1.4.2.4向量法求空间距离 难点训练微专题 (学生版)
突破通法：
1.向量法求点到直线的距离的步骤
（1）求直线的方向向量；（2）计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度;（3）利用勾股定理求解.
注意：求平行直线间的距离可转化为求点到直线的距离.
2.求异面直线间的距离的方法
（1）异面直线与间的距离可用以下公式求解.
,其中满足
求公垂线段所在的向量的坐标,进而求出模.
3.点面距的求法
点到平面 的距离（其中是平面 内一点，是平面 的一个法向量）.
注意：求线面距、面面距可转化为求点面距.
微专题训练
一、单选题
1．如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为的重心，，且，，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在四棱柱中，底面是菱形，，，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．在长方体中，，，，E为AB的中点，则异面直线与DE的距离为（ ）
A． B． C．1 D．
5．分别为异面直线上的点，若且，则称为异面直线的公垂线段，其长定义为两异面直线间的距离，则在边长为1的正方体中，与的距离是（ ）
A． B．
C． D．
6．两平行平面分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（ ）
A． B． C． D．
7．两平行平面 ， 分别经过坐标原点 和点 ，且两平面的一个法向量 ，则两平面间的距离是
A． B． C． D．
8．如图，在直三棱柱中，为腰长为2的等腰直角三角形，且，，，为平面内一动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．如图，正方体的棱长为2，，分别是棱和的中点．则（ ）
A．
B．平面与侧面的交线长为
C．点到平面的距离为
D．与平面所成角的余弦值为
10．如图，在底面为正方形的四棱锥中，平面，直线与平面所成角的正切值为，则下列说法正确的是（ ）.
A．异面直线与所成的角为
B．
C．直线与平面所成的角为
D．点到平面的距离为
11．在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则（ ）
A．点到直线的距离是； B．直线到直线的距离是；
C．点到平面的距离是； D．直线到平面的距离是．
三、填空题
12．如图，已知ABC-A1B1C1是侧棱长和底面边长均等于a的直三棱柱，D是侧棱CC1的中点，则点C到平面AB1D的距离为 .
13．如图，在棱长为2的正方体中，点E是的中点，则下列说法正确的有 .
①与平面所成角的正弦值为
②与所成角的余弦值为
③点到直线的距离为
④和平面的距离为
14．如图，正方形ABCD和正方形ABEF的边长都是1，且它们所在的平面所成的二面角的大小是，M，N分别是AC，BF上的动点，且，则MN的最小值是
四、解答题
15．如图，在平行六面体中，，，，，.求：
(1)证明直线直线；
(2)求异面直线和间的距离.
16．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为底面内一动点（包括边界），且满足.
(1)是否存在点，使得平面？
(2)求的取值范围.
(3)求点到直线的距离的最小值.1.4.2.4向量法求空间距离 难点训练微专题(解析版)
突破通法：
1.向量法求点到直线的距离的步骤
（1）求直线的方向向量；（2）计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度;（3）利用勾股定理求解.
注意：求平行直线间的距离可转化为求点到直线的距离.
2.求异面直线间的距离的方法
（1）异面直线与间的距离可用以下公式求解.
,其中满足
求公垂线段所在的向量的坐标,进而求出模.
3.点面距的求法
点到平面 的距离（其中是平面 内一点，是平面 的一个法向量）.
注意：求线面距、面面距可转化为求点面距.
微专题训练
一、单选题
1．如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为的重心，，且，，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，确定相关点以及向量的坐标，利用点到直线的距离的向量求法，即可得答案.
【详解】如图，以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，由，可得，
为的重心，所以，，，
则，，，
故点到直线的距离为.
故选：A
2．如图，在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式求解即可.
【详解】分别以，，为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，
设平面的一个法向量，由，得，取，得，
又，
点到平面的距离为，
故选：D．
3．如图，在四棱柱中，底面是菱形，，，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接，设，连接，证明平面，再以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】连接，设，连接，
由，得，所以，
因为底面是菱形，所以，
又因为，且，在平面内，
所以平面，
在中，，，所以，
如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，，，，，
故，，，
设平面的法向量为，
则有，令，得，
所以点到平面的距离.
故选：C.
4．在长方体中，，，，E为AB的中点，则异面直线与DE的距离为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，得出各点坐标，求出与的公垂线的一个方向向量，由空间向量的数量积即可得解.
