滚动习题(五)
1.C [解析] 由频率的定义得,正面朝上的频率为=0.48.正面朝上的概率为0.5,与试验次数无关.故选C.
2.D [解析] 由题知摸出黄球的概率为0.62-0.4=0.22,则摸出红球或蓝球的概率为1-0.22=0.78.故选D.
3.D [解析] 该试验任务不成功的概率P=××=,所以该项试验成功的概率为1-P=1-=.故选D.
4.C [解析] ∵事件∩与事件A∪B是对立事件,
∴P(∩)=1-P(A∪B)=1-=,则此人猜测正确的概率为.故选C.
5.A [解析] 青蛙跳三次回到A荷叶只有两条途径.第一条,按A→B→C→A,其概率P1=××=;第二条,按A→C→B→A,其概率P2=××=.所以跳三次之后停在A荷叶上的概率P=P1+P2=+=.
6.B [解析] 由题意可知,回答问题A的学生人数大约为1000×=400,回答问题B的学生人数大约为1000×=600,问题A中回答“是”的人数大约为400×=200,则问题B中回答“是”的人数大约为270-200=70,所以估计该校学生在校使用手机的概率P=≈0.12.故选B.
7.ABD [解析] 对于A,D3为“点数大于3”,D1为“点数大于2”,显然D3 D1,故A正确;对于B,D4为“点数为4”,D3为“点数大于3”,显然D4 D3,故B正确;对于C,由A选项知,D3 D1,故D1∪D3=D1,故C错误;对于D,D1为“点数大于2”,D2为“点数不大于2”,显然D1与D2不能同时发生,故D1∩D2= ,故D正确.故选ABD.
8.AD [解析] 由题可知,样本空间共有6×6=36(个)样本点,
事件甲包含的样本点有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),共6个,
事件乙包含的样本点有(1,2),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),共6个,
事件丙包含的样本点有(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),共5个,
事件丁包含的样本点有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),共6个,
所以P(丙)=,P(丁)==,P(甲)==,
P(乙)==,故A正确,B错误.
同时满足事件甲、丁的样本点有(1,6),共1个,同时满足事件乙、丙的样本点有(6,2),共1个,
所以P(乙丙)=≠P(乙)P(丙),P(甲丁)==P(甲)P(丁),所以乙与丙不相互独立,甲与丁相互独立,故C错误,D正确.故选AD.
9. [解析] 由题意,选中的两人只有两人都是男生、两人都是女生、恰有一名男生一名女生三种情况,则选中的两人中恰有一人是女生的概率为1--=.
10.2或8 [解析] 由题意知,取出的2个球颜色不同的概率为+=,化简得n2-10n+16=0,解得n=2或n=8.
11. [解析] 最后甲获胜含3种情况:①第三局甲胜,概率为;②第三局乙胜,第四局甲胜,概率为×=;③第三局和第四局乙胜,第五局甲胜,概率为××=.所以最后甲获胜的概率为++=.
12.解:(1)由频率分布直方图的性质,可得(0.004+x+0.020+0.008+0.002)×20=1,解得x=0.016.
因为前2组的频率之和为(0.004+0.016)×20=0.4,
前3组的频率之和为(0.004+0.016+0.020)×20=0.8,所以中位数在[60,80)内,
设中位数为n,则(n-60)×0.020=0.5-0.4,解得n=65,所以中位数为65.
平均数为(30×0.004+50×0.016+70×0.020+90×0.008+110×0.002)×20=65.2.
(2)①因为这6名志愿者服务时长的平均数为67,
所以×(22+39+80+81+80+m+93)=67,解得m=7.
②由频率分布直方图,可得数据在[20,40),[80,100)内的频率比为1∶2,
故在[20,40)内抽取2人,记为A1,A2,在[80,100)内抽取4人,记为B1,B2,B3,B4.
