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6.1 平面向量及其线性运算
6.1.1 向量的概念
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 课堂评价
◆ 备课素材
【学习目标】
1.理解向量、零向量、单位向量、向量模的意义；
2.掌握向量的几何表示,会用字母表示向量,会用向量表示点的位置；
3.了解平行向量、共线向量和相等向量的意义,并会判断向量间共线
（平行）、相等的关系.
知识点一 位移与向量
1.位移
位移是表示物体位置变化的物理量，位移被“______”和“______”唯一确定，其
中“距离”也称为位移的______.
方向
距离
大小
2.平面向量
（1）向量的概念：一般地，既有______又有______的量称为向量.
（2）向量的模：向量的______也称为向量的模（或长度）.
大小
方向
大小
（3）向量的表示
①几何表示:向量可以用有向线段表示,其中有向线段的长度表示向量的______，
有向线段箭头所指的方向表示____________.而且，通常将有向线段不带箭头的
端点称为向量的始点（或起点），带箭头的端点称为向量的终点.始点为 终点
为的有向线段表示的向量，可以用符号简记为____,向量 的模用_____表示.
大小
向量的方向
②字母表示:在印刷时,通常用加粗的斜体小写字母如,, 等来表示向量；在书
写时,用带箭头的小写字母如_________等来表示向量.
，，
（4）零向量与单位向量
始点和______相同的向量称为零向量,记作___,零向量的本质是________，因此
可以认为零向量的方向是不确定的；模等于___的向量称为单位向量.
终点
一个点
1
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）温度含零上和零下温度，所以温度是向量.( )
×
[解析] 错误，温度是标量，不是向量.
（2）向量的模是一个正实数.( )
×
[解析] 错误，零向量的模为0.
（3）若，则 .( )
×
[解析] 错误，向量不能比较大小.
（4）有向线段都可以表示向量，向量都可以用有向线段表示.( )
×
[解析] 错误,有向线段都可以表示向量，但零向量不能用有向线段表示.
知识点二 向量的相等与平行
1.向量相等
一般地，把______相等、______相同的向量称为相等的向量.向量和 相等，记
为 .
大小
方向
2.向量平行
定义：如果两个非零向量的方向______或者______，则称这两个向量平行.
表示：两个向量和 平行，记作______.两个向量平行也称为两个向量共线.
规定：零向量与任意向量______.
相同
相反
平行
【诊断分析】 1. 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
若向量与不共线，则与 都是非零向量.( )
√
[解析] 因为零向量与任意向量共线，所以该说法正确.
2. 若向量与共线，向量与共线，则向量与 是否共线？
解：向量与不一定共线.因为零向量与任意向量都共线，所以当 时，向
量与 不一定共线.
探究点一 向量的基本概念
例1（1） 下列说法中正确的是( )
D
A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B.方向不同的向量不能比较大小，但方向相同的向量可以比较大小
C.向量的大小与方向有关
D.向量的模可以比较大小
[解析] 不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A，B不正确；
向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C不正确；
向量的模是一个数量，可以比较大小,故D正确.故选D.
（2）[2023·陕西西安高一期中]下列说法中正确的是( )
C
A.若，则
B.与非零向量 共线的单位向量有且仅有一个
C.长度不相等而方向相反的两个向量一定是平行向量
D.若，则
[解析] 对于A选项，由，无法确定， 的方向，故A错误；
对于B选项，与非零向量共线的单位向量有两个，与 方向相同和相反，故B错误；
对于C选项，长度不相等而方向相反的两个向量一定是平行向量，故C正确；
对于D选项，向量， 不能比较大小，故D错误.故选C.
［素养小结］
（1）判断一个量是否为向量应从两个方面入手:
①是否有大小；②是否有方向.
（2）零向量和单位向量：
①零向量的模为0，方向是任意的;
②所有单位向量的模均为1，但方向不一定相同.
探究点二 向量的几何表示
例2 图中1个单位长度表示，某人从点 出
发，向西走了后到达点 ，然后改变方向，
沿北偏西一定角度的方向走了到达点 ，
再向东走后到达点，且点在点 的正北
方向.
（1）作出，， ；
解:根据题意可知，点的坐标为 .
