第三章 函数的概念与性质
3．2．2 奇偶性
明确目标 发展素养
1.理解奇函数、偶函数的定义，了解奇函数、偶函数图象的特征． 2.掌握判断函数奇偶性的方法，会根据函数奇偶性求函数值或解析式． 3.能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的问题. 1.借助奇(偶)函数的特征，培养直观想象素养． 2.借助函数奇偶性的判断方法，培养逻辑推理素养． 3.借助奇偶性与单调性的应用，提升逻辑推理和数学运算素养.
奇偶性 偶函数 奇函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数
图象特点 关于y轴对称 关于原点对称
定义域特征 关于原点对称
奇偶性 如果函数是奇函数或是偶函数，那么称函数f(x)具有奇偶性
[微思考] 既是奇函数又是偶函数的函数只有f(x)＝0(x∈R)这一函数吗？
提示：不是只有一个，有无数个，如f(x)＝0(x∈[－1,1])，f(x)＝0(x∈[－2,2])．
题型一 函数奇偶性的判断
[典例1] 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝2－|x|；(2)f(x)＝ ＋ ；
(3)f(x)＝；(4)f(x)＝
[解] (1)∵函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，
又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
(2)∵函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，
且f(x)＝0，又∵f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
(3)∵函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，
∴f(x)是非奇非偶函数，即f(x)既不是奇函数又不是偶函数．
(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x>0时，－x<0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；
当x<0时，－x>0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．
综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数．
[方法技巧]
函数奇偶性的判断方法
(1)定义法：
确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再化简解析式后验证f(－x)＝±f(x)或其等价形式f(－x)±f(x)＝0是否成立．
(2)图象法：
(3)性质法：
设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
提醒：分段函数奇偶性的判断，要分别从x>0或x<0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．
【对点练清】
1．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x3＋x5；(2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|；
(3)f(x)＝.
解：(1)函数f(x)的定义域为R.
又f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数．
(2)函数f(x)的定义域是R.
因为f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，
所以f(x)是偶函数．
(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数．
2．已知函数f(x)＝试判断函数f(x)的奇偶性．
解：函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．
当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)－3
＝－x2－2x－3＝－(x2＋2x＋3)＝－f(x)；
当x＝0时，－x＝0，f(－x)＝f(0)＝0＝－f(x)；
当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3
＝x2－2x＋3＝－(－x2＋2x－3)＝－f(x)．
∴f(x)是R上的奇函数．
题型二 奇函数、偶函数的图象问题
[典例2] 已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．
(1)画出在区间[－5,0]上的图象；
(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．
[解] (1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于原点对称．
由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示．
(2)由图象知，使f(x)<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．
[方法技巧]
巧用奇函数、偶函数的图象求解问题
(1)依据：奇函数 图象关于原点对称，偶函数 图象关于y轴对称．
(2)求解：根据奇函数、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇函数、偶函数图象的问题．
[对点练清]
已知函数f(x)＝x2－2|x|－1，x∈[－3,3]．
(1)证明函数f(x)是偶函数，并在给定的坐标系中画出此函数的图象；
(2)写出此函数单调区间与值域．
解：(1)对任意的x∈[－3,3]，－x∈[－3,3]，
f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1＝x2－2|x|－1＝f(x)，
∴f(x)是偶函数，作出x∈[0,3]上的图象，再作出关于y轴对称图象即得．
列表：
x 0 1 2 3
f(x) －1 －2 －1 2
描点连线(如图)：
(2)由图象知增区间为(－1,0)，(1,3)，减区间为(－3，－1)，(0,1)，值域为[－2,2]．
题型三 利用函数的奇偶性求解析式
[典例3] (1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________.
(2)已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝________.
[解析] (1)因为偶函数的定义域关于原点对称，
所以a－1＝－2a，解得a＝.
又函数f(x)＝x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0.
(2)由奇函数定义有f(－x)＋f(x)＝0，
得a(－x)2＋2(－x)＋ax2＋2x＝2ax2＝0，故a＝0.
