第三章 函数的概念与性质
3．2 函数的基本性质
3．2．1 单调性与最大(小)值
第一课时 函数的单调性
明确目标 发展素养
1.理解函数的单调性的概念，能运用函数图象理解和研究函数的单调性． 2.会用函数单调性的定义判断(证明)一些函数的单调性． 3.会求一些具体函数的单调区间. 1.借助单调性的证明，培养逻辑推理素养． 2.通过求单调区间及应用单调性解题，培养直观想象和数学运算素养.
1．函数的单调性
前提条件 设函数f(x)的定义域为I，区间D I
条件 x1，x2∈D，x1
都有f(x1)f(x2)
图示
结论 f(x)在区间D上单调递增 f(x)在区间D上单调递减
特殊情况 当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数
[微思考]
(1)所有的函数在定义域上都具有单调性吗？
提示：不是．
(2)函数单调性的定义中的x1，x2有什么特征？
提示：定义中的x1，x2有以下3个特征．
①任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；②有大小，通常规定x12．单调区间
如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间．
题型一 判断(证明)函数的单调性
[典例1] 证明函数f(x)＝x＋在(0,1)上单调递减．
[证明] 设x1，x2是区间(0,1)上的任意两个实数，且x1∵0∴x1－x2<0,0∴>0，即f(x1)>f(x2)，∴f(x)＝x＋在(0,1)上是减函数．
[方法技巧]
利用定义证明函数单调性的四个步骤
【对点练清】
1．(多选)下列四个函数在(－∞，0)上为增函数的是( )
A．y＝|x|＋1 B．y＝
C．y＝－ D．y＝x＋
解析：选CD y＝|x|＋1＝－x＋1(x<0)在(－∞，0)上为减函数；y＝＝－1(x<0)在(－∞，0)上既不是增函数也不是减函数；y＝－＝x(x<0)在(－∞，0)上是增函数；y＝x＋＝x－1(x<0)在(－∞，0)上也是增函数．故选C、D.
2．试用函数单调性的定义证明：f(x)＝在(1，＋∞)上单调递减．
证明：f(x)＝2＋，设x1>x2>1，
则f(x1)－f(x2)＝－＝，
因为x1>x2>1，
所以x2－x1<0，x1－1>0，x2－1>0，所以f(x1)所以f(x)在(1，＋∞)上是减函数．
题型二 求函数的单调区间
[典例2] 求下列函数的单调区间：
(1)y＝|2x－1|；
(2)y＝x2－2x＋5，x∈[－4,3]；
(3)y＝，其中k是常数且k≠0；
(4)y＝|x2－4x＋3|.
[解] (1)y＝|2x－1|
＝
结合图象知函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
(2)y＝x2－2x＋5，x∈[－4,3]，对称轴为x＝1，开口向上，故函数的单调递减区间为[－4,1]，单调递增区间为[1,3]．
(3)y＝，其中k是常数且k≠0.根据反比例函数的性质可知，当k＞0时，函数在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减；当k＜0时，函数在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递增．
(4)先画出函数y＝x2－4x＋3的图象，由于绝对值的作用，把x轴下方的部分翻折到上方，可得函数y＝|x2－4x＋3|的图象，如图所示．
由图可知，函数在(－∞，1)和(2,3]上单调递减，在[1,2]和(3，＋∞)上单调递增，故函数的单调递增区间为[1,2]，(3，＋∞)，单调递减区间为(－∞，1)，(2,3]．
[方法技巧]
1．图象法求函数单调区间的步骤
(1)作图：作出函数的图象．
(2)结论：上升图象对应单调递增区间，下降图象对应单调递减区间．
2．常见函数的单调区间
(1)y＝ax＋b，a>0时，单调递增区间为(－∞，＋∞)；a<0时，单调递减区间为(－∞，＋∞)．
(2)y＝，a>0时，单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)；a<0时，单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．
(3)y＝a(x－m)2＋n，a>0时，单调递减区间为(－∞，m]，单调递增区间为(m，＋∞)；a<0时，单调递增区间为(－∞，m]，单调递减区间为(m，＋∞)．
[对点练清]
写出下列各函数的单调区间：
(1)y＝；
(2)y＝
(3)y＝－x2＋2|x|＋3.