因为点在点的正北方向，所以 ，
又，，所以，所以 ，
，
故，， 如图所示.
（2）求 的模.
解:作出向量 ，如图，
由题意可知，且 ，
所以四边形 是平行四边形，
所以 ，
所以的模为 .
变式 在如图所示的方格纸（每个小方格的边长为1）中，已
知向量 .
（1）试以为起点画一个向量，使，且与 的方向
相同；
解:根据相等向量的定义，所作向量应与 同向，且长度相等，如图所示.
（2）画一个以为起点的向量，使，并说出 的终点的轨迹是什么.
解:由平面几何知识可作满足条件的向量，所有这样的向量 的终点的轨迹是以
点 为圆心，2为半径的圆，如图所示.
［素养小结］
向量用有向线段表示，要注意有向线段的起点、终点和方向.
探究点三 相等向量与共线向量
例3 [2024·江苏南京师大附中高一期末]设点是正三角形 的中心，则向量
，， 是( )
B
A.共始点的向量 B.模相等的向量 C.共线向量 D.相等向量
[解析] 因为点是正三角形的中心，所以，所以， ，
是模相等的向量；显然表示向量，， 的有向线段的始点不同；向量
，，显然不是共线向量；向量，， 的方向不同，不是相等向
量.故选B.
例4 如图所示，是正六边形 的中心.
（1）与 的模相等的其他向量有多少个？
解：与的模相等的线段是六条边和六条半径（即，，，， ，
），而每一条线段可以构造2个与的模相等的向量，所以与 的模相等的
向量共有23个.
（2）是否存在与 的模相等、方向相反的向量？若存在，有几个？
解：存在，由正六边形的性质知， ，
所以与的模相等、方向相反的向量有，，， ，共4个.
（3）与 共线的其他向量有几个？
解：由（2）知，，线段，与 在同一条直线上，
所以与共线的向量有，，，，，，，， ，共9个.
变式 （多选题）如图，在正六边形中，点 为其中
心，则下列说法正确的是( )
ABC
A. B.
C. D.
[解析] 设正六边形的边长为.对于A，由正六边形的性质可得与 平行
且相等，又与的方向相同,所以 ，故A正确；
对于B，由正六边形的性质可得与平行，即，故B正确；
对于C，在正六边形 中，，即，故C正确；
对于D，在正六边形 中，，，则，故D错误.
故选 .
［素养小结］
解决此类问题时，必须要把握好零向量、相等向量、平行向量的概念及相互关系.
1.下列说法中正确的是( )
D
A.两个单位向量一定相等
B.两个相等向量的起点、方向、长度必须都相同
C.共线的单位向量必相等
D.若与不共线，则与 都是非零向量
[解析] 两个单位向量不一定相等，因为它们的方向不一定相同，故A错误；
两个相等向量的方向相同，长度也相同，但是起点不一定相同，故B错误；
共线的单位向量不一定相等，共线的单位向量的方向可能相反，故C错误；
当与 不共线时，与 都是非零向量，故D正确.故选D.
2.设是单位向量，，，，则四边形 是( )
B
A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形
[解析] 因为，，所以，即， ，
所以四边形是平行四边形，因为，所以四边形 是菱
形.故选B.
3.在梯形中，，，分别是， 的中点，则下列结论中错
误的是( )
D
A.与是共线向量 B.与 是共线向量
C.与是共线向量 D.与 是共线向量
[解析] 因为与不平行，所以与 不是共线向量.故选D.
4.[2023·山东菏泽东明一中高一月考]若一架飞机向西飞行 ，再向南飞行
，记飞机飞行的路程为，位移为 ，则( )
A
A. B.
C. D.与 不能比较大小
[解析] 设该飞机初始位置为A，向西飞行到达B处，再向南飞行
到达C处，则，，所以 ，则飞机飞行的路程
，
，所以 .故选A.
5.如图，是线段 的中点，若以图中各点分别为起点和终点，则最多可以写
出___个互不相等的非零向量.
4
[解析] 设线段的长度为2，则长度为1的向量有，，， ，其中
， ，所以长度为1的互不相等的非零向量有2个；
长度为2的向量有， ，所以长度为2的互不相等的非零向量有2个.故最多可
以写出4个互不相等的非零向量.
