1.4.2.3利用空间向量求解平面与平面的夹角 难点训练微专题(解析版）
突破通法：
利用空间向量法求解二面角的步骤
（1）建立合适的空间直角坐标系,写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标;
（2）设出法向量,根据法向量垂直于平面内两条相交直线的方向向量,求解出平面的法向量（注：若半平面为坐标平面,直接取法向量即可）;
（3）计算（2）中两个法向量夹角的余弦值,结合立体图形中二面角的实际情况,判断二面角是锐角还是钝角,从而得到二面角的余弦值.
注意：二面角的大小可以通过这两个面的法向量的夹角求得，它等于两法向量的夹角或其补角.法向量的方向指向内部的称为“进”入半平面；法向量的方向指向外部的称为“穿”出半平面.当法向量，“一进一出”时，，的夹角就是二面角的大小；当法向量，“同进同出”时，，的夹角就是二面角的补角.
微专题训练
一、单选题
1．如图，将菱形纸片沿对角线折成直二面角，分别为的中点，是的中点，，则折后二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可由向量的夹角求解.
【详解】由题意知平面平面，如图，连接，
因为四边形是菱形，是的中点，所以，又平面平面平面，所以平面，而平面，所以，从而，三线两两垂直．以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
令，则．
设平面的法向量为，则得
取，则，得平面的一个法向量为．
易知平面的一个法向量为，
则．由图知，二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为．
故选:A．
2．点分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，，，，设平面与平面的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别求出平面与平面的法向量，由向量夹角公式求解即可.
【详解】设平面的法向量，，，
则，得，
取，则，所以平面的法向量为．
又平面的法向量可取，所以，
故选：C．
3．如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则平面与平面夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据面面垂直的性质定理，可得平面，故以为坐标原点，建立空间直角坐标系，然后利用向量法直接求解面面角的余弦值即可．
【详解】如图，连接，
因为为中点，
所以，
又平面底面，平面底面平面，
所以平面，故两两垂直，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，由，
可得，
则，
设平面的一个法向量为，
则有，令，得，则，
设平面的一个法向量为，
则有，令，得，得，
则，
则平面与平面夹角的余弦值为．
故选：B．
4．已知两平面的法向量分别为，，则两平面的夹角为（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】A
【分析】通过向量夹角公式求出两平面法向量的夹角，再根据两平面夹角与法向量夹角的关系求出两平面的夹角.
【详解】因为两平面的法向量分别为，.
又，，.
所以.
所以两平面的夹角为.
故选：A.
5．如图，菱形边长为，，为边的中点，将沿折起，使到，连接，且，平面与平面的交线为，则下列结论中错误的是（ ）
A．平面平面
B．
C．与平面所成角的余弦值为
D．二面角的余弦值为
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用线面垂直判定性质、面面垂直的判断推理判断A；利用线面平行判断性质推理判断B；建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角、面面角判断CD.
【详解】对于A，在菱形中，，，则是正三角形，
由为边的中点，得，又，则，
而，平面，则平面，
又，于是平面，而平面，因此平面平面，A正确；
对于B，由，平面，平面，则平面，
又平面与平面的交线为，平面，因此，B正确；
对于C，由A知，，折起后仍有，，又平面，
则，以为原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，，
由平面，得是平面的一个法向量，
设与平面所成角为，则，
因此，C错误；
对于D，由选项C知平面，则为平面的一个法向量，
又，设平面的一个法向量为，
则，令，得，
则，由图形知二面角为锐角，其余弦值为，D正确.
故选：C
6．已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（ ）
A．或 B．或1 C．或2 D．
【答案】B
【分析】利用向量的夹角公式列方程求解即可
【详解】因为
所以，
因为平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，
所以，化简得，解得或1．
故选：B
7．如图，在直四棱柱中，，，，E，F分别是侧棱，上的动点，且平面AEF与平面ABC所成角的大小为，则线段BE的长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建立空间直角坐标系，设出，，求出两平面的法向量，从而根据两平面的所成角得到方程，求出，求出BE的长的最大值.
【详解】依题意，，，两两互相垂直，
以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
设，（，，且m，n不同时为0），
则，，，所以，.
设平面AEF的一个法向量为，
则，
令，得，则，
显然为平面ABC的一个法向量.
因为平面与平面所成角的大小为，
所以，
即，
得，
所以，所以当时，m取得最大值，最大值为.