解：(1)y＝＝1＋，函数的单调递增区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，无单调递减区间．
(2)作出函数y＝的图象如图①所示，由图可知函数的增区间为(0，＋∞)，减区间为(－∞，0]．
(3)y＝－x2＋2|x|＋3＝作出函数的图象如图②所示，由图可知，函数的增区间为(－∞，－1)和(0,1)；减区间为(－1,0)和(1，＋∞)．
题型三 函数单调性的应用
[典例3] (1)已知函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3.
①若函数f(x)在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是________；
②若函数f(x)的单调递增区间是(－∞，3]，则实数a的值为________．
(2)若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[1,2]上不具有单调性，则实数a的取值范围为_______．
[解析] (1)f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3
＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3.
因此函数的单调递增区间为(－∞，－a－1]．
①由f(x)在(－∞，3]上是增函数知3≤－a－1，
解得a≤－4，即实数a的取值范围为(－∞，－4]．
②由题意得－a－1＝3，a＝－4.
(2)函数f(x)的对称轴方程为x＝－，要使函数f(x)在区间[1,2]上不单调，则1＜－＜2，解得－4＜a＜－2.
[答案] (1)①(－∞，－4] ②－4 (2)(－4，－2)
[方法技巧]
函数单调性的应用策略
(1)比较函数值的大小：解决此类问题时，应根据函数的性质(如对称性等)将自变量转化到函数的同一个单调区间上，利用单调性比较大小．
(2)解函数不等式：求解此类问题，主要是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．
(3)求参数范围：其方法是根据函数的单调性，构建含参数的方程(组)或不等式(组)进行求解，或先得到图象的升降情况，再结合图象求解．
【对点练清】
1．函数f(x)是R上的增函数且f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)，则( )
A．a＞b＞0 B．a－b＞0
C．a＋b＞0 D．a＞0，b＞0
解析：选C 当a＋b＞0时，a＞－b，b＞－a.
∵函数f(x)是R上的增函数，
∴f(a)＞f(－b)，f(b)＞f(－a)，
∴f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)．故选C.
2．已知函数f(x)＝ax2－x＋a＋1在(－∞，2)上单调递减，则a的取值范围是( )
A. B.
C．[2，＋∞) D．[0,4]
解析：选B 当a＝0时f(x)＝－x＋1满足条件；当a≠0时，由题可知a＞0且－＝≥2得0＜a≤.综上所述，a∈.故选B.
3．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，且f(m＋2)解析：∵f(x)在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增， ∴－＝1，∴a＝－2.如图．
∵f(m＋2)∴0则实数m的取值范围为(－2,0)．
答案：(－2,0)
第二课时 函数的最大(小)值
明确目标 发展素养
1.理解函数的最大值和最小值的概念． 2.能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值． 3.能利用函数的最值解决有关的实际应用问题. 1.借助函数最值的求法，培养直观想象和数学运算素养． 2.利用函数的最值解决实际问题，培养数学建模素养.
