|1≤x<2} D．{x|x>2或x≤1}
7．不等式≥1的解集是( )
A．{x|x<－1或－1C．{x|x≤2} D．{x|－18．若关于x的不等式ax－b>0的解集为{x|x>1}，则关于x的不等式>0的解集为( )
A．{x|x>1或x<－2} B．{x|1C．{x|x>2或x<－1} D．{x|－19．(多选)某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件售价提高1元，销售量就会减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，售价每件应定为( )
A．12元 B．13元 C．14元 D．15元
10．在R上定义运算⊙：A⊙B＝A(1－B)，若不等式(x－a)⊙(x＋a)<1对任意的实数x∈R恒成立，则实数a的取值范围为( )
A．{a|－1C. D.
11．已知关于x的不等式x2－ax＋2a＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是________．
12．不等式1＋2x＋x2≤0的解集为________．
13．关于x的不等式(mx－1)(x－2)>0，若此不等式的解集为，则m的取值范围是________．
14．解下列不等式：
(1)2＋3x－2x2＞0；
(2)x(3－x)≤x(x＋2)－1；
(3)x2－2x＋3＞0.
15．若关于x的不等式ax＋b＞0的解集为{x|x＞1}，则关于x的不等式＞0的解集为________．
16．若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a>0；
(2)b为何值时，ax2＋bx＋3≥0的解集为R
层级(二) 能力提升练
17．已知2a＋1<0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2>0的解集是________．
18．若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－1bx的解集为________．
19．解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0.
20．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是，求ax2－bx＋c＞0的解集．
21．已知不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值范围为( )
A．{a|－1≤a≤4} B．{a|－1C．{a|a≥4或a≤－1} D．{a|－4≤a≤1}
22．对任意实数x，不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0恒成立，则a的取值范围是( )
A．{a|－2C．{a|a<－2或a>2} D．{a|a≤－2或a>2}
23．已知关于x的不等式2kx2＋kx－＜0.
(1)若不等式的解集为，求实数k的值；
(2)若不等式的解集为R，求实数k的取值范围．
24．某地区上年度电价为0.8元/kW·h，年用电量为a kW·h.本年度计划将电价降低到0.55元/kW·h至0.75元/kW·h之间，而用户期望电价为0.4元/kW·h.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)．该地区电力的成本价为0.3元/kW·h.
(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；
(2)设k＝0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%
层级(三) 素养培优练
25.已知M是关于x的不等式2x2＋(3a－7)x＋3＋a－2a2<0的解集，且M中的一个元素是0，求实数a的取值范围，并用a表示出该不等式的解集．
26.已知集合{x∈R|x2－(k＋2)x－3k＋1≥0}＝{x|x≤－1或x≥5}．
(1)求实数k的值；
(2)已知t<2，若不等式x2－(k＋2)x－3k－m2＋4m＋15≥0在t≤x≤4上恒成立，求实数m的取值范围．
【参考答案】
1.解析：选A 根据二次函数y＝(x＋1)(x－2)的图象(图略)可知，不等式的解是－1≤x≤2，故选A.
2.解析：选C 因为N＝{x|x2－x－6≥0}＝{x|x≥3或x≤－2}，所以M∩N＝{－2}，故选C.
3.解析：选C 由题意知－2＋3＝－，－2×3＝，
∴b＝－a，c＝－6a，
∴不等式ax2＋bx＋c>0可化为ax2－ax－6a>0，
又a<0，∴x2－x－6<0，∴(x－3)(x＋2)<0，
∴－24.解析：选BCD 因为Δ＝a2＋4m>0，所以函数y＝mx2－ax－1的图象与x轴有两个交点，又m>0，所以原不等式的解集不可能是B、C、D.
5.解析：选ABD 由题意，－1，是方程ax2＋bx＋1＝0的根．由根与系数的关系，得解得∴ab＝2，a＋b＝－3，a2＋b2＝5.故A、B、D正确．
6.解析：选D 由题意可知，不等式等价于∴x>2或x≤1.故选D.
7.解析：选D ∵≥1，∴－1≥0，∴≥0，
即≤0，等价于(x－2)(x＋1)<0或x－2＝0，
故－18.解析：选C x＝1为ax－b＝0的根，∴a－b＝0，即a＝b，
∵ax－b>0的解集为{x|x>1}，∴a>0，
故＝>0，等价为(x＋1)(x－2)>0.
∴x>2或x<－1.
9.解析：选BCD 设售价定为每件x元，利润为y，
则y＝(x－8)[100－10(x－10)]，
依题意有(x－8)[100－10(x－10)]>320，
即x2－28x＋192<0，解得12所以每件售价应定为12元到16元之间．故选B、C、D.
10.解析：选C ∵(x－a)⊙(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，
∴不等式(x－a)⊙(x＋a)<1，
即(x－a)(1－x－a)<1对任意实数x恒成立，
即x2－x－a2＋a＋1>0对任意实数x恒成立，
∴Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0，
解得－11.解析：因为不等式x2－ax＋2a＞0在R上恒成立，
所以Δ＝(－a)2－8a＜0，解得0＜a＜8.
