第三章 函数的概念与性质
3．1 函数的概念及其表示
3．1．1 函数的概念
明确目标 发展素养
1.用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念． 2.体会集合和对应关系在刻画函数概念中的作用． 3.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域． 4.能够正确使用区间表示数集. 1.通过学习函数的概念，培养数学抽象素养． 2.借助函数定义域的求解，培养数学运算素养． 3.借助f(x)与f(a)的关系，培养逻辑推理素养.
知识点一 函数的有关概念
1．函数的概念
定义 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
记法 y＝f(x)，x∈A
定义域 x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域
函数值 与x的值相对应的y值
值域 函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域，显然值域是集合B的子集
[微思考] (1)有人认为“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种理解对吗？
(2)f(x)与f(a)有何区别与联系？
提示：(1)这种理解不对．
符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”．在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．
(2)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量；而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量．f(a)是f(x)的一个特殊值，如一次函数f(x)＝3x＋4，当x＝8时，f(8)＝3×8＋4＝28是一个常数．
2．同一个函数
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值相同，那么这两个函数是同一个函数．
(1)只有当两个函数的定义域和对应关系分别相同时，这两个函数才是同一个函数．
(2)定义域和值域都分别相同的两个函数，它们不一定是相同的函数，因为函数对应关系不一定相同．如y＝x与y＝3x 的定义域和值域都是R，但它们的对应关系不同，所以是两个不同的函数．
知识点二 区间
区间还可以用数轴表示，在数轴表示时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点．
区间 数轴表示 名称
[a，b] 闭区间
(a，b) 开区间
[a，b) 半开半闭区间
(a，b] 半开半闭区间
[a，＋∞) －
(a，＋∞) －
(－∞，b] －
(－∞，b) －
题型一 函数的概念
[典例1] 判断下列对应是否为集合A到集合B的函数.(1)A＝R，B＝{y|y>0}，f：x→y＝|x|；
(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2；
(3)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝；
(4)A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{0}，f：x→y＝0.
[解] (1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数．
(2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数．
(3)集合A中的负整数没有平方根，在集合B中没有对应的元素，故不是集合A到集合B的函数．
(4)对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数．
[方法技巧]
1．判断对应关系是否为函数的2个条件
(1)A，B必须是非空数集．
(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．
2.根据图形判断对应是否为函数的方法
1 任取一条垂直于x轴的直线l.
2 在定义域内平行移动直线l.
3 若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数.
【对点练清】
1．下列对应或关系式中是A到B的函数的是( )
A．A＝R，B＝R，x2＋y2＝1
B．A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图：
C．A＝R，B＝R，f：x→y＝
D．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝
解析：选B A错误，x2＋y2＝1可化为y＝±，显然对任意x∈A，y值不唯一．B正确，符合函数的定义．C错误，2∈A，在B中找不到与之相对应的数．D错误，－1∈A，在B中找不到与之相对应的数．
2．(多选)设集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤4}，则下列图象能表示集合P到集合Q的函数关系的是( )
解析：选BD 对于A，其定义域是[0，2]，不是P，故A错误；对于B，其定义域是[0，4]＝P，值域[0，2] Q，故B正确；对于C，其与函数定义相矛盾，故C错误；对于D，其定义域是[0，4]＝P，显然值域包含于集合Q，故D正确．
题型二 求函数的定义域、函数值
【分类例析】
角度(一) 求函数的定义域
[典例2] 求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝3－x；(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝；(4)f(x)＝.
[解] (1)函数f(x)＝3－x的定义域为R.
(2)由于0的零次幂无意义，故x＋1≠0，即x≠－1.
又x＋2＞0，即x＞－2，所以x＞－2且x≠－1.所以函数f(x)＝的定义域为{x|x＞－2且x≠－1}．
(3)要使函数f(x)有意义，自变量x的取值必须满足解得x≤5，且x≠±3，
所以函数f(x)＝的定义域为{x|x≤5且x≠±3}．
(4)要使函数f(x)有意义，则
即解不等式组得－1≤x<1.
因此函数f(x)的定义域为[－1,1)．
[方法技巧]
求函数定义域的常用方法
(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零．
(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零．
(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使指数幂运算有意义的实数集合．
(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义．
(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．
角度(二) 求函数值
[典例3] 已知f(x)＝(x∈R且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)．
(1)求f(2)，g(2)的值；
(2)求f(g(2))的值．
[解] (1)因为f(x)＝，所以f(2)＝＝.