函数的最大值与最小值
最值 最大值 最小值
条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足： x∈D，都有
f(x)≤M f(x)≥M
x0∈D，使得f(x0)＝M
结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值
几何意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标
[微思考] 若函数f(x)≤M，则M一定是函数的最大值吗？
提示：不一定，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大值，否则不是．
题型一 图象法求函数的最值问题
[典例1] 已知函数f(x)＝
(1)在直角坐标系内画出f(x)的图象；
(2)根据函数的图象写出函数的单调区间和值域．
[解] (1)图象如图所示．
(2)由图象可知f(x)的单调递增区间为[－1,0]，[2,5]；单调递减区间为(0,2)，值域为[－1,3]．
[方法技巧]
利用图象求函数最值的步骤
(1)画出函数y＝f(x)的图象．
(2)观察图象，找出图象的最高点和最低点．
(3)写出最值，最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值．
【对点练清】
1.函数f(x)在区间[－2，5]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )
A．－2，f(2)
B．2，f(2)
C．－2，f(5)
D．2，f(5)
解析：选C 由函数的图象知，当x＝－2时，有最小值－2；当x＝5时，有最大值f(5)．
2．对于每个实数x，设f(x)是y＝4x＋1，y＝x＋2和y＝－2x＋4这三个函数值中的最小值，则函数f(x)的最大值为( )
A. B．3 C. D.
解析：选A 由题意，可得函数f(x)的图象如图所示．
由得A，
∴f(x)的最大值为.
题型二 利用单调性求函数最值
[典例2] 已知函数f(x)＝.
(1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；
(2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值．
[解] (1)f(x)在(－1，＋∞)上为增函数，证明如下：
设 x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝－
＝.
因为－1＜x1＜x2 x1＋1＞0，x2＋1＞0，x1－x2＜0，
所以f(x1)－f(x2)＜0 f(x1)＜f(x2)，
所以f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
[解] 由(1)知f(x)在[2,4]上单调递增，
所以f(x)的最小值为f(2)＝＝，
最大值为f(4)＝＝.
[方法技巧]
利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤
(1)判断函数的单调性．
(2)利用单调性求出最大(小)值．
提醒：(1)求最值勿忘求定义域．
(2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意．
【对点练清】
已知函数f(x)＝＋3(x∈[2,4])，求函数f(x)的最大值和最小值．
解：设x1，x2是[2,4]上任意两个实数，且x1所以f(x1)－f(x2)＝＋3－
＝－＝＝，
因为2≤x1所以x1－x2<0,1－x1<0,1－x2<0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以f(x)在[2,4]上是增函数，
所以f(x)max＝f(4)＝1，f(x)min＝f(2)＝－3.
题型三 二次函数在区间上的最值
[典例3] 已知函数f(x)＝x2－ax＋1.
(1)求f(x)在[0,1]上的最大值；
(2)当a＝1时，求f(x)在闭区间[t，t＋1](t∈R)上的最小值．
[解] (1)因为函数f(x)＝x2－ax＋1的图象开口向上，其对称轴为x＝，
所以区间[0,1]的哪一个端点离对称轴远，则在哪个端点取到最大值，
当≤，即a≤1时，f(x)的最大值为f(1)＝2－a；
当>，即a>1时，f(x)的最大值为f(0)＝1.
(2)当a＝1时，f(x)＝x2－x＋1，其图象的对称轴为x＝.
①当t≥时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，
所以f(x)min＝f(t)＝t2－t＋1；
②当t＋1≤，即t≤－时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，
所以f(x)min＝f(t＋1)＝t2＋t＋1；
③当t<所以f(x)min＝f＝.
[方法技巧]
1．含参数的二次函数最值问题的解法
解决含参数的二次函数的最值问题，首先将二次函数化为y＝a(x＋h)2＋k的形式，再依a的符号确定抛物线的开口方向，依对称轴x＝－h得出顶点的位置，再根据x的定义区间结合大致图象确定最大或最小值．
2．含参数的二次函数最值问题的三种类型
(1)区间固定，对称轴变动(含参数)，求最值．
(2)对称轴固定，区间变动(含参数)，求最值．
(3)区间固定，最值也固定，对称轴变动，求参数．
通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论．
【对点练清】
1．二次函数f(x)＝x2－2x＋3在[0，m]上有最大值3，最小值1，则实数m的取值范围是________．
解析：因为f(x)＝x2－2x＋3在[0,2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增．则当04时，最大值必大于f(4)＝3，此时条件不成立．综上可知，实数m的取值范围是[2,4]．
答案：[2,4]
2．已知二次函数f(x)＝x2－2x＋3.
