1.4.2 课时1 距离问题
【基础巩固】
1．已知经过点的平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，又，
点到平面的距离为，故选：B
2．如图所示，在直四棱柱中，底面为平行四边形，，，点在棱上，且，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，
∴，，．
设平面的法向量为，则．
令，则，，∴．
∴点到平面的距离．
故选：C
3．如图所示，体积为的半圆柱的轴截面为平面是圆柱底面的直径，为底面的圆心，为一条母线，点为棱的中点，且和的弧长为．则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
设中点为，中点为，以分别为轴建立空间直角坐标系，如图：
由题：，
又弧长为，所以，
所以，
设平面的法向量为，则
即，令，则，取，
则到面距离为，
又，
所以三棱锥的体积为，
故选：C.
4．如图，在棱长为的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
则，可得，
设，所以可得；
因此，
因此点到直线的距离为
.
当（满足题意）时，取得最小值，即点到直线的距离的最小值为.
故选：A
5．（多选）在长方体中，，，分别是、的中点，则下列结论中成立的是（ ）
A．平面 B．平面
C．点到平面的距离为 D．直线到平面的距离为
【答案】ABD
【解析】，以直线分别为轴，建立空间直角坐标系，在中，如图：
则，
，所以，，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，
因为，又平面，
所以平面，故A正确；
所以直线到平面的距离为点到平面的距离，又，
所以点到平面的距离为，
所以直线到平面的距离为，故D正确；
设平面的一个法向量为，又，
则，令，得，
又，所以，所以平面，故B正确；
设平面的一个法向量为，又，
则，令，得，
则点到平面的距离为，故C错误.
故选：ABD
6．在空间直角坐标系中，，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为__________.
【答案】
【解析】因为，所以点到平面的距离.
故答案为：.
7．四面体满足，，，，设、、的中点分别为、、，则点到直线的距离为__________.
【答案】
【解析】由题意，建立如图所示空间直角坐标系：
则，
所以，
所以点到直线的距离为，
故答案为：.
8．如图，四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，为的中点.
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面间的距离.
【答案】见解析
【解析】(1)若为的中点，连接，为的中点，则且，
由，，则且，故为平行四边形，
所以，平面，平面，故平面；
(2)由(1)知直线与平面间的距离，即为点与平面间的距离，
由，，，取的中点，连接，
所以四边形为矩形，，
由是以为斜边的等腰直角三角形，，，
由，且都在平面内，则平面，
由，则平面，平面，则平面平面，
以为原点构建空间直角坐标系，则，
由平面，平面，则，
在中，则，
由，所以，可得，
所以，，则，，，
设平面的一个法向量为，则，取，则，
所以，
所以直线与平面间的距离为.
【能力拓展】
9．如图，在正方体中，过点作一平面，使得正方体的各个顶点都在的同一侧，且，，三个点到的距离分别为,则该正方体的棱长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为，则，
则，
设平面的法向量为，则，，，则，
令，则，设，则为线段的中点，
因，到的距离分别为，则到的距离分别为，
因，且为线段的中点，则到的距离分别为，
则，
又到的距离为，则，则，即，则，
则，，则该正方体的棱长为.故选：B
10．（多选）在棱长为的正方体中，点在底面内运动（含边界），点是棱的中点，则（ ）
A．点到平面的距离为
B．若平面，则是棱的中点
C．若平面，则是上靠近的三等分点
D．若在棱上运动，则点到直线的距离最小值为
【答案】AD
【解析】A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，所以，
，
点到平面的距离为，A正确；
B选项，设，，
则，
设平面的法向量为，
，
则，
令，则，所以，
其中，
故，的轨迹为连接的中点的一条线段，
所以不一定是棱的中点，B错误；
C选项，设平面的法向量为，
，
则，
令，则，故，
若平面，则，
设，
所以，解得，
故，则是上靠近的四等分点，C错误；
D选项，若在棱上运动，设，
则，
，设，
，
故点到直线的距离为，
当时，点到直线的距离取得最小值，最小值为，D正确.
故选：AD.
11．如图，在正方体中，，分别是棱，的中点，点在对角线上运动．当的面积取得最小值时，则__________.
【答案】
【解析】设正方体的棱长为，以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则，，的中点，
，，则，设，，
由与共线，可得，所以，所以，其中，因为，
，
所以，所以，即是动点到直线的距离，
由空间两点间的距离公式可得，所以当时，取得最小值，此时为线段的中点，由于为定值，所以当的面积取得最小值时，为线段的中点．故答案为：.
【素养提升】
12．如图，在正三棱柱中，底面边长为，侧棱长为，是的中点．
(1)证明：平面；
(2)在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为 若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】见解析
【解析】(1)
如图，连接交于点，连接，则点为的中点，且是的中点，
则为的中位线，所以．又因为平面，平面，
所以平面．
(2)存在点，理由如下：因为在正中，是的中点，故，
以为坐标原点，取的中点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，．
设，其中，
所以，，
设平面的法向量为，
则取．
且，
则点到平面的距离，
化简得，解得或（舍去）．
综上，存在点使得点到平面的距离为．此时．1.4.2 课时1 距离问题
【基础巩固】
1．已知经过点的平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示，在直四棱柱中，底面为平行四边形，，
，点在棱上，且，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示，体积为的半圆柱的轴截面为平面是圆柱底面的直径，为底面的圆心，为一条母线，点为棱的中点，且和的弧长为．则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在棱长为的正方体中，为的中点，点在线段上，
点到直线的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．（多选）在长方体中，，，分别是、
的中点，则下列结论中成立的是（ ）
A．平面 B．平面
C．点到平面的距离为 D．直线到平面的距离为
6．在空间直角坐标系中，，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为__________.
7．四面体满足，，，，设、、的中点分别为、、，则点到直线的距离为__________.
8．如图，四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，为的中点.
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面间的距离.
【能力拓展】
9．如图，在正方体中，过点作一平面，使得正方体的各个顶点都在的同一侧，且，，三个点到的距离分别为,则该正方体的棱长为（ ）
A． B． C． D．
10．（多选）在棱长为的正方体中，点在底面内运动（含边界），点是棱的中点，则（ ）
A．点到平面的距离为
B．若平面，则是棱的中点
C．若平面，则是上靠近的三等分点
D．若在棱上运动，则点到直线的距离最小值为
11．如图，在正方体中，，分别是棱，的中点，点在对角线上运动．当的面积取得最小值时，则__________.
【素养提升】
12．如图，在正三棱柱中，底面边长为，侧棱长为，是的中点．
(1)证明：平面；
(2)在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为 若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