又因为g(x)＝x2＋2，所以g(2)＝22＋2＝6.
(2)f(g(2))＝f(6)＝＝.
[方法技巧]
函数求值的方法
(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值．
(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则．
【对点练清】
1．(2022·北京高考)函数f(x)＝＋的定义域是________．
解析：因为f(x)＝＋，所以x≠0，1－x≥0，解得x∈(－∞，0)∪(0，1].
答案：(－∞，0)∪(0，1]
2．函数y＝的定义域为________．
解析：要使函数有意义，需满足
解得－2≤x≤3，且x≠.
答案：∪
3．已知f(x)＝x3＋2x＋3，求f(1)，f(t)，f(2a－1)和f(f(－1))的值．
解：f(1)＝13＋2×1＋3＝6，f(t)＝t3＋2t＋3，
f(2a－1)＝(2a－1)3＋2(2a－1)＋3＝8a3－12a2＋10a，
f(f(－1))＝f((－1)3＋2×(－1)＋3)＝f(0)＝3.
题型三 同一个函数的判断问题
[典例4] 下列各组函数中，表示同一函数的是( )
A．y＝·与y＝
B．y＝|x|与y＝
C．y＝x与y＝
D．y＝与y＝x0
[解析] A选项：y＝·的定义域为{x|x≥2}，y＝的定义域为{x|x≤－2或x≥2}，∴两函数不是同一函数．B选项：y＝|x|与y＝的定义域均为R，y＝＝x，可知两函数的对应关系不同，∴两函数不是同一函数．C选项：y＝x与y＝的定义域均为R，y＝＝|x|，可知两函数的对应关系不同，∴两函数不是同一函数．D选项：y＝与y＝x0的定义域均为{x|x≠0}，y＝＝1＝x0，可知两函数的对应关系相同，∴两函数是同一函数．故选D.
[答案] D
[方法技巧]
判断两函数为同一个函数的方法
判断两函数是否为同一个函数，关键是坚持定义域优先的原则．
(1)先看定义域，若定义域不同，则两个函数不是同一个函数．
(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．
【对点练清】
判断下列各组中的两个函数是否为同一个函数：
(1)f(x)＝，g(x)＝x－5；
(2)y＝·，y＝.
解：(1)两函数定义域不同，所以不是同一个函数．
(2)y＝·的定义域为{x|－1≤x≤1}，y＝的定义域为{x|－1≤x≤1}，即两者定义域相同．又∵y＝·＝，∴两函数的对应关系也相同．故y＝·与y＝是同一函数．第三章 函数的概念与性质
3．1 函数的概念及其表示
3．1．1 函数的概念
【课时跟踪检测】
层级(一) “四基”落实练
1．(多选)下列集合A到集合B的对应f是函数的是( )
A．A＝{－1,0,1}，B＝{0,1}，f：A中的数平方
B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开方
C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数
D．A＝R，B＝{非负实数}，f：A中的数取绝对值
2．已知函数f(x)＝，则f等于( )
A. B.
C．a D．3a
3．函数y＝的定义域是( )
A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞)
C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．[－1,1)∪(1，＋∞)
4．(多选)下列各组函数表示同一个函数的是( )
A．y＝与y＝x＋3(x≠3)
B．y＝(x＋1)2与y＝x2
C．y＝与y＝|x|
D．y＝x2＋1，x∈Z与y＝t2＋1，t∈Z
5．若函数y＝f(x)的定义域M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
6．函数y＝的定义域用区间可以表示为________．
7．函数f(x)，g(x)分别由下表给出.
x 1 2 3
f(x) 1 3 1
x 1 2 3
g(x) 3 2 1
则f(g(1))的值为________；满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是________．
8．已知函数f(x)＝x＋.
(1)求f(x)的定义域；
(2)求f(－1)，f(2)的值；
(3)当a≠－1时，求f(a＋1)的值．
层级(二) 能力提升练
9．若函数f(x)的定义域为[0,4]，则函数g(x)＝的定义域为( )
A．(1,2) B．(1,2]
C．(1,4] D．(1,4)
10．下列函数中，对于定义域内的任意x，f(x＋1)＝f(x)＋1恒成立的为( )
A．f(x)＝x＋1 B．f(x)＝－x2
C．f(x)＝ D．f(x)＝|x|
11．已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)的定义域；
(2)若f(a)＝2，求a的值；
(3)求证：f ＝－f(x)．
层级(三) 素养培优练
12．设函数y＝f(x)对任意正实数x，y都有f(x·y)＝f(x)＋f(y)，已知f(8)＝3，则f()＝________.