1.向量的概念
（1）大小、方向是向量的两个要素;
（2）注意两个特殊的向量:零向量与单位向量,前者长度为0,方向任意;后者长度为1.
[解析] 因为不同的单位向量有不同的方向,所以①和②是假命题.
因为共线的单位向量可能方向相反,它们不一定相等,所以③是假命题.
因为零向量的模为0,所以④为真命题.
因为零向量方向任意,所以⑤为假命题.
因为零向量与任何向量共线,所以⑥为真命题.故选C.
例1 给出下列各命题,其中真命题的个数是( )
①单位向量都相等;②单位向量都共线;③共线的单位向量必相等;④零向量的模
为0;⑤零向量没有方向;⑥零向量与任何向量共线.
C
A.0 B.1 C.2 D.3
2.相等向量与共线向量
（1）长度相等方向相同的向量是相等向量;寻找相等向量要把握住向量的两个
要素:大小和方向.相等向量必须二者都相同才成立.（2）对于非零向量,共线时只
需把握向量的方向要素,与向量的大小无关，故寻找非零共线向量时,只需判断两
向量所在的直线是否平行或者重合即可.
[解析] 对于A，向量,的方向不一定相同，所以A错误；
对于B，向量与 的长度不一定相等，所以B错误；
对于C，由，可得 ，所以C正确；
对于D，与非零向量 共线的单位向量有两个，且方向相反，故D错误.故选C.
C
例2 下列说法中正确的是( )
A.若,为单位向量，则
B.若与共线，则或
C.若，则
D.与非零向量 共线的单位向量有且仅有一个6.1 平面向量及其线性运算
6.1.1 向量的概念
【课前预习】
知识点一
1.方向 距离 大小
2.(1)大小 方向 (2)大小 (3)①大小 向量的方向
|| ② ,, (4)终点 0 一个点 1
诊断分析
(1)× (2)× (3)× (4)× [解析] (1)错误,温度是标量,不是向量.(2)错误,零向量的模为0.(3)错误,向量不能比较大小.(4)错误,有向线段都可以表示向量,但零向量不能用有向线段表示.
知识点二
1.大小 方向 2.相同 相反 a∥b 平行
诊断分析
1.√ [解析] 因为零向量与任意向量共线,所以该说法正确.
2.解:向量a与c不一定共线.因为零向量与任意向量都共线,所以当b=0时,向量a与c不一定共线.
【课中探究】
例1 (1)D (2)C [解析] (1)不管向量的方向如何,它们都不能比较大小,故A,B不正确;向量的大小即为向量的模,指的是有向线段的长度,与方向无关,故C不正确;向量的模是一个数量,可以比较大小,故D正确.故选D.
(2)对于A选项,由|a|=|b|,无法确定a,b的方向,故A错误;对于B选项,与非零向量a共线的单位向量有两个,与a方向相同和相反,故B错误;对于C选项,长度不相等而方向相反的两个向量一定是平行向量,故C正确;对于D选项,向量a,b不能比较大小,故D错误.故选C.
例2 解:(1)根据题意可知,点B的坐标为(-2,0).
因为点D在点B的正北方向,所以CD⊥BD,
又||=2 km,||=2 km,所以||=2 km,所以D(-2,2),C(-4,2),
故,,如图所示.
(2)作出向量,如图,
由题意可知,CD∥AB且||=||=2 km,
所以四边形ABCD是平行四边形,
所以||=||=2 km,
所以的模为2 km.
变式 解: (1)根据相等向量的定义,所作向量b应与a同向,且长度相等,如图所示.
(2)由平面几何知识可作满足条件的向量c,所有这样的向量c的终点的轨迹是以点C为圆心,2为半径的圆,如图所示.
例3 B [解析] 因为点O是正三角形ABC的中心,所以AO=BO=CO,所以,,是模相等的向量;显然表示向量,,的有向线段的始点不同;向量,,显然不是共线向量;向量,,的方向不同,不是相等向量.故选B.
