(共27张PPT)
6.1 平面向量及其线性运算
6.1.2 向量的加法
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 课堂评价
◆ 备课素材
【学习目标】
1.掌握向量加法的运算,并理解其几何意义；
2.理解向量加法的三角形法则、平行四边形法则、多边形法则的适用范围,
并能应用向量加法的运算律进行相关运算.
知识点一 向量加法的三角形法则
1.定义：
一般地，平面上任意给定两个向量，，在该平面内任取一点，作 ,
,作出向量，则向量____称为与的和（也称为向量与 的和向
量）.向量与的和向量记作______,因此 ____.
2.向量的和的表示
（1）当与不共线时，求 可用下图表示.此时，， 正好能构成一个
三角形，因此，
向量加法的三角形法则
（2）当与共线时，求 可用下图表示.
这种求两向量和的作图方法常称为_______________________.
3.（1）对任意向量，有 ___.
（2）向量与的模与 的模之间满足不等式（三角不等式）
_____________________________.
知识点二 向量加法的平行四边形法则
如图，平面上任意给定两个不共线的向量和，在该平面内任取一点 ，作
,，以,为邻边作一个平行四边形,作出向量 ，则
,这种求两向量和的作图方法常称为__________________________.
向量加法的平行四边形法则
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）两个向量相加结果可能是一个数量.( )
×
（2）两个向量相加实际上就是两个向量的模相加.( )
×
（3）任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线.( )
×
（4）向量加法的三角形法则、平行四边形法则适用于求任意两个向量的和.( )
×
知识点三 多个向量相加
为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量
的______为始点，最后一个向量的______为终点的向量，就是这些向量的和.
始点
终点
知识点四 向量加法的运算律
1.交换律：______________.
2.结合律：________________________.
探究点一 向量的加法
例1 如图，在平行四边形中，是和 的交点.
（1） ____；
[解析] .
（2） _____________；
（或）
[解析] （或 ）.
（3） _____________；
（或）
[解析] （或 ）.
（4） ___.
[解析] .
变式（1） 已知非零向量,,满足；,, 可以构成
三角形，则是 的__________________条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充
要”或“既不充分也不必要”）
既不充分也不必要
[解析] 若，且,,共线，则,, 无法构成三角形，充分性不成立；
当,,构成时，令，， ，
则，必要性不成立.故是 的既不充分也
不必要条件.
（2）如图所示，，是的边 上两点，且
.求证： .
证明：因为 ，
，
所以 ，
又因为，所以 .
［素养小结］
向量加法运算选择三角形法则还是选择平行四边形法则，要关注两个法则分别
适用的情况，三角形法则适用于首尾相接的向量，平行四边形法则适用于起点
相同的向量，当然，我们接触的向量都是自由向量，经过平移后，三角形法则
或平行四边形法则可能都适用.
探究点二 向量加法运算律的应用
［提问］ 运用向量加法的________调整向量顺序后使各向量首尾相接,再运
用向量加法的________相加.
交换律
结合律
例2（1） 若在中，，，且， ，
则 的形状是( )
D
A.正三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
[解析] 因为，， ，所以
，即，所以 为等腰直角三角
形.故选D.
（2）设， 是一个非零向量，则下列结论中正确
的有______.（将正确结论的序号填在横线上）
①；②；③ ；
④ .
①③
[解析] 易得 ，故①③正确.
变式 [2024·辽宁朝阳高一期末]已知向量,满足,，则 的
取值范围是( )
B
A. B. C. D.
[解析] 因为向量,满足,，所以 ，当且仅
当,同向时取等号，，当且仅当, 方向相反时取等号，
所以的取值范围是 .故选B.
［素养小结］
要善于运用向量加法的运算法则及运算律来求向量的和.
1.已知是线段的中点，则 ( )
C
A. B. C. D.以上均不对
[解析] 为线段的中点，与方向相反、大小相等， .
2.已知正方形的边长为1，设，，，则
等于( )
D
A.0 B.3 C. D.
[解析] 因为正方形的边长为1，所以 ，所以
.故选D.
3.在中,是的中点,则 等于( )
C
A. B. C. D.
[解析] 如图,以,为邻边作平行四边形.因为 是
的中点,所以也是的中点,又 ，所以
.故选C.
4.若某人先向东走（记为向量），接着再向北走（记为向量 ），则
表示( )
B
A.向东南走 B.向东北走
C.向东南走 D.向东北走
[解析] 由向量加法的几何意义可知应选B.