13．规定[t]为不超过t的最大整数，例如[12.6]＝12，[－3.5]＝－4，对任意实数x，令f1(x)＝[4x]，g(x)＝4x－[4x]，f2(x)＝f1(g(x))．
(1)分别求f1和f2的值；
(2)求x的取值范围，使它同时满足f1(x)＝1，f2(x)＝3.
14．求下列函数的定义域与值域：
(1)f(x)＝(x－1)2＋1，x∈{－1,0,1,2,3}；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝x－.
【参考答案】
1.解析：选AD 按照函数定义，选项B中，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件；选项C中，集合A中的元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应着唯一的函数值的要求；选项A、D中，集合A中的元素都与集合B中元素对应，也符合函数定义．故选A、D.
2.解析：选D f＝＝3a.
3.解析：选D 由题意可得所以x≥－1且x≠1，故函数y＝的定义域为{x|x≥－1且x≠1}．
4.解析：选CD 选项A、B中对应关系都不同，故都不是同一个函数．C、D定义域、对应关系都相同，是同一个函数．
5.解析：选B A中定义域是{x|－2≤x≤0}，不是M＝{x|－2≤x≤2}，C中图象不表示函数关系，D中值域不是N＝{y|0≤y≤2}．故选B.
6.解析：要使函数有意义，需满足
即
∴定义域为(－∞，－4)∪(－4,4)∪(4,6]．
答案：(－∞，－4)∪(－4,4)∪(4,6]
7.解析：∵g(1)＝3，f(3)＝1，∴f(g(1))＝1.
当x＝1时，f(g(1))＝f(3)＝1，g(f(1))＝g(1)＝3，
f(g(x))当x＝2时，f(g(2))＝f(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝1，
f(g(x))>g(f(x))，符合题意；
当x＝3时，f(g(3))＝f(1)＝1，g(f(3))＝g(1)＝3，
f(g(x))答案：1 2
8.解：(1)要使函数f(x)有意义，必须使x≠0，
∴f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)f(－1)＝－1＋＝－2，f(2)＝2＋＝.
(3)当a≠－1时，a＋1≠0，∴f(a＋1)＝a＋1＋.
9.解析：选B 由题意得解得1＜x≤2，因此，函数y＝g(x)的定义域为(1,2]．
10.解析：选A 对于A选项，f(x＋1)＝(x＋1)＋1＝f(x)＋1，成立．
对于B选项，f(x＋1)＝－(x＋1)2≠f(x)＋1，不成立．
对于C选项，f(x＋1)＝，f(x)＋1＝＋1，不成立．
对于D选项，f(x＋1)＝|x＋1|，f(x)＋1＝|x|＋1，不成立．
11.解：(1)要使函数f(x)＝有意义，只需1－x2≠0，解得x≠±1，所以函数的定义域为{x|x≠±1}．
(2)因为f(x)＝，且f(a)＝2，
所以f(a)＝＝2，即a2＝，解得a＝±.
(3)证明：由已知得f＝＝，
－f(x)＝－＝，所以f ＝－f(x)．
12.解析：因为f(x·y)＝f(x)＋f(y)，所以令x＝y＝，得f(2)＝f()＋f()，令x＝y＝2，得f(4)＝f(2)＋f(2)，令x＝2，y＝4，得f(8)＝f(2)＋f(4)，所以f(8)＝3f(2)＝6f()，又f(8)＝3，所以f()＝.
答案：
13.解：(1)∵x＝时，4x＝，
∴f1＝＝1，g＝－＝.
∴f2＝f1＝f1＝[3]＝3.
(2)由题意知f1(x)＝[4x]＝1，则g(x)＝4x－1，
∴f2(x)＝f1(4x－1)＝[16x－4]＝3.
∴解得≤x＜.
故满足题意的x的取值范围为.
14.解：(1)函数的定义域为{－1,0,1,2,3}，
则f(－1)＝[(－1)－1]2＋1＝5，
同理可得f(0)＝2，f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝5，
所以函数的值域为{1,2,5}．
(2)函数的定义域是{x|x≠1}，y＝＝5＋，
所以函数的值域为{y|y≠5}．
(3)要使函数式有意义，需x＋1≥0，即x≥－1，
故函数的定义域是{x|x≥－1}．
设t＝，则x＝t2－1(t≥0)，
于是f(t)＝t2－1－t＝2－.
又t≥0，故f(t)≥－.所以函数的值域是.