例4 解:(1)与的模相等的线段是六条边和六条半径(即OA,OB,OC,OD,OE,OF),而每一条线段可以构造2个与的模相等的向量,所以与的模相等的向量共有23个.
(2)存在,由正六边形的性质知,BC∥AD∥EF,
所以与的模相等、方向相反的向量有,,,,共4个.
(3)由(2)知,BC∥OA∥EF,线段OD,AD与OA在同一条直线上,
所以与共线的向量有,,,,,,,,,共9个.
变式 ABC [解析] 设正六边形ABCDEF的边长为a.对于A,由正六边形的性质可得AB与OC平行且相等,又与的方向相同,所以=,故A正确;对于B,由正六边形的性质可得AB与DE平行,即∥,故B正确;对于C,在正六边形ABCDEF中,AD=BE=2a,即||=||,故C正确;对于D,在正六边形ABCDEF中,AC=a,BE=2a,则||≠||,故D错误.故选ABC.
【课堂评价】
1.D [解析] 两个单位向量不一定相等,因为它们的方向不一定相同,故A错误;两个相等向量的方向相同,长度也相同,但是起点不一定相同,故B错误;共线的单位向量不一定相等,共线的单位向量的方向可能相反,故C错误;当a与b不共线时,a与b都是非零向量,故D正确.故选D.
2.B [解析] 因为=e,=-e,所以=-,即∥,||=||,所以四边形ABCD是平行四边形,因为||=||=1,所以四边形ABCD是菱形.故选B.
3.D [解析] 因为AE与BF不平行,所以与不是共线向量.故选D.
4.A [解析] 设该飞机初始位置为A,向西飞行150 km到达B处,再向南飞行350 km到达C处,则AB=150 km,BC=350 km,所以a=,则飞机飞行的路程s=AB+BC=350+150=500(km),|a|===50(km),所以s>|a|.故选A.
5.4 [解析] 设线段AC的长度为2,则长度为1的向量有,,,,其中=,=,所以长度为1的互不相等的非零向量有2个;长度为2的向量有,,所以长度为2的互不相等的非零向量有2个.故最多可以写出4个互不相等的非零向量.6.1 平面向量及其线性运算
6.1.1 向量的概念
【学习目标】
1.理解向量、零向量、单位向量、向量模的意义;
2.掌握向量的几何表示,会用字母表示向量,会用向量表示点的位置;
3.了解平行向量、共线向量和相等向量的意义,并会判断向量间共线(平行)、相等的关系.
◆ 知识点一 位移与向量
1.位移
位移是表示物体位置变化的物理量,位移被“ ”和“ ”唯一确定,其中“距离”也称为位移的 .
2.平面向量
(1)向量的概念:一般地,既有 又有 的量称为向量.
(2)向量的模:向量的 也称为向量的模(或长度).
(3)向量的表示
①几何表示:向量可以用有向线段表示,其中有向线段的长度表示向量的 ,有向线段箭头所指的方向表示 .而且,通常将有向线段不带箭头的端点称为向量的始点(或起点),带箭头的端点称为向量的终点.始点为A终点为B的有向线段表示的向量,可以用符号简记为 ,向量的模用 表示.
②字母表示:在印刷时,通常用加粗的斜体小写字母如a,b,c等来表示向量;在书写时,用带箭头的小写字母如 等来表示向量.
(4)零向量与单位向量
始点和 相同的向量称为零向量,记作 ,零向量的本质是 ,因此可以认为零向量的方向是不确定的;模等于 的向量称为单位向量.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)温度含零上和零下温度,所以温度是向量.( )
(2)向量的模是一个正实数. ( )
(3)若|a|>|b|,则a>b. ( )
(4)有向线段都可以表示向量,向量都可以用有向线段表示. ( )
◆ 知识点二 向量的相等与平行
1.向量相等
一般地,把 相等、 相同的向量称为相等的向量.向量a和b相等,记为a=b.
2.向量平行
定义:如果两个非零向量的方向 或者 ,则称这两个向量平行.
表示:两个向量a和b平行,记作 .两个向量平行也称为两个向量共线.
规定:零向量与任意向量 .