5.化简： ____.
[解析] .
应用三角形法则与平行四边形法则作向量的和
首先应作出两个向量，然后再作出这个向量与另一个向量的和，方法是多次使
用三角形法则或平行四边形法则.同时要注意：
①三角形法则可以推广到个向量求和，作图时要求“首尾相接”.即 个首尾相接
的向量的和对应的向量是从第一个向量的起点指向第 个向量的终点的向量.
②平行四边形法则只适用于不共线的向量求和.
③当两个向量不共线时，两个法则实质上是一致的，三角形法则作出的图形是
平行四边形法则作出的图形的“一半”，在多个向量的加法中，利用三角形法则
更为简便.
例 如图所示，已知向量，，不共线，作出向量 .
解：方法一：（三角形法则）作 ， ，
则，再作 ，
则 ，即 .
方法二：（平行四边形法则），， 不共线，
在平面内任取一点，作， ，
以，为邻边作平行四边形 ，
则对角线，再作 ，
以，为邻边作平行四边形 ，
则 .6.1.2 向量的加法
【课前预习】
知识点一
1. a+b
2.(1)向量加法的三角形法则
3.(1)a (2)||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|
知识点二
向量加法的平行四边形法则
诊断分析
(1)× (2)× (3)× (4)×
知识点三
始点 终点
知识点四
1.a+b=b+a 2.(a+b)+c=a+(b+c)
【课中探究】
例1 (1) (2)(或) (3)(或) (4)0
[解析] (1)+=.
(2)++=+=(或).
(3)++=+=(或).
(4)++=++=+=0.
变式 (1)既不充分也不必要 [解析] 若a+b+c=0,且a,b,c共线,则a,b,c无法构成三角形,充分性不成立;当a,b,c构成△ABC时,令=a,=b,=c,
则a+b+c=++=2≠0,必要性不成立.故p是q的既不充分也不必要条件.
(2)证明:因为=+,=+,
所以+=+++,
又因为+=0,所以+=+.
提问 交换律 结合律
例2 (1)D (2)①③ [解析] (1)因为||=|a|=1,||=|b|=1,||=|a+b|=,所以|a|2+|b|2=|a+b|2,即||2+||2=||2,所以△ABC为等腰直角三角形.故选D.
(2)易得a=(+)+(+)=0,故①③正确.
变式 B [解析] 因为向量a,b满足|a|=3,|b|=5,所以|a+b|≤|a|+|b|=8,当且仅当a,b同向时取等号,|a+b|≥||b|-|a||=2,当且仅当a,b方向相反时取等号,所以|a+b|的取值范围是[2,8].故选B.
【课堂评价】
1.C [解析] ∵P为线段AB的中点,∴与方向相反、大小相等,∴+=0.
2.D [解析] 因为正方形ABCD的边长为1,所以AC=,所以|a+b+c|=2||=2.故选D.
3.C [解析] 如图,以AB,AC为邻边作平行四边形ABEC.因为M是BC的中点,所以M也是AE的中点,又+=,所以|+|=2||.故选C.
4.B [解析] 由向量加法的几何意义可知应选B.
5. [解析] (+)+(+)+=(+)++(+)=++=.6.1.2 向量的加法
【学习目标】
1.掌握向量加法的运算,并理解其几何意义;
2.理解向量加法的三角形法则、平行四边形法则、多边形法则的适用范围,并能应用向量加法的运算律进行相关运算.
◆ 知识点一 向量加法的三角形法则
1.定义:
一般地,平面上任意给定两个向量a,b,在该平面内任取一点A,作=a,=b,作出向量,则向量 称为a与b的和(也称为向量a与b的和向量).向量a与b的和向量记作 ,因此+= .
2.向量的和的表示
(1)当a与b不共线时,求a+b可用下图表示.此时a,b,a+b正好能构成一个三角形,因此,这种求两向量和的作图方法常称为 .
(2)当a与b共线时,求a+b可用下图表示.
3.(1)对任意向量a,有a+0=0+a= .
(2)向量a与b的模与a+b的模之间满足不等式(三角不等式) .