【详解】分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，，，E为AB的中点，
则，，，，
则，，
设与DE的公垂线的一个方向向量为，
则，取，得，则，
又，
所以异面直线与DE之间的距离为.
故选：C.
5．分别为异面直线上的点，若且，则称为异面直线的公垂线段，其长定义为两异面直线间的距离，则在边长为1的正方体中，与的距离是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】以为坐标原点，的方向为轴，的方向为轴，的方向为轴，建立空间坐标系，求出异面直线与的公垂线的方向向量为，根据求解即可.
【详解】解：以为坐标原点，的方向为轴，的方向为轴，的方向为轴，如图所示：
设为异面直线与的公垂线段，
则，
所以
设异面直线与的公垂线的方向向量为，
则有，则有，
取，则
则异面直线与的距离.
故选：C.
6．两平行平面分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由空间向量求解
【详解】∵两平行平面分别经过坐标原点O和点，
且两平面的一个法向量，
∴两平面间的距离．
故选：A
7．两平行平面 ， 分别经过坐标原点 和点 ，且两平面的一个法向量 ，则两平面间的距离是
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】两平行平面 ， 分别经过坐标原点 和点 ，，且两平面的一个法向量两平面间的距离，故选B.
8．如图，在直三棱柱中，为腰长为2的等腰直角三角形，且，，，为平面内一动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建立空间直角坐标系，设关于平面的对称点为，利用对称点、到平面距离相等，得出关于平面的对称点为，利用对称点求出最短路径即可.
【详解】由题意，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设关于平面的对称点为，
则，
设平面的一个法向量，
则，即，令，则，
所以与到平面的距离，
即①，又，所以②，
所以由①②得，又由可得，所以，
所以，
当且仅当三点共线时取等号，所以的最小值为．
故选：B．
二、多选题
9．如图，正方体的棱长为2，，分别是棱和的中点．则（ ）
A．
B．平面与侧面的交线长为
C．点到平面的距离为
D．与平面所成角的余弦值为
【答案】BC
【分析】对于A由即可判断，对于B由得面与侧面的交线为即可求解，对于CD建立空间直角坐标系利用向量法即可判断.
【详解】因为与不垂直，又，所以与不垂直，故A错误；
由， 所以四点共面，平面，
所以平面与侧面的交线为，
由正方体棱长为2，得，故B正确；
以为坐标原点，建立如图所示坐标系．则，，，，，
所以，，，，
设平面的一个法向量为，由得
令，则，，
所以为平面的一个法向量，
所以点到平面的距离，故C正确；
设与平面所成角为，则，
所以，
所以与平面所成角的余弦值为，故D错误．
故选：BC.
10．如图，在底面为正方形的四棱锥中，平面，直线与平面所成角的正切值为，则下列说法正确的是（ ）.
A．异面直线与所成的角为
B．
C．直线与平面所成的角为
D．点到平面的距离为
【答案】ABD
【分析】先根据线面角求出底边边长后可判断B的正误，建立空间直角坐标系，利用异面直线夹角余弦公式进行求解判断A，利用线面角的向量求解公式进行求解判断C；利用点到平面的距离公式求出答案判断D.
【详解】对于B，平面，直线与平面所成角,
，故B正确，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
对于A，，设直线与所成的角大小为，
则，
故，A正确；
对于C，可取为平面的法向量，
设直线与平面所成的角大小为，
则，
故直线与平面所成的角为，C错误；
因为四边形为正方形，所以⊥，
又平面，平面，故，
因为，平面，
所以⊥平面，故可取为平面的法向量，
故点到面的距离，D正确.
故选：ABD
11．在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则（ ）
A．点到直线的距离是； B．直线到直线的距离是；
C．点到平面的距离是； D．直线到平面的距离是．
【答案】ABD
【分析】建立坐标系，求出向量在单位向量上的投影，结合勾股定理可得点到直线的距离，判断A；先证明再转化为点到直线的距离求解，判断B；求解平面的法向量，利用点到平面的距离公式进行求解，判断C；把直线到平面的距离转化为到平面的距离，利用法向量进行求解，判断D.
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，
则
对于A：因为，所以．
所以点到直线的距离为．正确，
对于B：因为所以，即
所以点到直线的距离即为直线到直线的距离
，
所以直线FC1到直线的距离为正确，
对于C：设平面的一个法向量为，．
由，令，则，即．
设点到平面的距离为，则，即点到平面的距离为．错误，
对于D：因为平面，平面，所以平面，
所以直线到平面的距离等于到平面的距离．
，由C得平面的一个法向量为，
所以到平面的距离为，所以直线到平面的距离为．正确，
故选：ABD
三、填空题
12．如图，已知ABC-A1B1C1是侧棱长和底面边长均等于a的直三棱柱，D是侧棱CC1的中点，则点C到平面AB1D的距离为 .