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
若向量a与b不共线,则a与b都是非零向量.( )
2.若向量a与b共线,向量b与c共线,则向量a与c是否共线
◆ 探究点一 向量的基本概念
例1 (1)下列说法中正确的是 ( )
A.数量可以比较大小,向量也可以比较大小
B.方向不同的向量不能比较大小,但方向相同的向量可以比较大小
C.向量的大小与方向有关
D.向量的模可以比较大小
(2)[2023·陕西西安高一期中] 下列说法中正确的是 ( )
A.若|a|=|b|,则a∥b
B.与非零向量a共线的单位向量有且仅有一个
C.长度不相等而方向相反的两个向量一定是平行向量
D.若|a|>|b|,则a>b
[素养小结]
(1)判断一个量是否为向量应从两个方面入手:
①是否有大小;②是否有方向.
(2)零向量和单位向量:
①零向量的模为0,方向是任意的;
②所有单位向量的模均为1,但方向不一定相同.
◆ 探究点二 向量的几何表示
例2 图中1个单位长度表示1 km,某人从点A出发,向西走了2 km后到达点B,然后改变方向,沿北偏西一定角度的方向走了2 km到达点C,再向东走2 km后到达点D,且点D在点B的正北方向.
(1)作出,,;
(2)求的模.
变式 在如图所示的方格纸(每个小方格的边长为1)中,已知向量a.
(1)试以B为起点画一个向量b,使|b|=|a|,且b与a的方向相同;
(2)画一个以C为起点的向量c,使|c|=2,并说出c的终点的轨迹是什么.
[素养小结]
向量用有向线段表示,要注意有向线段的起点、终点和方向.
◆ 探究点三 相等向量与共线向量
例3 [2024·江苏南京师大附中高一期末] 设点O是正三角形ABC的中心,则向量,,是 ( )
A.共始点的向量
B.模相等的向量
C.共线向量
D.相等向量
例4 如图所示,O是正六边形ABCDEF的中心.
(1)与的模相等的其他向量有多少个
(2)是否存在与的模相等、方向相反的向量 若存在,有几个
(3)与共线的其他向量有几个
变式 (多选题)如图,在正六边形ABCDEF中,点O为其中心,则下列说法正确的是( )
A.= B.∥
C.||=|| D.||=||
[素养小结]
解决此类问题时,必须要把握好零向量、相等向量、平行向量的概念及相互关系.
1.下列说法中正确的是 ( )
A.两个单位向量一定相等
B.两个相等向量的起点、方向、长度必须都相同
C.共线的单位向量必相等
D.若a与b不共线,则a与b都是非零向量
2.设e是单位向量,=e,=-e,||=1,则四边形ABCD是 ( )
A.梯形 B.菱形
C.矩形 D.正方形
3.在梯形ABCD中,AB∥CD,E,F分别是AD,BC的中点,则下列结论中错误的是 ( )
A.与是共线向量
B.与是共线向量
C.与是共线向量
D.与是共线向量
4.[2023·山东菏泽东明一中高一月考] 若一架飞机向西飞行150 km,再向南飞行350 km,记飞机飞行的路程为s,位移为a,则 ( )
A.s>|a|
B.s=|a|
C.s<|a|
D.s与|a|不能比较大小
5.如图,B是线段AC的中点,若以图中各点分别为起点和终点,则最多可以写出 个互不相等的非零向量. 6.1 平面向量及其线性运算
6.1.1 向量的概念
1.D [解析] 对于A,向量与向量的方向不同,不是相等向量,所以A错误;对于B,因为向量是既有大小又有方向的量,所以两个向量不能比较大小,所以B错误;对于C,若两个非零向量平行,则表示向量的有向线段所在的直线平行或重合,所以C错误;对于D,由共线向量的定义可知,当两个非零向量是共线向量时,向量所在的直线可以平行,也可以重合,所以D正确.故选D.
2.A [解析] 由题意知a,b是两个平面向量,若a=b,则|a|=|b|是成立的;反之,若|a|=|b|,则向量a,b的方向可能是不同的,所以a=b不一定成立.所以“a=b”是“|a|=|b|”的充分不必要条件,故选A.