◆ 知识点二 向量加法的平行四边形法则
如图,
平面上任意给定两个不共线的向量a和b,在该平面内任取一点A,作=a,=b,以AB,AC为邻边作一个平行四边形ABDC,作出向量,则=+,这种求两向量和的作图方法常称为 .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个向量相加结果可能是一个数量. ( )
(2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加. ( )
(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线. ( )
(4)向量加法的三角形法则、平行四边形法则适用于求任意两个向量的和. ( )
◆ 知识点三 多个向量相加
为了得到有限个向量的和,只需将这些向量依次首尾相接,那么以第一个向量的 为始点,最后一个向量的 为终点的向量,就是这些向量的和.
◆ 知识点四 向量加法的运算律
1.交换律: .
2.结合律: .
◆ 探究点一 向量的加法
例1 如图,在平行四边形ABCD中,O是AC和BD的交点.
(1)+= ;
(2)++= ;
(3)++= ;
(4)++= .
变式 (1)已知p:非零向量a,b,c满足a+b+c=0;q:a,b,c可以构成三角形,则p是q的 条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
(2)如图所示,P,Q是△ABC的边BC上两点,且+=0.求证:+=+.
[素养小结]
向量加法运算选择三角形法则还是选择平行四边形法则,要关注两个法则分别适用的情况,三角形法则适用于首尾相接的向量,平行四边形法则适用于起点相同的向量,当然,我们接触的向量都是自由向量,经过平移后,三角形法则或平行四边形法则可能都适用.
◆ 探究点二 向量加法运算律的应用
[提问] 运用向量加法的 调整向量顺序后使各向量首尾相接,再运用向量加法的 相加.
例2 (1)若在△ABC中,=a,=b,且|a|=|b|=1,|a+b|=,则△ABC的形状是 ( )
A.正三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.等腰直角三角形
(2)设a=(+)+(+),b是一个非零向量,则下列结论中正确的有 .(将正确结论的序号填在横线上)
①a∥b;②a+b=a;③a+b=b;
④|a+b|<|a|+|b|.
变式 [2024·辽宁朝阳高一期末] 已知向量a,b满足|a|=3,|b|=5,则|a+b|的取值范围是( )
A.[2,3] B.[2,8]
C.[3,5] D.[2,5]
[素养小结]
要善于运用向量加法的运算法则及运算律来求向量的和.
1.已知P是线段AB的中点,则+=( )
A. B.
C.0 D.以上均不对
2.已知正方形ABCD的边长为1,设=a,=b,=c,则|a+b+c|等于 ( )
A.0 B.3
C.2+ D.2
3.在△ABC中,M是BC的中点,则|+|等于 ( )
A.|| B.||
C.2|| D.||
4.若某人先向东走3 km(记为向量a),接着再向北走3 km(记为向量b),则a+b表示( )
A.向东南走3 km
B.向东北走3 km
C.向东南走3 km
D.向东北走3 km
5.化简:(+)+(+)+= . 6.1.2 向量的加法
1.D [解析] 易知①正确;在平行四边形ABCD中,BC∥AD,且BC=AD,所以=,故②正确;若=,则A,B,C,D可能共线,故③错误;易知④正确.故选D.
2.D [解析] 因为六边形ABCDEF为正六边形,所以=,=,所以++=++=+=.故选D.
3.D [解析] 因为+=,所以四边形OACB为平行四边形,所以点O在△ABC的外部.
4.B [解析] 由已知得|a+b|=2 km.如图,易知α=30°,故a+b表示向北偏东30°方向航行2 km.故选B.
5.D [解析] 当,,均不共线时,三条有向线段构成一个三角形;当,,为共线向量时,线段AB,BC一定共线;线段AB,BC有公共点B,不可能平行.故选D.
6.B [解析] 因为+=,所以++的模为的模的2倍.又||==2,所以向量++的模为4.
7.C [解析] 当a,b反向时,|a+b|=||a|-|b||=|3-2|=1;当a,b同向时,|a+b|=|a|+|b|=3+2=5,故1≤|a+b|≤5.故选C.
8.ACD [解析] 对于A,当a与b的模相等,方向相反时,a+b=0,方向任意,故A中说法错误;
对于B,在△ABC中,++=+=0,故B中说法正确;
对于C,当A,B,C三点共线时,满足++=0,但A,B,C三点不能构成三角形,故C中说法错误;
对于D,若a,b均为非零向量,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当a与b同向时等号成立,故D中说法错误.故选ACD.
9.ACD [解析] 由向量加法的三角形法则可得,+=,++=0,由三角形的中位线性质得,四边形ADEF是平行四边形,则+==.故选ACD.