【答案】/
【分析】可用等体积法求点到平面的距离，或直接建立空间直角坐标系，用向量法求点到平面的距离.
【详解】由题可知：平面平面,所以
所以,,,
所以,所以.
所以.
直三棱柱的底面边长均等于a，所以是正三角形，取的中点，连接，则,且.
因为平面,所以平面,.
.
因为,所以,
所以.
故答案为：.
方法二：如图所示，
直三棱柱的底面边长均等于a，所以是正三角形，取的中点，连接，则,且.
因为侧面是矩形，取的中点F，连接,则.
因为侧棱平面，所以平面,所以两两垂直，所以分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系.
据题意可知，
则
设平面AB1D的一个法向量是
所以,所以,
令,则,所以.
因为,所以点C到平面AB1D的距离.
故答案为：
13．如图，在棱长为2的正方体中，点E是的中点，则下列说法正确的有 .
①与平面所成角的正弦值为
②与所成角的余弦值为
③点到直线的距离为
④和平面的距离为
【答案】②③④
【分析】通过建系，求出相关点的坐标，相关直线的方向向量、相关平面的法向量坐标，利用空间向量夹角的坐标公式以及点到直线、点到平面的距离公式分别计算即可逐一判断.
【详解】以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则
对于①，平面的法向量可取为，，
设与平面所成角为，则，故①错误；
对于②，，，
设与所成角为，则，故②正确；
对于③，因，与同方向的单位向量为，
，则点到直线的距离为，故③正确；
对于④，设平面的法向量为，，
则，故可取，
由可得平面，则和平面的距离即点到平面的距离，
由，则点到平面的距离为，故④正确.
故答案为：②③④
14．如图，正方形ABCD和正方形ABEF的边长都是1，且它们所在的平面所成的二面角的大小是，M，N分别是AC，BF上的动点，且，则MN的最小值是
【答案】/0.5
【分析】利用二面角的定义证得就是二面角的平面角，即为，再利用空间向量将的长转化为的模求解，利用空间向量的线性运算和数量积、一元二次函数的图象与性质运算即可得解.
【详解】连接，如下图，
由题意，，，正方形中，
正方形中，平面，平面，
平面平面，
∴就是二面角的平面角，则，
∴向量与向量夹角为，且，，
设，，，则，
且由题意，
∴，
，
∴，
令，，图象开口向上，且对称轴为，
∴当时，取得最小值，
即最小值为，
∴的最小值是.
故答案为：.
四、解答题
15．如图，在平行六面体中，，，，，.求：
(1)证明直线直线；
(2)求异面直线和间的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据空间向量基本定理，利用基底表示各向量，再结合向量垂直的数量积表示，可得证；
（2）设平面，可使得，且平面，可得平面的法向量，根据异面直线距离公式可得解.
【详解】（1）选取作为空间中的一组基底，
由题意可得：，，
且，，
，
则，
所以，
即直线直线.
（2）由（1）得，
设平面，可使得，且平面，
设是平面的法向量，
则，且，
即,
令，则
异面直线与间的距离即在上投影向量的模长.
由此可得：.
16．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为底面内一动点（包括边界），且满足.
(1)是否存在点，使得平面？
(2)求的取值范围.
(3)求点到直线的距离的最小值.
【答案】(1)存在，
(2)
(3)
【分析】（1）如图建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设，利用，及即可求出点坐标；
（2）由（1）知，利用模长公式结合二次函数求值域即可求解；
（3）取中点为，则点轨迹为线段，所以点到直线的距离的最小值就是异面直线与的距离，利用向量法求出异面直线与的距离即可.
【详解】（1）
如图，以为原点，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
由题意得，
，，
设平面的法向量为，
则，可取，
设， 所以，
又，所以，
即，所以，
设存在点，使得平面，
则，解得，则，
则，
所以存在点，使得平面
（2）由（1）知，
所以，
函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，，当时，，
所以，
所以的取值范围是.
（3）
由（1）知点满足，
取中点为，则点轨迹为线段，
所以点到直线的距离的最小值就是异面直线与的距离，
，，，，，
设，，
则，可取，
又，
点到直线的距离的最小值.