(1)当x∈[－2,0]时，求f(x)的最值；
(2)当x∈[－2,3]时，求f(x)的最值；
(3)当x∈[t，t＋1]时，求f(x)的最小值g(t)．
解：f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，其对称轴为x＝1，开口向上．
(1)当x∈[－2,0]时，f(x)在[－2,0]上是减函数，
故当x＝－2时，f(x)有最大值f(－2)＝11；
当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝3.
(2)当x∈[－2,3]时，f(x)在[－2,3]上先递减后递增，
故当x＝1时，f(x)有最小值f(1)＝2.
又|－2－1|>|3－1|，
所以f(x)的最大值为f(－2)＝11.
(3)①当t>1时，f(x)在[t，t＋1]上是单调递增，
所以当x＝t时，f(x)取得最小值，此时g(t)＝f(t)＝t2－2t＋3.
②当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，
f(x)在[t，t＋1]上先递减后递增，
故当x＝1时，f(x)取得最小值，此时g(t)＝f(1)＝2.
③当t＋1<1，即t<0时，f(x)在[t，t＋1]上单调递减，
所以当x＝t＋1时，f(x)取得最小值，此时g(t)＝f(t＋1)＝t2＋2，
综上得g(t)＝
题型四 函数最值的实际应用
[典例4] 一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x＞20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元．(年利润＝年销售总收入－年总投资)
(1)求y(万元)与x(件)的函数关系式．
(2)当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？
[解] (1)当0＜x≤20时，
y＝(33x－x2)－x－100＝－x2＋32x－100；
当x＞20时，y＝260－100－x＝160－x.
故y＝(x∈N*)．
(2)当0＜x≤20时，y＝－x2＋32x－100＝－(x－16)2＋156，当x＝16时，ymax＝156.
而当x＞20时，160－x＜140，
故x＝16时取得最大年利润，最大年利润为156万元．
即当该工厂年产量为16件时，取得最大年利润为156万元．
[方法技巧]
求解实际问题的4个步骤
【对点练清】
1．用长为24 m的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形面积最大，则隔墙的长度为_______m.
解析：设隔墙长度为x m，场地面积为S m2，则
S＝x·＝12x－2x2＝－2(x－3)2＋18.
所以当x＝3时，S有最大值．
答案：3
2．将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？
解：设售价为x元，利润为y元，单个涨价(x－50)元，销量减少10(x－50)个，销量为500－10(x－50)＝(1 000－10x)个，则y＝(x－40)(1 000－10x)＝－10(x－70)2＋9 000.故当x＝70时，ymax＝9 000.
即售价为70元时，利润最大值为9 000元．第三章 函数的概念与性质
3．2 函数的基本性质
3．2．1 单调性与最大(小)值
【课时跟踪检测】
层级(一) “四基”落实练
1．若函数f(x)的定义域为R，且满足f(1)＜f(2)＜f(3)，则函数f(x)在(0，＋∞)上( )
A．单调递增 B．单调递减
C．先增后减 D．不能确定
2.(多选)下列函数中在(－∞，－1)上单调递增的是( )
A．y＝ B．y＝1－x2
C．y＝x2＋x D．y＝1－x
3．函数y＝|x＋2|在区间[－3,0]上( )
A．单调递减 B．单调递增
C．先减后增 D．先增后减
4．若函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上单调递减，则下列关系式一定成立的是( )
A．f(a)>f(2a) B．f(a2)C．f(a2＋a)5．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都单调递减，则a的取值范围是( )
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,0)∩(0,1)
C．(0,1) D．(0,1]
6．函数f(x)＝－x2＋4x－6，x∈[0,5]的值域为( )
A．[－6，－2] B．[－11，－2]
C．[－11，－6] D．[－11，－1]
7．函数f(x)＝则f(x)的最大值、最小值分别为( )
A．10,6 B．10,8
C．8,6 D．以上都不对
8．若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是( )
A．2 B．－2
C．2或－2 D．0
9．已知函数f(x)＝2x－3，当x≥1时，恒有f(x)≥m成立，则实数m的取值范围是( )
A．R B．(－∞，－1]
C．[－1，＋∞) D．
10．已知定义在R上的函数f(x)＝x2＋2ax＋3在(－∞，1]上单调递减，当x∈[a＋1,1]时，f(x)的最大值与最小值之差为g(a)，则g(a)的最小值为( )
A. B．1
C. D．2
11．函数f(x)＝2x2－3|x|的单调递减区间是___________．
12．函数y＝f(x)是定义域为R的增函数，且y＝f(x)的图象经过点A(－2，－3)和B(1,3)，则不等式|f(x)|＜3的解集为________．
13．若一次函数f(x)的定义域为[－3,2]，值域为[2,7]，则f(x)＝________.