3.A [解析] 对于A,若=,则||=||且∥,则四边形ABCD为平行四边形,故A正确;对于B,若||=||,则四边形ABCD可以是矩形,也可以是等腰梯形,故B错误;对于C,若∥,且||=||,则四边形ABCD可以是等腰梯形,也可以是矩形,故C错误;对于D,若||=||,且∥,则四边形ABCD可以是平行四边形,也可以是梯形,故D错误.故选A.
4.B [解析] ∵E,F,D分别是边AC,AB,BC的中点,
∴EF=BC,BD=DC=BC.又AB,BC,AC的长度均不相等,∴与向量的模相等的向量有,,,,,共5个.
5.B [解析] 对于A选项,若b=0,则a∥b,b∥c,但a∥c不一定成立,故A错误;对于B选项,根据向量传递性,可知B正确;对于C选项,若两个单位向量平行,则这两个单位向量相等或大小相等,方向相反,故C错误;对于D选项,零向量与任何非零向量都平行,且零向量的方向任意,如果a,b中有一个是零向量,那么a,b的方向相同或相反,或者不同,故D错误.故选B.
6.C [解析] 由条件知点O到△ABC的三个顶点的距离相等,所以O一定是△ABC的外心.
7.BD [解析] 与方向不相同,故A错误;||与||表示等腰梯形ABCD两腰的长度,所以||=||,故B正确;向量无法比较大小,只能比较向量的模的大小,故C错误;等腰梯形的上底BC与下底AD平行,所以∥,故D正确.故选BD.
8.AB [解析] 向量与向量的长度相等,所以A选项正确;若两个向量相等且有公共起点,则其终点必相同,所以B选项正确;若两个向量有公共终点,则这两个向量不一定是共线向量,所以C选项错误;若向量与向量是共线向量,则直线AB与直线CD可能平行,也可能重合,所以D选项错误.故选AB.
9.BD [解析] 对于A,平行四边形ABCD中,=,满足向量与共线,而A,B,C,D四点不共线,故A错误;对于B,A,B,C,D四点在一条直线上,则向量与方向相同或相反,即向量与共线,故B正确;对于C,平行四边形ABCD中,满足A,B,C,D四点不共线,但=,即向量与共线,故C错误;对于D,向量与共线,而向量与有公共点B,因此A,B,C三点在一条直线上,故D正确.故选BD.
10. [解析] 由题意知,在△ABC中,AB=1,AC=2,∠ABC=90°,由勾股定理可知,BC==,所以||=.
11.①a与d,b与e ②a,c,d [解析] ①由题图可得a∥d,b∥e,因此a与d是共线向量,并且方向相反,b与e是共线向量.
②显然|a|=,|c|=,|d|=,因此a,c,d的模相等.
12.④⑤ [解析] 对于①,单位向量的方向不同时,不相等,故①不正确;对于②,向量a,b满足|a|=|b|时,若a,b的方向不同,则a,b不相等,故②不正确;对于③,有向线段是有方向的线段,向量是既有大小、又有方向的量,向量可以用有向线段来表示,二者不等价,故③不正确;对于④,根据零向量的定义可知④正确;对于⑤,根据共线向量的定义可知⑤正确.故正确说法的序号为④⑤.
13.解:(1)因为在平行四边形ABCD中,E,F分别是CD,AB的中点,所以CE∥AF,CE=AF,所以四边形AFCE为平行四边形,所以CF∥AE,
所以与向量共线的向量为,,.
(2)证明:在平行四边形ABCD中,AB∥DC,AB=DC.
因为E,F分别是DC,AB的中点,所以ED∥BF且ED=BF,所以四边形BFDE是平行四边形,所以BE=FD且BE∥FD,所以=.
14.解:根据题意作出示意图,如图所示,A,B,C,D分别表示甲地、乙地、丙地、丁地,
依题意知,三角形ABC为正三角形,∴AC=2000 km,
又∵∠ACD=45°,CD=1000 km,∴△ACD为等腰直角三角形,
∴AD=1000 km,∠CAD=45°.
故丁地在甲地的东南方向,距甲地1000 km.