从这6名志愿者中随机抽取2人的样本空间为Ω={(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,B4),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,B4),(B1,B2),(B1,B3),(B1,B4),(B2,B3),(B2,B4),(B3,B4)},共包含15个样本点,
所抽取的2人的服务时长都在[80,100)内包含的样本点有6个,所以所求概率P==.
13.解:(1)设(i,j)表示(甲抽到的牌的牌面数字,乙抽到的牌的牌面数字),方片4用4'表示,则甲、乙二人抽到的牌的样本空间Ω={(2,3),(2,4),(2,4'),(3,2),(3,4),(3,4'),(4,2),(4,3),(4,4'),(4',2),(4',3),(4',4)},共包含12个样本点.
(2)若甲抽到红桃3,则乙抽到的牌只能是红桃2,红桃4,方片4.因此乙抽到的牌的牌面数字大于3的概率为.
(3)由(1)可知,“甲抽到的牌的牌面数字比乙大”包含的样本点有(3,2),(4,2),(4,3),(4',2),(4',3),共5个,所以甲胜的概率P1=,乙胜的概率P2=.
因为<,所以此游戏规则不公平.
14.解:(1)由题意得,按照分层抽样的方法抽取20人,第四组应抽取4人,记为A,B,甲,乙,第五组应抽取2人,记为C,D.
样本空间Ω={(A,B,甲),(A,B,乙),(A,B,C),(A,B,D),(A,甲,乙),(A,甲,C),(A,甲,D),(A,乙,C),(A,乙,D),(A,C,D),(B,甲,乙),(B,甲,C),(B,甲,D),(B,乙,C),(B,乙,D),(B,C,D),(甲,乙,C),(甲,乙,D),(甲,C,D),(乙,C,D)},共包含20个样本点.
设事件M为“甲、乙2人至少有1人被选为组长”,则事件为“甲、乙2人都没有被选为组长”,则=,共包含4个样本点,
所以P()==,所以P(M)=1-P()=.
(2)第三组有200×0.06×5=60(人),第四组有200×0.04×5=40(人).设第三组、第四组的组员的年龄的平均数分别为,,方差分别为,,
则=33,=38,=2,=3.
设这200人中年龄在[30,40)内的组员的年龄的平均数为,方差为s2,
则==35,
s2=×{60×[+]+40×[+]}=×{60×[2+(33-35)2]+40×[3+(38-35)2]}=8.4.
估计这200人中年龄在[30,40)内的组员的年龄的方差为8.4.(时间:45分钟 分值:100分)
一、单项选择题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
1.在一次抛硬币的试验中,某同学用一枚质地均匀的硬币做了1000次试验,发现正面朝上出现了480次,那么出现正面朝上的频率和概率分别为 ( )
A.0.48,0.48 B.0.5,0.5
C.0.48,0.5 D.0.5,0.48
2.口袋中有若干红球、黄球与蓝球,每次摸一个球.若摸出红球的概率为0.4,摸出红球或黄球的概率为0.62,则摸出红球或蓝球的概率为( )
A.0.22 B.0.38 C.0.6 D.0.78
3.在太空站内有甲、乙、丙三名航天员依次出仓进行同一试验,每次只派一人,每人最多出仓一次.若前一人试验不成功,则返仓后派下一人重复进行该试验;若试验成功,则终止试验.已知甲、乙、丙各自出仓试验成功的概率分别为,,,每人出仓试验能否成功相互独立,则该项试验最终成功的概率为 ( )
A. B. C. D.
4.已知随机事件A,B发生的概率满足条件P(A∪B)=,某人猜测事件∩发生,则此人猜测正确的概率为 ( )
A.1 B. C. D.0
5.在荷花池中,有一只青蛙在呈品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时,均从一片荷叶跳到另一片荷叶),而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍, 如图所示.假设现在青蛙在A荷叶上,则跳三次之后停在A荷叶上的概率是 ( )
A. B. C. D.
6.[2023·广东东莞高一期末] 对敏感性问题调查的关键是要设法消除被调查者的顾虑,使他们能如实回答问题.为调查学生是否有在校使用过手机的情况,某校设计如下调查方案:调查者在没有旁人的情况下,独自从一个箱子中随机抽一个球,看过颜色后放回,若抽到白球,则回答问题A,若抽到红球,则回答问题B,且箱子中只有白球和红球.