故选：B
8．设为平面，且．若与所成的二面角为，l与所成角为，则与所成的锐二面角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设平面的单位法向量分别为，直线l上的单位方向向量为，取构成空间坐标系的一组正交基底，故，由已知条件可求，，故可求，从而可求与所成的二面角.
【详解】设平面的单位法向量分别为，直线l上的单位方向向量为．
根据题意，构成空间坐标系的一组正交基底，
由题设可设与的夹角的余弦值为，与的夹角的余弦值为，
设，，故，同理，
由，解得，
于是所求二面角为．
故选：A.
二、多选题
9．已知四棱锥，底面是边长为的正方形，底面，，点满足，，下列说法正确的是（ ）
A．存在点，使得
B．当时，点到平面的距离为
C．当平面平面时，
D．当二面角为时，
【答案】AC
【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，求出点的坐标，利用空间向量法逐项判断即可.
【详解】因为底面，，底面是边长为的正方形，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、，
，其中，
故点，
对于A选项，，，
若存在点，使得，则，解得，合乎题意，
所以，存在点，使得，A对；
对于B选项，当时，点，
设平面的一个法向量为，，，
则，取，可得，且，
所以，点到平面的距离为，B错；
对于C选项，设平面的一个法向量为，，，
则，取，可得，
设平面的一个法向量为，，，
则，取，则，
若平面平面，则，解得，C对；
对于D选项，平面的一个法向量为，，，
则，取，可得，
设平面的一个法向量为，，，
则，取，则，
若二面角为，则，解得，D错.
故选：AC.
10．已知在正四面体中，M，N分别是的中点，平面与直线都平行，则（ ）
A．
B．
C．直线与平面所成角为
D．平面与平面的夹角的余弦值为
【答案】BD
【分析】把正四面体放入正方体中，利用正方体的性质与正四面体的性质逐项分析求解即可得结论.
【详解】如图，把正四面体放入正方体中，易知平面与平面平行，
因为M，N分别是的中点，所以，所以，同理可得，
又因为，所以，又因为交于，所以平面，
所以，故A错误，B正确；
直线与平面所成的角为，故C错误；
平面与平面的夹角为，设正方体的边长为，由正方体的性质可得，
由余弦定理可得，故D正确.
故选：BD.
11．如图，正方体的棱长为是棱上的动点（含端点），则（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．
C．二面角的平面角的大小为
D．存在某个点，使直线与平面所成角为
【答案】ABC
【分析】A.根据等体积法的等高等底即可判断；应用空间向量法计算得出线线垂直判断B，再应用空间向量法计算线面角的正弦范围得出线面角的最大值为判断D，再结合二面角空间向量法计算判断C.
【详解】对于选项A：三棱锥转化为三棱锥的底面积为定值，
因为平面平面，所以到平面高不变，体积为定值，故选项A正确；
对于选项B：
如图建系，设，则
因为，，
所以得，故选项B正确；
对于选项D：取平面的法向量为，
因为 ，
则设直线与平面ABCD所成角,则，
当时，，这时直线与平面ABCD所成角最大值为，故选项D不正确；
对于选项C：设平面法向量为，，
所以，所以
所以令，可得，设平面法向量为，
设二面角 为，则
所以二面角的大小为，故选项C正确.
故选：ABC.
三、填空题
12．如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，则 ．
【答案】
【分析】根据已知条件用空间向量的模的公式求出的长.
【详解】由条件知，
又二面角的平面角为，则，所以
，
所以．
故答案为：.
13．如图，在正四棱锥中，底边，侧棱，为侧棱上一点，若平面，则二面角的余弦值是 .
【答案】/
【分析】连接交于，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别得到平面和平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】连接交于，
在正四棱锥中，可得平面，
以为坐标原点， 分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系 ，如图所示，因为底边，侧棱，则高，
所以，可得，
因为平面，所以平面的一个法向量为，
平面的一个法向量，
设二面角的平面角为，则，
所以二面角的余弦值为.
故答案为：.
14．如图，在四棱锥中，底面，为直角，，，为的中点，，且二面角的平面角为60°，则 ．
【答案】
【分析】以为原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，根据二面角的平面角为60°建立方程求解即可．
【详解】因为底面，，底面，所以，，
又为直角，所以两两垂直．
以为原点，的方向分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
因为为的中点，所以，所以，．设为平面的法向量，则
令，得．易知，平面的一个法向量为．
由题意，二面角的平面角为60°，则，解得．
故答案为：.