10.①②③④ [解析] 以AB,AC为邻边作平行四边形ABDC.因为∠A=90°,所以四边形ABDC为矩形,所以AD=BC,所以|+|=||=||,故①正确;|+|=||=||,故②正确;|+|=||=||,故③正确;由勾股定理知||2+||2=||2,故④正确.故正确结论的序号为①②③④.
11.|a|=|b| [解析] 如图,要使a+b平分a,b的夹角,平行四边形应为菱形,因此|a|=|b|.
12.0 [解析] 如图所示,延长AG交BC于点E,则点E为BC的中点,延长AE到点D,使GE=ED,则+=,+=0,所以++=0.
【点睛】 点G是△ABC的重心的充要条件是++=0.
13.解:(1)++=+=.
(2)|++|=|+|=||=2.
14.解:根据题意,画出示意图,如图所示,
设,分别是直升机的两次位移,则表示两次位移的合位移,即=+.
在Rt△ABD中,||=20 km,||==20(km).
在Rt△ACD中,||==40(km),∠CAD=60°,
即此时直升机位于A地北偏东30°方向,且距离A地40 km处.
15.A [解析] 如图,作直径BD,连接DA,DC,
则DA⊥AB,AH⊥BC,CH⊥AB,CD⊥BC,
所以CH∥DA,AH∥DC,故四边形AHCD是平行四边形,
所以=,又=+=+,
所以=+=+=++.
16.3 [解析] 如图,由||=||=3,可得以OA,OB为邻边的四边形OACB为菱形.
连接OC,AB,设其交点为D,则OC⊥AB.
∵∠AOB=60°,∴AB=||=3,∴在Rt△BDC中,CD=,
∴||=|+|=×2=3.6.1.2 向量的加法
一、选择题
1.下列说法中正确的个数为 ( )
①如果非零向量a与b的方向相同或相反,那么(a+b)∥a;
②在平行四边形ABCD中,必有=;
③若=,则A,B,C,D为平行四边形的四个顶点;
④若a,b均为非零向量,则|a+b|≤|a|+|b|.
A.0 B.1 C.2 D.3
2.如图,正六边形ABCDEF中,++=( )
A.0
B.
C.
D.
3.已知O是△ABC所在平面内一点,且+=,那么 ( )
A.点O在△ABC的内部
B.点O在△ABC的边AB上
C.点O在边AB所在的直线上
D.点O在△ABC的外部
4.[2023·陕西榆林高一期末] 若向量a表示“向东航行1 km”,向量b表示“向北航行 km”,则向量a+b表示 ( )
A.向东北方向航行2 km
B.向北偏东30°方向航行2 km
C.向正北方向航行(1+) km
D.向正东方向航行(1+) km
5.设,,是三个非零向量,且+=,则 ( )
A.线段AB,BC,AC一定构成一个三角形
B.线段AB,BC一定共线
C.线段AB,BC一定平行
D.选项A,B中的情况都有可能,选项C中的情况是不存在的
6.在矩形ABCD中,||=4,||=2,则向量++的模为 ( )
A.2 B.4
C.12 D.6
7.已知|a|=3,|b|=2,则|a+b|的值可能是 ( )
A.0 B.-2
C.5 D.6
8.(多选题)下列说法中不正确的是 ( )
A.如果非零向量a与b的方向相同或相反,那么a+b的方向必与a,b之一的方向相同
B.在△ABC中,必有++=0
C.若++=0,则A,B,C为一个三角形的三个顶点
D.若a,b均为非零向量,则a+b的模等于a的模与b的模的和
9.(多选题)在△ABC中,D,E,F分别是边AB,BC,CA的中点,则下列等式成立的是( )
A.+=
B.++=0
C.+=
D.+=
二、填空题
10.已知△ABC是直角三角形且∠A=90°,则下列结论中正确的是 .(填序号)
①|+|=||;
②|+|=||;
③|+|=||;
④||2+||2=||2.
11.当非零向量a,b(a,b不共线)满足 时,能使a+b平分a,b的夹角.
★12.已知点G是△ABC的重心,则++= .
三、解答题
13.已知菱形ABCD的边长为2,
(1)化简向量++;
(2)求向量++的模.
14.一架救援直升机从A地沿北偏东60°的方向飞行了40 km到达B地,再由B地沿正北方向飞行40 km到达C地,求此时直升机与A地的相对位置.
15.如图所示,O为△ABC的外心,H为垂心,则= ( )
A.++
B.++
C.++
D.++
16.已知||=3,||=3,∠AOB=60°,则|+|等于 .