问题A:你的生日的月份是否为偶数 (假设生日的月份为偶数的概率为)
问题B:你是否有在校使用过手机
已知该校在一次实际调查中,箱子中放有白球2个,红球3个,调查结束后共收到1000张有效答卷,其中有270张回答“是”,以频率估计概率,估计该校学生在校使用过手机的概率是(精确到0.01) ( )
A.0.09 B.0.12
C.0.20 D.0.27
二、多项选择题:本大题共2小题,每小题6分,共12分.
7.抛掷一枚质地均匀的骰子,记事件D1为“点数大于2”,D2为“点数不大于2”,D3为“点数大于3”,D4为“点数为4”,则下列结论正确的是 ( )
A.D3 D1 B.D4 D3
C.D1∪D3=D3 D.D1∩D2=
8.有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.事件甲表示“第一次取出的球的数字是1”,事件乙表示“第二次取出的球的数字是2”,事件丙表示“两次取出的球的数字之和是8”,事件丁表示“两次取出的球的数字之和是7”,则( )
A.P(丙)= B.P(丁)=
C.乙与丙相互独立 D.甲与丁相互独立
三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.
9.从某班学生中任选两人参加劳动,选中的两人都是男生的概率是,选中的两人都是女生的概率是,则选中的两人中恰有一人是女生的概率为 .
10.一个袋子中有大小和质地相同的4个红球和n个绿球,有放回地从中依次随机取出2个球,若取出的2个球颜色不同的概率为,则n的所有可能取值为 .
11.甲、乙两位同学进行羽毛球比赛,约定五局三胜(无平局),已知甲每局获胜的概率都为,且前两局以2∶0领先,则最后甲获胜的概率为 .
四、解答题:本大题共3小题,共43分.
12.(13分)某会议结束后随机抽取了50名志愿者,统计了会议期间每个人14天的志愿服务总时长,按时长分为5组:[20,40),[40,60),[60,80),[80,100),[100,120].得到如图①所示的频率分布直方图.
(1)求x的值,估计抽取的志愿者服务时长的中位数和平均数.
(2)在样本中用分层抽样的方法从[20,40),[80,100)这2组中随机抽取6名志愿者,记录每个人的服务总时长,得到如图②所示的茎叶图.
①已知这6名志愿者服务时长的平均数为67,求m的值;
②若从这6名志愿者中随机抽取2人,求所抽取的2人的服务时长都在[80,100)内的概率.
13.(15分)甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4)玩游戏,他们将扑克牌洗匀后,背面朝上放在桌面上,甲先抽,乙后抽,抽出的牌不放回,各抽一张.
(1)写出该试验的样本空间.
(2)若甲抽到红桃3,则乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率是多少
(3)甲、乙约定,若甲抽到的牌的牌面数字比乙大,则甲胜,否则乙胜.你认为此游戏规则是否公平 说明你的理由.
14.(15分)某知识竞赛的满分为100分(90分及以上为认知程度高),结果认知程度高的有200人,按年龄分成5组:[20,25),[25,30),[30,35),[35,40),[40,45],得到如图所示的频率分布直方图.现从各组中按照分层抽样的方法抽取20人,担任宣传使者.
(1)若甲(年龄37岁)、乙(年龄38岁)两人已确定担任宣传使者,现计划从第四组和第五组被抽到的使者中随机抽取3人作为组长,求甲、乙2人至少有1人被选为组长的概率;
(2)若第三组组员的年龄的平均数与方差分别为33和2,第四组组员的年龄的平均数与方差分别为38和3,据此估计这200人中年龄在[30,40)内的组员的年龄的方差.