14．用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值．设f(x)＝min{x＋2，10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为________．
15．已知函数f(x)＝，x∈[3,5]．
(1)判断函数f(x)的单调性；
(2)求函数f(x)的最大值和最小值．
16．已知函数f(x)＝x－＋在(1，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围．
层级(二) 能力提升练
17．已知函数f(x)的定义域为R，且对任意两个不相等的实数a，b都有(a－b)[f(a)－f(b)]＞0，则不等式f(3x－1)＞f(x＋5)的解集为( )
A．(－∞，3) B．(－∞，2)
C．(3，＋∞) D．(2，＋∞)
18．已知函数f(x)＝满足对任意的x1，x2，都有＜0成立，则a的取值范围是( )
A．(0,3) B．(0,3]
C．(0,2) D．(0,2]
19．(多选)已知函数f(x)＝x2－2x＋2，关于f(x)的最大(小)值有如下结论，其中正确的是( )
A．f(x)在区间[－1,0]上的最小值为1
B．f(x)在区间[－1,2]上既有最小值，又有最大值
C．f(x)在区间[2,3]上有最小值2，最大值5
D．当01时，f(x)在区间[0，a]上的最小值为1
20．(多选)定义一种运算min{a，b}＝设f(x)＝min{4＋2x－x2，|x－t|}(t为常数)，且x∈[－3,3]，则使函数f(x)最大值为4的t值可以是( )
A．－2 B．6 C．4 D．－4
21．函数y＝f(x)在(－2,2)上为增函数，且f(2m)>f(－m＋1)，则实数m的取值范围是________．
22．已知函数f(x)＝ax＋的图象经过点A(1,1)，B(2，－1)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)判断函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并用定义证明．
23．已知一次函数f(x)是R上的增函数，g(x)＝f(x)(x＋m)，且f(f(x))＝16x＋5.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若g(x)在(1，＋∞)上单调递增，求实数m的取值范围．
24．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的年收益分别为0.125万元和0.5万元(如图)．
(1)分别写出两种产品的年收益与投资额的函数关系式；
(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大年收益，最大年收益是多少万元？
25．已知函数g(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a＞0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.
(1)求a，b的值；
(2)设f(x)＝，若不等式f(x)－k＞0在x∈(2,5]上恒成立，求实数k的取值范围．
层级(三) 素养培优练
26．(多选)定义[x]为不大于x的最大整数，对于函数f(x)＝x－[x]有以下四个结论，其中正确的是( )
A．f(2 021.67)＝0.67
B．在每一个区间[k，k＋1)(k∈Z)上，函数f(x)都单调递增
C．fD．y＝f(x)的定义域是R，值域是[0,1)
27．(多选)已知函数f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])，g(x)＝x2－2x(x∈[0,3])，则下列结论正确的是( )
A． x∈[－2,2]，f(x)>a恒成立，则实数a的取值范围是(－∞，－3)
B． x∈[－2,2]，f(x)>a，则实数a的取值范围是(－∞，－3)
C． x∈[0,3]，g(x)＝a，则实数a的取值范围是[－1,3]
D． x∈[－2,2]， t∈[0,3]，f(x)＝g(t)
28．已知函数f(x)＝x2－2x－3.
