1.4.1 课时3空间中直线、平面的垂直
【基础巩固】
1．已知直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若，则的值（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在棱长为的正方体中，已知
，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．在空间直角坐标系中，为坐标原点，为其内一点，，平面平面，则平面的一个法向量可以为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在直三棱柱中，，，已知与分别为和的中点，与分别为线段和上的动点（不包括端点），若，则线段的长度的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（多选）在正方体中，是棱上的动点不含端点，下列说法中正确的有（ ）
A．平面 B．
C．四面体的体积为定值 D．存在点，使得平面平面
6．设直线的方向向量，平面的法向量，若，则_________.
7．如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，，是的中点，，若点在矩形内，且平面，则__________．
8．如图，在三棱柱中，底面，，，，为的中点，为侧棱上的动点.
(1)求证：平面平面；
(2)试判断是否存在，使得直线.若存在，求的长；若不存在，请说明理由.
【能力拓展】
9．如图，正方体中，、分别是、上的中点，是上的动点.下列结论错误的是（ ）
A．存在点，使得平面
B．
C．平面截正方体所得截面为等腰梯形
D．平面平面
10．（多选）如图，在棱长为的正方体中，点满足
，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则平面
B．若，则点的轨迹长度为
C．若，则存在，使
D．若，则存在，使平面
11．如图所示，正八面体的棱长为，点为正八面体内(含表面)的动点，，则的取值范围为_________.
【素养提升】
12．如图，在三棱柱中，，，是棱的中点.
(1)证明：；
(2)若三棱锥的体积为，问是否在棱上存在一点使得平面？若存在，请求出线段的长度；若不存在，请说明理由.1.4.1 课时3空间中直线、平面的垂直
【基础巩固】
1．已知直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若，则的值（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量，
且直线平面，所以，所以，解得.故选：B.
2．如图，在棱长为的正方体中，已知，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则，，
设，则，，
因为，所以，即，解得.故选：D.
3．在空间直角坐标系中，为坐标原点，为其内一点，，平面平面，则平面的一个法向量可以为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设为空间内一点，且，
由于平面平面，所以平面的法向量垂直且平行平面（或在平面内部），
故不妨取为其法向量，则，，
所以，取代入得到，故D正确.
故选：D.
4．如图，在直三棱柱中，，，已知与分别为和的中点，与分别为线段和上的动点（不包括端点），若，则线段的长度的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】在直三棱柱中，底面，
以点为坐标原点，，、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、，设点、，
，，
由于，则，可得，
，则，
.
故选：C.
5．（多选）在正方体中，是棱上的动点不含端点，下列说法中正确的有（ ）
A．平面
B．
C．四面体的体积为定值
D．存在点，使得平面平面
【答案】AB
【解析】对于A，因为，平面，平面，
所以平面，故A正确；
对于B，因为平面，平面，所以，
因为，，平面，
所以平面，因为平面，所以，故B正确；
对于C，因为平面，，
所以与平面相交，即点到平面的距离不是定值，
因为，为定值，所以四面体的体积不为定值，故C错误；
对于D，以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为，
则，，，，设，
则，，，，
设平面的法向量为，
由，取，则，，所以，
平面的法向量为，
由，取，则，，所以，
若存在点，使得平面平面，
则，
因为，所以无解，
所以不存在点，使得平面平面，故D错误.
故选：AB.
6．设直线的方向向量，平面的法向量，若，则_________.
【答案】
【解析】因为直线的方向向量，平面的法向量，，
所以，所以，解得.故答案为：.
7．如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，，是的中点，，若点在矩形内，且平面，则__________．
【答案】
【解析】如图，以为坐标原点，，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，
，
设平面的法向量为
则
令，得,所以，
设，则，又平面，则，
所以，解得，，所以.
故答案为：.
8．如图，在三棱柱中，底面，，，，为的中点，为侧棱上的动点.
(1)求证：平面平面；
(2)试判断是否存在，使得直线.若存在，求的长；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析(2)存在，
【解析】(1)在三棱柱中，底面，平面，
，，为的中点，，
， 平面，平面，
平面，平面平面；
(2)以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
，，，设，则，，，若，则，解得，
所以存在，使得直线，此时.
【能力拓展】
9．如图，正方体中，、分别是、上的中点，是上的动点.下列结论错误的是（ ）
A．存在点，使得平面
B．
C．平面截正方体所得截面为等腰梯形
D．平面平面
【答案】B
【解析】
如图建系，设正方体的棱长为.
对于A，易得，
因是的中点，故，点在上，设，
则，
平面的法向量可取为，
由，解得，即存在，使得平面，
此时，点恰为的中点，故A正确；
对于B，由上建系，则，
由，可知与不垂直，故B错误；
对于C，如图，取的中点为，连接，易得，
因，则得，故有，则，
又平面平面，平面平面，
故即为平面与平面的截线，
又，故平面截正方体所得截面为等腰梯形，故C正确；
对于D，由上建系，因为的中点，则，，
设平面的法向量为，
则，故可取，
又，
设平面的法向量为，
则，故可取，
由，可得，
故平面平面，即D正确.
故选：B.
10．（多选）如图，在棱长为的正方体中，点满足，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则平面
B．若，则点的轨迹长度为
C．若，则存在，使
D．若，则存在，使平面
【答案】ABD
【解析】
对于A，若，则，则点在线段上，如上图.
因平面平面，且平面平面，平面平面，
故因平面，平面，故平面，同理可证平面，
因平面，平面，且，故有平面平面，
又因为平面，所以平面，故A正确；
对于B，若，则（为的中点）如上图.
又因为，所以.故点的轨迹长度为，故B正确；
对于C，若，则，所以.
，所以点在线段上（如上图）.假设，则，
即，化简得，
该方程无解，所以不存在，故C错误；
对于D，如上图，设为的中点，
当时，则，即，
建立如图所示的空间直角坐标系.
则，
.
所以.
假设平面，则，
即，解得.故D正确.
故选： .
11．如图所示，正八面体的棱长为，点为正八面体内(含表面)的动点，，则的取值范围为_________
【答案】
【解析】设交于点，且，的中点为，
因为
，
则，即，
可知点的轨迹是过点且与直线垂直的平面，
如图，以为坐标运算，分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
设点，则，
可得，可得，
直线上的点满足，结合可得，
可知直线与平面的交点为，
同理可得：平面与直线的交点依次为
，
又因为，
注意到，则，
即，可知平面，
当点为与平面的交点时，取到最小值，
可设，
可得，结合可得，即，
则，所以取到最小值，
检验可知：当点为时，取到最大值，
所以取到最大值；
综上所述：的取值范围为.
故答案为：.
【素养提升】
12．如图，在三棱柱中，，，是棱的中点.
(1)证明：；
(2)若三棱锥的体积为，问是否在棱上存在一点使得平面？若存在，请求出线段的长度；若不存在，请说明理由.
【答案】见解析
【解析】(1)如图，取中点，连接.
∵,∴,
∵,,,
∴与全等，
∴，∴，
∵，、平面，
∴平面，
∵平面，∴.
(2)不存在，理由如下：
由(1)得，平面，
∵平面，
∴平面平面，
如图，过点作于点.
∵平面平面，平面， ∴平面
由题意得，
∴，设三棱柱的高为，
∵三棱锥的体积为，
∴三棱锥的体积为，即，
∴，即，
∴，∴点为中点.
取中点，则，∴.
故可以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
∴， ，，.
设，则，
∴，
要使平面，则需且，
由得，，解得，
由得，，解得，
由两个方程解出值不同可得在棱上不存在点使得平面.