[答案] (1) 0 (2)0
[方法技巧]
1．利用奇偶性求参数的常见类型
(1)定义域含参数：奇函数、偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数．
(2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解．
2．利用函数奇偶性求函数解析式的3个步骤
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．
(2)转化到已知区间上，代入已知的解析式．
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．
【对点练清】
1．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.
解析：法一：f(x)＝(x＋a)(x－4)＝x2＋(a－4)x－4a，f(－x)＝(－x＋a)(－x－4)＝x2－(a－4)x－4a，两式恒相等，则a－4＝0，即a＝4.
法二：f(x)＝(x＋a)(x－4)＝x2＋(a－4)x－4a，要使函数为偶函数，只需多项式的奇次项系数为0，即a－4＝0，则a＝4.
答案：4
2．已知f(x)是R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋x)，求f(x)的解析式．
解：因为x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，
所以f(－x)＝－x[1＋(－x)]＝x(x－1)．
因为f(x)是R上的奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)＝－x(x－1)，x∈(－∞，0)．
又f(0)＝0，所以f(x)＝
3．设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x，求函数f(x)，g(x)的解析式．
解：∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
由f(x)＋g(x)＝2x＋x2， ①
用－x代替x，
得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2，
∴f(x)－g(x)＝－2x＋x2, ②
(①＋②)÷2，得f(x)＝x2；(①－②)÷2，得g(x)＝2x.
题型四 函数单调性与奇偶性的应用
【分类例析】
角度(一) 比较大小
[典例4] 若对于任意实数x，总有f(－x)＝f(x)，且f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则( )
A．fB．f(2)C．f(2)D．f(－1)[解析] ∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，
∴f(2)＝f(－2)．
又f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，且－2<－<－1，
∴f(2)＝f(－2)[答案] B
[方法技巧]
比较大小的求解策略
(1)若自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小．
(2)若自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．
角度(二) 解不等式问题
[典例5] 已知定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上是减函数，若f(1－m)[解] 因为f(x)在区间[－2,2]上为奇函数，且在区间[0,2]上是减函数，所以f(x)在[－2,2]上为减函数．
又f(1－m)所以即
解得－1≤m<.故实数m的取值范围是.
[方法技巧]
解有关奇函数f(x)的不等式f(a)＋f(b)<0，先将f(a)＋f(b)<0变形为f(a)<－f(b)＝f(－b)，再利用f(x)的单调性去掉“f”，化为关于a，b的不等式．另外，要特别注意函数的定义域．由于偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反，因此我们要利用偶函数的性质f(x)＝f(|x|)＝f(－|x|)将f(g(x))中的g(x)全部化到同一个单调区间内，再利用单调性去掉符号f，使不等式得解．
【对点练清】
1．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( )
A．f(π)＞f(－3)＞f(－2) B.f(π)＞f(－2)＞f(－3)
C．f(π)＜f(－3)＜f(－2) D．f(π)＜f(－2)＜f(－3)
解析：选A 由偶函数与单调性的关系知，若x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则x∈(－∞，0)时，f(x)是减函数，故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，∵|－2|＜|－3|＜π，∴f(π)＞f(－3)＞f(－2)．
2．函数f(x)是定义在实数集上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，f(3)A．(1，＋∞) B．(－∞，－2)
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1,2)
解析：选C 因为函数f(x)是定义在实数集上的偶函数，且f(3)1或a<－2.第三章 函数的概念与性质
3．2．2 奇偶性
【课时跟踪检测】
层级(一) “四基”落实练
1．(多选)下列函数中，是偶函数，且在区间(0,1)上单调递增的是( )
A．y＝|x| B．y＝1－x2
C．y＝－ D．y＝2x2＋4
2．若f(x)＝3x3＋5x＋a－1为奇函数，则a的值为( )
A．0 B．－1
C．1 D．2
3．设函数f(x)＝且f(x)为偶函数，则g(－2)等于( )
A．6 B．－6
C．2 D．－2
4．已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上单调递减，若f(a)≥f(－2)，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．[2，＋∞)
C．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D．[－2,2]
5. (多选)若函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)为R上的偶函数，当－1≤x≤2时，下列说法正确的是( )
A．m＝1 B．m＝2
C．f(x)min＝2 D．f(x)max＝6
6．已知函数f(x)＝ax3＋bx＋＋5，且f(6)＝8，则f(－6)＝________.