(1)设集合A＝{x|f(x)>0}，B＝{x|f(x)＝0}，C＝{x|f(x)<0}，分别指出2,3,4是A，B，C中哪个集合的元素；
(2)若 a∈R， x1，x2∈[a，＋∞)，当x129．已知函数f(x)对任意的x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－.
(1)求证：f(x)在R上为减函数；
(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值及最小值．
【参考答案】
1.解析：选D 由于函数单调性的定义突出了x1，x2的任意性，所以仅凭区间内几个函数值的关系，不能作为判断函数单调性的依据，也就是说函数单调性定义的三个特征缺一不可．
2.解析：选AB A中，y＝＝1－在(－∞，－1)上单调递增；B中，y＝1－x2在(－∞，－1)上单调递增；C中，y＝x2＋x＝2－在上单调递减，D中，y＝1－x在(－∞，－1)上单调递减，故选A、B.
3.解析：选C y＝|x＋2|＝作出y＝|x＋2|的图象，如图所示，易知函数在[－3，－2)上为减函数，在[－2,0]上为增函数．
4.解析：选D 因为f(x)在区间(－∞，＋∞)上单调递减，且a2＋1>a2，所以f(a2＋1)5.解析：选D 因为g(x)＝在区间[1,2]上单调递减，所以a＞0.因为函数f(x)＝－x2＋2ax的图象开口向下，对称轴为直线x＝a，且函数f(x)在区间[1,2]上为单调递减，所以a≤1.故满足题意的a的取值范围是(0,1]．
6.解析：选B 函数f(x)＝－x2＋4x－6＝－(x－2)2－2，x∈[0,5]，所以当x＝2时，f(x)取得最大值为－(2－2)2－2＝－2；当x＝5时，f(x)取得最小值为－(5－2)2－2＝－11，所以函数f(x)的值域为[－11，－2]．
7.解析：选A 当1≤x≤2时，8≤2x＋6≤10；当－1≤x<1时，6≤x＋7<8，∴f(x)min＝f(－1)＝6，f(x)max＝f(2)＝10.
8.解析：选C 由题意知a≠0，当a＞0时，函数y＝ax＋1在[1,2]上单调递增，有(2a＋1)－(a＋1)＝2，解得a＝2；当a＜0时，函数y＝ax＋1在[1,2]上单调递减，有(a＋1)－(2a＋1)＝2，解得a＝－2.综上知，a＝±2.
9.解析：选B 因为f(x)＝2x－3在x∈[1，＋∞)上为增函数，所以f(x)min＝－1，故满足f(x)≥－1.
又因为在x≥1时，f(x)≥m恒成立，所以m≤－1，故m∈(－∞，－1].
10.解析：选B ∵f(x)在(－∞，1]上单调递减，
∴－a≥1，即a≤－1.
∴f(x)在[a＋1,1]上的最大值为f(a＋1)＝3a2＋4a＋4，最小值为f(1)＝4＋2a，
∴g(a)＝3a2＋2a＝32－，
∵g(a)在(－∞，－1]上单调递减，
∴g(a)的最小值为g(－1)＝1.
11.解析：函数f(x)＝2x2－3|x|＝图象如图所示，f(x)的单调递减区间是，.
答案：，
12.解析：∵|f(x)|＜3，∴－3＜f(x)＜3，
∵y＝f(x)的图象经过点A(－2，－3)和B(1,3)，
∴f(－2)＝－3，f(1)＝3，
又∵y＝f(x)是定义域为R的增函数，
∴f(－2)＜f(x)＜f(1)，∴－2＜x＜1.