答案：{a|0＜a＜8}
12.解析：不等式1＋2x＋x2≤0化为(x＋1)2≤0，解得x＝－1.
答案：{－1}
13.解析：∵不等式(mx－1)(x－2)>0的解集为，
∴方程(mx－1)(x－2)＝0的两个实数根为和2，
且解得m<0，∴m的取值范围是{m|m<0}．
答案：{m|m<0}
14.解：(1)原不等式可化为2x2－3x－2＜0，
所以(2x＋1)(x－2)＜0，解得－＜x＜2，
故原不等式的解集是.
(2)原不等式可化为2x2－x－1≥0，
所以(2x＋1)(x－1)≥0，
解得x≤－或x≥1，
故原不等式的解集为.
(3)因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8＜0，
所以原不等式的解集是R.
15.解析：关于x的不等式＞0等价于或又ax＋b＞0的解集为{x|x＞1}，∴解上述不等式组可得或∴x＞6或－1＜x＜1.
故原不等式的解集为{x|x＞6或－1＜x＜1}．
答案：{x|x＞6或－1＜x＜1}
16.解：(1)由题意知1－a<0，且－3和1是方程(1－a)x2－4x＋6＝0的两根，
∴解得a＝3.
∴不等式2x2＋(2－a)x－a>0，
即为2x2－x－3>0，解得x<－1或x>，
∴所求不等式的解集为.
(2)ax2＋bx＋3≥0，即3x2＋bx＋3≥0，
若此不等式解集为R，则Δ＝b2－4×3×3≤0，
∴－6≤b≤6.
17.解析：方程x2－4ax－5a2＝0的两根为－a,5a.因为2a＋1<0，所以a<－，所以－a>5a.结合二次函数y＝x2－4ax－5a2的图象，得原不等式的解集为{x|x<5a或x>－a}．
答案：{x|x<5a或x>－a}
18.解析：由题意知，－1,2为ax2＋bx＋c＝0的两根，
∴且a<0，
∴不等式＋c>bx可化为－2a>－ax，
∵a<0，即－2<－x，即<0，∴x<0.
答案：{x|x<0}
19.解：原不等式可化为(x－a)(x－a2)>0.
则方程x2－(a＋a2)x＋a3＝0的两根为x1＝a，x2＝a2，
由a2－a＝a(a－1)可知，
①当a<0或a>1时，a2>a，∴原不等式的解为x>a2或x②当0a或x③当a＝0时，原不等式为x2>0，∴x≠0.
④当a＝1时，原不等式为(x－1)2>0，∴x≠1.
综上可知：
当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|xa2}；
当0a}；
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0}；
当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1}．
20.解：由题意知，－2，－是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，且a＜0，故即
所以不等式ax2－bx＋c＞0即为2x2－5x＋2＜0，
解得＜x＜2.
即不等式ax2－bx＋c＞0的解集为.
21.解析：选A 由题意知，原不等式可化为－(x－2)2＋4≥a2－3a在R上有解，
∴a2－3a≤4，即(a－4)(a＋1)≤0，解得－1≤a≤4.
22.解析：选A 当a≠2时，由已知得
即解得－2又当a＝2时，原不等式可化为－4<0，显然恒成立，故a的取值范围是{a|－223.解：(1)若关于x的不等式2kx2＋kx－＜0的解集为，
则－和1是2kx2＋kx－＝0的两个实数根，
由根与系数的关系可得－×1＝，求得k＝.
(2)当k＝0时，不等式等价于－＜0，显然成立．
当k≠0时，不等式等价于
解得－3＜k＜0.
综上可得实数k的取值范围为{k|－3＜k≤0}．
24.解：(1)设下调后的电价为x元/kW·h，依题意知，用电量增至，电力部门的收益为
y＝(x－0.3)(0.55≤x≤0.75)．
(2)依题意，有
整理，得
解此不等式，得0.60≤x≤0.75.
∴当电价最低定为0.60元/kW·h时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.
25.解：原不等式可化为(2x－a－1)(x＋2a－3)<0，
由x＝0适合不等式得(a＋1)(2a－3)>0，
所以a<－1或a>.
若a<－1，则－2a＋3－＝(－a＋1)>5，
所以3－2a>，
此时不等式的解集是；
若a>，由－2a＋3－＝(－a＋1)<－，
所以3－2a<，
此时不等式的解集是.
综上，当a<－1时，原不等式的解集是；当a>时，原不等式的解集是.
26.解：(1)由题意可知，－1和5是方程x2－(k＋2)x－3k＋1＝0的两个根，
所以由根与系数的关系得
解得k＝2，故实数k＝2.
(2)由(1)知，k＝2，原不等式可化为x2－4x＋9－m2＋4m≥0，
所以x2－4x≥m2－4m－9在t≤x≤4(t<2)上恒成立，令y＝x2－4x＝(x－2)2－4，
因为t≤x≤4(t<2)，所以ymin＝－4，
所以不等式恒成立等价于m2－4m－9≤－4，
即m2－4m－5≤0，
解得－1≤m≤5，
故实数m的取值范围为{m|－1≤m≤5}．