四、解答题
15．如图，在四棱锥中，平面平面，，且四棱锥的体积为．
(1)证明：；
(2)求平面与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据面面垂直的性质定理、线面垂直的判定定理及性质定理即可证明；
（2）利用向量法求得二面角的余弦值，再根据同角关系式求出正弦值即可.
【详解】（1）作于，连接，
因为面面，面面，面，
所以面．
由题意，四边形为直角梯形，
所以．
因为，解得，
由，可知，
又因为，所以四边形为平行四边形，
，所以，
由于，面，
所以面．
因为面，所以．
（2）设平面与平面所成角为，
如图，以为原点建立空间直角坐标系，
由（1）可知：，
易知，是面的法向量，
设是面的法向量，
则，取，得到，
则，
所以，
所以平面与平面所成角的正弦值为．
16．如图，四棱锥中，底面，，，，.
(1)证明：平面；
(2)平面与平面所成角余弦值为，求的长.
【答案】(1)证明见解析
(2)1或
【分析】（1）只需证明，即只需证明平面，且平面；
（2）引入参数，建立适当的空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，由法向量夹角的余弦的绝对值公式即可列式求解.
【详解】（1）由底面，因此，
因为，，平面，所以平面；
底面中，，，，
因此，得到，由底面，平面，
因此，，平面，
所以平面，
因此，平面，所以平面.
（2）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，设，
因此点的坐标为，，，，
易得平面的法向量为，
，，设平面的法向量为，
所以，令，得，
因此，化简得：，所以或.
因此的长为1或.1.4.2.3利用空间向量求解平面与平面的夹角 难点训练微专题(学生版）
突破通法：
利用空间向量法求解二面角的步骤
（1）建立合适的空间直角坐标系,写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标;
（2）设出法向量,根据法向量垂直于平面内两条相交直线的方向向量,求解出平面的法向量（注：若半平面为坐标平面,直接取法向量即可）;
（3）计算（2）中两个法向量夹角的余弦值,结合立体图形中二面角的实际情况,判断二面角是锐角还是钝角,从而得到二面角的余弦值.
注意：二面角的大小可以通过这两个面的法向量的夹角求得，它等于两法向量的夹角或其补角.法向量的方向指向内部的称为“进”入半平面；法向量的方向指向外部的称为“穿”出半平面.当法向量，“一进一出”时，，的夹角就是二面角的大小；当法向量，“同进同出”时，，的夹角就是二面角的补角.
微专题训练
一、单选题
1．如图，将菱形纸片沿对角线折成直二面角，分别为的中点，是的中点，，则折后二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．点分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，，，，设平面与平面的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则平面与平面夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知两平面的法向量分别为，，则两平面的夹角为（ ）
A． B． C．或 D．
5．如图，菱形边长为，，为边的中点，将沿折起，使到，连接，且，平面与平面的交线为，则下列结论中错误的是（ ）
A．平面平面
B．
C．与平面所成角的余弦值为
D．二面角的余弦值为
6．已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（ ）
A．或 B．或1 C．或2 D．
7．如图，在直四棱柱中，，，，E，F分别是侧棱，上的动点，且平面AEF与平面ABC所成角的大小为，则线段BE的长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．设为平面，且．若与所成的二面角为，l与所成角为，则与所成的锐二面角为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知四棱锥，底面是边长为的正方形，底面，，点满足，，下列说法正确的是（ ）
A．存在点，使得
B．当时，点到平面的距离为
C．当平面平面时，
D．当二面角为时，
10．已知在正四面体中，M，N分别是的中点，平面与直线都平行，则（ ）
A．
B．
C．直线与平面所成角为
D．平面与平面的夹角的余弦值为
11．如图，正方体的棱长为是棱上的动点（含端点），则（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．
C．二面角的平面角的大小为
D．存在某个点，使直线与平面所成角为
三、填空题
12．如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，则 ．
13．如图，在正四棱锥中，底边，侧棱，为侧棱上一点，若平面，则二面角的余弦值是 .
14．如图，在四棱锥中，底面，为直角，，，为的中点，，且二面角的平面角为60°，则 ．
四、解答题
15．如图，在四棱锥中，平面平面，，且四棱锥的体积为．
(1)证明：；
(2)求平面与平面所成角的正弦值．
16．如图，四棱锥中，底面，，，，.
(1)证明：平面；
(2)平面与平面所成角余弦值为，求的长.