答案：(－2,1)
13.解析：设y＝kx＋b，
则当k＞0时，得解得
当k＜0时，得解得
故f(x)＝x＋5或－x＋4.
答案：x＋5或－x＋4
14.解析：在同一平面直角坐标系内画出函数y＝x＋2和y＝10－x的图象．根据min{x＋2，10－x}(x≥0)的含义可知，f(x)的图象应为图中实线部分．解方程x＋2＝10－x，得x＝4，此时y＝6，故两图象的交点坐标为(4,6)．由图象可知，函数f(x)的最大值为6.
答案：6
15.解：(1)任取x1，x2∈[3,5]且x1则f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝
＝.
∵x1，x2∈[3,5]且x1∴x1－x2<0，x1＋2>0，x2＋2>0.
∴f(x1)－f(x2)<0.
∴f(x1)∴函数f(x)＝在[3,5]上为增函数．
(2)由(1)知，当x＝3时，函数f(x)取得最小值，为f(3)＝；当x＝5时，函数f(x)取得最大值，为f(5)＝.
16.解：设11.
∵函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
∴f(x1)－f(x2)＝x1－＋－
＝(x1－x2)<0.
∵x1－x2<0，∴1＋>0，即a>－x1x2.
∵11，
∴－x1x2<－1，∴a≥－1.
∴a的取值范围是[－1，＋∞)．
17.解析：选C 不妨设a＞b，∵(a－b)[f(a)－f(b)]＞0，∴f(a)＞f(b)，
∴f(x)是R上的增函数，
原不等式等价于3x－1＞x＋5，解得x＞3，
∴原不等式的解集为(3，＋∞)．
18.解析：选D 根据题意知，f(x)在R上单调递减，
则解得0＜a≤2，
∴a的取值范围为(0,2]．
19.解析：选BCD 函数f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1的图象开口向上，对称轴为直线x＝1.在选项A中，因为f(x)在区间[－1,0]上单调递减，所以f(x)在区间[－1,0]上的最小值为f(0)＝2，A错误；在选项B中，因为f(x)在区间[－1,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，所以f(x)在区间[－1,2]上的最小值为f(1)＝1，又因为f(－1)＝5，f(2)＝2，f(－1)>f(2)，所以f(x)在区间[－1,2]上的最大值为f(－1)＝5，B正确；在选项C中，因为f(x)在区间[2,3]上单调递增，所以f(x)在区间[2,3]上的最小值为f(2)＝2，最大值为f(3)＝5，C正确；在选项D中，当01时，因为f(x)在区间[0,1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，所以f(x)在区间[0，a]上的最小值为f(1)＝1，D正确．故选B、C、D.
20.解析：选AC 要使y＝4＋2x－x2在x∈[－3,3]上取到4，
由4＋2x－x2＝4，解得x＝2或x＝0，
所以要使函数f(x)最大值为4，则根据定义和图象可知，
当t＜1，即x＝2时，|2－t|＝4，此时解得t＝－2；
当t＞1，即x＝0时，|0－t|＝4，此时解得t＝4，
故t＝－2或4.
21.解析：由题意知解得答案：
22.解：(1)∵f(x)的图象过点A(1,1)，B(2，－1)，
∴解得
∴f(x)＝－x＋.
(2)函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数．
证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝－
＝(x2－x1)＋＝(x2－x1)＋＝.
由x1，x2∈(0，＋∞)，得x1x2＞0，x1x2＋2＞0，
由x1＜x2，得x2－x1＞0，
∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，
∴函数f(x)＝－x＋在(0，＋∞)上是减函数．
23.解：(1)由题意设f(x)＝ax＋b(a>0)．
从而f(f(x))＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝16x＋5，
所以解得或(不合题意，舍去)．
所以f(x)的解析式为f(x)＝4x＋1.