7．若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的排列是________________．
8．已知定义在[－3,3]上的函数y＝f(x)是增函数．
(1)若f(m＋1)＞f(2m－1)，求m的取值范围；
(2)若函数f(x)是奇函数，且f(2)＝1，解不等式f(x＋1)＋1＞0.
层级(二) 能力提升练
9．(多选)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)g(x)是奇函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数
10．若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是( )
A．[－1,1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0,1]
C．[－1,0]∪[1，＋∞) D．[－1,0]∪[1,3]
11．已知函数f(x)是定义在[a－1,2a]上的偶函数，且当x>0时，f(x)单调递增，则关于x的不等式f(x－1)>f(a)的解集为________________．
12．已知f(x)是定义在R上的函数，设g(x)＝，h(x)＝.
(1)试判断g(x)与h(x)的奇偶性；
(2)试判断g(x)，h(x)与f(x)的关系；
(3)由此你能猜想出什么样的结论？
13．已知函数f(x)＝是奇函数，x∈(－1,1)．
(1)求实数a和b的值；
(2)求证：函数f(x)在(－1,1)上单调递增；
(3)若对于任意的t∈(0,1)，不等式f(t2－2t)＋f(－k)＜0恒成立，求实数k的取值范围．
层级(三) 素养培优练
14．(多选)给出定义：若m－A．函数y＝f(x)的定义域是R，值域是
B．函数y＝f(x)是偶函数
C．函数y＝f(x)是奇函数
D．函数y＝f(x)在上单调递增
15．已知定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)满足：① x，y∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(xy)＝f(x)＋f(y)；②当x>1时，f(x)>0，且f(2)＝1.
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)判断函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性；
(3)求函数f(x)在区间[－4,0)∪(0,4]上的最大值；
(4)求不等式f(3x－2)＋f(x)≥4的解集．
【参考答案】
1.解析：选AD 根据题意，依次分析选项：
对于A，y＝|x|，是偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增，符合题意；
对于B，y＝1－x2，是二次函数，在区间(0,1)上为减函数，不符合题意；
对于C，y＝－，是反比例函数，是奇函数，不符合题意；
对于D，y＝2x2＋4，为二次函数，是偶函数且在区间(0，＋∞)上单调递增，符合题意．
2.解析：选C ∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0，解得a＝1.
3.解析：选A g(－2)＝f(－2)＝f(2)＝22＋2＝6.
4.解析：选D 由f(a)≥f(－2)得f(|a|)≥f(2)，∴|a|≤2，∴－2≤a≤2.
5.解析：选BCD 根据题意，函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)为R上的偶函数，则有f(－x)＝f(x)，即(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)＝(m－1)x2－(m－2)x＋(m2－7m＋12)，必有m－2＝0，即m＝2，则f(x)＝x2＋2，为开口向上的二次函数，当－1≤x≤2时，其最小值为f(0)＝2，最大值为f(2)＝6.
6.解析：令g(x)＝ax3＋bx＋，则f(x)＝g(x)＋5，
所以g(6)＝f(6)－5＝3.
又g(－x)＝－ax3－bx－＝－g(x)，
所以g(x)为奇函数，所以g(－6)＝－g(6)＝－3.
所以f(－6)＝g(－6)＋5＝2.
答案：2
7.解析：∵f(x)是偶函数，
∴f(－x)＝f(x)恒成立，
即(m－1)x2－6mx＋2＝(m－1)x2＋6mx＋2恒成立，
∴m＝0，即f(x)＝－x2＋2.
∵f(x)的图象开口向下，对称轴为y轴，在[0，＋∞)上单调递减，
∴f(2)即f(－2)答案：f(－2)8.解：(1)由题意可得，求得－1≤m＜2，
即m的取值范围是[－1,2)．
(2)∵函数f(x)是奇函数，且f(2)＝1，
∴f(－2)＝－f(2)＝－1，
∵f(x＋1)＋1＞0，∴f(x＋1)＞－1，
∴f(x＋1)＞f(－2)，
∴∴－3＜x≤2.