15.12 [解析] 以矩形ABCD的四个顶点及它的对角线交点O这五点中的任意一点为起点,其余四点中的一个点为终点的向量共有20个,但这20个向量中有8对向量是相等的,即(),(),(),(),(),(),(),(),由元素的互异性知集合T中有12个元素.
16.解:模等于☉O半径的向量只有两类:一类是(i=1,2,…,8),共8个;另一类是(i=1,2,…,8),共8个.所以模等于☉O半径的向量共有16个.
以A1,A2,…,A8为顶点的☉O的内接正方形有两个,一个是正方形A1A3A5A7,另一个是正方形A2A4A6A8,在题目所述的向量中,只有这两个正方形的边对应的向量的模为☉O半径的倍,又每一边对应两个向量,所以模为☉O半径的倍的向量共有4×2×2=16(个).6.1 平面向量及其线性运算
6.1.1 向量的概念
一、选择题
1.下列说法正确的是 ( )
A.向量与向量是相等向量
B.与实数类似,对于两个向量a,b有a=b,a>b,aC.若两个非零向量平行,则表示向量的有向线段所在的直线一定平行
D.若两个非零向量是共线向量,则向量所在的直线可以平行,也可以重合
2.已知a,b是两个平面向量,则“a=b”是“|a|=|b|”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.已知四边形ABCD,则下列说法正确的是 ( )
A.若=,则四边形ABCD为平行四边形
B.若||=||,则四边形ABCD为矩形
C.若∥,且||=||,则四边形ABCD为矩形
D.若||=||,且∥,则四边形ABCD为梯形
4.如图所示,△ABC的三边长均不相等,E,F,D分别是边AC,AB,BC的中点, 则与向量的模相等的向量共有 ( )
A.6个 B.5个
C.4个 D.3个
5.下列说法中正确的是 ( )
A.若a∥b,b∥c,则a∥c
B.若a=b,b=c,则a=c
C.若两个单位向量平行,则这两个单位向量相等
D.若a∥b,则a与b方向相同或相反
6.已知O是△ABC内一点,若||=||=||,则O一定是△ABC的 ( )
A.重心 B.内心
C.外心 D.垂心
7.(多选题)如图所示,梯形ABCD为等腰梯形,则下列关系正确的是 ( )
A.=
B.||=||
C.>
D.∥
8.(多选题)下列说法中正确的是 ( )
A.向量的长度与向量的长度相等
B.两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同
C.两个有公共终点的向量,一定是共线向量
D.若向量与向量是共线向量,则点A,B,C,D必在同一条直线上
9.(多选题)下列说法正确的是 ( )
A.若向量与向量共线,则A,B,C,D四点在一条直线上
B.若A,B,C,D四点在一条直线上,则向量与向量共线
C.若A,B,C,D四点不在一条直线上,则向量与向量不共线
D.若向量与向量共线,则A,B,C三点在一条直线上
二、填空题
10.已知||=1,||=2,若∠ABC=90°,则||= .
11.在如图所示的向量a,b,c,d,e中(小正方形的边长为1),找出存在下列关系的向量:
①共线向量: ;
②模相等的向量: .
12.下列说法中,正确说法的序号为 .
①单位向量都相等;
②若向量a,b满足|a|=|b|,则a=b;
③向量就是有向线段;
④模为0的向量叫零向量;
⑤向量,共线与向量∥意义是相同的.
三、解答题
13.如图所示,在平行四边形ABCD中,E,F分别是CD,AB的中点.
(1)写出与向量共线的向量;
(2)求证:=.
14.已知飞机从甲地沿北偏东30°的方向飞行2000 km到达乙地,再从乙地沿南偏东30°的方向飞行2000 km到达丙地,再从丙地沿西南方向飞行1000 km到达丁地,问丁地在甲地的什么方向 丁地距甲地多远
15.如图所示,已知四边形ABCD是矩形,O为对角线AC与BD的交点, 设点集M={O,A,B,C,D},向量的集合T={|P,Q∈M,且P,Q不重合},则集合T中有 个元素.
16.如图,A1,A2,…,A8是☉O上的8个等分点,则在以A1,A2,…,A8及圆心O这9个点中任意2个点为始点与终点的向量中,模等于☉O半径的向量有多少个 模等于☉O半径的倍的向量有多少个