(2)g(x)＝f(x)(x＋m)＝(4x＋1)(x＋m)＝4x2＋(4m＋1)x＋m，g(x)图象的对称轴为直线x＝－.
若g(x)在(1，＋∞)上单调递增，则－≤1，解得m≥－，所以实数m的取值范围为.
24.解：(1)依题意可设投资债券类产品的年收益f(x)＝k1x(x≥0)，投资股票类产品的年收益g(x)＝k2(x≥0)．
∵f(1)＝k1＝，g(1)＝k2＝，
∴f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝(x≥0)．
(2)设投资债券类产品x万元，
则投资股票类产品(20－x)万元，年收益为y万元．
依题意得y＝f(x)＋g(20－x)，
即y＝＋(0≤x≤20)．
令t＝，则x＝20－t2，t∈[0,2]，
∴y＝＋，t∈[0,2]，
即y＝－(t－2)2＋3，t∈[0,2]，
∴当t＝2，即x＝20－t2＝16时，年收益最大，最大年收益为3万元．
25.解：(1)∵g(x)开口方向向上，且对称轴方程为x＝1，
∴g(x)在[2,3]上单调递增．
∴
解得a＝1，b＝0.
(2)∵f(x)－k＞0在x∈(2,5]上恒成立．
∴只需k＜f(x)min.
由(1)知f(x)＝＝x＋＝x－2＋＋2≥2 ＋2＝4.当且仅当x－2＝，
即x＝3时等号成立．
∴k＜4，故k的取值范围为(－∞，4)．
26.解析：选ABD 在A中，f(2 021.67)＝2 021.67－2 021＝0.67，故选项A正确；在B中，任取x∈[k，k＋1)，则x＝k＋t,0≤t<1，因此f(x)＝k＋t－k＝t＝x－k是增函数，故选项B正确；在C中，f＝－－(－1)＝，f＝－0＝，而>，故选项C错误；在D中，显然f(x)的定义域为R，任取x∈[k，k＋1)(k∈Z)，则f(x)＝x－k∈[0,1)，故选项D正确．故选A、B、D.
27.解析：选AC 在A中，因为f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])是减函数，所以当x＝2时，函数取得最小值，最小值为－3，因此a<－3，A正确；在B中，因为f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])是减函数，所以当x＝－2时，函数取得最大值，最大值为5，因此a<5，B错误；在C中，g(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(x∈[0,3])，所以当x＝1时，函数取得最小值，最小值为－1，当x＝3时，函数取得最大值，最大值为3，故函数的值域为[－1,3]，由g(x)＝a有解，知a∈[－1,3]，C正确；在D中， x∈[－2,2]， t∈[0,3]，f(x)＝g(t)等价于f(x)的值域是g(t)的值域的子集，而f(x)的值域是[－3,5]，g(t)的值域是[－1,3]，D错误．故选A、C.
28.解：(1)由f(x)＝x2－2x－3，得f(2)＝22－2×2－3＝－3<0，∴2∈C；f(3)＝32－2×3－3＝0，∴3∈B；f(4)＝42－2×4－3＝5>0，∴4∈A.故2∈C,3∈B,4∈A.(2)∵f(x)＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴f(x)在(－∞，1)上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增．由 a∈R， x1，x2∈[a，＋∞)，当x129.解：(1)证明：令x＝y＝0，则2f(0)＝f(0)，∴f(0)＝0.
令x＝－y，则f(－y)＋f(y)＝f(－y＋y)．
∴f(y)＋f(－y)＝f(0)＝0，即f(－y)＝－f(y)．
令x－y>0，则f(x－y)＝f(x)＋f(－y)＝f(x)－f(y)<0，即f(x)∴函数f(x)在R上为减函数．
(2)∵f(x)在R上为减函数，
∴f(x)在[－3,3]上单调递减，
∴f(x)max＝f(－3)＝3f(－1)＝－3f(1)＝－3×＝2，f(x)min＝f(3)＝－f(－3)＝－2.