∴不等式的解集为{x|－3＜x≤2}．
9.解析：选AC ∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴|f(x)|为偶函数，|g(x)|为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f(x)|g(x)|为奇函数．
10.解析：选D 法一：由题意知f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)单调递减，且f(－2)＝f(2)＝f(0)＝0.
当x>0时，令f(x－1)≥0，得0≤x－1≤2，∴1≤x≤3；
当x<0时，令f(x－1)≤0，得－2≤x－1≤0，
∴－1≤x≤1，又x<0，∴－1≤x<0；
当x＝0时，显然符合题意．
综上，原不等式的解集为[－1,0]∪[1,3]，故选D.
法二：当x＝3时，f(3－1)＝0，符合题意，排除B；当x＝4时，f(4－1)＝f(3)<0，不符合题意，排除A、C.故选D.
11.解析：因为f(x)是定义在[a－1,2a]上的偶函数，所以a－1＋2a＝0，解得a＝，则f(x)的定义域为.由偶函数的性质知，f(x－1)>f(a) f(|x－1|)>f(a)．又x>0时，f(x)单调递增，所以|x－1|> ①.又－≤x－1≤ ②，联立①②解得≤x<或f(a)的解集为∪.
答案：∪
12.解：(1)∵g(－x)＝＝g(x)，h(－x)＝＝－h(x)，∴g(x)是偶函数，h(x)是奇函数．
(2)g(x)＋h(x)＝＋＝f(x)．
(3)如果一个函数的定义域关于原点对称，那么这个函数就一定可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和．
13.解：(1)∵f(x)＝是奇函数，x∈(－1,1)，
∴f(0)＝a＝0，f(x)＝，
∵f(－x)＝－f(x)对任意的x∈(－1,1)都成立，
∴＝－，
∴－bx＝bx即b＝0，故a＝b＝0.
(2)证明：由(1)知f(x)＝，
设－1＜x1＜x2＜1，
则f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝.
∵－1＜x1＜x2＜1，
∴＜0，
即f(x1)＜f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递增．
(3)∵t∈(0,1)，f(t2－2t)＋f(－k)＜0恒成立，
∴f(t2－2t)＜－f(－k)＝f(k)，
∴t2－2t＜k，
∵t∈(0,1)，而y＝t2－2t在(0,1)单调递减，
∴－1＜t2－2t＜0，
∴k≥0，
故k的取值范围为[0，＋∞)．
14.解析：选AD 化简函数解析式可得，f(x)＝x－{x}
＝
画出该函数的图象，如图所示，由图象可知A、D正确．
15.解：(1)函数f(x)的定义域关于原点对称．
令y＝1，则f(x)＝f(x)＋f(1)，∴f(1)＝0.
令x＝y＝－1，则f(1)＝f(－1)＋f(－1)，得f(－1)＝0.令y＝－1，则f(－x)＝f(x)＋f(－1)＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数．
(2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x11.
∵当x>1时，f(x)>0，∴f>0.
而f(x2)＝f＝f(x1)＋f>f(x1)，
∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
(3)∵f(4)＝f(2×2)＝f(2)＋f(2)，且f(2)＝1，
∴f(4)＝2.
又由(1)(2)知函数f(x)是偶函数且在(0,4]上单调递增，
∴函数f(x)在区间[－4,0)∪(0,4]上的最大值为f(4)＝f(－4)＝2.
(4)∵f(3x－2)＋f(x)＝f[x(3x－2)]，4＝2＋2＝f(4)＋f(4)＝f(16)，
∴原不等式等价于f[x(3x－2)]≥f(16)，
又函数f(x)为偶函数，且函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴原不等式又等价于
即x(3x－2)≥16或x(3x－2)≤－16，
解得x≤－2或x≥，
∴不等式f(3x－2)＋f(x)≥4的解集为
.
